【青蓮】
願凝九幽亦復沉
光引纏結落心間
塵緣魔劫俱幻動
如來遙坐天河邊
願無悔 念莫遷
蝶縈魂 滅因緣
須彌之盡復須彌
虛無之竟莫問天
剎那映百劫
緣劫何留戀
碎魂滅魄覆天憐
蓮青飄緲縈心田
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~冥曲~:
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=228491973939904&set=a.157808494341586.30481.100003373093628&type=1&theater
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青 情 清 倩 ...
傾 馨 心 辛 ...
映眼俱妄
心縈非真
念動成幻
識落為障
俱化
冥曲
魂籟
樂律 初階
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複驗
廣義方程
乙階
光 電 磁 引
四向 八方
眼見欺心
心執成障
莫落纏結
魂碎無量
暫註:AD:2012-0731-06:38
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光速無及
俱落四方
空只三維
復竟八拍
光動莫盡
拍值無窮
將心碎時
魂裂無述
自心無見
虛無怎求
星塵西殞
往昔莫見
空成魔劫
時幻魂障
永劫盡幻
天地悠悠 ... ...
須彌莫現
如來怎有 ... ...
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廣義相對論
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BB%A3%E7%BE%A9%E7%9B%B8%E5%B0%8D%E8%AB%96
愛因斯坦場方程式
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%88%B1%E5%9B%A0%E6%96%AF%E5%9D%A6%E5%BC%95%E5%8A%9B%E5%9C%BA%E6%96%B9%E7%A8%8B
史瓦西度規
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%B2%E7%93%A6%E8%A5%BF%E5%BA%A6%E8%A6%8F
克爾度規
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%8B%E7%88%BE%E5%BA%A6%E8%A6%8F
克爾-紐曼度規
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%8B%E5%B0%94-%E7%BA%BD%E6%9B%BC%E5%BA%A6%E8%A7%84
萊斯納-諾德斯特洛姆度規
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%90%8A%E6%96%AF%E7%B4%8D-%E8%AB%BE%E5%BE%B7%E6%96%AF%E7%89%B9%E6%B4%9B%E5%A7%86%E5%BA%A6%E8%A6%8F
弗里德曼－勒梅特－羅伯遜－沃爾克度規
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%97%E9%87%8C%E5%BE%B7%E6%9B%BC%EF%BC%8D%E5%8B%92%E6%A2%85%E7%89%B9%EF%BC%8D%E7%BD%97%E4%BC%AF%E9%80%8A%EF%BC%8D%E6%B2%83%E5%B0%94%E5%85%8B%E5%BA%A6%E8%A7%84
宇宙標度因子
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E6%A8%99%E5%BA%A6%E5%9B%A0%E5%AD%90
宇宙標度因子
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在物理宇宙學裏，宇宙標度因子（cosmological scale factor）是弗里德曼方程式的一個參數，是表現宇宙相對膨脹的時間函數。宇宙標度因子又稱為羅伯遜－沃爾克標度因子，在這篇文章內，簡稱為「標度因子」。[1]在膨脹或收縮中的羅伯遜-沃爾克宇宙裏，設定跟著哈伯流體移動的兩個物體，則對於兩個物體（例如，兩個星系）之間的固有距離（proper distance），可以用則標度因子來給出這固有距離隨著時間演進而發生的變化，以方程式定義，
d(t)\ \stackrel{def}{=}\ a(t)d_0 ；
其中，d_0 、d(t) 分別是在參考時間 t_0 、時間 t 的固有距離，a(t) 是在時間 t 的標度因子。[2]
設定 t_0 為現今時期，那麼，按照定義，a(t_0) = 1 。更常見的用法是設定 t_0 為宇宙的年齡： 13.75\pm0.17\,\mathrm{Gyr} ，[3]在設定 a(t_0) = 1 ，而大霹靂的時間是 t=0 ，那麼，時間 t 是從宇宙誕生那一刻開始計算。
標度因子的演化是個動態問題，是由廣義相對論的方程式決定。對於局域各向同性、局域均勻的宇宙，是以弗里德曼方程式來表現。
哈伯參數 H 定義為
H\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} 。
從標度因子的定義式，可以得到哈伯定律。
\dot{d}(t)= \frac{d(t) \dot{a}(t)}{a(t)}=Hd(t) 。
最新的天文觀測結果支持宇宙加速膨脹，這意味著標度因子的二次導數 \ddot{a}(t) 是正值，也就是說，一次導數 \dot{a}(t) 隨著時間演進而增加。[4] 這也意味著每一個星系與地球漸行漸遠的速度會隨著時間演進而增加，即星系的 \dot{d}(t) 會隨著時間演進而增加。
根據宇宙擴充模型使用的羅伯遜－沃爾克度規，假若在目前，觀察者收到一束紅移為 z 的光波，則在光波發射時，標度因子為[5][6]
a(t) = \frac{1}{1 + z} 。
參閱
宇宙學原理
ΛCDM模型
參考文獻
^ Steven Weinberg. Cosmology. Oxford University Press. 2008: 3. ISBN 9780198526827.
^ Schutz, Bernard. Gravity from the Ground Up: An Introductory Guide to Gravity and General Relativity. Cambridge University Press. 2003: pp. 363. ISBN 978-0521455060.
^ S. H. Suyu, P. J. Marshall, M. W. Auger, S. Hilbert, R. D. Blandford, L. V. E. Koopmans, C. D. Fassnacht and T. Treu. Dissecting the Gravitational Lens B1608+656. II. Precision Measurements of the Hubble Constant, Spatial Curvature, and the Dark Energy Equation of State. The Astrophysical Journal, 2010; 711 (1): 201 DOI: 10.1088/0004-637X/711/1/201
^ Jones, Mark H.; Robert J. Lambourne. An Introduction to Galaxies and Cosmology. Cambridge University Press. 2004: pp. 244. ISBN 978-0521837385.
^ Davies, Paul (1992), The New Physics, page 187.
^ Mukhanov, V. F. (2005), Physical Foundations of Cosmology, page 58.
外部聯結
洛杉磯加州大學天文學網頁：Relation of the scale factor with the cosmological constant and the Hubble constant。
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ΛCDM模型
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ΛCDM模型
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一張表示宇宙間不同物質能量成分的餅圖，大約有96%的能量來自奇異的暗物質和暗能量。
ΛCDM模型（英文：ΛCDM Model或Lambda-CDM Model）是所謂Λ-冷暗物質（Cold Dark Matter）模型的簡稱。它在大爆炸宇宙學中經常被稱作索引模型，這是因為它嘗試解釋了對宇宙微波背景輻射、宇宙大尺度結構以及宇宙加速膨脹的超新星觀測。它是當前能夠對這些現象提供融洽合理解釋的最簡單模型。
Λ意為宇宙學常數，是解釋當前宇宙觀測到的加速膨脹的暗能量項。宇宙學常數經常用\Omega_\Lambda\,表示，含義是當前宇宙中暗能量相對於一個平直時空的宇宙的能量所佔的比例。現在認為這個數值約為0.74，即宇宙中有74%左右的能量是暗能量的形式。
冷暗物質是一種暗物質模型，即它認為在宇宙早期輻射與物質的能量分布相當時暗物質的速度是非相對論性的（遠小於光速），因此暗物質是冷的；同時它們是非重子構成的；不會發生碰撞（指暗物質的粒子不會與其他物質體子發生重力以外的基本交互作用）或能量損耗（指暗物質不會以光子的形式輻射能量）的。冷暗物質佔了當前宇宙能量密度的22%。剩餘的4%的能量構成了宇宙中所有的由重子（以及光子等規範玻色子）構成的物質：行星、恆星以及氣體雲等。
模型假設了具有接近尺度不變的能量譜的太初微擾，以及一個空間曲率為零的宇宙。它同時假設了宇宙沒有可觀測的拓撲，從而宇宙實際要比可觀測的粒子視界要大很多。這些都是宇宙暴脹理論的預言。
模型採用了弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規、弗里德曼方程式和宇宙的狀態方程式來描述從暴脹時期之後至今以及未來的宇宙。
在宇宙學中，這些是能夠構建一個自洽的物理宇宙模型的最簡單的假設。而ΛCDM模型終歸只是一個模型，宇宙學家們預計在對相關的基礎物理了解更多之後，這些簡單的假設都有可能被證明並不完全準確。具體而言，暴脹理論預言宇宙的空間曲率在10-5到10-4的量級。另外也很難相信暗物質的溫度是絕對零度。ΛCDM模型也並沒有在基礎物理層面上解釋暗物質、暗能量以及具有接近尺度不變的能量譜的太初微擾的起源：從這個意義上說，它僅僅是一個有用的參數化形式。
參數
模型含有六個基本參數。
哈柏常數——決定宇宙的膨脹速率，以及宇宙閉合所需的臨界密度\rho_0\,。
重子的密度、暗物質的密度和暗能量的密度，它們都歸一到臨界密度，即如\Omega_b = \rho_b/\rho_0\,。由於模型假設空間是平直的，三者的密度之和等於臨界密度，從而暗能量的密度並不是一個獨立參數。
光深度——決定宇宙再電離的紅移。
密度漲落的信息由太初微擾的漲落振幅（源自宇宙暴脹）和能譜指數共同決定，其中能譜指數n_s\,表徵漲落如何隨尺度變化（n_s = 1\,表示尺度不變的能譜）。
模型中包含的誤差分析顯示，實際的真實值有68%的置信機率落到測量結果的上下限之間。誤差並不是高斯分布的，它們是通過威爾金森微波各向異性探測器的數據進行蒙特卡羅馬爾可夫鏈方法進行誤差分析得出的，其中也使用了史隆數位巡天和Ia型超新星的觀測數據。
參數 數值 描述
基本參數
H0 73.2^{+3.1}_{-3.2} km s-1 Mpc-1 哈柏常數
Ωb 0.0444^{+0.0042}_{-0.0035} 重子密度
Ωm 0.266^{+0.025}_{-0.040} 總物質密度（重子+暗物質）
τ 0.079^{+0.029}_{-0.032} 宇宙再電離所需的光深度
As 0.813^{+0.042}_{-0.052} 尺度漲落振幅
ns 0.948^{+0.015}_{-0.018} 尺度能譜指數
導出參數
ρ0 0.94^{+0.06}_{-0.09}\times10^{-26} kg/m3 臨界密度
ΩΛ 0.732^{+0.040}_{-0.025} 暗能量密度
zion 10.5^{+2.6}_{-2.9} 再電離紅移
σ8 0.772^{+0.036}_{-0.048} 星系漲落指數
t0 13.73^{+0.13}_{-0.17}\times10^9y 宇宙的年齡
擴展模型
由最簡單的ΛCDM模型可以進一步擴展為其他模型，例如可以用第五元素替代宇宙常數項，在這種情況下暗能量的狀態方程式可以為-1以外的其他值。宇宙暴脹預言了時空度規張量的漲落（即重力波），它們的振幅可由張量純量比（tensor-to-scalar ratio）參數化，而後者由暴脹的能量尺度決定。其他對模型的修正包括允許空間曲率的存在或隨時間變化的能譜指數，這些在一般觀點看來都是和暴脹理論相違背的。
允許引入這些參數通常都會增加上述基本參數的測量誤差，並在某種程度上使測量值產生偏移。
參數 數值 描述
w -0.926^{+0.051}_{-0.075} 狀態方程式
r <0.55 (2σ) 張量純量比
Ωk -0.010^{+0.014}_{-0.012} 空間曲率
α -0.102^{+0.050}_{-0.043} 能譜指數的變化
\Sigma m_\nu <0.87 eV (2σ) 微中子質量總和
這些參數與一個具有參數\omega = -1\,的宇宙的狀態方程式、以及一個空間曲率為零的情形相洽。
參考文獻
D. N. Spergel et al. (WMAP collaboration). Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) three year results: implications for cosmology. 3 2006.
M. Tegmark et al. (SDSS collaboration), Cosmological Parameters from SDSS and WMAP, Phys. Rev. D69 103501 (2004).
D. N. Spergel et al. (WMAP collaboration), First year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) observations: determination of cosmological parameters, Astrophys. J. Suppl. 148 175 (2003).
{{{2}}}
J. P. Ostriker and P. J. Steinhardt, Cosmic Concordance, arXiv:astro-ph/9505066.
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弗里德曼方程式
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亞歷山大·弗里德曼
弗里德曼方程式（英文：Friedmann equations）是廣義相對論框架下描述空間上均一且各向同性的膨脹宇宙模型的一組方程式。它們最早由亞歷山大·弗里德曼在1922年得出[1]，他通過在弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規下對具有給定質量密度\rho\,和壓力p\,的流體的能量-動量張量應用愛因斯坦重力場方程式而得到。而具有負的空間曲率的方程式則由弗里德曼在1924年得到[2]。
目錄
1 假設
2 方程式
3 密度參數
4 有用的解
5 參考文獻
假設
參見：弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規
弗里德曼方程式所基於的假設是宇宙在空間上是均一且各向同性的；從今天的經驗來看，這個假設在大於一億秒差距的尺度上是合理的。這個假設要求宇宙的度規具有如下形式：
ds^2 = {a(t)}^2 ds_3^2 - dt^2
其中宇宙標度因子a(t)\,只與時間有關，因而三維空間度規ds_3^2\,必須是下面三種形式之一：
平直空間（曲率處處為零）
具有常數正曲率的三維球面
具有常數負曲率的三維雙曲面
在下面的討論中，這三種情形各自對應著一個參數k的值，分別為0，1，-1。而a(t)\,被稱作宇宙標度因子，它能夠通過愛因斯坦場方程式和宇宙間物質的能量和應力聯繫。
方程式
描述一個均一且各向同性的膨脹宇宙模型需要兩個獨立的弗里德曼方程式，它們是
H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}
這一方程式來自愛因斯坦場方程式的00分量；以及
\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}
這一方程式來自愛因斯坦場方程式的跡。其中G, \Lambda, c\,是普適性常數，而在每一個特定解中k\,也是常數；a, H, \rho, p\,是隨時間變化的函數。這裡H \equiv \frac{\dot{a}}{a}是哈柏參數，表徵著宇宙膨脹的速率；\Lambda是宇宙學常數；G是牛頓的萬有引力常數；c是真空中的光速。k \over a^2是宇宙任意「時間切片」的空間曲率，它在這裡等於里奇純量R\,的六分之一，這是由於在弗里德曼模型中R = \frac{6}{a^2}(\ddot{a} a + \dot{a}^2 + kc^2)。通常我們在選取參數a\,或k\,進行不同情形的討論時它們可以代表兩者不同的含義，但最終所代表的物理模型本質是一樣的。
k = 1, 0, -1\,代表著宇宙的形狀，分別代表著閉合的三維球面、平直（歐幾里得空間）和開放的三維雙曲面[3]，此時的a\,值分別對應著宇宙的曲率半徑（k = 1\,）、在給定時間上的任意正值k = 0\,，以及在k = -1\,的情形下，i \cdot a\,（粗略地）對應著宇宙的曲率半徑。
a\,作為宇宙標度因子，在現在取為1；而k\,在a=1\,時表示宇宙的空間曲率。如果宇宙的形狀是超球面，曲率半徑為R_t\,（在現在的時刻為R_0\,），則a=R_t/R_0\,。如果k\,是正值，則宇宙是超球面；零值時是平直空間；負值時是超雙曲面。
通過第一個方程式，第二個方程式的形式可以寫為
\dot{\rho} = -3 H \left(\rho + \frac{p}{c^2}\right),
這個形式消除了宇宙常數項並體現了質能守恆定律。
有時方程式可以通過如下重新定義來簡化：
\rho \rightarrow \rho + \frac{\Lambda c^2}{8 \pi G}
p \rightarrow p - \frac{\Lambda c^4}{8 \pi G}
從而得到
H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2}
\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = - \frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right).
簡化後第二個方程式在這個變換下具有不變性。
哈柏參數H\,在其他參數隨時間變化（特別是質量密度、真空能量或空間曲率）時也是隨時間變化的；而在當今對哈柏參數的測量表明它在哈柏定律中是一個常數。如果將弗里德曼方程式應用於一個流體的狀態方程式，所得到的宇宙的時空幾何是流體密度的函數。
有些宇宙學家將第二個方程式稱作弗里德曼加速方程式，而只稱第一個方程式為弗里德曼方程式。
密度參數
宇宙的密度參數\Omega\,，定義為宇宙的實際（或觀測）密度與弗里德曼宇宙的臨界密度\Omega_c\,的比值。得到臨界密度需要假設宇宙學常數為零（基本的弗里德曼宇宙正包含這個假設）並使歸一化的空間曲率k\,為零，從而根據第一個方程式得到
\rho_c = \frac{3 H^2}{8 \pi G}.
密度參數因此為
\Omega \equiv \frac{\rho}{\rho_c} = \frac{8 \pi G\rho}{3 H^2}.
這個參數本來是用來判斷宇宙的空間幾何形狀的一種方法，在臨界密度\Omega_c\,時宇宙的形狀是平直的。在真空能量密度為零的假設下，如果密度參數大於一，宇宙在空間上是閉合的，宇宙會最終停止膨脹並開始塌縮；如果密度參數小於一，宇宙在空間上是開放的，宇宙會一直保持膨脹下去。不過，如果將空間曲率和真空能量都一起考慮到密度參數中，也有可能出現密度參數正好等於一的情況，驗證這種情況就需要對宇宙中多個參數進行測量。根據宇宙的ΛCDM模型，密度參數所包含的重要參數還有重子、冷暗物質和暗能量。根據威爾金森微波各向異性探測器（WMAP）對宇宙空間幾何的探測表明，宇宙是接近平直的，即空間曲率k\,為零。
第一個弗里德曼方程式經常用密度參數來表示為
\frac{H^2}{H_0^2} = \Omega_R a^{-4} + \Omega_M a^{-3} + \Omega_k a^{-2} + \Omega_{\Lambda}.
其中\Omega_R\,是宇宙現在的輻射密度（即a = 1\,時的密度），\Omega_M\,是宇宙現在的物質密度（包括重子和暗物質），\Omega_k = 1 - \Omega\,是宇宙現在的空間曲率密度，而\Omega_{\Lambda}\,是宇宙現在的宇宙常數或真空能量密度。
有用的解
在理想流體的情形下，弗里德曼方程式很容易求解；此時的狀態方程式是
p=w\rho c^2,\!
其中p\,是壓力，\rho\,是流體在自身參考系下的質量密度，w\,是一個常數。此時的宇宙標度因子的解為
a(t)=a_0\,t^{\frac{2}{3(w+1)}}
其中a_0\,是能夠根據初始條件得到的積分常數。而w\,在取不同的值時對應著不同的解，這一族解對宇宙學意義非常重要。例如在w = 0\,時對應著物質佔主導地位的宇宙，意味著宇宙中物質的密度遠超過輻射的密度，從一般解中可以看到此時的解為
a(t)\propto t^{2/3} 物質主導宇宙
另一種情形是輻射密度遠大於物質密度，此時對應w = 1/3\,，即
a(t)\propto t^{1/2} 輻射主導宇宙
參考文獻
^ Friedman, A. Über die Krümmung des Raumes. Z. Phys.. 1922, 10: 377–386. doi:10.1007/BF01332580. （德文） (English translation in: Friedman, A. On the Curvature of Space. General Relativity and Gravitation. 1999, 31: 1991–2000. doi:10.1023/A:1026751225741.)
^ Friedmann, A. Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes. Z. Phys.. 1924, 21: 326–332. doi:10.1007/BF01328280. （德文） (English translation in: Friedmann, A. On the Possibility of a World with Constant Negative Curvature of Space. General Relativity and Gravitation. 1999, 31: 2001–2008. doi:10.1023/A:1026755309811.)
^ Ray A d Inverno, Introducing Einstein s Relativity, ISBN 0-19-859686-3.
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