【天地紀。情淚】
併紀:
量子
纏結 遙傳
穿隧 遞迴
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複驗:
弦論
進階
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左旋縈昔
右逝隨風
左顧還情
右盼凝淚
天地 ...
陰陽 ...
虛實 ...
三縈 三映
三纏 三介
三遞 三滅
三環 三迴
時
∞
空
縈蝶 散雪
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萬願
之凝
之逝
莫意 左 右
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天地之心
俱祇
覆願 逝情
碎心 還淚
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~冥曲~:
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=229432410512527&set=a.157808494341586.30481.100003373093628&type=1&theater
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附紀
氫合 魂融
之后
之前
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Index:
氫原子:
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氫原子光譜:
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21公分線:
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普朗克常數:
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球對稱位勢:
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E5%B0%8D%E7%A8%B1%E4%BD%8D%E5%8B%A2
拉普拉斯-龍格-冷次向量:
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因次:
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E7%BA%B2
因次
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因次（Dimension）又稱作量綱或維度、維數、次元，是表示一個物理量由基本量組成的情況。確定若干個基本量後，每個導出量都可以表示為基本量的冪的乘積的形式。引入因次這一概念可以進行因次分析，這既是物理學的基礎，又有著很多重要應用。
目錄
1 引入因次的原因
2 因次及其表示方法
3 因次分析
3.1 因次的乘除計算
3.2 因次法則
3.3 Π定理
3.4 因次分析的主要用處
4 參見條目
5 參考文獻
5.1 書目
5.2 腳註
引入因次的原因
物理學中，不同的物理量有著不同的單位，然而這些單位之間都有相互的聯繫。實際上，恰當地規定一些基本的單位（稱為基本單位），可以使任何其他的單位（稱為導出單位）都表達為這些單位的乘積，將其統一以便於研究各個物理量之間的關系。如，在國際單位制中，功的單位是焦耳（\mathrm{J}），實際上可以表示為「千克平方米每平方秒」（\mathrm{kg \cdot m^{2}/s^{2}}）。
然而，僅僅用單位來表示有著諸多的問題：
在不同的單位制下，各個物理量用單位來表示也會不同，以至於起不到預期的「統一各單位」的效果。如英里每小時（mph）與米每秒（m/s）乍看之下無甚聯繫，然而它們卻都是表示速度的單位。雖然說經過轉換可以將各個基本單位也統一，然而這樣終究不夠直觀，需記憶也不甚方便，而且選擇哪一個單位作為統一單位似乎都不甚公平。
把一個既有的單位表達為拆分了的基本單位的形式實際上沒有任何意義，功的單位無論如何都不是「千克二次方米每二次方秒」，因為實際上這個單位根本不存在，它只是與「焦耳」恰好相等而已。況且，這樣做也會導致一些拆分後相同但實質不同的單位被混淆，如力矩的單位牛米（\mathrm{N \cdot m}）被拆分後也是\mathrm{kg \cdot m^{2}/s^{2}}，然而它與功顯然是完全不同的。
因此我們需要引入一個可以表達導出單位組成的專有方式，於是引入了因次。
因次及其表示方法
將一個物理導出量用若干個基本量的冪之積表示出來的表達式，稱為該物理量的因次乘積式或因次式，簡稱因次。
規定七個基本物理量，在因次中分別用七個字母表示它們的因次，他們是：長度（\mathrm{L}），質量（\mathrm{M}），時間（\mathrm{T}），電流（\mathrm{I}），溫度（\mathrm{\Theta}），物質的量（\mathrm{N}），發光強度（\mathrm{J}）。
則對於任意一個物理量A，都可以寫出下列因次式：
\dim A = \mathrm{L^{\alpha}\,M^{\beta}\,T^{\gamma}\,I^{\delta}\,\Theta^{\epsilon}\,N^{\zeta}\,J^{\eta}}
等號左邊也可以表示為\left[ A \right]。
上式右邊稱為物理量A的因次。其中，\alpha\, \beta\, \gamma\, \delta\, \epsilon\, \zeta\, \eta稱為因次指數。在表示時，七個因次不一定會全部用上。因次指數為1的可以省略指數，指數為0的可以省略對應因次；然而，當所有因次指數皆為0時（稱為無因次），要將因次記為「1」。
显示▼下面舉例說明。
值得注意的是，雖然物理量的因次與取什麼單位無關，但因次卻只有在一定的單位制下才有意義。[1]
因次分析
主條目：因次分析
因次分析（Dimensional Analysis），又叫因次分析，是20世紀初提出的在物理領域中建立數學模型的一種方法。因次分析就是在因次法則的原則下，分析和探求物理量之間關係。
因次分析的基礎是因次法則。而在深層次運用中，幾乎都還會運用到Π定理，以至於有時候把因次分析直接看作了「運用Π定理進行無因次化的過程」。[2]
因次的乘除計算
對於不同物理量之間乘、除法導出新的物理量，因次的計算滿足數學上的指數計演算法則，即：相乘則對應指數相加，相除則對應指數相減。
显示▼下面舉例說明。
因次法則
因次服從的規律稱為因次法則，它有廣泛的應用，一般只指出常用的兩條： 1.只有因次相同的物理量，才能彼此相加、相減和相等； 2.指數函數、對數函數和三角函數的宗量應當是因次1的。 因次法則是因次分析的基礎。若推出的公式不符合因次法則，該式必然是錯誤的。[3]
Π定理
Π定理是由白金漢（E.Buckinghan）於1915年提出的一個定理，故又叫作白金漢定理。其內容為：
設影響某現象的物理量數為n個，這些物理量的基本因次為m個，則該物理現象可用N=n-m個獨立的無因次數群（准數）關係式表示。
用數學方式表示為：
設n個物理量之間滿足函數關係式：
f(X_1,X_2, \cdots ,X_n)=0
其中，X_1,X_2, \cdots ,X_n為物理量。共包含有m個基本因次(m<n)。則上述關係式與下列關係式等價：
F(\Pi_1,\Pi_2, \cdots ,\Pi_k)=0
其中k=n-m,\Pi_1,\Pi_2, \cdots ,\Pi_k為無因次量，F為未知函數關係。
显示▼下面用一個簡單的例子粗略說明一下。
Π定理是因次分析中一個非常重要的定理，它與因次法則是因次分析的兩大方法，它在建立模型和簡化物理過程方面有著巨大的用途。
因次分析的主要用處
因次分析是物理學的基礎之一，更在空氣動力學和流體力學中有重要應用。
可以在不同的單位制間進行導出單位的換算。
显示▼下面舉例說明。
驗證公式。在對一個公式躊躇不定的時候，可以對等號兩邊進行取因次。因為根據因次的一致性，只有因次相同的物理量才能進行相加、相減、相等，故可用該方法排除一部分錯誤。（當然，這並不總是有效。）
显示▼下面舉例說明。
為複雜公式提供線索，簡化複雜物理現象。
显示▼下面舉例說明。
流體力學中諸如亂流、流體阻力之類的問題，理論非常複雜，有時也常採用實驗的方式確定[4]。我們已經看到，在因次法則上建立的Π定理把n元關係式簡化為n-m元關係式，於是在實際計算中我們只需要這n-m個值便可了解該物理過程了。力學涉及三個因次(\mathrm{L}，\mathrm{M}，\mathrm{T})，因此通過無因次化便減少了3個未知量，這實際上大大地簡化了實驗過程和理論計算。[5]
參見條目
量綱分析
參考文獻
書目
鄭永令，賈啟明，方小敏. 《力學（第二版）》. 北京: 高等教育出版社. 2002. ISBN 978-6-04-011084-5.
馬江權. 《化工原理實驗》. 化學工業出版社. 2008. ISBN 978-7-5628-2445-9/TQ135.
談慶明. 《因次分析》. 中國科學技術大學出版社. 2005. ISBN 978-7-312-01803-9.
腳註
^ 流體力學，http://em.sjtu.edu.cn/fluid/neirong/b/B1_51.htm. 上海交大工程力學教育基地 [2009年7月17日].
^ 青礫 - 量綱分析的理論和方法，http://blog.chingli.com/?p=251. 青礫 - 鏤石為飾，刻事於心 [2009年7月18日].
^ 參考《普通物理學教程：力學》中"1.4 單位制和因次"
^ 馬江權. 《化工原理實驗》. 化學工業出版社. 2008 [2009年7月17日]. ISBN 978-7-5628-2445-9/TQ135.
^ 流體力學，http://em.sjtu.edu.cn/fluid/neirong/b/B1_522.htm. 上海交大工程力學教育基地 [2009年7月17日].
1个分类：
物理量
因次分析:
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因次分析
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物理量的因次可以用來分析或檢核幾個物理量之間的關係，這方法稱為因次分析（dimensional analysis）。通常，一個物理量的因次是由像質量、長度、時間、電荷量、溫度一類的基礎物理因次結合而成。例如，速度的因次為長度每單位時間，而計量單位為公尺每秒、英里每小時或其它單位。因次分析所根據的重要原理是，物理定律必需跟其計量物理量的單位無關。任何有意義的方程式，其左手邊與右手邊的因次必需相同。檢查有否遵循這規則是做因次分析最基本的步驟。
推導獲得的方程式或計算結果是否基本上合理，慣常可以用因次分析來檢察。對於較複雜的物理狀況，因次分析也可以用來構築合理假定(參見關聯模型)，然後，做嚴格的實驗加以測試，或用已發展成功的理論仔細檢試。因次分析能夠按照各種物理量的因次，將它們詳細分類。
目錄
1 牛頓相似性原理
1.1 定義
1.2 數學性質
2 例子
3 應用
4 參考來源
5 外部連結
牛頓相似性原理
早在十七世紀，艾薩克·牛頓就已經提出因次分析的基本原理，現在知名為「牛頓相似性原理」[1][2]。在建立因次分析的現代用法上，詹姆斯·馬克士威也扮演了重要的角色，他區分質量、長度、時間的計量單位為「基礎單位」，又將其它單位分類為「衍生單位」[3]。十九世紀法國數學家約瑟夫·傅立葉也做出巨大貢獻。他表明，類似牛頓第二定律 \mathbf{F}=m\mathbf{a} 的物理定律，其方程式應該與計量物理量的單位無關[4]。這引致出重要結論：有意義的定律，對於其方程式的每一個計量單位，這方程式都必需是齊次方程式。這結果最終形式化成為白金漢π 定理（Buckingham π theorem）。假設一個有物理意義的方程式具有 n 個變數與 m 個基礎因次，白金漢π 定理描述怎樣將這方程式等價地重寫為具有 n-m 個無因次參數的方程式。更重要的是，從設定的變數，這定理給出了一種能夠計算這些無因次參數的方法。
通過無因次化（nondimensionalization）技法，一個具有因次的方程式可以降低或消除其因次。這技法首先使用因次分析，這技法使用系統的基礎單位或大自然的自然單位來按比例改變物理量的數值。這技法可以使得物理學者更了解系統的基礎性質。稍後，會有更詳細說明。
定義
一個物理量的因次是質量、長度、時間、電荷量、溫度的結合，分別由符號 M、L、T、Q、Θ代表，每一個都提升至有理數冪。
注意到術語「因次」比尺度「單位」更抽象：質量是一種因次，而公斤是因次為質量的一種尺度單位。對於每一種因次，不同的標準制會規定不同的單位。
例如，物理量速度的因次是長度／時間（L/T或LT −1），物理量作用力的因次是質量×長度／時間（ML/T2 or MLT −2）。原則而言，其它種物理量的因次也可以定義為基礎因次，可以替換上述幾個因次。例如，動量、能量或電流都可以選為基礎因次。
有些物理學者不認為溫度是基礎因次，因為溫度表達為粒子的能量每自由度，這可以以能量（或質量、長度、時間）來表達。有些物理學者不認為電荷量是基礎因次；在厘米-克-秒制內，電荷量可以以質量、長度、時間共同結合在一起來表達。另外，還有一些物理學者懷疑，大自然存在著具有不相容基礎因次的物理量[5]。
計量單位與因次密切相關，但內含的概念大不相同。物理量的單位是由常規定義，與標準制有關。例如，長度的單位可以是公尺、英呎、英哩或微米；但是，任何長度的因次必定是L，這與單位無關。同一個物理量的兩種不同的單位之間，是靠著轉換因子（conversion factor）從一個單位轉換到另一個單位。例如，1 in = 2.54 cm，注意到在這裡「2.54 cm/in」是轉換因子，不具有因次，其數值等於1。因此，假若將任何物理量乘以轉換因子，得到的結果數值不變。因次符號與因次符號之間，沒有轉換因子。
數學性質
主條目：白金漢π定理
因次符號，像L，形成一個群：
這群的運算方法是乘法，Ln×Lm = Ln+m。因此，這種運算方法符合閉包律
單位元是L0 = 1。因次為L0的物理量是無因次物理量。
逆元是1/L or L−1。
L提升至任意有理數冪p，Lp也是群的元素。其逆元是L−p或1/Lp。
因次符號形成一個有理數的向量空間。例如，因次符號MiLjTk對應於向量(i,j,k)。當兩個物理量（不論其因次是否相同）相乘或相除，它們的因次也同樣的相乘或相除，這對應於相加或相減於向量空間。當物理量提升至有理數冪，其因次也會提升至同樣的有理數冪，這對應於純量乘法於向量空間。
給定因次符號的向量空間，其基底是以基礎因次為元素的集合，所有其它向量稱為衍生因次。如同在任何向量空間，有不同的基底可供自由選擇，這會造成不同的單位制。例如，選擇電荷量單位是衍生於電流單位，或反之亦可。
無因次物理量對應於向量空間的原點。
白金漢 π 定理（Buckingham π theorem）闡明，對於某個物理問題，如果存在 n 個變數， 其中有 m 個基本量，則存在 n-m 個獨立的無因次參數，即可以將 n 個變數組合成 n-m 個無因次 π 數。
以簡單擺運動為例，這個物理問題存在5個變數：擺球的質量 m、 擺線的長度 l、擺角\theta、時間 t 和重力加速度 g，其中有3個基本量：質量、長度和時間，則存在2個獨立的無因次 π 數，如 \Pi_1 = \sqrt{l/gt^2} 和 \Pi_2 = \theta。
例子
力可以透過艾薩克·牛頓著名的公式
F = ma = m \frac{d^2x}{dt^2} = m \frac{d}{dt} \frac{dx}{dt}
做因次分析，[M]代表質量因次，[L]代表長度因次，[T]代表時間因次，則為：
[F] = [M][L][T^{-2}] \,
相應地，力的國際單位牛頓(N)的定義是：
N = kg \cdot \frac{m}{s^2}，即公斤(kg)·米(m)·秒(s)負二次方。
若力沿著一定路徑作功：
W = \int_{x_0}^{x_1} F dx
可以看出因次上：
[W] = [F][L] = [M][L^2][T^{-2}] \,
另外，非相對論（即古典力學裡）動能的定義：
E_k = \frac{1}{2} m (\frac{dx}{dt})^2
其因次為：
[E_k] = [M]([L][T^{-1}])^2 = [M][L^2][T^{-2}] \,
因次和功相同。這也和功能定理相應。
應用
透過因次分析可以對物理推導過程進行檢驗，確認前後是否一致無誤。
此外，一些物理學上的演繹是透過因次分析而生的，例如普朗克長度、普朗克時間與普朗克質量。它們的出現最先是透過將普朗克常數、光速、重力常數三項常數組合出長度因次、時間因次、質量因次而衍生得到它們應該具有的數值。
參考來源
^ Price, Bartholomew, A treatise on infinitesimal calculus, containing differential and integral calculus, calculus of variations, applications to algebra and geometry, and analytical mechanics, Volume 4, University Press. 1862: pp. 119ff
^ Stahl, Walter R, Dimensional Analysis In Mathematical Biology, Bulletin of Mathematical Biophysics. 1961, 23: 355
^ Roche, John J, The Mathematics of Measurement: A Critical History, London: Springer. 1998: 203, ISBN 978-0387915814, "Beginning apparently with Maxwell, mass, length and time began to be interpreted as having a privileged fundamental character and all other quantities as derivative, not merely with respect to measurement, but with respect to their physical status as well."
^ Mason, Stephen Finney, A history of the sciences, New York: Collier Books. 1962: 169, ISBN 0-02-093400-9
^ M. J. Duff, L. B. Okun and G. Veneziano, Trialogue on the number of fundamental constants, JHEP 0203, 023 (2002) preprint.
外部連結
阿草的葫蘆--文化活動中的數學
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