【七殤】
紀:
二零一二 七夕鵲橋 之際
AD:2012-08-24-AM:00:35
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一念七落 心魂皆殤
塵劫莫念
天河
情
長
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七步拈指若成詩
五感恆依散無常
三界震顫魂為碎
一念低眉時成往
夢輕輕 憶何長
蝶翩翩 落魂殤
一笑眸迴緣癡纏
三生轉世願何償
五天無情莫與憐
七姊紫袖淚凝霜
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∞
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拈指散雪蝶夢遠
一念七落魂成殤
紫晶星霎天河遙
織女淚墜癡情長
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~M.T.S.~:
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=236156693173432&set
=a.157808494341586.30481.100003373093628&type=1&theater
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Double Seventh Day（七夕节）：Chinese Valentine s Day. :
http://www.youtube.com/watch?v=97usD4HTBZE&feature=player_embedded
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圓周率
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汉漢▼
手寫體的π
如果一個圓的直徑是1，它的圓周便是π
數學的數
基本
\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}
自然數 \mathbb{N}
整數 \mathbb{Z}
二進分數
有限小數
循環小數
有理數 \mathbb{Q}
高斯整數 \mathbb{Z}[i]
代數數 \mathbb{A}
實數 \mathbb{R}
複數 \mathbb{C}
負數
分數
單位分數
無限小數
規矩數
無理數
超越數
二次無理數
虛數
艾森斯坦整數 \mathbb{Z}[\omega]
延伸
雙複數
四元數 \mathbb{H}
共四元數
八元數 \mathbb{O}
超數
上超實數
超現實數
超複數
十六元數 \mathbb{S}
複四元數
Tessarine
大實數
超實數 {}^\star\mathbb{R}
其他
對偶數
雙曲複數
序數
質數
同餘
可計算數
艾禮富數
公稱值
超限數
基數
P進數
規矩數
整數序列
數學常數
圓周率 π = 3.141592653…
自然對數的底 e = 2.718281828…
虛數單位 i = +\sqrt{-1}
無窮大量 ∞
圓周率，一般以π來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數，是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何量的關鍵值，其定義為圓的周長與直徑的比值。\pi\,也等於圓的面積與半徑平方的比值。
在分析學裡，\pi \,可以嚴格定義為滿足\sin(x)=0\,的最小正實數x\,，這裡的\sin()\, 是正弦函數（採用分析學的定義）。
目錄
1 近似值
2 π的計算及歷史
2.1 實驗時期
2.2 幾何法時期——反覆割圓
2.3 分析法時期——無窮級數
2.4 電腦時代
2.5 年表
3 π的特性和相關公式
3.1 代數
3.2 數學分析
3.3 數論
3.4 機率論
3.5 動態系統／遍歷理論
3.6 物理學
3.7 統計學
4 精度高π的應用
5 尚待解決的問題
6 批評
7 文化
7.1 背誦π的位數
8 π在數學外的用途
9 注釋
10 相關條目
11 外部連接
近似值
常用π的十進位近似值為3.141592654，另外還有由祖沖之給出的約率：\frac{22}{7}及密率：\frac{355}{113}[1]。
一般教育使用的π值只取3.14或\frac{22}{7}，超過3.14159265358979323846264338327950288
之後的位數就較鮮為人知了。
巴比倫人曾使用六十進制的圓周率，數值為
3.8,29,44,0,47,25,53,7,24,57,
36,17,43,4,29,7,1,3,41,17,
52,36,12,14,36,44,51,5,15,33,
7,23,59,9,13,48,22,12,21,45,
22,56,47,39,44,28,37,58,23,21,
11,56,33,22,4,42,31,6,6,4。[2]
π≈3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952 0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151 5574857242 4541506959
π的計算及歷史
由於π的無理性，所以只能以近似值的方法計算π。對於一般應用3.14或\frac{22}{7}已足夠，但工程學常利用3.1416（5位有效數字）或3.14159（6位有效數字）。至於密率\frac{355}{113}（3.1415929203539823008849557522124........）則是一個易於記憶（三個連續奇數：113355），且精確至7位有效數字的分數近似值。
而在2009年末，有科學家已經用超級電腦計算出圓周率暫時計到小數點後2萬9千億個小數位。
而在2010年8月，日本男子近藤茂利用自己組裝硬盤容量達32TB的電腦，計算出圓周率小數點後5萬億個小數位。[3]
而在2011年10月19日，日本程序員JA0HXV宣布他已經將圓周率Pi計算到小數點後10萬億位[4]
實驗時期
中國古籍云：「徑一周三」[5]，意即取π=3。
公元前17世紀的埃及古籍《阿美斯紙草書》（Ahmes，又稱「阿梅斯草片文書」；為英國人Alexander Henry Rhind（萊茵德）於1858年發現，因此還稱「萊茵德紙草書」 Rhind Papyrus）是世界上最早給出圓周率的超過十分位的近似值，為256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81)或3.160。
在阿基米德以前，π值的測定依靠實物測量。
幾何法時期——反覆割圓
阿基米德用正96邊形割圓術得出圓周率介於3\frac{1}{7}與3\frac{10}{71}之間。
公元263年，中國數學家劉徽用「割圓術」計算圓周率，他先從圓內接正六邊形，逐次分割為12、24、48、96、192邊形。他說「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」（分割愈精細，誤差愈少。分割之後再分割，直到不能再分割為止，它就會與圓周完全重疊，就不會有誤差了），其中有求極限的思想。劉徽給出π=3.141024的圓周率近似值，並以{157 \over 50}=3.14（徽率）為其分數近似值。
公元466年，中國數學家祖沖之將圓周率算到小數點後6位的精確度，這一紀錄在世界上保持了一千年之久。同時，祖沖之給出了{355 \over 113}（密率）這個很好的分數近似值，它是分母小於10,000的簡單分數中最接近π的。為紀念祖沖之對圓周率發展的貢獻，日本數學家三上義夫將這一推算值命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。可惜祖沖之的著作《綴術》已經亡佚，後人無從得知祖沖之如何估算圓周率的值。
錢大昕的《十駕齋養新錄》卷第十七首條〈圓徑周率〉引《隋書律曆志》：「古之九數，圓周率三圓徑率一，其術疏舛，自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設新率，未臻折衷。宋末南徐州從事史祖沖之更開密率，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三（刻本作二，誤）丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間，密率圓徑一百一十三，圓週三百五十五，約率圓徑七，周二十二。又設開差冪、開差立，兼以正圓參之，指要精密，算氏之最者也。」
分析法時期——無窮級數
這一時期人們開始擺脫利用割圓術的繁複計算，開始利用無窮級數或無窮連乘積求π。
魯道夫·范·科伊倫（約1600年）計算出π的小數點後首35位。他對此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。
斯洛維尼亞數學家Jurij Vega於1789年得出π的小數點後首140位，其中有137位是正確的。這個世界紀錄維持了五十年。他利用了John Machin於1706年提出的數式。
所有以上的方法都不能快速算出π。第一個快速演算法由梅欽在1706年提出：
\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}
其中arctan(x)可由泰勒級數算出。類似方法稱為「梅欽類公式」。
電腦時代
上萬位以上的小數位值通常利用高斯-勒讓德演算法或波溫演算法；另外以往亦曾使用於1976年發現的薩拉明-布倫特演算法。
第一個π和1/π的小數點後首一百萬位利用了古騰堡計劃。最新紀錄是2002年9月得出的1,241,100,000,000個小數位，由擁有1TB主記憶體的64-node日立超級電腦，以每秒200億運算速度得出，比舊紀錄多算出一倍（206億小數位）。此紀錄由以下梅欽類公式得出：
\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443} (K. Takano, 1982年)
\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943} (F. C. W. Störmer, 1896年)
這麼多的小數位沒什麼實用價值，只用以測試超級電腦。
1996年，David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙·普勞夫發現了π的其中一個無窮級數：
\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)
以上述公式可以計算π的第n個二進位或十六進位小數，而不需先計算首n-1個小數位。此類π演算法稱為貝利－波爾溫－普勞夫公式。請參考Bailey s website 上相關程式。
法布里斯·貝拉於1997年給出了計算機效率上高出上式47%的BBP演算法：
\pi = \frac{1}{2^6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{(-1)}^n}{2^{10n}} \left( - \frac{2^5}{4n+1} - \frac{1}{4n+3} + \frac{2^8}{10n+1} - \frac{2^6}{10n+3} - \frac{2^2}{10n+5} - \frac{2^2}{10n+7} + \frac{1}{10n+9} \right)
請參考Fabrice Bellard s PI page 。
其他計算圓周率的公式包括：
\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k!)(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} (拉馬努金Ramanujan)
\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}} (David Chudnovsky及Gregory Chudnovsky)
\pi = \frac {426880 \sqrt {10005}} {\sum_{k=0}^\infty \frac {(6n)!\ (545140134n + 13591409)} { (n!)^3\ (3n)!\ (-640320)^3n}} [2]
編寫電腦程式時，也可以利用反三角函數直接定義\pi值，但是編譯器必須具備三角函數的函式庫：
利用正弦函數
\sin\left(\pi / 2 \right)=1
\pi=2*\arcsin\left(1 \right)
利用餘弦函數
\cos\left(\pi \right)=-1
\pi=\arccos\left(-1 \right)
年表
日期 計算者 π的值
(世界紀錄用粗體表示)
前20世紀 埃及人Rhind Papyrus （16/9）² = 3.160493...
前19世紀 巴比倫人 25/8 = 3.125
前12世紀 中國人 3
前9世紀 印度人Shatapatha Brahmana 339/108 = 3.138888...
前6世紀中 聖經列王記上7章23節 3
前434年 阿那克薩哥拉嘗試通過尺規作圖來化圓為方
約前250年 阿基米德 223/71 <π<22/7
(3.140845... <π <3.142857...)
211875/67441 = 3.14163491...
前20年 Vitruvius 25/8 = 3.125
前50年－23年 劉歆 3.1547[6]
130年 張衡 92/29 = 3.17241...[6]
√10 = 3.162277...
730/232 = 3.146551...
150年 托勒密 377/120 = 3.141666...
250年 王蕃 142/45 = 3.155555...
263年 劉徽 3.141024 <π <3.142104
3927/1250=3.1416
400年 何承天 (南朝) 111035/35329 = 3.142885...
480年 祖沖之 3.1415926 <π<3.1415927
3.1415929......
499年 Aryabhatta 62832/20000 = 3.1416
640年 Brahmagupta √10 = 3.162277...
800年 花拉子密 3.1416
1150年 Bhaskara 3.14156
1220年 比薩的列奧納多 3.141818
以後的紀錄都僅記錄小數點後多少位，而不給出實際數值
1400年 Madhava發現π的無窮冪級數，現在稱為萊布尼茲公式 11位小數
13位小數
1424年 Jamshid Masud Al Kashi 16位小數
1573年 Valenthus Otho，算出來的數值為355/113 6位小數
1579年 Francois Viete 9位小數
1593年 Adriaen van Roomen 15位小數
1596年 魯道夫·范·科伊倫 20位小數
1615年 32位小數
1621年 威理博·司乃耳, 范·科伊倫的學生 35位小數
1665年 牛頓 16位小數
1681年 關孝和 11位小數
16位小數
1699年 Abraham Sharp 71位小數
1700年 Seki Kowa 10位小數
1706年 John Machin 100位小數
1706年 William Jones引入希臘字母π
1719年 De Lagny計算了127個小數位，但並非全部是正確的 112位小數
1722年 Toshikiyo Kamata 24位小數
1722年 Takebe 41位小數
1739年 Matsunaga 50位小數
1748年 萊昂哈德·歐拉引入希臘字母π並肯定其普及性
1761年 約翰·海因里希·蘭伯特證明π是無理數
1775年 歐拉指出π是超越數的可能性
1794年 Jurij Vega 計算了140個小數位，但並非全部是正確的 137位小數
1794年 阿德里安-馬里·勒讓德證明π²是無理數（則π也是無理數），並提及π是超越數的可能性
1841年 Rutherford計算了208個小數位，但並非全部是正確的 152位小數
1844年 Zacharias Dase及Strassnitzky計算了205個小數位，但並非全部是正確的 200位小數
1847年 Thomas Clausen計算了250個小數位，但並非全部是正確的 248位小數
1853年 Lehmann 261位小數
1853年 Rutherford 440位小數
1855年 Richter 500位小數
1874年 en:William Shanks耗費15年計算了707位小數，可惜1946年D. F. Ferguson發現其結果非全對 527位小數
1882年 Lindemann證明π是超越數（林德曼-魏爾斯特拉斯定理）
1910年 Srinivasa Ramanujan發現幾個π的快速收斂無窮級數。
1946年 D. F. Ferguson使用桌上計算器 620位小數
1947年 伊萬·尼雲給了一個非常初等的π是無理數的證明。
1947年1月 D. F. Ferguson使用桌上計算器 710位小數
1947年9月 808位小數
1949年 D. F. Ferguson和J. W. Wrench爵士使用桌上計算器 1,120位小數
1949年 J. W. Wrench爵士和L. R. Smith首次使用電腦（ENIAC）計算π，以後的記錄都用電腦來計算的 2,037位小數
1953年 Mahler證明π不是劉維爾數
1954年 J. W. Wrench, Jr，及L. R. Smith 3,092位小數
1957年 G.E.Felton 7,480位小數
1958年1月 Francois Genuys 10,000位小數
1958年5月 G.E.Felton 10,020位小數
1959年 Francois Genuys 16,167位小數
1961年 IBM 7090電晶體計算機 20,000位小數
1961年 Daniel Shanks和John Wrench 100,265位小數
1966年 Jean Guilloud和J. Filliatre 250,000位小數
1967年 Jean Guilloud和M. Dichampt 500,000位小數
1973年 Jean Guilloud和Martin Bouyer 1,001,250位小數
1981年 Kazunori Miyoshi和金田康正 2,000,036位小數
1981年 Jean Guilloud 2,000,050位小數
1982年 Yoshiaki Tamura 2,097,144位小數
1982年 Yoshiaki Tamura和金田康正 4,194,288位小數
1982年 8,388,576位小數
1983年 金田康正，Sayaka Yoshino和Yoshiaki Tamura 16,777,206位小數
1983年10月 Yasunori Ushiro和金田康正 10,013,395位小數
1985年10月 Bill Gosper 17,526,200位小數
1986年1月 David H. Bailey 29,360,111位小數
1986年 金田康正 33,000,000位小數
1986年 67,000,000位小數
1987年 134,000,000位小數
1988年 201,000,000位小數
1989年 楚諾維斯基兄弟 480,000,000位小數
1989年 535,000,000位小數
1989年 金田康正 536,000,000位小數
1989年 楚諾維斯基兄弟 1,011,000,000位小數
1989年 金田康正 1,073,000,000位小數
1992年 2,180,000,000位小數
1994年 楚諾維斯基兄弟 4,044,000,000位小數
1995年 金田康正和高橋 4,294,960,000位小數
1995年 6,000,000,000位小數
1996年 楚諾維斯基兄弟 8,000,000,000位小數
1997年 金田康正和高橋 51,500,000,000位小數
1999年 68,700,000,000位小數
1999年 206,000,000,000位小數
2002年 金田康正的隊伍 1,241,100,000,000位小數
2009年 高橋大介[7] 2,576,980,370,000位小數
2009年 法布里斯·貝拉 2,699,999,990,000位小數
2010年 近藤茂 5,000,000,000,000位小數
2011年 近藤茂 10,000,000,000,000位小數
2011年IBM 藍色基因/P超級電腦[8]算出π2的60,000,000,000,000位二進制小數。
π的特性和相關公式
幾何：
若圓的半徑為r，則其圓周為C = 2πr
若圓的半徑為r，則其面積為A =πr2
若橢圓的長、短兩軸分別為a 和 b ，則其面積為A = πab
若球體的半徑為 r，則其體積為 V = (4/3)πr3
若球體的半徑為r，則其表面積為 A = 4πr2
角：180度相等於π弧度
環面的體積和表面積公式
A = 4 \pi^2 R r = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,
V = 2 \pi^2 R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,
R是管子的中心到畫面的中心的距離， r是圓管的半徑。
代數
π是個無理數，即不可表達成兩個整數之比，是由Johann Heinrich Lambert於1761年證明的。 1882年，Ferdinand Lindemann更證明了π是超越數，即不可能是任何有理數多項式的根。
圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規作圖問題的可能性，因所有尺規作圖只能得出代數數。
數學分析
\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} (Leibniz定理)
\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} (Wallis乘積)
\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}(由歐拉證明，參見巴塞爾問題)
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n (斯特林公式)
e^{\pi i} + 1 = 0\; (歐拉公式)
π有個特別的連分數表示式：
\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}
π本身的連分數表示式(簡寫)為[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,...]，其近似部分給出的首三個漸近分數
3 + \frac{1}{7} = \frac{22}{7}
3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15}} = \frac{333}{106}
3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15 + \frac{1}{1}}} = \frac{355}{113}
第一個和第三個漸近分數即為約率和密率的值。數學上可以證明，這樣得到的漸近分數，在分子或分母小於下一個漸進分數的分數中，其值是最接近精確值的近似值。
(另有12個表達式見於[3] )
數論
兩個任意自然數是互質的機率是\frac{6}{\pi^2}。
任取一個任意整數，該整數沒有重複質因數的機率為\frac{6}{\pi^2}。
一個任意整數平均可用\frac{\pi}{4}個方法寫成兩個完全數之和。
機率論
取一枚長度為l的針，再取一張白紙在上面畫上一些距離為2l的平行線。把針從一定高度釋放，讓其自由落體到紙面上。針與平行線相交的機率是圓周率的倒數（泊松針）。曾經有人以此方法來尋找π的值。
動態系統／遍歷理論
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}
對[0, 1]中幾乎所有x0，其中 xi是對於r=4的邏輯圖像迭代數列。
物理學
\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi} (海森堡不確定性原理)
R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik} (相對論的場方程)
統計學
f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}} （此為常態分配的機率密度函數）
精度高π的應用
一般工程或天文運算不需要成千上萬位精確度的π，因為40位精確度的π已經足以計算誤差小於一個質子大小的銀河系圓周。現今精度高π應用於電腦軟硬體的測試，以不同的演算法計算π而結果誤差大代表電腦系統可能出問題。[9] [10]
尚待解決的問題
關於π未解決的問題包括：
它是否是一個正規數，即π的十進位運算式是否包含所有的有限數列？對於二進位運算式，答案是肯定的，這是Bailey及Crandall於2000年從Bailey-Borwein-Plouffe方程的存在而引申出來的。
0,...,9是否以完全隨機的形態出現在π的十進位運算式中？若然，則對於非十進位運算式，亦應有類似特質。
究竟是否所有0,...,9都會無窮地在π的小數運算式中出現？
到底超級電腦計算出來的上億位的圓周率是否正確？
批評
近年來，有部分學者認為約等於3.14的π「不合自然」，應該用雙倍於π、約等於6.28的一個常數代替。支持這一說法的學者認為在很多數學公式2π很常見，很少單獨使用一個π。美國哈佛大學物理學教授的麥可·哈特爾稱「圓形與直徑無關，而與半徑相關，圓形由離中心一定距離即半徑的一系列點構成」。並建議使用希臘字母τ來代替π[11][12][13]。
美國數學家鮑勃·帕萊（Bob Palais）於2001年在《數學情報》（The Mathematical Intelligencer）上發表了一篇題為《π 是錯誤的！》（π Is Wrong!）的論文。在論文的第一段，鮑勃·帕萊說道：
幾個世紀以來，π 受到了無限的推崇和讚賞。數學家們歌頌 π 的偉大與神秘，把它當作數學界的象徵；計算器和程式語言里也少不了 π 的身影；甚至有 一部電影 就直接以它命名⋯⋯但是，π 其實只是一個冒牌貨，真正值得大家敬畏和讚賞的，其實應該是一個不幸被我們稱作 2π 的數。
美國數學家麥克·哈特爾（Michael Hartl） 建立了網站 tauday.com ，呼籲人們用希臘字母 τ（發音：tau）來表示「正確的」圓周率 C/r。並建議大家以後在寫論文時，用一句「為方便起見，定義 τ = 2π 」開頭。
著名的 Geek 漫畫網站 spikedmath.com 建立了 thepimanifesto.com ，裡邊有一篇洋洋灑灑 數千字的 π 宣言。宣稱圓周率定義為周長與直徑之比有優越性。在衡量圓柱形物體的截面大小時，直徑比半徑更方便測量。
文化
背誦π的位數
圓周率背誦世界記錄的趨勢
世界記錄是100000位，日本人原口証於2006年10月3日背誦圓周率π至小數點後100000位。[14]
普通話用諧音記憶的有「山巔一寺一壺酒，爾樂苦煞吾，把酒吃，酒殺爾，殺不死，樂而樂」，就是3.1415926535897932384626。 另一諧音為：「山巔一石一壺酒，二侶舞仙舞，罷酒去舊衫，握扇把市溜」，就是3.14159265358979323846。
在英文，會使用英文字母的長度作為數字，例如「How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard, and if the lectures were boring or tiring, then any odd thinking was on quartic equations again.」就是3.1415926535897932384626433832795。
π在數學外的用途
在Google公司2005年的一次公開募股中，集資額不是通常的整頭數，而是$14,159,265，這當然是由π小數點後的位數得來。（順便一提，谷歌公司2004年的首次公開募股，集資額為$2,718,281,828，與數學常數e有關）
排版軟體TeX從第三版之後的版本號為逐次增加一位小數，使之越來越接近π的值：3.1，3.14，……當前的最新版本號是3.1415926
3月14日為圓周率日
注釋
^ 錢大昕的《十駕齋養新錄》卷第十七首條〈圓徑周率〉
^ 60進制下60個小數位的圓周率
^ 日男砌機 計圓周率小數點5萬億位
^ [1]
^ 《周髀算經》注中，趙爽指出「圓徑一而周三，方徑一而匝四」。
^ 6.0 6.1 《\pi和e》，夏道行，商務印書館，第10頁，ISBN 962-07-2007-5
^ 筑波大學計算科學研究中心准教授，以超級電腦T2K筑波システム耗費73小時36分計算而得
^ Supercomputers Crack Sixty-Trillionth Binary Digit of Pi-Squared. energy.gov. April 28, 2011 [2011-05-05].
^ The Quest for Pi
^ Pi goes on forever
^ 有學者認為圓周率定義不合理 要求改為6.28. 網易. 2011-6-30 [2011-6-30] （簡體中文）.
^ Landau, Elizabeth. On Pi Day, is pi under attack?. CNN. 14 March 2011 [15 March 2011].
^ Michael Hartl. The Tau Manifesto. 28 June 2010 [12 January 2011].
^ The Japan Times - How can anyone remember 100,000 numbers?
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精細結構常數是物理學中一個重要的無因次量，常用希臘字母α表示。其定義為
\alpha = \frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\hbar c}
或者:\alpha = \frac{e^{2}}{2\varepsilon_{0}hc}
其中：
e是基本電荷
\varepsilon_{0}是真空電容率
\hbar是約化普朗克常數，h是普朗克常數
c是光速
根據2002年CODATA的推薦值，
\alpha=7.297352568(24)\times 10^{-3}=\frac{1}{137.03599911(46)}
近似計算可以取1/137。
目錄
1 精細結構常數的引入
2 精細結構常數的物理含義
3 精細結構常數是否隨時間變化？
4 進一步閱讀
5 參考文獻
6 外部連結
精細結構常數的引入
1913年丹麥物理學家波耳發表了波耳原子模型。波耳原子模型假設電子只能在一系列特定能量的軌道上繞原子核做圓周運動。當電子從一個能級跳到另一個能級上時，就會發射或者吸收與能級之間能量差相對應的光子。波耳原子模型很好地解釋了氫原子光譜線的分布規律。
然而進一步研究發現，氫原子光譜線具有精細結構，原先的一條譜線實際上是有幾條靠得很近的譜線組成的，波耳原子模型不能解釋光譜的精細結構。
德國物理學家索末菲在波耳原子模型的基礎上做了一些改進，建立了索末菲模型。在這個模型中，索末菲認為電子繞原子核運動的軌道不一定是正圓形，而是橢圓形。電子的軌道能級不僅與波耳模型中的主量子數 n 有關，還與角量子數有關。不同角動量量子數的軌道之間的能級差正比於某個無因次常數的平方。這個無因次常數是索末菲在解釋光譜的精細結構時引入的，因此被稱為精細結構常數。
引入精細結構常數後，波耳模型中電子的運動速度和能級可以表示成更為簡潔的形式：
v_{n}=\frac{\alpha c}{n}
E_{n}=-\frac{1}{2}m_{e}(\frac{\alpha c}{n})^{2}=-\frac{\alpha ^{2}}{2n^{2}}E_{0}
其中E0是電子的靜質量能。
因此，原子光譜中，能級的粗結構主要是由庫侖交互作用引起的，能量為α2E0數量級。
圖中是美國物理學家費米。黑板上第二行寫的就是精細結構常數，不過這裡寫錯了。
精細結構常數的物理含義
引入精細結構常數後，人們對它物理含義的第一個解釋就是波耳模型中處於基態的電子運動速度與光速的比值。然而隨著量子力學的發展，薛丁格方程式建立起來，人們開始用電子云和機率描述核外電子，拋棄了電子具有古典理論中確定的軌道和速度的概念。
英國物理學家狄拉克把量子波動力學與相對論相結合，提出電子的相對論性量子力學方程式——狄拉克方程式。狄拉克方程式認為光譜的精細結構是由電子的自旋-軌道作用引起的，是一種相對論效應，能量為α4E0數量級，是粗結構的α2倍。隨後發展起來量子電動力學將精細結構常數賦予了更深刻的含義。量子電動力學認為，精細結構常數是電磁交互作用中電荷之間耦合強度的度量，表徵了電磁交互作用的強度。精細結構常數的數值無法從量子電動力學推導出，只能通過實驗測定。在量子電動力學中，電子之間通過相互交換光子而發生交互作用。相互交換光子的複雜程度對最終結果的貢獻隨光子的吸收或發射次數呈指數式下降，這個指數的底就是精細結構常數。也就是說，任何電磁現象都可以用精細結構常數的冪級數來表達。
在描述強交互作用的量子色動力學和描述弱交互作用的電弱統一理論中，都有類似量子電動力學中交換粒子的過程，也具有類似的精細結構常數——耦合常數。耦合常數的大小表徵交互作用的強度。強交互作用的耦合常數約為1，比電磁交互作用的精細結構常數大得多，因此強交互作用的強度也比電磁交互作用強很多。相比之下，弱交互作用的耦合常數約為10-13，重力交互作用的耦合常數則為10-39。
精細結構常數將電動力學中的電荷e、量子力學中的普郎克常數h、相對論中的光速c聯繫起來，是無法從第一性原理出發導出的無因次常數，其大小為什麼約等於1/137至今尚未得到滿意的回答。歷史上很多物理學家和數學家嘗試了各種各樣的方法，試圖推導出精細結構常數的數值，但至今無法得到令人信服的結果。英國著名天文學家、物理學家愛丁頓曾試圖使用純邏輯的方法斷言精細結構常數的倒數等於整數137，然而實驗數據表明精細結構常數的倒數並不是整數。著名物理學家費曼曾說：
這個數字自五十多年前發現以來一直是個謎。所有優秀的理論物理學家都將這個數貼在牆上，為它大傷腦筋……它是物理學中最大的謎之一，一個該死的謎：一個魔數來到我們身邊，可是沒人能理解它。你也許會說「上帝之手」寫下了這個數字，而我們不知道他是怎樣下的筆。
精細結構常數是否隨時間變化？
1938年，英國物理學家狄拉克提出了大數假說，認為萬有引力常數G是隨時間變化的。1948年美國物理學家愛德華·特勒等人提出，精細結構常數與萬有引力常數之間有聯繫，因此精細結構常數也是隨時間變化的，現在正以約每年3萬億分之一的速度在增大。如果精細結構常數是隨時間變化的，那麼包括相對論在內的現有許多物理學理論都要進行修正。很多物理學家致力於測量精細結構常數隨時間的變化情況。
美國宇航局噴氣推進實驗室的研究人員精確測量了銫原子鐘、汞離子鍾和氫原子微波激射器的頻率在140天內的相對頻率漂移。結果發現，在現階段，精細結構常數的變化率不超過每年30萬億分之一，約為大數假說預言的十分之一。基本否定了狄拉克的大數假說。
在精細結構常數是否發生變化的爭論中，討論最多的是來自奧克勞天然核反應爐的數據。這是目前已知的世界上唯一一座天然核反應爐，位於加彭的奧克勞。它形成於大約20億年前，持續了數十萬年。研究人員測量了奧克勞鈾礦中釤149的中子散射截面，發現20億年來強交互作用的精細結構常數的變化率不超過十億分之四，年相對變化率不超過 2 × 10-19，遠低於狄拉克大數假說的數值。儘管得到的是強交互作用的精細結構常數變化率的數值，但是科學家們傾向於認為，如果精細結構常數的變化是由光速的改變引起的，那麼強交互作用的精細結構常數與電磁作用的精細結構常數的變化應該是一致的。但是2004年，美國洛斯阿拉莫斯國家實驗室的史蒂夫·拉莫萊克斯等人重新分析了奧克勞天然核反應爐的數據，認為從奧克洛天然核反應爐形成以來，精細結構常數的數值至少減少了4.5×10-8。
類星體是位於宇宙遙遠位置的天體，類星體發出的光穿過瀰漫在宇宙中的氣體雲，形成吸收線。通過測量類星體光譜中的吸收線，可以得到幾十億到上百億年前精細結構常數的信息。澳大利亞新南威爾斯大學的天體物理學家韋伯領導的一個小組通過比較類星體光譜中不同元素吸收線的位置變化，將精細結構常數變化的測量精度提高了一個數量級。他們發現在宇宙早期大約0.5<z<3.5的紅移範圍內，精細結構常數比現在小大約百萬分之7[1]。2001年這一結果發表後，立刻引起一陣轟動。一些媒體宣稱「愛因斯坦的相對論被推翻了」，掀起了新一波「推翻相對論」的浪潮。然而反對者認為，韋伯等人結果的可靠性尚存在爭議。而即使精細結構常數發生了改變，未必意味著光速發生了變化。在未得到進一步確認前，認為「相對論被推翻」為時過早。
2004年6月，德國的一些研究人員以很高的精度測量了原子鐘的數據，並未發現精細結構常數在1999年至2003年間有10-15數量級上的變化。2004年4月，韋伯小組中來自劍橋大學的邁克·墨菲宣布，他們利用夏威夷的凱克望遠鏡研究了143個類星體的光譜，認為精細結構常數在過去10億年間大約改變了20萬分之一[2]。有消息稱，歐洲太空總署計劃於2006年在環地軌道上進行一次比墨菲小組的精度還要高100倍的原子鐘實驗，有望進一步測量精細結構常數的變化。
進一步閱讀
閒話精細結構常數
PhysicsWeb: Are the laws of nature changing with time?
參考文獻
^ J.K.Webb et al.Phys.Rev.Lett.87,091301(2001)
^ Michael Murphy s Research
外部連結
精細結構常數可能並不是常數
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大尺度結構在物理宇宙學中是描述可觀測宇宙在大範圍內（典型的尺度是十億光年）質量和光的分佈特徵。巡天和各種不同電磁波輻射波長的調查和描繪，特別是21公分輻射，獲得了許多宇宙結構的內容和特性。結構的組織看起來是跟隨著等級制度的模型，以超星系團和纖維狀結構的尺度為最上層，再大的似乎就沒有連續的結構了，這所指的就是偉大的結局現象。
目錄
1 巨牆、纖維狀結構和空洞
2 偉大的結局（End of Greatness）
3 觀測
4 我們鄰近的星系影像圖
5 模型
6 參考資料
7 延伸讀物
8 外部鏈結
巨牆、纖維狀結構和空洞
結構的組織爭議開始於恆星的層次，雖然多數的宇宙學家很少在天體物理學中研究這個尺度。恆星是星系內的組織，星系則組織成星系群、星系團和被巨大的空洞分隔的超星系團。在1989年之前，一般的假設是均巧的星系團是存在的最大結構，並且在宇宙的各個方向上的分佈或多或少都是均勻的。然而，建立在紅移觀測的資料上，Margaret Geller 和John Huchra在1989年發現了長城，由星系組成的長5億光年、寬2億光年、厚1500萬光年的結構。這個結構的存在跳脫了長久以來的認知，因為它需要星系在三個空間維度中的位置，就必需加入來自紅移的星系距離資料。在2003年，另一個大尺度結構 － 史隆長城 － 也被發現了。但是，在技術上並不認為這是一種結構，因為彼此在重力上並無關聯，只是在測量的距離上都出現在那兒。在太空中最大的空洞之一是摩羯座的空洞，估計他的直徑是2.3億光年[1]。
在2007年8月，一個可能的超級空洞在波江座被發現[2]，他與WMAP冷斑點 －在微波的天空中寒冷的一個區域－ 一致，但在現行受到偏愛的宇宙論模型下是極度不可能存在的。這個超級空洞造成的冷斑點，超乎想像的巨大，可能跨越了十億光年的空間。
對宇宙進一步的研究看到巨大的像是氣泡的空洞分隔開了片狀結構和星系纖維，而超星系團就像是其中偶爾相對出現的密集節點。這種網路結構在2度視場星系紅移巡天可以清楚的看見。在巡天勘測的內側部分三度空間圖的結構中顯示，在附近的宇宙顯露出令人印象深刻的結構。幾個超星系團顯示出，像是史隆長城，迄今所知道宇宙的最大結構。
偉大的結局（End of Greatness）
偉大的結局是在觀測上發現的一個尺度，大致上是一億秒差距（三億光年），在這個尺度下的宇宙區塊，依據宇宙學原理大致上是均質與各項同性的。超星系團和星系纖維在可見的領域明顯是平滑分布的，但在較小範圍的勘察下是任意的。直到1990年代，紅移巡天的勘察完成，這種尺度的結構才被完整的觀察到。
觀測
"整個近紅外天空的全景影像揭露在銀河系之外的星系分佈。這張影像是由2微米全天巡天的擴散源目錄（XSC）超過150萬個的星系，和由點源目錄（PSC）得到接近5千萬個銀河系內的星點導出的。星系的顏色是依據UGC目錄、哈佛天文物理中心、Tully NBGC、LCRS、 2dFGRS、6dFGS和SDSS巡天等所得的紅移（各種不同的數值經由NASA/IPAC的NASA銀河系外數據庫整合），或從K頻帶（2.2微米）光電測光推導後給予的。藍色是最接近的（z <0.01），綠色在普通的距離上（0.01 <z <0.04），紅色是2MASS所能分辨距離最遠的（0.04 <z <0.1）。這張圖是以以銀河為中心採用等面積的埃托夫（ Aitoff）投影法繪製的銀河座標系圖。" [3] 由湯馬斯傑瑞繪圖（" IPAC）"
另一個大尺度結構的證據是萊曼α森林（Lyman alpha forest）。這是出現在類星體光譜的一群吸收譜線，被解釋為在途中有許多稀薄但巨大的氣體材料（幾乎全都是氫的氣體）存在，這些版材看起來與新星系的形成有所關聯。
在描述宇宙的結構時必須格外的小心與謹慎，因為事實不是全如它們在外觀上所呈現的。被重力扭曲的光線（重力透鏡）所呈現的畫面看起來與它們真正來源的方向是不同的，這是因為前景的天體（例如星系）彎曲了它們自己所在的空間造成的（一如廣義相對論的預測），因而偏轉了通過附近的光線。相當有用的，強大的重力透鏡有時能將遙遠的星系放大，使它們更容易被偵測到；但弱透鏡（重力的切變）的干擾是很普通也很微妙的改變了觀測到的宇宙大尺度結構。在2004年，對這種微妙切變的觀察，顯示值得做為宇宙模型測試的約束。
宇宙的大尺度結構看起來不同於只使用紅移測量距離的星系。例如，在星系團背後的星系將被吸引著朝向它，而會朝向星系團落下，因此有輕微的藍移（與沒有星系團的情況比較）；靠近的這一側，則會有輕微的紅移。所以如果只用紅移來測量距離，星系團的環境看起來會被壓縮了一點。相對的效應會作用在星系團內部的星系：在星系團中的星系有一些不規則運動，而當這些不規則運動被轉換成紅移時，星系團看起來會被拉長。這創造出了所謂的上帝的手指：星系的長鏈指向地球的錯覺。
我們鄰近的星系影像圖
在長蛇座超星系團的中心有一個被稱為巨引源的異常重力，影響著數億光年內星系的運動。這些星系的紅移都符合哈柏定律，表示它們和我們是相互在退行的，但它們在紅移上的變化充分的顯示出與有與上萬個星系等效的質量被集中在那兒。
巨引源是在1986年發現的，躺在長蛇座和人馬座的方向上，距離在1億5千萬至2億5千萬光年之間（2億5千萬光年是最近的估計）。在那個方向的附近可以觀測到大量的老星系，有許多星系與鄰居的星系相互碰撞著，並且/或者輻射出大量的無線電波。
模型
在企圖建立大尺度結構的模型上，宇宙論還有許多工作要做。使用大霹靂模型和假設建造宇宙的物質類型，可預期的是應該能預測物質的分布狀態，並且與觀測工作來比較對不同的宇宙學理論是背後的支撐還是駁斥。目前，觀測指出大多數的宇宙必須包含冷暗物質，假設熱暗物質或重子暗物質的模型不能與觀測吻合。宇宙微波背景輻射和高紅移超新星也同樣的對這些模型予以機乎全面性的壓抑，並且這些方法也給了更多我們居住的是加速中的宇宙論述證據。
參考資料
List of publications of the 2dF Galaxy Redshift Survey
^ The Nearest Superclusters
^ Biggest void in space is 1 billion light years across - space - 24 August 2007 - New Scientist Space
^ "Large Scale Structure in the Local Universe: The 2MASS Galaxy Catalog", Jarrett, T.H. 2004, PASA, 21, 396
延伸讀物
Vicent J. Martínez, Jean-Luc Starck, Enn Saar, David L. Donoho, Simon Reynolds, Pablo de la Cruz, and Silvestre Paredes. MORPHOLOGY OF THE GALAXY DISTRIBUTION FROM WAVELET DENOISING. APJ. 2005-08-15. arXiv:astro-ph/0508326.
J. R. Mureika and C. C. Dyer. Multifractal Analysis of Packed Swiss Cheese Cosmologies (PDF). Classical and Quantum Gravity. v1. 2005-05-17. arXiv:gr-qc/0505083.
J. R. Mureika. The Packed Swiss Cheese Cosmology and Multifractal Large-Scale Structure in the Universe (PDF). 2003-09-06.
外部鏈結
"Millennium Simulation" of structure forming Max Planck Institute of Astrophysics, Garching, Germany
The Sloan Great Wall: Largest Known Structure? on APOD
Hubble, VLT and Spitzer Capture Galaxy Formation in the Early Universe.
Infinite Hierarchical Nesting of Matter
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地球在宇宙中的位置
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物理宇宙學
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關於本條目的避免深奧術語且更容易理解的版本，請見「廣義相對論入門」。
在600千米的距離上觀看十倍太陽質量的黑洞（模擬圖），背景為銀河系
廣義相對論是阿爾伯特·愛因斯坦於1916年發表的用幾何語言描述的重力理論，它代表了現代物理學中重力理論研究的最高水平。廣義相對論將古典的牛頓萬有引力定律包含在狹義相對論的框架中，並在此基礎上應用等效原理而建立。在廣義相對論中，重力被描述為時空的一種幾何屬性（曲率）；而這種時空曲率與處於時空中的物質與輻射的能量-動量張量直接相聯繫，其聯繫方式即是愛因斯坦的重力場方程式（一個二階非線性偏微分方程式組）。
從廣義相對論得到的有關預言和古典物理中的對應預言非常不相同，尤其是有關時間流逝、空間幾何、自由落體的運動以及光的傳播等問題，例如重力場內的時間膨脹、光的重力紅移和重力時間延遲效應。廣義相對論的預言至今為止已經通過了所有觀測和實驗的驗證——雖說廣義相對論並非當今描述重力的唯一理論，它卻是能夠與實驗數據相符合的最簡潔的理論。不過，仍然有一些問題至今未能解決，典型的即是如何將廣義相對論和量子物理的定律統一起來，從而建立一個完備並且自洽的量子重力理論。
愛因斯坦的廣義相對論理論在天體物理學中有著非常重要的應用：它直接推導出某些大質量恆星會終結為一個黑洞——時空中的某些區域發生極度的扭曲以至於連光都無法逸出。有證據表明恆星質量黑洞以及超大質量黑洞是某些天體例如活動星系核和微類星體發射高強度輻射的直接成因。光線在重力場中的偏折會形成重力透鏡現象，這使得人們能夠觀察到處於遙遠位置的同一個天體的多個成像。廣義相對論還預言了重力波的存在，重力波已經被間接觀測所證實，而直接觀測則是當今世界像雷射干涉重力波天文台（LIGO）這樣的重力波觀測計劃的目標。此外，廣義相對論還是現代宇宙學的膨脹宇宙模型的理論基礎。
目錄
1 歷史
2 從古典力學到廣義相對論
2.1 牛頓重力的幾何學
2.2 相對論的概括
2.3 愛因斯坦方程式
3 定義和基礎應用
3.1 定義和基本性質
3.2 物理模型的建立
4 愛因斯坦理論的後續
4.1 重力時間膨脹和重力紅移
4.2 光線偏折和重力時間延遲
4.3 重力波
4.4 軌道效應
4.4.1 近星點的進動
4.4.2 軌道衰減
4.5 測地線效應和參考系拖拽
5 天體物理學上的應用
5.1 重力透鏡
5.2 重力波天文學
5.3 黑洞和其它緻密星體
5.4 宇宙學
6 進階概念
6.1 因果結構和全局幾何
6.2 視界
6.3 奇異點
6.4 演化方程式
6.5 全局和准局部量
7 和量子理論的關係
7.1 彎曲時空中的量子場論
7.2 量子重力
8 當前進展
9 注釋
10 參考文獻
11 外部連結
歷史
愛因斯坦解釋廣義相對論的手稿扉頁
1905年愛因斯坦發表狹義相對論後，他開始著眼於如何將重力納入狹義相對論框架的思考。以一個處在自由落體狀態的觀察者的理想實驗為出發點，他從1907年開始了長達八年的對重力的相對性理論的探索。在歷經多次彎路和錯誤之後，他於1915年11月在普魯士科學院上作了發言，其內容正是著名的愛因斯坦重力場方程式。這個方程式描述了處於時空中的物質是如何影響其周圍的時空幾何，並成為了愛因斯坦的廣義相對論的核心[1]。
愛因斯坦的重力場方程式是一個二階非線性偏微分方程式組，數學上想要求得方程式的解是一件非常困難的事。愛因斯坦運用了很多近似方法，從重力場方程式得出了很多最初的預言。不過很快天才的天體物理學家卡爾·史瓦西就在1916年得到了重力場方程式的第一個非平庸精確解——史瓦西度規，這個解是研究星體重力塌縮的最終階段，即黑洞的理論基礎。在同一年，將史瓦西幾何擴展到帶有電荷的質量的研究工作也開始進行，其最終結果就是萊斯納-諾斯特朗姆度規，其對應的是帶電荷的靜態黑洞[2]。1917年愛因斯坦將廣義相對論理論應用於整個宇宙，開創了相對論宇宙學的研究領域。考慮到同時期的宇宙學研究中靜態宇宙的學說仍被廣為接受，愛因斯坦在他的重力場方程式中添加了一個新的常數，這被稱作宇宙常數項，以求得和當時的「觀測」相符合[3]。然而到了1929年，哈柏等人的觀測表明我們的宇宙處在膨脹狀態，而相應的膨脹宇宙解早在1922年就已經由亞歷山大·弗里德曼從他的弗里德曼方程式（同樣由愛因斯坦場方程式推出）得到，這個膨脹宇宙解不需要任何附加的宇宙常數項。比利時牧師勒梅特應用這些解構造了宇宙大爆炸的最早模型，模型預言宇宙是從一個高溫高緻密狀態演化來的[4]。愛因斯坦其後承認添加宇宙常數項是他一生中犯下的最大錯誤[5]。
在那個時代，廣義相對論與其他物理理論相比仍保持了一種神秘感。由於它和狹義相對論相融洽，並能夠解釋很多牛頓重力無法解釋的現象，顯然它要優於牛頓理論。愛因斯坦本人在1915年證明了廣義相對論是如何解釋水星軌道的反常近日點進動的現象，其過程不需要任何附加參數（所謂「敷衍因子」）[6]。另一個著名的實驗驗證是由亞瑟·愛丁頓爵士率領的探險隊在非洲的普林西比島觀測到的日食時的光線在太陽重力場中的偏折[7]，其偏折角度和廣義相對論的預言完全相符（是牛頓理論預言的偏折角的兩倍），這一發現隨後被全球報紙競相報導，一時間使愛因斯坦的理論名聲赫赫[8]。但是直到1960年至1975年間，廣義相對論才真正進入了理論物理和天體物理主流研究的視野，這一時期被稱作廣義相對論的黃金時代。物理學家逐漸理解了黑洞的概念，並能夠通過天體物理學的性質從類星體中識別黑洞[9]。在太陽系內能夠進行的更精確的廣義相對論的實驗驗證進一步展示了廣義相對論非凡的預言能力[10]，而相對論宇宙學的預言也同樣經受住了實驗觀測的檢驗[11]。
從古典力學到廣義相對論
理解廣義相對論的最佳方法之一是從古典力學出發比較兩者的異同點：這種方法首先需要認識到古典力學和牛頓重力也可以用幾何語言來描述，而將這種幾何描述和狹義相對論的基本原理放在一起對理解廣義相對論具有啟發性作用[12]。
牛頓重力的幾何學
古典力學的一個基本原理是：任何一個物體的運動都可看作是一個不受任何外力的自由運動（慣性運動）和一個偏離於這種自由運動的組合。這種偏離來自於施加在物體上的外力作用，其大小和方向遵循牛頓第二定律（外力大小等於物體的慣性質量乘以加速度，方向與加速度方向相同[13]）。而慣性運動與時空的幾何性質直接相關：古典力學中在標準參考系下的慣性運動是勻速直線運動。用廣義相對論的語言說，慣性運動的軌跡是時空幾何上的最短路徑（測地線），在閔考斯基時空中是直的世界線[14]。
小球落到正在加速的火箭的地板上（左）和落到地球上（右），處在其中的觀察者會認為這兩種情形下小球的運動軌跡沒有什麼區別
反過來，原則上講也可以通過觀察物體的運動狀態和外力作用（如附加的電磁力或摩擦力等）來判斷物體的慣性運動性質，從而用來定義物體所處的時空幾何。不過，當有重力存在時這種方法會產生一些含糊不清之處：牛頓萬有引力定律以及多個彼此獨立驗證的相關實驗表明，自由落體具有一個普遍性（這也被稱作弱等效原理，亦即慣性質量與重力質量等價），即任何測試質量的自由落體的軌跡只和它的初始位置和速度有關，與構成測試質量的材質等無關[15]。這一性質的一個簡化版本可以通過愛因斯坦的理想實驗來說明，如右圖所示：對於一個處在狹小的封閉空間中的觀察者而言，無法通過觀測落下小球的運動軌跡來判斷自己是處於地面上的地球重力場中，還是處於一艘無重力作用但正在加速的火箭裡（加速度等於地球重力場的重力加速度）[16]；而作為對比，處於電磁場中的帶電小球運動和加速參考系中的小球運動則是可以通過不同小球攜帶不同的電量來區分的。而由於重力場在空間中存在分布的變化，弱等效原理需要加上局部的條件，即在足夠小的時空區域內重力場中的自由落體運動和均一加速參考系中的慣性運動是完全相同的。
由於自由落體的普遍性，慣性運動（實驗中的火箭內）和在重力場中的運動（實驗中的地面上）是無法通過觀察來區分的。這是在暗示一類新的慣性運動的定義，即在重力作用下的自由落體也屬於慣性運動。通過這種慣性運動則可以重新定義周圍的時空幾何——從數學上看重力場中慣性運動的軌跡（測地線）和重力勢的梯度有關。
相對論的概括
光錐
牛頓重力的幾何理論儘管看上去很有趣，但這一理論的基礎古典力學不過是（狹義）相對論力學的一個特例[17]。用對稱的語言來說，在不考慮重力的情形下物理學具有勞侖茲不變性，而並非古典力學所具有的伽利略不變性。(狹義相對論的對稱性包含在龐加萊群中，它除了包含有勞侖茲變換所包含的勞侖茲遞升和旋轉外還包含平移不變性。)在研究對象的速度接近光速或者高能的情形下這兩者的區別逐漸變得明顯[18]。
在勞侖茲對稱性下可以引入光錐的概念（見左圖），光錐構成了狹義相對論中的因果結構：對於每一個發生在時空中的事件A，原則上有能夠通過傳播速度小於光速的信號或交互作用影響到事件A或被事件A影響的一組事件（具有因果聯繫），例如圖中的事件B；也有一組不可能互相影響的事件（不具有因果聯繫），例如圖中的事件C；而這些事件間有無因果聯繫都與觀測者無關[19]。將光錐和自由落體的世界線聯繫起來可以導出時空的半黎曼度規，或至少可以得到一個正的純量因子，在數學上這是共形結構的定義[20]。
狹義相對論的建立改變了人們對質量唯一性的觀念：質量不過是系統能量和動量的一種表現形式，這使得愛因斯坦著手將弱等效原理納入一個更廣泛的框架中：處於封閉空間中的觀察者無論採用什麼測量方法（而不僅限於投擲小球）都無法區分自己是處於重力場還是加速參考系中。這種概括成為了著名的愛因斯坦等效原理：在足夠小的時空區域中物理定律退化成狹義相對論中的形式；而不可能通過局部的實驗來探測到周圍重力場的存在。狹義相對論是在不考慮重力的情況下建立的，因此對於實際重力可以忽略的應用這是一個合適的模型。如果考慮重力的存在並假設愛因斯坦等效原理成立，則可知宇宙間不存在全局的慣性系，而只存在跟隨著自由落體的粒子一起運動的局部近似慣性系。用時空彎曲的語言來說，是表徵了無重力作用的慣性系的直的類時世界線在實際時空中彼此會產生彎曲，這意味著重力的引入會改變時空的幾何結構[21]。愛因斯坦等效原理由此暗示重力作用應歸屬於時空彎曲的範疇，無加速度的慣性運動和重力作用下的自由落體具有完全相同的定義。
實驗數據表明，處於重力場中的時鐘測量出的時間——或者用相對論的語言稱為原時——並不服從狹義相對論定律的制約。用時空幾何的語言來說，這是由於所測量的時空並非閔考斯基度規。對於牛頓重力理論而言這暗示著一種更一般的幾何學。在微小尺度上所有處於自由落體狀態的參考系都是等效的，並且都可近似為閔考斯基性質的平直度規。而接下來我們正在處理的是對閔考斯基時空的彎曲化的一般性概括，所用到的度規張量定義的所在的時空幾何——具體說來是時空中的長度和角度是如何被測量的——並不是狹義相對論的閔考斯基度規，這種度規被概括地稱作半黎曼度規或偽黎曼度規。並且每一種黎曼度規都自然地與一種特別的聯絡相關聯，這種聯絡被稱作列維-奇維塔聯絡；事實上這種聯絡能夠滿足愛因斯坦等效原理的要求並使得時空具有局部的閔考斯基性（這是指在一個適合的局部慣性坐標系下度規是閔考斯基性的，其度規的導數和連接係數即克里斯托費爾符號都為零。）[22]。總體上可以歸納為，在愛因斯坦的理論中重力引起的時空彎曲是一種可微分流形，這種流形在局部是平直的，但整體上可能具有非常不同的全局幾何。
愛因斯坦方程式
主條目：愛因斯坦重力場方程式
在建立了描述重力效應的相對論性幾何化版本後，還有一個關於重力的起源問題沒有解決。牛頓理論中的重力來源於質量，而在狹義相對論中質量的概念被包含在更具有一般性的能量-動量張量中。這個張量包含了對系統的能量和動量的密度，以及應力（即壓強和切應力的統稱）的描述[23]，通過等效原理就可以將能量-動量張量概括到彎曲的時空幾何中去。如果和幾何化的牛頓重力作進一步的類比，可以很自然地通過一個場方程式將能量-動量張量和里奇張量聯繫起來，而里奇張量正描述了潮汐效應的一類特殊情形：一團初始狀態為靜止的測試粒子形成的雲的體積會由於這群測試粒子作自由落體運動而變化。在狹義相對論中，能量-動量張量的守恆律在數學上對應著它的散度為零，而這一守恆律也可以被概括到更一般的彎曲時空中，其方法是將古典的偏導數替換為它們在曲面流形上的對應物：協變導數。在這一附加條件下，能量-動量張量的協變散度，以及場方程式右邊所有可能出現的項統統為零，這一組簡潔的方程式表述被稱作愛因斯坦重力場方程式。
R_{ab} - {\textstyle 1 \over 2}R\,g_{ab} = \kappa T_{ab}.\,
方程式左邊是一個由里奇張量R_{ab}\,構成的並且散度為零的特別組合，這種組合被稱作愛因斯坦張量。特別地，
R=R_{cd}g^{cd}\,
是時空曲率的里奇純量。而里奇張量本身與更一般化的黎曼張量之間的關係為
\quad R_{ab}={R^d}_{adb}.\,
方程式右邊的T_{ab}\,是能量-動量張量。將重力場方程式的理論和對行星軌道實際觀測的結果（或等價地考慮到弱場低速時近似為牛頓重力理論）相比較，可得到方程式中的比例常數\kappa = 8\pi G/c^4\,，其中G\,是萬有引力常數而c\,是光速[24]。當沒有物質存在時能量-動量張量為零，這時的愛因斯坦場方程式的形式化簡為所謂真空解法：
R_{ab}=0.\,
某些廣義相對論的替代理論在基於同樣的前提下通過附加其他準則或約束得到了形式不一樣的重力場方程式，例如愛因斯坦-嘉當理論[25]。
定義和基礎應用
前一章節概括介紹了確立廣義相對論的基本內容所需的全部信息，並指出了廣義相對論理論的幾個關鍵性質。那麼隨之而來的問題是，廣義相對論對物理學究竟有多重要的意義；具體說來，如何從廣義相對論理論建立具有應用價值的具體物理模型呢？
定義和基本性質
廣義相對論是重力的度規理論，其核心是愛因斯坦場方程式。場方程式描述的是用四維半黎曼流形所描述的時空幾何學，與處在時空中物質的能量-動量張量之間的關係[26]。古典力學中由重力引起的現象（例如自由落體、星體軌道運動、太空飛行器軌道等），在廣義相對論中對應著在彎曲時空中的慣性運動，即沒有所謂外來的重力使得物體的運動偏離它們原本的自然直線運動路徑。重力本身是時空屬性的幾何學改變，使處在其中的物體沿著時空中最短的路徑作慣性運動[27]；而反過來時空的曲率是由處在時空中的物質的能量-動量張量改變的。用約翰·惠勒的話來解釋說：時空告訴物體如何運動，物體告訴時空如何彎曲[28]。
廣義相對論用一個對稱的二階張量替換了古典力學中的重力純量勢，不過前者在某些極限情形下會退化為後者。在弱重力場並且速度遠小於光速的前提下，相對論的結果和牛頓古典理論的結果是重合的[29]。
廣義相對論是用張量表示的，這是其廣義協變性的體現：廣義相對論的定律——以及在廣義相對論框架中得到的物理定律——在所有參考系中具有相同的形式[30]。並且，廣義相對論本身並不包含任何不變的幾何背景結構，這使得它能夠滿足更嚴格的廣義相對性原理：物理定律的形式在所有的觀察者看來都是相同的[31]。而廣義相對論認為在局部由於有等效原理的要求，時空是閔考斯基性的，物理定律具有局部勞侖茲不變性[32]。
物理模型的建立
廣義相對論性的模型建立的核心內容是愛因斯坦場方程式的解。在愛因斯坦場方程式和一個附加描述物質屬性的方程式（類似於馬克士威方程組和介質的本構方程式）同時已知的前提下，愛因斯坦場方程式的解包含有一個確定的半黎曼流形（通常由特定坐標下得到的度規給出），以及一個在這個流形上定義好的物質場。物質和時空幾何一定滿足愛因斯坦場方程式，因此特別地物質的能量-動量張量的協變散度一定為零。當然，物質本身還需要滿足描述其屬性的附加方程式。因此可以將愛因斯坦場方程式的解簡單理解為一個由廣義相對論制約的宇宙模型，其內部的物質還同時滿足附加的物理定律[33]。
愛因斯坦場方程式是非線性的偏微分方程式組，因此想要求得其精確解十分困難[34]。儘管如此，仍有相當數量的精確解被求得，但只有一些具有物理上的直接應用[35]。其中最著名的精確解，同時也是從物理角度來看最令人感興趣的解包括史瓦西解、萊斯納-諾斯特朗姆解、克爾解，每一個解都對應著特定類型的黑洞模型[36]；以及弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克解和德西特宇宙，每一個解都對應著一個膨脹的宇宙模型[37]。純粹理論上比較有趣的精確解還包括哥德爾宇宙（暗示了在彎曲時空中進行時間旅行的可能性）、Taub-NUT解（一種均勻卻又各向異性的宇宙模型）、反德西特空間（近年來由於超弦理論中的馬爾達西那假說的提出而變得知名）[38] 。
尋找愛因斯坦場方程式的精確解並非易事，因此在更多場合下愛因斯坦場方程式的解是通過計算機採用數值積分的方法，或者對精確解作微擾求得的近似解。在數值相對論這一分支中，人們使用高性能的計算機來數值模擬時空幾何，以用於數值求解兩個黑洞碰撞等有趣場合下的愛因斯坦場方程式[39]。原則上只要計算機的運算能力足夠強大，數值相對論的方法就可以應用到任何系統中，從而有可能對裸奇異點等基礎問題做出解答。另一種求得近似解的方法是藉助於像線性化重力[40]和後牛頓力學近似方法這樣的微擾理論，這兩種微擾方法都是由愛因斯坦發展的，其中後者為求解時空內分布的物體速度遠小於光速時的時空幾何提供了系統的方法。後牛頓力學近似方法是一系列展開項，第一項對應著牛頓重力，而後面的微擾項對應著廣義相對論理論對牛頓力學所作的修正[41]。這種近似展開的一種擴展方法是參數化後牛頓形式，應用這種方法可以量化地比較廣義相對論和其替代理論的預言結果[42]。
愛因斯坦理論的後續
廣義相對論對物理學的影響非常深遠，其引發了諸多理論和實驗的研究成果。其中一部分是從廣義相對論的定律中直接導出的，而有些則從廣義相對論發表至今經過長久的研究才逐漸變得明朗。
重力時間膨脹和重力紅移
主條目：重力時間膨脹和紅移
光波從一個大質量物體表面出射時頻率會發生紅移
如果等效原理成立[43] ，則可得到重力會影響時間流逝的結論。射入重力勢阱中的光會發生藍移，而相反從勢阱中射出的光會發生紅移；歸納而言這兩種現象被稱作重力紅移。更一般地講，當有一個大質量物體存在時，對於同一個過程在距離大質量物體更近時會比遠離這個物體時進行得更慢，這種現象叫做重力時間膨脹[44]。
重力紅移已經在實驗室中[45]及在天文觀測中[46]得到證實和測量，而地球重力場中的重力時間延緩效應也已經通過原子鐘進行過多次測量[47]。當前的測量表明地球重力場的時間延緩會對全球定位系統（GPS）的運行產生一定影響[48]。這種效應在強重力場中的測試是通過對脈衝雙星的觀測完成的[49]，所有的實驗結果都和廣義相對論相符[50]。不過在當前的測量精度下，人們還不能從中判斷這些觀測到底更支持廣義相對論還是同樣滿足等效原理的其他替代理論[51]。
光線偏折和重力時間延遲
主條目：廣義相對論中的克卜勒問題、重力透鏡和重力時間延遲效應
從光源（圖中藍點表示）發射出的光線在途徑一個緻密星體（圖中灰色區域表示）時發生的光線偏折
廣義相對論預言光子的路徑在重力場中會發生偏折，即當光子途徑一個大質量物體時路徑會朝向物體發生彎曲。這種效應已經通過對來自遙遠恆星或類星體的光線途徑太陽時的路徑觀測得到證實[52]。
這種現象（以及其他相關現象）的原因是光具有被稱作類光的（或被稱作零性的）測地線——相對於在古典物理中光的傳播路線是直線，類光的（或零性的）測地線是廣義相對論的相應概括，來源於狹義相對論中的光速不變原理[53]。選取了合適的時空幾何（例如黑洞視界外的史瓦西解，或後牛頓展開項）[54]就可以進一步看到重力場對光的傳播的影響，這種影響是純粹廣義相對論性的。即是說儘管從古典力學出發，通過計算中心質量對光子的古典散射也可以得到光線的偏折效應[55]，但從這種古典方法得到的偏折角度只有廣義相對論結果的一半。[56]
和光線偏折現象密切相關的另一現象是重力時間延遲效應（或稱作夏皮羅延遲效應），這種現象是指在重力場中光的傳播時間要比無重力場的情形下要長，這種效應已經被多個觀測成功證實[57]。在參數化後牛頓形式中，對光線偏折和對時間延遲的測量共同決定了一個參數\gamma\,，這個參數表徵了重力對時空幾何的影響[58]。
重力波
主條目：重力波
懸浮在空間中的靜止粒子排列成的環
測試粒子受到重力波的作用
弱重力場和電磁場相比有一個重要類同之處：類似於隨時間變化的電磁場會輻射電磁波，重力場也有可能會輻射重力波。重力波有如時空度規的漣漪，以光速在空間中傳播[59]。最簡單的一類情形如右所示：排列成一個環狀的自由懸浮粒子（右上靜態圖像），當有一束正弦重力波穿過這個環並朝向讀者傳播時，重力波會將這個環以一種具有特徵性和旋律性的方式扭曲（右下動畫）[60]。由於愛因斯坦場方程式是非線性的，強重力場中的任意強度的重力波不滿足線性疊加原理。但在弱場情形下可採用線性近似，由於從遙遠的天體輻射出的重力波到達地球時已經非常微弱，這時線性化的重力波已經足以精確描述其到達地球時的強度，其引起的空間距離的相對變化大約在10-21或更低。這些線性化的重力波是可以進行傅立葉分解的，對這些重力波信號進行的數據分析正是基於這個原理[61]。
場方程式的個別精確解能夠在不藉助任何近似條件的前提下描述重力波，如一束傳遍整個空間的波列[62]，以及所謂高蒂宇宙（多種充滿重力波的膨脹宇宙的總稱）[63]。不過對於天體物理學意義上的重力輻射而言，例如黑洞雙星的合并過程，後牛頓力學近似方法、微擾理論或數值相對論等近似途徑是僅有的處理手段[64]。
軌道效應
主條目：廣義相對論中的克卜勒問題
對於作軌道運動的物體，廣義相對論和古典力學的預言在很多地方有所不同。廣義相對論預言公轉星體的軌道會發生總體的旋轉（進動），而軌道本身也會由於重力輻射而發生衰減。
近星點的進動
行星繞恆星作公轉的古典力學軌道（紅）和廣義相對論軌道（藍）比較
廣義相對論中，任意軌道的拱點（軌道上最接近或最遠離系統質心的點）會發生進動，這使得軌道不再是橢圓，而是一個繞著質心旋轉的准橢圓軌道，其總體上看接近於玫瑰線的形狀。愛因斯坦最早通過近似度規來表示牛頓力學的極限，並將軌道運動的物體看作一個測試質點從而在理論上得到了這一結果。這一結果的重要性在於，它能夠最簡潔地解釋天文學家勒維耶在1859年發現的水星近日點的反常進動，而這對於當時的愛因斯坦而言是最終確認重力場方程式的正確形式的一個重要依據[65]。
從精確的史瓦西度規[66]或採用更為一般的後牛頓力學近似形式[67]也能夠推導出這種效應。從本質上說，這種進動是由於重力對時空幾何的影響，以及對物體重力的自能量的貢獻（其意義包含在愛因斯坦場方程式的非線性中）[68]。現在已經觀測到了所有能夠進行精確軌道進動測量的太陽系行星（水星、金星、地球）的相對論進動[69]，而且已經觀察到某些脈衝雙星系統的軌道進動效應，其效應要比太陽系內行星高出五個數量級[70]。
軌道衰減
對脈衝雙星PSR1913+16的周期變化長達三十年的觀測，其周期變化在秒量級內
根據廣義相對論，一個雙星系統會通過重力輻射的形式損失能量。儘管這種能量損失一般相當緩慢，卻會使得雙星間的距離逐漸降低，同時降低的還有軌道周期。在太陽系內的兩體系統或者一般的雙星中，這種效應十分微弱因此難以觀測。然而對於一個密近脈衝雙星系統而言，在軌道運動中它們會發射極度規律的脈衝信號，地球上的接收者從而能夠將這個信號序列作為一個高度精確的時鐘。這個精確的時鐘是用來精確測量脈衝雙星軌道周期的最佳工具。並且由於組成脈衝雙星的恆星是中子星，其緻密性能導致有較多部分的能量以重力輻射的形式傳播出去[71]。
最早觀測到這種因重力輻射導致的軌道周期衰減的實驗是由赫爾斯和泰勒完成的，他們所觀測的脈衝雙星是他們於1974年發現的PSR 1913+16。這也是人類首次在實驗上證實重力波的存在，儘管這只是一種間接觀測，這項工作因此獲得1993年的諾貝爾物理學獎[72]。從那以後更多的脈衝雙星被發現，值得一提的是PSR J0737-3039，雙星系統的兩個成員都是脈衝星[73] 。
測地線效應和參考系拖拽
主條目：測地線效應和參考系拖拽
有些相對論效應與坐標的方向性有關[74]，其一是測地線效應，例如一個在彎曲時空中作自由落體運動的陀螺的自轉軸會因此而改變，即使陀螺的自轉軸方向在運動過程中儘可能保持一直穩定（即所謂在曲面上作「平行輸運」）[75]。地球-月球系統的測地線效應已經通過月球雷射測距實驗得到驗證[76]。近年來物理學者通過重力探測器B衛星測量測試質量在地球重力場中的測地線效應，其結果和理論值的誤差小於0.3%[77][78]
在一個旋轉質量的周圍還會產生重力磁性以及更一般的參考系拖拽效應，觀察者會認為旋轉質量對周圍的時空產生拖拽效應，處於旋轉質量周圍的物體會因此發生坐標改變。一個極端的版本是旋轉黑洞的所謂能層區域，當有任何物體進入旋轉黑洞的能層時都會不可避免地隨著黑洞一起發生轉動[79]。理論上這種效應也可以通過觀察其對一個自由落體狀態的陀螺自轉方向的影響進行驗證[80] 。在存在爭議的LAGEOS衛星實驗中參考系拖拽效應得到了初步證實[81]。火星全球探勘者號在火星獲得的數據資料，也被用來做廣義相對論的參考系拖拽實驗[82][83]。
天體物理學上的應用
重力透鏡
主條目：重力透鏡
愛因斯坦十字：同一個天體在重力透鏡效應下的四個成像
重力場中光線的偏折效應是一類新的天文現象的原因。當觀測者與遙遠的觀測天體之間還存在有一個大質量天體，當觀測天體的質量和 相對距離合適時觀測者會看到多個扭曲的天體成像，這種效應被稱作重力透鏡[84]。受系統結構、尺寸和質量分布的影響，成像可以是多個，甚至可以形成被稱作愛因斯坦環的圓環，或者圓環的一部分弧[85]。最早的重力透鏡效應是在1979年發現的[86]，至今已經發現了超過一百個重力透鏡[87]。即使這些成像彼此非常接近以至於無法分辨——這種情形被稱作微重力透鏡——這種效應仍然可通過觀測總光強變化測量到，很多微重力透鏡也已經被發現[88]。
重力透鏡已經發展成為觀測天文學的一個重要工具，它被用來探測宇宙間暗物質的存在和分布，並成為了用於觀測遙遠星系的天然望遠鏡，還可對哈柏常數做出獨立的估計。重力透鏡觀測數據的統計結果還對星繫結構演化的研究具有重要意義[89]。
重力波天文學
主條目：重力波天文學
藝術家的構想圖：雷射空間干涉重力波探測器LISA
對脈衝雙星的觀測是間接證實重力波存在的有力證據（參見上文軌道衰減一節），然而對來自宇宙深處的重力波的直接觀測始終未能實現，這也成為了相對論前沿研究的主要課題之一[90]。現在已經有相當數量的地面重力波探測器投入運行，最值得注目的干涉重力波探測器是GEO600、LIGO（包括三架雷射干涉重力波探測器）、TAMA300和VIRGO[91]歐洲獨立在太空中操作的雷射干涉探測器新重力波天文台（New Gravitational wave Observatory，NGO，原名「雷射干涉空間天線」，LISA）現在正處於開發階段[92]，其先行測試計劃LISA探路者（LISA Pathfinder）將於2014年底之前正式發射升空[93]。
對重力波的探測將在很大程度上擴展基於電磁波觀測的傳統觀測天文學的視野[94] ，人們能夠通過探測到的重力波信號了解到其波源的信息。這些從未被真正了解過的信息可能來自於黑洞、中子星或白矮星等緻密星體，可能來自於某些超新星爆發，甚至可能來自宇宙誕生極早期的暴脹時代的某些烙印，例如假想的宇宙弦[95]。
黑洞和其它緻密星體
主條目：黑洞
基於廣義相對論理論的計算機模擬一顆恆星塌縮為黑洞並釋放出重力波的過程
廣義相對論預言了黑洞的存在，即當一個星體足夠緻密時，其重力使得時空中的一塊區域極端扭曲以至於光都無法逸出。在當前被廣為接受的恆星演化模型中，一般認為大質量恆星演化的最終階段的情形包括1.4倍左右太陽質量的恆星演化為中子星，而數倍至幾十倍太陽質量的恆星演化為恆星質量黑洞[96]。具有幾百萬倍至幾十億倍太陽質量的超大質量黑洞被認為定律性地存在於每個星系的中心[97]，一般認為它們的存在對於星系及更大的宇宙尺度結構的形成具有重要作用[98]。
在天文學上緻密星體的最重要屬性之一是它們能夠極有效率地將重力能量轉換為電磁輻射[99]。恆星質量黑洞或超大質量黑洞對星際氣體和塵埃的吸積過程被認為是某些非常明亮的天體的形成機制，著名且多樣的例子包括星系尺度的活動星系核以及恆星尺度的微類星體[100]。在某些特定場合下吸積過程會在這些天體中激發強度極強的相對論性噴流，這是一種噴射速度可接近光速的[101]且方向性極強的高能電漿束。在對這些現象進行建立模型的過程中廣義相對論都起到了關鍵作用[102]，而實驗觀測也為支持黑洞的存在以及廣義相對論做出的種種預言提供了有力證據[103]。
黑洞也是重力波探測的重要目標之一：黑洞雙星的合并過程可能會輻射出能夠被地球上的探測器接收到的某些最強的重力波信號，並且在雙星合并前的啁啾信號可以被當作一種「標準燭光」從而來推測合并時的距離，並進一步成為在大尺度上探測宇宙膨脹的一種手段[104]。而恆星質量黑洞等小質量緻密星體落入超大質量黑洞的這一過程所輻射的重力波能夠直接並完整地還原超大質量黑洞周圍的時空幾何信息[105]。
宇宙學
主條目：物理宇宙學
威爾金森微波各向異性探測器（WMAP）拍攝的全天微波背景輻射的溫度漲落
現代的宇宙模型是基於帶有宇宙常數的愛因斯坦場方程式建立的，宇宙常數的值對大尺度的宇宙動力學有著重要影響。
R_{ab} - {\textstyle 1 \over 2}R\,g_{ab} + \Lambda\ g_{ab} = \kappa\, T_{ab}
這個經修改的愛因斯坦場方程式具有一個各向同性並均勻的解：弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規[106]，在這個解的基礎上物理學家建立了從一百四十億年前熾熱的大爆炸中演化而來的宇宙模型[107]。只要能夠將這個模型中為數不多的幾個參數（例如宇宙的物質平均密度）通過天文觀測加以確定[108]，人們就能從進一步得到的實驗數據檢驗這個模型的正確性[109]。這個模型的很多預言都是成功的，這包括太初核合成時期形成的化學元素初始丰度[110]、宇宙的大尺度結構[111]以及早期的宇宙溫度在今天留下的「迴音」：宇宙微波背景輻射[112]。
從天文學觀測得到的宇宙膨脹速率可以進一步估算出宇宙中存在的物質總量，不過有關宇宙中物質的本性還是一個有待解決的問題。現在估計宇宙中大約有90%以上的物質都屬於暗物質，它們具有質量（即參與重力交互作用），但不參與電磁交互作用，即它們無法（通過電磁波）直接觀測到[113]。目前在已知的粒子物理[114]或其他什麼理論[115]的框架中還沒有辦法對這種物質做出令人滿意的描述。另外，對遙遠的超新星紅移的觀測以及對宇宙微波背景輻射的測量顯示，我們的宇宙的演化過程在很大程度上受宇宙常數值的影響，而正是宇宙常數的值決定了現在宇宙的加速膨脹。換句話說，宇宙的加速膨脹是由具有非通常意義下的狀態方程式的某種能量形式決定的，這種能量被稱作暗能量，其本性也仍然不為所知[116]。
在所謂暴脹模型中，宇宙曾在誕生的極早期（～10-33秒）經歷了劇烈的加速膨脹過程[117]。這個在於二十世紀八十年代提出的假說是由於某些令人困惑並且用古典宇宙學無法解釋的觀測結果而提出的，例如宇宙微波背景輻射的高度各向同性[118]，而現在對微波背景輻射各向異性的觀測結果是支持暴脹模型的證據之一[119]。然而，暴脹的可能的方式也是多樣的，現今的觀測還無法對此作出約束[120]。一個更大的課題是關於極早期宇宙的物理學的，這涉及到發生在暴脹之前的、由古典宇宙學模型預言的大爆炸奇異點。對此比較有權威性的意見是這個問題需要由一個完備的量子重力理論來解答，而這個理論至今還沒有建立[121]（參見下文量子重力）。
進階概念
因果結構和全局幾何
主條目：因果結構
一個無限的靜態閔考斯基宇宙的潘洛斯圖
在廣義相對論中沒有任何有靜止質量的物體能夠追上或超過一束光脈衝，即是說發生於某一點的事件A在光從那一點傳播到空間中任意位置X之前無法對位置X產生影響。因此，一個時空中所有光的世界線（零性測地線）包含了有關這個時空的關鍵因果結構信息。描述這種因果結構的是潘洛斯-卡特圖，在這種圖中無限大的空間區域和時間間隔通過共形變換被「收縮」（數學上稱為緊化）在可被容納的有限時空區域內，而光的世界線仍然和在閔考斯基圖中一樣用對角線表示[122]。
潘洛斯和其他研究者注意到因果結構的重要性，從而發展了所謂全局幾何。全局幾何中研究的對象不再是愛因斯坦場方程式的一個個特定解（或一族解），而是運用一些對所有測地線都成立的關係，如Raychaudhuri方程式，以及對物質本性的非特異性假設（通常用所謂能量條件的形式來表述）來推導普適性結論[123]。
視界
主條目：視界、無毛定理和黑洞力學
在全局幾何下可以證明有些時空中存在被稱作視界的分界線，它們將時空中的一部分區域隔離起來。這樣的最著名例子是黑洞：當質量被壓縮到空間中的一塊足夠小的區域中後（相關長度為史瓦西半徑[124]），沒有光子能從內部逸出。而由於任何有質量的粒子速度都無法超過光速，黑洞內部的物質也被封閉在視界內。不過，從視界之外到視界之內的通道依然是存在的，這表明黑洞的視界作為一種分界線並不是物理性質的屏障[125]。
一個旋轉黑洞的能層，在從旋轉黑洞抽取能量的過程中扮演著重要角色
早期的黑洞研究主要依賴於求得愛因斯坦場方程式的精確解，著名的解包括球對稱的史瓦西解（用來描述靜態黑洞）和反對稱的克爾解（用來描述旋轉定態黑洞，並由此引入了能層等有趣的屬性）。而後來的研究通過全局幾何揭示了更多的關於黑洞的普適性質：研究表明經過一段相當長的時間後黑洞都逐漸演化為一類相當簡單的可用十一個參數來確定的星體，包括能量、動量、角動量、某一時刻的位置和所帶電荷。這一性質可歸納為黑洞的唯一性定理：「黑洞沒有毛髮」，即黑洞沒有像人類的不同髮型那樣的不同標記。例如，星體經過重力塌縮形成黑洞的過程非常複雜，但最終形成的黑洞的屬性卻相當簡單[126]。
更值得一提的是黑洞研究已經得到了一組制約黑洞行為的一般性定律，這被稱作黑洞（熱）力學，這些定律與熱力學定律有很強的類比關係。例如根據黑洞力學的第二定律，一個黑洞的視界面積永不會自發地隨著時間而減少，這類似於一個熱力學系統的熵；這個定律也決定了通過古典方法（例如，潘洛斯過程）不可能從一個旋轉黑洞中無限度地抽取能量[127]。這些都強烈暗示了黑洞力學定律實際是熱力學定律的一個子集，而黑洞的表面積和它的熵成正比[128]。從這個假設可以進一步修正黑洞力學定律。例如，由於黑洞力學第二定律是熱力學第二定律的一部分，則可知黑洞的表面積也有可能減小，只要有某種其它過程來保證系統的總熵是增加的。而熱力學第三定律認為不存在溫度為絕對零度的物體，可以進一步推知黑洞應該也存在熱輻射；半古典理論計算表明它們確實存在有熱輻射，在這個機制中黑洞的表面重力充當著普朗克黑體輻射定律中溫度的角色，這種輻射稱作霍金輻射（參見下文量子理論一節）[129]。
廣義相對論還預言了其他類型的視界模型：在一個膨脹宇宙中，觀察者可能會發現過去的某些區域不能被觀測（所謂「粒子視界」），而未來的某些區域不能被影響（事件視界）[130]。即使是在平直的閔考斯基時空中，當觀察者處於一個加速的參考系時也會存在視界，這些視界也會伴隨有半古典理論中的盎魯輻射[131]。
奇異點
主條目：重力奇異點
廣義相對論的另一個普遍卻又令人困擾的特色問題是時空的分界線——奇異點的出現。時空可以通過沿著類時和類光的測地線來探索，這些路徑是光子及其他所有粒子在自由落體運動中的可能軌跡，但愛因斯坦場方程式的某些解具有「粗糙的邊緣」——這被稱作時空奇異點，這些奇異點上類時或類光的測地線會突然中止，而對於這些奇異點沒有定義好的時空幾何來描述。需要說明的是，「奇異點」往往可能並不是一個「點」：那些場方程式的解的「粗糙邊緣」在既有坐標系下，不僅可能是一個「點」，還可以以其他幾何形式出現（比如克爾黑洞的「奇環」等）。一般意義上的奇異點是指曲率奇異點，這是說在這些點上描述時空曲率的幾何量，例如里奇張量為無限大[132]（曲率奇異點是相對所謂坐標奇異點而言的，坐標奇異點本質上不屬於奇異點的範疇：有些度規在某個特定坐標下會產生無窮大，但本質上這些點不具有奇性，在其他合適的坐標下是光滑的，也不會產生無窮大的曲率張量）。描述未來的奇異點（世界線的終結）的著名例子包括永遠靜態的史瓦西黑洞內部的奇異點[133]，以及永遠旋轉的克爾黑洞內部的環狀奇異點[134]。弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規，以及其他描述宇宙的時空幾何都具有過去的奇異點（世界線的開端），這被稱作大爆炸奇異點，而有些還具有未來的奇異點（大擠壓）[135]。
考慮到這些模型都是高度對稱從而被簡化的，人們很容易去猜測奇異點的出現是否只是理想狀態下的不自然產物。然而著名的由全局幾何證明的奇異點定理指出，奇異點是廣義相對論的一個普遍特色結果，並且任何有質量的實體發生重力塌縮並達到一個特定階段後都會形成奇異點[136]，而在一系列膨脹宇宙模型中也一樣存在奇異點[137]。不過奇異點定理的內容基本沒有涉及到奇異點的性質，這些關於確定奇異點的一般結構（例如所謂BKL假說）的問題是當前相關研究的主要課題[138]。另一方面，由於在對於物理規律的破壞方面而言，一個被包裹於視界之中的奇異點被認為要好過一個「裸」的奇異點，故而宇宙監督假說被提出，它認為所有未來的實際奇異點（即沒有完美對稱性的具有實際性質的物體形成的奇異點）都會被藏在視界之內，從而對外面對觀察者不可見，即自然界憎恨裸奇異點。儘管還沒有實際證據證明這一點，有數值模擬的結果支持這一假說的正確性[139]。
演化方程式
每一個愛因斯坦場方程式的解都是一個宇宙，這裡的宇宙含義既包括了整個空間，也包括了過去與未來——它們並不單單是反映某些事物的「快照」，而是所描述的時空的完全寫真。每一個解在其專屬的特定宇宙中都能描述任意時間和任意位置的時空幾何和物質狀態。出於這個表徵，愛因斯坦的理論看上去與其他大多數物理理論有所不同：大多數物理理論都需要指明一個物理系統的演化方程式（例如量子力學中的埃倫費斯特定理），即如果一個物理系統在給定時刻的狀態已知，其演化方程式能夠允許描述系統在過去和未來的狀態。愛因斯坦理論中的重力場和其他場的更多區別還在於前者是自身交互作用的（是指它在沒有其他場出現時仍然還是非線性的），並且不具有固定的背景結構（在宇宙尺度上會發生演化）[140]。
為了更好地理解愛因斯坦場方程式這個與時間有關的偏微分方程式，可以將它寫成某種能夠描述宇宙隨時間演化的形式。這種形式被稱作「3+1」分解，其中時空被分為三維空間和一維時間。最著名的形式叫做ADM形式[141] ，在這種分解下廣義相對論的時空演化方程式具有良好的性質：在適當的初始條件給定的情形下方程式有解並且是唯一的[142]。場方程式的「3+1」分解形式是數值相對論的研究基礎[143]。
全局和准局部量
主條目：廣義相對論中的質量
演化方程式的觀念與廣義相對論性物理中的另一個方面緊密聯繫：在愛因斯坦的理論中，一個系統的總質量（或能量）這個看似簡單的概念無法找到一種普遍性的定義。其原因在於，重力場原則上並不像其他的場那樣具有可以局域化的能量[144]。
儘管如此，試圖通過其他途徑來定義一個系統的總質量還是可能的，在古典物理中，質量（或能量）的定義可以來自時間平移不變性的守恆量，或是通過系統的哈密頓形式。在廣義相對論中，從這兩種途徑出發可以分別得到如下質量的定義：
柯瑪質量[145]：從類時的Killing向量出發通過柯瑪積分得到的在時間平移不變性下的守恆量，表現為一個靜態時空的總能量；
ADM質量[146]：在一個漸近平直時空中建立廣義相對論的哈密頓形式，從中定義系統的總能量。
如果將一個系統的總質量中被重力波攜帶至無限遠處的能量除去，得到的結果叫做零性無限遠處的邦迪質量[147]。這些定義而來的質量被舍恩和丘成桐的正質量定理證明是正值[148]，而動量和角動量也具有全局的相應定義[149]。在這方面的研究中還有很多試圖建立所謂准局部量的嘗試，例如僅通過一個孤立系統所在的有限空間區域中包含的物理量來構造這個孤立系統的質量。這類嘗試寄希望於能夠找到一個更好地描述孤立系統的量化方式，例如環假說的某種更精確的形式[150]。
和量子理論的關係
如果說廣義相對論是現代物理學的兩大支柱之一，那麼量子理論作為我們藉此了解基本粒子以及凝態物理的基礎理論就是現代物理的另一支柱[151]。然而，如何將量子理論中的概念應用到廣義相對論的框架中仍然是一個未能解決的問題。
彎曲時空中的量子場論
作為現代物理中粒子物理學的基礎，通常意義上的量子場論是建立在平直的閔考斯基時空中的，這對於處在像地球這樣的弱重力場中的微觀粒子的描述而言是一個非常好的近似[152]。而在某些情形中，重力場的強度足以影響到其中的量子化的物質但不足以要求重力場本身也被量子化，為此物理學家發展了彎曲時空中的量子場論。這些理論藉助於古典的廣義相對論來描述彎曲的背景時空，並定義了廣義化的彎曲時空中的量子場理論[153]。通過這種理論，可以證明黑洞也在通過黑體輻射釋放出粒子，這即是霍金輻射，並有可能通過這種機制導致黑洞最終蒸發[154]。如前文所述，霍金輻射在黑洞熱力學的研究中起到了關鍵作用[155]。
量子重力
主條目：量子重力
參見：弦論及迴圈量子重力
物質的量子化描述和時空的幾何化描述之間彼此不具有相容性[156]，以及廣義相對論中時空曲率無限大（意味著其結構成為微觀尺度）的奇異點的出現，這些都要求著一個完整的量子重力理論的建立。這個理論需要能夠對黑洞內部以及極早期宇宙的情形做出充分的描述，而其中的重力和相關的時空幾何需要用量子化的語言來敘述[157]。儘管物理學家為此做出了很多努力，並有多個有潛質的候選理論已經發展起來，至今人類還沒能得到一個稱得上完整並自洽的量子重力理論[158]。
一個卡拉比-丘流形的投影，由弦論所提出的緊化額外維度的一種方法
量子場論作為粒子物理的基礎已經能夠描述除重力外的其餘三種基本交互作用，但試圖將重力概括到量子場論的框架中的嘗試卻遇到了嚴重的問題。在低能區域這種嘗試取得了成功，其結果是一個可被接受的重力的有效（量子）場理論[159]，但在高能區域得到的模型是發散的（不可重整化）[160]。
迴圈量子重力中的一個簡單自旋網路
試圖克服這些限制的嘗試性理論之一是弦論，在這種量子理論中研究的最基本單位不再是點狀粒子，而是一維的弦[161]。弦論有可能成為能夠描述所有粒子和包括重力在內的基本交互作用的大統一理論[162]，其代價是導致了在三維空間的基礎上生成六維的額外維度等反常特性[163]。在所謂第二次超弦理論革新中，人們猜測超弦理論，以及廣義相對論與超對稱的統一即所謂超重力[164]，能夠構成一個猜想的十一維模型的一部分，這種模型叫做M理論，它被認為能夠建立一個具有唯一性定義且自洽的量子重力理論[165]。
另外一種嘗試來自於量子理論中的正則量子化方法。應用廣義相對論的初值形式（參見上文演化方程式一節），其結果是惠勒-得衛特方程式（其作用類似於薛丁格方程式）。雖然這個方程式在一般情形下定義並不完備[166]，但在所謂阿西特卡變數的引入下[167]，從這個方程式能夠得到一個很有前途的模型：迴圈量子重力。在這個理論中空間是一種被稱作自旋網路的網狀結構，並在離散的時間中演化[168]。
取決於廣義相對論和量子理論中的哪些性質可以被接受保留，並在什麼能量量級上需要引入變化[169]，對量子重力的嘗試理論還有很多，例如動力三角剖分[170]、因果組合[171]、扭量理論[172]以及基於路徑積分的量子宇宙學模型[173]。
所有這些嘗試性候選理論都仍有形式上和概念上的主要問題需要解決，而且它們都在面臨一個共同的問題，即至今還沒有辦法從實驗上驗證量子重力理論的預言，進而無法通過多個理論之間某些預言的不同來判別其正確性。在這個意義上，量子重力的實驗觀測還需要寄希望於未來的宇宙學觀測以及相關的粒子物理實驗逐漸成為可能[174]。
當前進展
在重力和宇宙學的研究中，廣義相對論已經成為了一個高度成功的模型，至今為止已經通過了每一次意義明確的觀測和實驗的檢驗。然而即便如此，仍然有證據顯示這個理論並不是那麼完善的[175]：對量子重力的尋求以及時空奇異點的現實性問題依然有待解決[176]；實驗觀測得到的支持暗物質和暗能量存在的數據結果也在暗暗呼喚著一種新物理學的建立[177]；而從先驅者號觀測到的反常效應也許可以用已知的理論來解釋，也許則真的是一種新物理學來臨的預告[178]。不過，廣義相對論之中仍然充滿了值得探索的可能性：數學相對論學家正在尋求理解奇異點的本性，以及愛因斯坦場方程式的基本屬性[179]；不斷更新的電腦正在進行黑洞合并等更多的數值模擬[180]；而第一次直接觀測到重力波的競賽也正在前進中[181]，人類希望藉此能夠在比至今能達到的強得多的重力場中創造更多檢驗這個理論的正確性的機會[182]。在愛因斯坦發表他的理論九十多年之後，廣義相對論依然是一個高度活躍的研究領域[183]。
注釋
^ 這段研究發展歷程請參見 Pais（1982年）和 Janssen（2005年）的第九章至第十五章；涵蓋當前最新研究並包含有最初版本的多個重印版都收集在 Renn（2007年）中；在 Renn（2005年），p. 110ff.有相關概述。在 Einstein（1907年）還提供了一篇早期的重要文章，並參見 Pais（1982年），ch. 9。以場方程式為主要特色內容發表的文章是 Einstein（1915年），並參見 Pais（1982年），ch. 11–15。
^ 參見 Schwarzschild（1916a年）， Schwarzschild（1916b年）和 Reissner（1916年）（其後在 Nordström（1918年）有補充）。
^ 參見 Einstein（1917年），並參考 Pais（1982年），ch. 15e。
^ 哈柏的原文是 Hubble（1929年）；相關概述請見 Singh（2004年），ch. 2–4。
^ 正如伽莫夫在 Gamow（1970年）中所指出的，愛因斯坦的懺悔被證明是為時尚早，參見下文的宇宙學一節。
^ 參見 Pais（1982年），p. 253–254。
^ 參見 Kennefick（2005年）和 Kennefick（2007年）。
^ 參見 Pais（1982年），ch. 16。
^ 參見 Israel（1987年），ch. 7.8–7.10和 Thorne（1994年），ch. 3–9。
^ 參見下文的軌道效應，重力時間膨脹和紅移和光線偏折和重力時間延遲及其參考文獻
^ 參見下文的宇宙學及其參考文獻；歷史發展回顧請見 Overbye（1999年）。
^ 下文的表述參考自 Ehlers（1973年），section 1。
^ 例如參見 Arnold（1989年），chapter 1。
^ 參見 Ehlers（1973年），pp. 5f.。
^ 參見 Will（1993年），section 2.4或 Will（2006年），section 2。
^ 參見 Wheeler（1990年），chapter 2；在大多數廣義相對論的通俗讀物中都會提到這個演示。
^ 按照需要的數學水平從低到高排序，參考讀物包括 Giulini（2005年）， Mermin（2005年），以及 Rindler（1991年）；相關的精確實驗測量參見 Ehlers & Lämmerzahl（2006年）的第四部分。
^ 關於這兩種對稱群的比較請見 Giulini（2006a年）。
^ 例如參見 Rindler（1991年），section 22；較為全面的處理方法參見 Synge（1972年），ch. 1 and 2。
^ 例如 Ehlers（1973年），sec. 2.3.
^ 參見 Ehlers（1973年），sec. 1.4.和 Schutz（1985年），sec. 5.1。
^ 實驗證據請參見 Ehlers（1973年），sec. 1.4.，並見下文重力時間膨脹和重力紅移。選擇另一種非零的連接係數扭率張量就會得到愛因斯坦-嘉當理論。
^ 參見 Ehlers（1973年），p. 16； Kenyon（1990年），sec. 7.2； Weinberg（1972年），sec. 2.8。
^ 例如參見 Kenyon（1990年），sec. 7.4。
^ 關於更多的替代理論參見 Brans & Dicke（1961年）， Weinberg（1972年）的第七章第三節， Goenner（2004年），sec. 7.2以及 Trautman（2006年）。
^ 例如參見 Wald（1984年），ch. 4， Weinberg（1972年），ch. 7或任意一本廣義相對論教科書
^ 這種說法至少是近似成立的，參見 Poisson（2004年）。
^ 例如見於 Wheeler（1990年）p. xi
^ 例如參見 Wald（1984年），sec. 4.4
^ 例如參見 Wald（1984年），sec. 4.1。
^ 關於定義廣義相對性原理以及將其從廣義協變性的觀念中分離出來這一過程中所遇到的困難，參見 Giulini（2006b年）。
^ 例如 Weinberg（1972年）的第十二章第五節。
^ 參見 Stephani等作者（2003年）中的介紹章節。
^ 在 Geroch（1996年）中有關於愛因斯坦場方程式在聯繫其他具有物理意義的偏微分方程式下的回顧討論。
^ 關於這些解的背景和列表，參見 Stephani等作者（2003年）；另一個更新的回顧討論是 MacCallum（2006年）。
^ 例如參見 Chandrasekhar（1983年）的第三、五、六章。
^ 例如參見 Narlikar（1993年）的第四章和第3.3節。
^ 在 Hawking & Ellis（1973年），ch. 5中有關於這些解的簡略描述和其他更多的有趣精確解。
^ 參見 Lehner（2002年）的概述。
^ 例如參見 Wald（1984年），sec. 4.4。
^ 例如參見 Will（1993年），sec. 4.1 and 4.2。
^ 參見 Will（2006年）的第3.2節以及 Will（1993年），ch. 4。
^ 參見 Rindler（2001年），pp. 24–26 vs. pp. 236–237和 Ohanian & Ruffini（1994年），pp. 164–172。事實上，愛因斯坦早在1907年就通過（愛因斯坦）等效原理（EEP）推導出了這些效應，參見 Einstein（1907年）和 Pais（1982年），pp. 196–198中的描述。
^ 參見 Rindler（2001年），pp. 24–26； Misner，Thorne & Wheeler（1973 年），§ 38.5。
^ 龐德-雷布卡實驗，參見 Pound & Rebka（1959年）， Pound & Rebka（1960年）； Pound & Snider（1964年）；更多的實驗列表在 Ohanian & Ruffini（1994年），table 4.1 on p. 186。
^ 例如參見 Greenstein，Oke & Shipman（1971年）；最新也是最精確的對於天狼B的觀測成果發表在 Barstow，Bond & Holberg（2005年）。
^ 這類測量以Hafele-Keating實驗為起始，參見 Hafele & Keating（1972a年）和 Hafele & Keating（1972b年），在重力探測器A的探測中達到頂峰；對這類實驗的概述參見 Ohanian & Ruffini（1994年），table 4.1 on p. 186。
^ 通過比較地面上的原子鐘和軌道衛星上的原子鐘來檢測GPS的工作一直在持續進行中；關於相應的相對論效應參見 Ashby（2002年）和 Ashby（2003年）。
^ 在 Stairs（2003年）和 Kramer（2004年）中有回顧評論。
^ 一般性綜述在Will 2006的2.1節；Will 2003, pp. 32–36； Ohanian & Ruffini（1994年），section 4.2。
^ 參見 Ohanian & Ruffini（1994年），pp. 164–172。
^ 參見 Kennefick（2005年） 以了解愛丁頓爵士的早期古典測量；關於現代更多更新的同類測量概述參見 Ohanian & Ruffini（1994年），chapter 4.3。現在所能達到的最精確測量方法是通過脈衝星，參見 Shapiro等作者（2004年）。
^ 狹義相對論中的光速不變不是一條獨立的公理，它能通過愛因斯坦場方程式和電磁場的拉格朗日量並使用WKB方法導出，參見 Ehlers（1973年），section 5。
^ 對這一方面的一個簡明摘要可見於 Blanchet（2006年），section 1.3。
^ 或對光子應用自由落體定律，參見 Rindler（2001年），section 1.16；其他歷史實例可見於 Israel（1987年），p. 202–204.；事實上愛因斯坦在 Einstein（1907年）這篇文獻中已經發表過這種推導，其中的計算默認了時空是歐幾里德性的。參見 Ehlers & Rindler（1997年）。
^ 從愛因斯坦理論的立場來看，這些推導考慮的是重力對光的作用，而並非將重力看作是時空的彎曲，參見 Rindler（2001年），sec. 11.11。
^ 關於在太陽重力場中雷達信號到達金星或水星等行星後返回的延遲，參見 Shapiro（1964年），其教學性的介紹可見於 Weinberg（1972年），ch. 8, sec. 7；關於從太空探測器返回的信號延遲（收發機測量），參見 Bertotti，Iess & Tortora（2003年）；概述可見於 Ohanian & Ruffini（1994年），table 4.4 on p. 200；關於更新的對接收到的脈衝雙星信號的測量，其中一顆脈衝星的信號在另一顆脈衝星的重力場中被延遲，參見 Stairs（2003年），section 4.4。
^ 參見 Will（1993年），sec. 7.1 and 7.2。
^ 關於重力波的概述請見 Misner，Thorne & Wheeler（1973年），part VIII。需要注意到是儘管性質類同於電磁波，重力波輻射的主導項來自於波源的四極矩而非電磁波一樣的偶極矩，參見 Schutz（2001年）。
^ 大多數廣義相對論的教科書都會包含這方面的說明，例如 Schutz（1985年），ch. 9。
^ 例如參見 Jaranowski & Królak（2005年）。
^ 參見 Rindler（2001年），ch. 13。
^ 參見 Gowdy（1971年）， Gowdy（1974年）。
^ 關於數值相對論方法的簡要介紹參見 Lehner（2002年），而 Seidel（1998年）介紹了數值相對論與重力波天文學之間的銜接關係。
^ 參見 Schutz（2003年），pp. 48–49和 Pais（1982年），pp. 253–254。
^ 參見 Rindler（2001年），sec. 11.9。
^ 參見 Will（1993年），pp. 177–181。
^ 在參數化後牛頓形式中，對這種效應的測量決定了兩個參數\beta和\gamma的線性組合，參見 Will（2006年），sec. 3.5和 Will（1993年），sec. 7.3。
^ 在太陽系行星上做出的最精確測量是VLBI測量，參見 Will（1993年），chapter 5， Will（2006年），section 3.5， Anderson等作者（1992年）；概述見於 Ohanian & Ruffini（1994年），pp. 406–407。
^ 參見 Kramer等作者（2006年）。
^ 參見 Stairs（2003年）和 Schutz（2003年），pp. 317–321；以及 Bartusiak（2000年），pp. 70–86。
^ 關於這段研究的概述在 Weisberg & Taylor（2003年）；脈衝雙星本身的發現可見於 Hulse & Taylor（1975年）；關於重力波存在的最早證據在 Taylor（1994年）。
^ 參見 Kramer（2004年）。
^ 例如參見 Penrose（2004年），§14.5和 Misner，Thorne & Wheeler（1973年），sec. §11.4。
^ 參見 Weinberg（1972年），sec. 9.6和 Ohanian & Ruffini（1994年），sec. 7.8。
^ 參見 Bertotti，Ciufolini & Bender（1987年）和更新的評論 Nordtvedt（2003年）。
^ 參見 Kahn（2007年）
^ 任務的介紹可見於 Everitt等作者（2001年）；飛行後的首次評估可見於 Everitt等作者（2007年）；更多更新即將見於此項任務的網站 Kahn（2012年）。
^ 例如參見 Townsend（1997年），sec. 4.2.1和 Ohanian & Ruffini（1994年），pp. 469–471.。
^ 例如參見 Ohanian & Ruffini（1994年），sec. 4.7和 Weinberg（1972年），sec. 9.7；更新的評論在 Schäfer（2004年）。
^ 例如參見 Ciufolini & Pavlis（2004年）和 Ciufolini，Pavlis & Peron（2006年）；參見參考系拖拽了解相關的爭論。
^ Iorio L., COMMENTS, REPLIES AND NOTES: A note on the evidence of the gravitomagnetic field of Mars, Classical Quantum Gravity. August 2006, 23 (17): 5451–5454, doi:10.1088/0264-9381/23/17/N01, Bibcode: 2006CQGra..23.5451I
^ Iorio L., On the Lense-Thirring test with the Mars Global Surveyor in the gravitational field of Mars, Central European Journal of Physics. June 2010, 8 (3): 509–513, doi:10.2478/s11534-009-0117-6, Bibcode: 2010CEJPh...8..509I
^ 關於重力透鏡及其應用的概述參見 Ehlers，Falco & Schneider（1992年）和 Wambsganss（1998年）。
^ 關於重力透鏡效應的簡單推導參見 Schutz（2003年），ch. 23；以及 Narayan & Bartelmann（1997年），sec. 3。
^ 參見 Walsh，Carswell & Weymann（1979年）。
^ 所有這些已知的重力透鏡的照片都可以在CASTLES計劃中找到： Kochanek等作者（2007年）。
^ 相關概述參見 Roulet & Mollerach（1997年）。
^ 參見 Narayan & Bartelmann（1997年），sec. 3.7。
^ 重力波天文學的概述可參見 Barish（2005年）；以及 Bartusiak（2000年）和 Blair & McNamara（1997年）。
^ 重力波探測器概述可見於 Hough & Rowan（2000年）。
^ 參見 Danzmann & Rüdiger（2003年）。
^ LISA pathfinder overview. ESA [23-4-2012].
^ 參見 Thorne（1995年）。
^ 參見 Cutler & Thorne（2002年）。
^ 參見 Miller（2002年），lectures 19 and 21。
^ 例如參見 Celotti，Miller & Sciama（1999年），sec. 3。
^ 參見 Springel等作者（2005年） and the accompanying summary Gnedin（2005年）。
^ 參見 Blandford（1987年），section 8.2.4。
^ 關於這種機制的基本原理參見 Carroll & Ostlie（1996年），sec. 17.2；關於由這種機制形成的不同種類的天體的更多信息參見 Robson（1996年）。
^ 有關相對論性噴流的介紹參見 Begelman，Blandford & Rees（1984年）。有趣的是，對於一個距離遙遠的觀測者而言，某些相對論性噴流的速度看上去甚至超過了光速；但這其實是一種光學上的幻象而並不違反相對論，參見 Rees（1966年）。
^ 關於恆星演化的最終階段參見 Oppenheimer & Snyder（1939年），以及 Font（2003年），sec. 4.1包含了更多更新的數值計算成果；對於超新星爆發的過程仍有一些主要問題沒有被解決，參見 Buras等作者（2003年）；關於吸積和噴流形成的數值模擬，參見 Font（2003年），sec. 4.2。而重力透鏡效應則被認為在接收來自X射線脈衝星的信號中起到了一定作用，參見 Kraus（1998年）。
^ 這些證據包括通過對吸積驅動效應的觀測得到的星體緻密度的極限（「愛丁頓光度」），參見 Celotti，Miller & Sciama（1999年）；對我們的銀河系中心附近的恆星動力學觀測，參見 Schödel等作者（2003年）；對某些X射線暴（其中心星體往往是一顆中子星或黑洞）的研究表明宇宙中至少有某些緻密星體並沒有固態的表面，參見 Remillard等作者（2006年）及 Narayan（2006年），sec. 5；以及對銀河系中心的超大質量黑洞的事件視界的「陰暗」部分的搜索觀測正在積極進行中，參見 Falcke，Melia & Agol（2000年）.
^ 參見 Dalal等作者（2006年）。
^ 例如參見 Barack & Cutler（2004年）。
^ 參見 Carroll（2001年），ch. 2。
^ 參見 Bergström & Goobar（2003年），ch. 9–11；這些宇宙模型之所以能夠被認可，是由於觀測到的宇宙在大尺度（一億光年以上）上是均勻且各向同性的，參見 Peebles等作者（1991年）。
^ 例如參考來自WMAP的數據，參見 Spergel等作者（2003年）。
^ 這些檢驗來自於彼此獨立的觀測，例如參見 Bridle等作者（2003年）中圖2。
^ 參見 Peebles（1966年）；對這些預言的解釋參見 Coc等作者（2004年）；以及 Weiss（2006年）；對這些觀測的比較參見 Olive & Skillman（2004年）， Bania，Rood & Balser（2002年）， O Meara等作者（2001年）以及 Charbonnel & Primas（2005年）。
^ 回顧評論可見於 Lahav & Suto（2004年）和 Bertschinger（1998年）；更新的研究成果在 Springel等作者（2005年）。
^ 參見 Alpher & Herman（1948年），教學性的介紹參見 Bergström & Goobar（2003年），ch. 11；最早對微波背景輻射的觀測在 Penzias & Wilson（1965年），通過人造衛星所作的精確測量在 Mather等作者（1994年） (COBE)和 Bennett等作者（2003年） (WMAP)。未來的觀測還有可能揭示極早期宇宙誕生時就存在的重力波的一些證據；這些附加的信息包含在微波背景輻射的偏振中，參見 Kamionkowski，Kosowsky & Stebbins（1997年）和 Seljak & Zaldarriaga（1997年）。
^ 暗物質存在的證據：一部分來自於對宇宙學參數的確定以及對星系和星系團的一些觀測，參見 Peebles（1993年）的第十八章；一部分來自於重力透鏡，參見 Peacock（1999年），sec. 4.6；一部分來自對大尺度結構形成的模擬，參見 Springel等作者（2005年）。
^ 參見 Peacock（1999年），ch. 12和 Peskin（2007年）；特別地，觀測顯示除了少到可以忽略的一部分之外這些物質基本上不是由通常狀態下的基本粒子組成的（即它們並非強子組成的物質），參見 Peacock（1999年），ch. 12。
^ 也就是說，有些物理學家開始懷疑暗物質存在的證據是否其實是愛因斯坦理論（當然也包括牛頓理論）對重力的描述存在偏差的證明，關於這一猜測的概述參見 Mannheim（2006年），sec. 9。
^ 參見 Carroll（2001年）；概述可見於 Caldwell（2004年）。對於暗能量，有些科學家也認為暗能量並非是一種新的能量形式，而是我們的宇宙學模型需要修正，參見 Mannheim（2006年），sec. 10；不過這不一定意味著要對廣義相對論進行修正，而可以是我們對宇宙各向異性的處理方法需要修正，參見 Buchert（2007年）。
^ 關於暴脹模型有一篇很好的介紹： Linde（1990年）；以及一篇更近的回顧評論： Linde（2005年）。
^ 更準確地說，其中包括平坦問題、視界問題和單極矩問題；教學性介紹參見 Narlikar（1993年），sec. 6.4以及 Börner（1993年），sec. 9.1。
^ 參見 Spergel等作者（2007年），sec. 5 & 6。
^ 更具體地說，在暴脹的動力學中起到關鍵作用的勢能函數在現階段只是簡單推測來的，並沒有經過一個物理理論的推導。
^ 參見 Brandenberger（2007年），sec. 2。
^ 參見 Frauendiener（2004年）， Wald（1984年），section 11.1，以及 Hawking & Ellis（1973年），section 6.8 & 6.9。
^ 例如參見 Wald（1984年），sec. 9.2–9.4和 Hawking & Ellis（1973年），ch. 6.。
^ 參見 Thorne（1972年）；對更新的數值計算結果的解釋可見於 Berger（2002年），sec. 2.1。
^ 有關這一概念的演化介紹，參見 Israel（1987年）。 用更精確的數學描述來區別不同種類的視界，著名的包括事件視界和表面視界，可見於 Hawking & Ellis（1973年），pp. 312–320或 Wald（1984年），sec. 12.2；對於不需要在無限遠處時空性質的孤立系統，還存在直覺的定義，參見 Ashtekar & Krishnan（2004年）。
^ 初步知識參見 Israel（1971年）；相關推導參見 Hawking & Ellis（1973年），sec. 9.3或 Heusler（1996年），ch. 9 and 10；最近的研究成果回顧參見 Heusler（1998年）和 Beig & Chruściel（2006年）。
^ 黑洞力學定律首先是在 Bardeen，Carter & Hawking（1973年）中描述的；一個具有教學性的演示發言可見於 Carter（1979年）；更新的回顧評論參見 Wald（2001年）的第二章。涵蓋了所需要數學的較為全面詳細的介紹參見 Poisson（2004年）。關於潘洛斯過程參見 Penrose（1969年）。
^ 參見 Bekenstein（1973年）和 Bekenstein（1974年）。
^ 黑洞存在量子輻射的事實最早是在 Hawking（1975年）中推導出的；一個更全面的推導可見於 Wald（1975年）；相關回顧評論參見 Wald（2001年）第三章。
^ 參見 Narlikar（1993年），sec. 4.4.4 and 4.4.5。
^ 關於視界參見 Rindler（2001年），sec. 12.4； 關於盎魯效應參見 Unruh（1976年）, cf. Wald（2001年），chapter 3。
^ 參見 Hawking & Ellis（1973年），section 8.1， Wald（1984年），section 9.1。
^ 參見 Townsend（1997年），chapter 2；這一精確解的延伸處理參見 Chandrasekhar（1983年），chapter 3。
^ 參見 Townsend（1997年），chapter 4；這一精確解的延伸處理參見 Chandrasekhar（1983年），chapter 6。
^ 參見 Ellis & van Elst（1999年）；關於奇異點本身的探討參見 Börner（1993年），sec. 1.2。
^ 這是指束縛的零性表面（en:trapped null surface），參見 Penrose（1965年）。
^ 參見 Hawking（1966年）。
^ BKL假說是在 Belinskii，Khalatnikov & Lifschitz（1971年）中建立的；更新的回顧評論參見 Berger（2002年），以及 Garfinkle（2007年）。
^ 對未來奇異點的約束條件自然地排除了像大爆炸奇異點這樣的初始奇異點的存在可能，而這些奇異點原則上在經過一定宇宙學上的時間尺度後是可以被觀測者看到的。宇宙監督假說首先見於 Penrose（1969年）；教科書水平的解釋見於 Wald（1984年），pp. 302–305。更多的數值模擬結果參見評論 Berger（2002年），sec. 2.1。
^ 參見 Hawking & Ellis（1973年），sec. 7.1。
^ 參見 Arnowitt，Deser & Misner（1962年）；教學性介紹參見 Misner，Thorne & Wheeler（1973年），§21.4–§21.7。
^ Fourès-Bruhat（1952年） and Bruhat（1962年）；教學性介紹參見 Wald（1984年），ch. 10；在線的回顧評論參見 Reula（1998年）。
^ 參見 Gourgoulhon（2007年）；並參見數值相對論的基礎回顧 Lehner（2001年），其中還包含從愛因斯坦方程式特性引發的問題。
^ 參見 Misner，Thorne & Wheeler（1973年），§20.4。
^ 參見 Komar（1959年）；教學性介紹參見 Wald（1984年），sec. 11.2；儘管定義方法差別很大，對於定態時空而言可以證明它和ADM質量等價，參見 Ashtekar & Magnon-Ashtekar（1979年）。
^ 參見 Arnowitt，Deser & Misner（1962年）。
^ 教學性介紹參見 Wald（1984年），sec. 11.2。
^ 在 Wald（1984年）的第295頁給出了很多參考；這對於時空的穩定性問題而言非常重要——如果負質量態存在，那麼當平直的閔考斯基時空中的質量為零時將有可能向這些態演化。
^ 例如參見 Townsend（1997年），ch. 5。
^ 這樣的准局部的質量-能量定義包括霍金能量、Geroch能量，以及潘洛斯通過扭量方法定義的准局部能量-動量，參考評論 Szabados（2004年）。
^ 系統介紹量子理論的教科書有很多，如 Messiah（1999年）；更基礎的解釋可參見 Hey & Walters（2003年）。
^ 參見教科書 Ramond（1990年）， Weinberg（1995年）或 Peskin & Schroeder（1995年）；以及概述 Auyang（1995年）。
^ 參見 Wald（1994年）和 Birrell & Davies（1984年）。
^ 霍金輻射參見 Hawking（1975年）， Wald（1975年）黑洞蒸發的更基礎解釋參見 Traschen（2000年）。
^ 參見 Wald（2001年）第三章。
^ 簡單說來，物質是時空曲率的源，由於物質是量子化的，所以我們也期待時空也具有相應的量子性質，參見 Carlip（2001年）第二節。
^ 例如參見 Schutz（2003年）的第407ff頁。
^ 有關時間表和概述可見於 Rovelli（2000年）。
^ 參見 Donoghue（1995年）。
^ 有關重整化參見 Weinberg（1996年）的第十七和十八章；關於重整化對重力場在高能範圍內失效參見 Goroff & Sagnotti（1985年）。
^ 本科生水平的弦論介紹參見 Zwiebach（2004年）；更全面的介紹參見 Polchinski（1998a年）和 Polchinski（1998b年）。
^ 在當前的實驗所能達到的能量下，弦和點狀粒子仍然是無法區分的；但關鍵一點在於，同一種類的基本弦在不同的振動模式下所表現出來的粒子攜帶有不一樣的電荷，例如參見 Ibanez（2000年）。這一理論的成功之處是有一種振動模式總是能與重力的媒介子即重力子對應，例如參見 Green，Schwarz & Witten（1987年），sec. 2.3 and 5.3。
^ 例如參見 Green，Schwarz & Witten（1987年），sec. 4.2。
^ 例如參見 Weinberg（2000年），ch. 31。
^ 例如參見 Townsend（1996年）， Duff（1996年）。
^ Cf. section 3 in Kuchař（1973年）.
^ 這種變數用電場和磁場在數學上的類比來表示幾何重力，參見 Ashtekar（1986年）， Ashtekar（1987年）。
^ 回顧評論參見 Thiemann（2006年）；更詳細的解釋參見 Rovelli（1998年）， Ashtekar & Lewandowski（2004年）以及講義 Thiemann（2003年）。
^ 例如參見系統性的說明 Isham（1994年）和 Sorkin（1997年）。
^ 參見 Loll（1998年）。
^ 參見 Sorkin（2005年）。
^ 參見 Penrose（2004年）的第三十三章和其包含的參考文獻。
^ 參見 Hawking（1987年）。
^ 例如參見 Ashtekar（2007年）， Schwarz（2007年）。
^ 參見 Maddox（1998年），pp. 52–59 and 98–122， Penrose（2004年），section 34.1 and chapter 30。
^ 參見上文量子重力。
^ 參見上文宇宙學。
^ 參見 Nieto（2006年）。
^ 參見 Friedrich（2005年）。
^ 關於數值模擬的諸多問題，以及由此發展的解決技術的回顧評論參見 Lehner（2002年）。
^ 參見 Bartusiak（2000年）了解到2000年為止的重力波探測，更新的結果可見於各大重力波探測計劃主頁，例如GEO 600和LIGO。
^ 緻密雙星旋近的重力波偏振的相關論文參見 Blanchet等作者（2008年）和 Arun等作者（2007年）；緻密雙星的研究回顧評論參見 Blanchet（2006年） 和 Futamase & Itoh（2006年）；廣義相對論的實驗驗證概述參見 Will（2006年）。
^ 高度推薦在線的當代廣義相對論研究評論期刊Living Reviews in Relativity。
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廣義相對論
耶魯大學教學視頻：狹義與廣義相對論來自Google Video
相對論：狹義與廣義的理論 PDF
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廣義相對論系列講義來自2006年龐加萊研究所（入門和進階課程）
廣義相對論教程 作者約翰·貝伊茲
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基本交互作用為物質間最基本的交互作用，常稱為自然界四力或宇宙基本力。迄今為止觀察到的所有關於物質的物理現象，在物理學中都可藉助這四種基本交互作用的機制得到描述和解釋。
名稱 相對強度 (以強交互作用為準) 性質 (對距離的作用大小) 作用的範圍(米) 傳遞交互作用的中間玻色子
強交互作用 1 1/r7 10-15 膠子
電磁交互作用 1/137 1/r2 無限大 光子
弱交互作用 10-13 1/r5 - 7 10-18 W 及 Z 玻色子(W±,Z0)
重力交互作用 10-39 1/r2 無限大 重力子
大統一理論認為：強交互作用、弱交互作用和電磁交互作用可以統一成一種交互作用，目前統一弱交互作用和電磁交互作用的電弱統一理論已經獲得實驗證實。
目錄
1 重力交互作用
2 電磁交互作用
3 強交互作用
4 弱交互作用
5 參見
重力交互作用
主條目：萬有引力
重力交互作用，簡稱重力或引力，是四個基本交互作用中最弱的，但是同時又是作用範圍最大的（不會如電磁力一般相互抵銷）。但當距離增大，重力交互作用的影響力就會遞減，假設兩物件的相互距離為r，其作用力則可以1/r2的計算式推論出來。不像其他的交互作用，重力可以廣泛地作用於所有的物質。由於其廣泛的作用範圍，當物質質量為極大，物質有關的屬性以及與物質的帶電量有時可以相對地忽略。
而由於其廣泛的作用範圍，重力可以解釋一些大範圍的天文現象，比如：銀河系、黑洞和宇宙膨脹；以及基本天文現象例如：行星的公轉；還有一些生活常識例如物體下落、很重的物體好像被固定在地上、人不能跳得太高等。
萬有引力是第一種被數學理論描述的交互作用。在古代，亞里士多德建立了具有不同質量的物體是以不同的速度下落的理論。到了科學革命時期，伽利略·伽利萊用試驗推翻了這個理論－如果忽略空氣阻力，那麼所有的物體都會以相同的速度落向地面。艾薩克·牛頓看到蘋果掉落時發現地心重力，進而引伸出萬有引力定律 (1687年) ，是一個用來描述通常重力行為非常好的近例。在1915年, 阿爾伯特·愛因斯坦完成了廣義相對論，將重力用另一種方式描述－時空幾何，並指出重力是空間與時間彎曲的一種影響。
如今，一個活躍的領域正致力於用一個使用範圍更廣的理論來統一廣義相對論和量子力學－大統一理論。在量子力學中，一個在量子重力理論中設想的粒子－重力子被廣泛地認為是一個傳遞重力的粒子。重力子仍是假想粒子，目前還沒有被觀測到。
儘管廣義相對論在非量子力學限制的情況下較精確地描述了重力，但是仍有不少描述萬有引力的替代理論。這些在物理學界嚴格審視下的理論都是為了減少一些廣義相對論的局限性，而目前觀測工作的焦點就是確定什麼理論修正廣義相對論的局限性是可能的。
但是，最近的研究似乎顯示，萬有引力並不是基本力，而是熵力。[1]
電磁交互作用
主條目：電磁交互作用
世上大部分物質都具有電磁力，而磁與電是電磁力的其中一種表現模式。例如電荷異性相吸、同性相斥的特性是其中之一。電磁力和重力一樣，其作用影響範圍是無限大的。
強交互作用
主條目：強交互作用
強交互作用又稱為強核力，所有存在宇宙中的物體都是由原子構成，而原子核是由中子和質子組成。中子沒有電荷，而質子則帶正電；但需要牽引力把它們結合在一起，而強交互作用就是這種「牽引力」
弱交互作用
主條目：弱交互作用
弱交互作用，或弱核力，可以說是核能另一種來源，主要是核子產生之天然輻射，四種交互作用中，弱交互作用只比重力強一點。
參見
^ On the Origin of Gravity and the Laws of Newton（英文）
強交互作用
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