Enrique Iglesias ft.Sunidhi Chauhan - Heartbeat
Hatla aman baavara
zara sa hai dara dara
Heart..Heart..Heartbeat
I saw you talking on the phone
I know that you are not alone
But you steal my heart away
Yeah..! you steal my heart away
Chori se mile se kisi aur se
Dekha hai main ne tujhe ghor se.
phir kyu mera dil churaate ho..
phir kyu mera dil churathe ho..
I don't know where we going
I don't know who we are
I can feel your heartbeat
Dil ne Kaha..
I can feel your heartbeat
Dil ne Kaha..
I can feel your heartbeat
haa...mein ne sunaa
Heartbeat...haa...mein ne sunaa
Heartbeat...haa..haa..
She said
hatla aman baavara
She said to me
zara sa hai dara dara
She said to me
hatla aman baavara
zara sa hai dara dara
Da..ni sa...
Da.. ni sa...I can feel you
Da..ni Sa I can feel you
Maybe it's the way you move
Lyrics courtesy: Ezeelyrics.com
You got me dreaming like a fool
That I can steal your heart away
I can steal your heart away
Tune samjahi nahi
Mera dil kilona na nahi
kyu mera dil churaate ho
phir kyu mera dil churaate ho..
Aa..aa..aa
I don't know where we going
I don't know who we are
I can feel your heartbeat
Dil ne Kaha..
I can feel your heartbeat
Dil ne Kaha..
I can feel your heartbeat
haa...mein ne sunaa
Heartbeat...feel your heartbeat
She said
hatla aman baavara
She said to me
zara sa hai dara dara
She said to me
hatla aman baavara
zara sa hai dara dara
I can feel your heartbeat
I can feel your heartbeat
your heartbeat... She Said..
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感官
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（重定向自感覺器官）
人類的視覺和聽覺猶如頭腦中一個小人在看電影。
感官是泛指能接受外界刺激的特化器官與分佈在部分身體上的感官神經（Sensory nerve），其運作依全有全無律，是生物體得到外界資訊的通道。
就人類而言其包括眼睛的視覺、耳朵的聽覺、口腔的味覺、鼻子的嗅覺等主要的特化器官與分佈在皮膚的觸覺。
目錄
1 佛教對感官的劃分
2 其他感官
2.1 非人類感官
3 參見
[编辑] 佛教對感官的劃分
主條目：識蘊
佛教對感官的劃分
類似概念
第一感
眼識
五識
八識
視覺
五感
類似醫學上的特殊感覺
第二感
耳識
聽覺
第三感
鼻識
嗅覺
第四感
舌識
味覺
第五感
身識
觸覺
身識類似醫學上的體感
第六感
意識
知覺
一般的第六感是指超感官知覺，類似第六識以後幾識的綜合概念
第七感
末那識 / 我識 / 染污意
直覺，意識的本體，執念的緣起
(個人)潛意識
第八感
阿賴耶識 / 藏識
自覺，無常心，煩惱的根本
集體潛意識
第九感
阿摩羅識
清淨心，佛性的一種
第十感
無量識
以上九識的結合，真理的感受
[编辑] 其他感官
冷熱感
痛感
平衡感
動感
加速感
[编辑] 非人類感官
電場感
磁場感
音波感
壓力感
偏振光感
[编辑] 參見
感覺
感官是一個與解剖學相關的小作品。你可以透過編輯或修訂擴充其內容。
查 · 論 · 編
神經系統: 感覺系統 / 感覺 (TA A15)
特殊感覺
視覺系統/視覺
聽覺系統/聽覺
化學感受器 (嗅覺系統/嗅覺 · 味覺系統/味覺)
體感
疼痛 (傷害感受) · 溫度刺激 (溫感) · 前庭系統 (平衡感) · 機械刺激 (壓力, 振動, 肌肉運動知覺)
其它
感受器
3个分类:
器官
神經系統
感官
分類:神經科學
頁面分類 > 人類社會 > 社會科學 > 心理學 > 神經科學
頁面分類 > 人類社會 > 知識 > 科學 > 醫學 > 神經科學
頁面分類 > 人類社會 > 生活 > 醫學 > 神經科學
神經科學是從分子、細胞、組織、器官、系統、以及行為等層面研究神經系統的結構、功能、發育、遺傳、生物化學、生理、藥理和病理等方面的科學。
此頁面分類的主條目是神經科學。
原時
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原時是在相對論中與事件位在同處的時鐘所測量的唯一時間，他不僅取決於事件，時鐘也在事件的行動之中。對同一個事件，一個加速中的時鐘所測得的原時會比在非加速（慣性）中時鐘的原時為短。雙生子佯謬就是其中的一個例子。
相對的，協調時能由一個與事件有一段距離的觀測者來應用。在狹義相對論中，協調時總是由在慣性系統內有關聯的觀測者計算，而原時則由同在加速中的觀測者測量。
在四維時空中，原時類似在三維空間（歐幾里得空間）的弧長。
在習慣上，原時通常使用大寫希臘字母τ來標示，以與協調時t 或 T.有所區別。
目錄
1 數學的形式
1.1 在狹義相對論
1.2 在廣義相對論
2 在狹義相對論中的例子
2.1 例一：雙生子的"佯謬"
2.2 例二：旋轉盤
3 廣義相對論的例子
3.1 例三：旋轉盤 (again)
3.2 例四：史瓦西解 – 地球上的時間
4 相關條目
[编辑] 數學的形式
原時的定義形式中，包含repesents的時鐘、觀測者或測試的粒子在時空中的路徑描述，和那個時空的度量結構。
[编辑] 在狹義相對論
在狹義相對論，原時的定義如下：
,
此處， v(t) 是在協調時t的座標速度，x、y和z是空間中的正交座標。
如果 t、x、y和z都用一個參量λ的參數，公式可以簡化為：
.
以微分的型式可以寫成路徑的積分：
,
此處，P 是時鐘在時空中的路徑。
為讓事件簡化，在特殊相對論中的慣性運動可以轉化成對瞬時座標成常數比的空間座標。這進一步簡化了原時方程式：
,
此處，Δ的意思是在兩個事件的變化。
特殊相對論的方程式是後續的一般狀況中的特例。
[编辑] 在廣義相對論
[编辑] 在狹義相對論中的例子
[编辑] 例一：雙生子的"佯謬"
在雙胞胎佯謬里。Alice所處座標系統是慣性座標。她座標在所處系統內從(0,0,0,0)移動到(10yr,0,0,0)：即她在原點x = y = z = 0上停留1０年。她的原時是：
在狹義相對論里，只有在處於靜止的座標，原時和座標時間一樣。
如果另外一人Bob，在Alice的座標內在(0,0,0,0)出發，以0.8c運動５年到(5yr,4ly,0,0)。到達後Bob加速（忽略加速過程）、反方向運動再移動５年回Alice的原點(10yr,0,0,0)。前後兩斷原時分別是：
因此在Bob來回運動原時差是６年。這正等於在Bob座標里經歷的座標時間。這表示原時方程式裡自動包括了狹義相對論的時間擴張等作用。事實上在狹義相對論時空里運動的物件經歷的原時差是：
正是時間擴張公式。
[编辑] 例二：旋轉盤
[编辑] 廣義相對論的例子
[编辑] 例三：旋轉盤 (again)
[编辑] 例四：史瓦西解 – 地球上的時間
原時方程式有一個新增的史瓦西解：
,
[编辑] 相關條目
狹義相對論
廣義相對論
時間膨脹
勞侖茲變換
四維矢量
閔考夫斯基空間
查 · 論 · 編
與時間相關的條目
時間單位
取法自然：銀河年 · 默冬章 · 年 · 季 · 月 · 日
人為單位：秒 · 分 · 刻 · 時 · 周 · 旬 · 年代 · 世紀 · 千年
天文的年
交點年 · 回歸年 · 恆星年 · 近點年 · 儒略年
天文的月
交點月 · 回歸月 · 恆星月 · 近點月 · 朔望月
天文的日
儒略日 · 太陽日 · 恆星日 · 曆書日
天文的時
恆星時 · 民用時 · 曆書時
時間標準
國際原子時 · 協調世界時（UTC） · 格林尼治標準時間（GMT） · 地球時（TT） · 力學時（DT）
授時與守時
授時：原時 · 曆元 · 歲差 · 均時差 · 偕日升
守時：地方平時 · 時區 · 標準時間
其他
剎那 · 時辰（地支） · 更 · 大時 · 晝夜平分點
參見:數量級 (時間) · 地質年代 · 年代學
3个分类:
相對論
守時
閔可夫斯基時空
時間知覺
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時間知覺是心理學中的一個重要概念，也稱為時間感。它指人在不使用任何計時工具的情況下,對客觀現象的延續性和順序性的感知。這種感知來源於內部或者外部，外部感知可來源於晝夜長短、節氣、太陽高度等等。內部感知可來源於我們的心跳、呼吸等等。在實驗心理學中，有「復制刺激」的實驗。即給被試一個刺激，燈光或是聲音，刺激出現的時間不等，被試接受刺激後，以被試所感覺的刺激出現時間復制這個刺激。實驗證明，被試在刺激出現3S的情況下復制比較准確。
這是關於心理學家的小作品。你可以透過編輯或修訂擴充其內容。
1个分类:
心理學
四維
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（重定向自四维时空）
關於國之四維「禮義廉恥」，詳見「四維八德」。
從三維投影看，一個在四維空間中繞一個平面旋轉的超正方體。
在物理學和數學中，一個n個數的序列可以被理解為一個n維空間中的位置。當n=4時，所有這樣的位置的集合就叫做四維空間。這種空間與我們熟悉並在其中居住的三維空間不同，因為它多一個維數。這個額外的維數既可以理解成時間，也可以直接理解為空間的第四維，即第四空間維數。
廣義相對論
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汉漢▼▲
關於本條目的避免深奧術語且更容易理解的版本，請見「廣義相對論入門」。
在600千米的距離上觀看十倍太陽質量的黑洞（模擬圖），背景為銀河系
廣義相對論是阿爾伯特·愛因斯坦於1916年發表的用幾何語言描述的引力理論，它代表了現代物理學中引力理論研究的最高水平。廣義相對論將古典的牛頓萬有引力定律包含在狹義相對論的框架中，並在此基礎上應用等效原理而建立。在廣義相對論中，引力被描述為時空的一種幾何屬性（曲率）；而這種時空曲率與處於時空中的物質與輻射的能量-動量張量直接相聯繫，其聯繫方式即是愛因斯坦的引力場方程式（一個二階非線性偏微分方程式組）。
從廣義相對論得到的有關預言和古典物理中的對應預言非常不相同，尤其是有關時間流逝、空間幾何、自由落體的運動以及光的傳播等問題，例如引力場內的時間膨脹、光的引力紅移和引力時間延遲效應。廣義相對論的預言至今為止已經通過了所有觀測和實驗的驗證——雖說廣義相對論並非當今描述引力的唯一理論，它卻是能夠與實驗數據相符合的最簡潔的理論。不過，仍然有一些問題至今未能解決，典型的即是如何將廣義相對論和量子物理的定律統一起來，從而建立一個完備並且自洽的量子引力理論。
愛因斯坦的廣義相對論理論在天體物理學中有著非常重要的應用：它直接推導出某些大質量恆星會終結為一個黑洞——時空中的某些區域發生極度的扭曲以至於連光都無法逸出。有證據表明恆星質量黑洞以及超大質量黑洞是某些天體例如活動星系核和微類星體發射高強度輻射的直接成因。光線在引力場中的偏折會形成引力透鏡現象，這使得人們能夠觀察到處於遙遠位置的同一個天體的多個成像。廣義相對論還預言了引力波的存在，引力波已經被間接觀測所證實，而直接觀測則是當今世界像雷射干涉引力波天文台（LIGO）這樣的引力波觀測計劃的目標。此外，廣義相對論還是現代宇宙學的膨脹宇宙模型的理論基礎。
廣義相對論
入門、數學形式
基礎概念
狹義相對論、等效原理
世界線、黎曼幾何
現象
克卜勒問題、參考系拖拽
引力時間延遲、測地線效應
引力透鏡效應、 重力波
黑洞、視界、引力奇異點
方程式
線性化重力、後牛頓形式論
愛因斯坦場方程式
弗里德曼方程式
進階理論
卡魯扎-克萊因理論
量子重力
愛因斯坦場
方程式的解
史瓦西度規、凱斯納度規
克爾度規、克爾-紐曼度規
萊斯納-諾德斯特洛姆度規
羅伯遜-沃爾克度規
米爾恩模型
科學家
愛因斯坦、勒梅特、愛丁頓
史瓦西、閔考斯基、克爾
錢德拉塞卡 、羅伯遜
弗里德曼、霍金
查 • 論 • 編 • 歷
目錄
1 歷史
2 從古典力學到廣義相對論
2.1 牛頓引力的幾何學
2.2 相對論的概括
2.3 愛因斯坦方程式
3 定義和基礎應用
3.1 定義和基本性質
3.2 物理模型的建立
4 愛因斯坦理論的後續
4.1 引力時間膨脹和引力紅移
4.2 光線偏折和引力時間延遲
4.3 引力波
4.4 軌道效應
4.4.1 近星點的進動
4.4.2 軌道衰減
4.5 測地線效應和參考系拖拽
5 天體物理學上的應用
5.1 引力透鏡
5.2 引力波天文學
5.3 黑洞和其它緻密星體
5.4 宇宙學
6 進階概念
6.1 因果結構和全局幾何
6.2 視界
6.3 奇異點
6.4 演化方程式
6.5 全局和准局部量
7 和量子理論的關係
7.1 彎曲時空中的量子場論
7.2 量子引力
8 當前進展
9 注釋
10 參考文獻
11 外部連結
四維動量
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汉漢▼▲
狹義相對論和廣義相對論中，四維動量（英文：four-momentum）是古典的三維動量在四維時空中的相對論化形式。動量是三維空間中的向量，而類似地四維動量是時空中的四維向量。引入四維動量的原因是它在勞侖茲變換下是協變的。對於一個具有三維動量和能量E的粒子，它的四維動量表示為
四元術
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四元術是中國元朝的數學家朱世傑所發明，記載在他的著作《四元玉鑒》裡。這部著作後來亦被收入《四庫全書》之內。四元術脫胎自李冶的天元術。天元術是中國古代利用算籌計算一元高次方程式的方法；而四元術則將這個方法擴展，變成可以計算四元高次方程式。並利用消元法，將方程式逐步簡化如下：
四元四次 - > 三元三次 - > 二元二次 - > 一元一次 - > 答案
目錄
1 天元術的表示法
2 四元術的表示法
2.1 四元一次方程式
2.2 圓型方程式
3 外部連結
[编辑] 天元術的表示法
天元術利用算籌將高次方程式垂直表示，並逐步消去高次方的數列。以下是現代代數和天元術表示法的比較：
I
I
III
或
III
x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0
III 元
III
I
I 太
[编辑] 四元術的表示法
[编辑] 四元一次方程式
x + 2y + 3z + u = 5
用「天」、「地」、「人」、「物」來表示 x, y, z, u。
2 (地)
3 (人)
-5 (太)
1 (天)
1 (物)
[编辑] 圓型方程式
變為x2 + y2 − 6x − 10y + 34 = 0
用四元法表示，就變成了：
1
-10 (地)
34 (太)
-6 (天)
1
[编辑] 外部連結
上海--巴伐利亞虛擬校園 > 中國歷史上的科技創新 > 數學篇 > 從天元術到四元術 --半符號代數的創立
業餘數學天地-數學精英-朱世傑
北京科普之窗 > 科學長廊 > 人物 > 發明家 > 李冶-天元術的碩果
2个分类:
中國數學史
代數
邏輯運算符
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（重定向自邏輯運算符）
在形式邏輯中，邏輯運算符或邏輯聯結詞把語句連接成更複雜的複雜語句。例如，假設有兩個邏輯命題，分別是「正在下雨」和「我在屋裡」，我們可以將它們組成複雜命題「正在下雨，並且我在屋裡」或「沒有正在下雨」或「如果正在下雨，那麼我在屋裡」。一個將兩個語句組成的新的語句或命題叫做複合語句或複合命題。
[编辑] 基本運算符
基本的操作符有：「非」（¬）、「與」（∧）、「或」（∨）、「條件」（→）以及「雙條件」（↔）。「非」是一個一元操作符，它只操作一項（¬ P）。剩下的是二元操作符，操作兩項來組成複雜語句（P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P ↔ Q）。
注意，符號「與」（∧）和交集（∩），「或」（∨）和並集（∪）的相似性。這不是巧合：交集的定義使用「與」，並集的定義是用「或」。
這些連接符的真值表:
P
Q
¬P
P ∧ Q
P ∨ Q
P → Q
P ↔ Q
T
T
F
T
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
T
F
T
T
F
F
F
T
F
F
T
T
為了減少需要的括號的數量，由以下的優先規則：¬高於∧，∧高於∨，∨高於→。例如，P ∨ Q ∧ ¬ R → S是 (P ∨ (Q ∧ (¬ R)) → S的簡便寫法。
[编辑] 二元邏輯聯結詞表
下面是在輸入P和Q上的16個二元布爾函數。
查 · 論 · 編
邏輯聯結詞
永真（）
與非（） · 反蘊涵（） · 蘊涵（） · 或（）
非（） · 異或（） · 雙條件（） · 命題
或非（） · 非蘊涵（） · 反非蘊涵（） · 與（）
永假（）
1个分类:
布爾代數
物質波
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（重定向自德布羅意假說）
汉漢▼▲
物理學中，物質波（即德布羅意波）係指所有物質的波（見波粒二象性）。
德布羅意說明了波長和動量成反比；頻率和總能成正比 之關係，是路易·德布羅意於1923年在他的博士論文提出的。
第一德布羅意方程式指出，粒子波長λ（亦稱德布羅意波長）和動量p的關係：（下式中普朗克常數h、粒子靜質量m、粒子速度v、勞侖茲因子γ和真空光速c）
第二德布羅意方程式指出頻率f和總能E的關係：
這兩個式子通常寫作
目錄
1 實驗證明
2 大型物件的波長
3 相關條目
4 注釋
5 參考
6 外部連結
[编辑] 實驗證明
1927年，柯林頓·戴維森與雷斯特·革末在貝爾實驗室將電子射向鎳結晶 ，發現其繞射圖譜和布拉格定律（這原是用於X射線的）預測的一樣。在德布羅意假說被接受之前，科學界認為繞射是只會在波發現的性質。
這是量子力學的重要結果。1922年，康普頓證明了光具粒子的性質，而以上實驗就證明了粒子有波的性質，肯定了波粒二象性的學說。物理學家可以使用德布羅意波長，並用波動方程式來解釋物質的現象。
後來基本粒子也被證實有波的性質。1999年，富勒烯被測出有波的性質。[1]
[编辑] 大型物件的波長
理論上，不只亞原子粒子有波的性質。
例如：投球手以40米每秒投出一個質量為0.15公斤的棒球。這個球的波長為
這比光子的直徑10−15米更小，直趨普朗克長度10−35。因此，目前的技術是無法觀察出其波動性質的。
[编辑] 相關條目
波耳模型
群速度
康普頓波長
[编辑] 注釋
^ http://www.univie.ac.at/qfp/research/matterwave/c60/index.html
[编辑] 參考
Steven S. Zumdahl, Chemical Principles 5th Edition, (2005) Houghton Mifflin Company.
Tipler, Paul A. and Ralph A. Llewellyn (2003). Modern Physics. 4th ed. New York; W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4345-0. pp. 203-4, 222-3, 236.
Broglie, Louis de, The wave nature of the electron, Nobel Lecture, December 12, 1929
[编辑] 外部連結
國立交通大學物理系視聽教學：量子力學導論。
2个分类:
振動和波
量子力學
頻譜
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（重定向自頻譜）
本文介紹的是信號的一種表示方式。關於不同頻率的光依序排列形成的圖案，詳見「光譜」。
一個聲音訊號（左圖）及其對應的頻譜（右圖）
頻譜是指一個時域的信號在頻域下表示方式，可以針對信號進行傅立葉變換而得，所得的結果會是以分別以振幅及相位為縱軸，頻率為橫軸的兩張圖，不過有時也會省略相位的資訊，只有不同頻率下對應振幅的資料[1]。有時也以「振幅頻譜」表示振幅隨頻率變化的情形，「相位頻譜」表示相位隨頻率變化的情形[2]。
簡單來說，頻譜可以表示一個訊號是由哪些頻率的弦波所組成，也可以看出各頻率弦波的大小及相位等資訊。
分類:振動和波
相關的維基共享資源： 振動和波
此頁面分類的主條目是振動和波。
分類:資料結構
頁面分類 > 人類社會 > 知識 > 科學 > 計算機科學 > 資料結構
頁面分類 > 人類社會 > 知識 > 學科 > 計算機科學 > 資料結構
在計算機科學中，資料結構是在計算機中存儲數據的方法，使數據能跟有效地使用。一般情況下，精心挑選的資料結構能產生有效的演算法。在選擇資料結構前必須選擇一種抽象資料結構。
樹的遍歷
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在計算機科學裡，樹的遍歷是指通過一種方法按照一定的順序訪問一顆樹的過程。
對於二元樹，樹的遍歷通常有四種：先序遍歷、中序遍歷、後序遍歷、廣度優先遍歷。（前三種亦統稱深度優先遍歷）對於多叉樹，樹的遍歷通常有兩種：深度優先遍歷、廣度優先遍歷。
計算複雜性理論
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（重定向自空间复杂度）
計算複雜性理論（Computational complexity theory）是計算理論的一部分，研究計算問題時所需的資源，比如時間和空間，以及如何盡可能的節省這些資源。
目錄
1 簡介
2 歷史
3 基本概念和工具
3.1 計算模型與計算資源
3.2 判定性問題和可計算性
3.3 演算法分析
3.4 複雜性類
3.5 歸約
4 NP與P關係問題及相關理論
4.1 NP和P的定義
4.2 NP與P關係問題
4.3 NP完備理論
4.4 電路複雜性
4.5 其它NP與P關係問題相關的理論
5 理論與實踐
6 參考
7 外部鏈結
[编辑] 簡介
計算複雜性理論所研究的資源中最常見的是時間（要通過多少步才能解決問題）和空間（在解決問題時需要多少記憶體）。其他資源亦可考慮，例如在並行計算中，需要多少並行處理器才能解決問題。
時間複雜度是指在電腦科學與工程領域完成一個演算法所需要的時間，是衡量一個演算法優劣的重要參數。時間複雜度越小，說明該演算法效率越高，則該演算法越有價值。
空間複雜度是指電腦科學領域完成一個演算法所需要佔用的存儲空間，一般是輸入參數的函數。它是演算法優劣的重要度量指標，一般來說，空間複雜度越小，演算法越好。我們假設有一個圖靈機來解決某一類語言的某一問題，設有X個字（word）屬於這個問題，把X放入這個圖靈機的輸入端，這個圖靈機為解決此問題所需要的工作帶格子數總和稱為空間。
複雜度理論和可計算性理論不同，可計算性理論的重心在於問題能否解決，不管需要多少資源。而複雜性理論作為計算理論的分支，某種程度上被認為和演算法理論是一種「矛」與「盾」的關係，即演算法理論專註於設計有效的演算法，而複雜性理論專註於理解為什麼對於某類問題，不存在有效的演算法。
[编辑] 歷史
在20世紀50年代，Trahtenbrot和Rabin的論文被認為是該領域最早的文獻。而一般說來，被公認為奠定了計算複雜性領域基礎的是 Hartmanis和Stearns的1960年代的論文On the computational complexity of algorithms。在這篇論文中，作者引入了時間複雜性類TIME(f(n))的概念，並利用對角線法證明了時間層級定理（Time Hierarchy Theorem）。
在此之後，許多研究者對複雜性理論作出了貢獻。期間重要的發現包括：對隨機演算法的去隨機化（derandomization）的研究，對近似演算法的不可近似性（hardness of approximation）的研究，以及互動式證明系統（Interactive proof system）理論和零知識證明（Zero-knowledge proof）等。特別的複雜性理論對近代密碼學的影響非常顯著，而最近，複雜性理論的研究者又進入了博弈論領域，並創立了「演算法博弈論」（algorithmic game theory）這一分支。
該領域重要的研究者有（不完全列表）：
史提芬·古克
姚期智 （Andrew Chi-Chih Yao）
Allan Borodin
Manuel Blum
Juris Hartmanis
Richard Karp
Leonid Levin
Alexander Razborov
Michel Sipser
Avi Wigderson
Walter Savitch
Richard Stearns
Lance Fortnow
V. Arvind
Lazlo Babai
[编辑] 基本概念和工具
[编辑] 計算模型與計算資源
計算複雜性理論的研究對象是演算法在執行時所需的計算資源，而為了討論這一點，我們必須假設演算法是在某個計算模型上運行的。常討論的計算模型包括圖靈機（Turing machine）和電路（circuit），它們分別是一致性（uniform）和非一致性（non-uniform）計算模型的代表。而計算資源與計算模型是相關的，如對圖靈機我們一般討論的是時間、空間和隨機源，而對電路我們一般討論電路的大小。
由邱奇-圖靈論題（Church-Turing thesis），所有的一致的計算模型與圖靈機在多項式時間意義下是等價的。而由於我們一般將多項式時間作為有效演算法的標誌，該論題使得我們可以僅僅關注圖靈機而忽略其它的計算模型。
[编辑] 判定性問題和可計算性
主條目：判定性問題
我們考慮對一個演算法問題，什麼樣的回答是我們所需要的。比如搜索問題：給定數組A，和一個數s，我們要問s在不在A中（判定性問 題，decision problem）。而進一步的，s如果在A中的話，s的位置是什麼（搜索型問題，search problem）。再比如完美匹配問題（perfect matching）：給定一個二分圖G=(V,E)，我們問是不是存在邊集E，使得二分圖中每個結點恰好屬於該邊集的一條邊（判定型問題）。而進一步的，E存在的話，E具體是什麼（搜索型問題）。
自然的，我們會發現對於一般的演算法問題A，我們都可以這樣來問：首先，解是不是存在的？其次，如果解存在，這個解具體是什麼？這就是A的判定型問 題和A的搜索型問題（又稱函數型問題）區分來源的直觀解釋。對判定型問題的回答只需是「是」或「否」，而對搜索型問題，需要返回解的具體形式或者「解不存 在」。所以一個對A的搜索型問題的演算法自然的也是對A的判定型問題的演算法。反之，給定了一個A的判定型問題的演算法，是否存在A的搜索型問題的演算 法，在可計算性理論和計算複雜性理論中有著不同的回答，這也是理解計算複雜性理論與它的前身可計算性理論不同的一個基本的觀察。
在可計算性理論中，可以說明，判定型問題和搜索型問題在可計算性的意義下是等價的（見Decision problem）。而在計算複雜性中，Khuller和Vazirani在1990年代證明了在P≠NP的假設下，平面圖4-著色問題的判定型問題是在P中的，而尋找其字典序第一的著色是NP難的。[1]
所以在可計算性理論中，只關注判定型問題是合理的。在計算複雜性理論中，雖然一些基本的複雜性類（如P，NP和PSPACE），以及一些基本的問題 （P和NP關係問題等）是用判定型問題來定義的，但函數型問題複雜性類也被定義（如FP，FNP等），而且一些特別的函數型問題複雜性類，如TFNP，也 正在逐漸受到關注。
[编辑] 演算法分析
上面提到計算複雜性理論的研究對象是執行一項計算任務所用的資源，特別的，時間和空間是最重要的兩項資源。
我們用時間作例子來討論演算法分析的一些基礎知識。如果將輸入的長度（設為n）作為變數，而我們關注的是演算法運行時間關於n的函數關係T(n)。因為一個演算法在不同的計算模型上實現時T(n)可能會有常數因子的差別（參見可計算性理論），我們使用大O表達式來表示T(n)，這使得我們可以忽略在不同計算模型上實現的常數因子。
以搜索這個計算任務為例。在搜索問題中，給定了一個具體的數s，和長度為n的數組A（數組中數的位置用1到n作標記），任務是當s在A中時，找到s 的位置，而s不在A中時，需要報告"未找到"。這時輸入的長度即為n+1。下面的過程即是一個最簡單的演算法：我們依次掃過A中的每個數，並與s進行比 較，如果相等即返回當前的位置，如果掃遍所有的數而演算法仍未停止，則返回"未找到"。
如果我們假設s在A中每個位置都是等可能的，那麼演算法在找到s的條件下需要1/n (1+2+...+n)=n(n+1)/2n=(n+1)/2的時間。如果s不在A中，那麼需要(n+1)的時間。由大O表達式的知識我們知道演算法所需的時間即為O(n)。
而如果我們進一步假設A是已排序的，那麼我們有二分查找演算法，使得演算法的運行時間是O(logn)。可以看出執行一項計算任務，不同的演算法在運行時間上是有很大差異的。
[编辑] 複雜性類
將計算問題按照在不同計算模型下所需資源的不同予以分類，從而得到一個對演算法問題「難度」的類別，就是複雜性理論中複雜性類概念的來源。例如一個 問題如果在確定性圖靈機上所需時間不會超過一個確定的多項式（以輸入的長度為多項式的不定元），那麼我們稱這類問題的集合為P（polynomial time Turing machine）。而將前述定義中的「確定性圖靈機」改為「不確定性圖靈機」，那麼所得到的問題集合為NP（non-deteministic polynomial time Turing machine）。類似的，設n為輸入的長度，那我們可以定義「在確定性圖靈機上所需空間不超O(logn）的演算法問題的集合」（即為L），「存在深度 為O(logn)，輸入的度（fan-in）為O(1)的電路族（circuit family）的演算法問題的集合」（即為NC1）等等複雜性類。
定義複雜性類問題的目的是為了將所有的演算法問題進行分類，以確定當前演算法的難度，和可能的前進方向。這是複雜性理論的一個主線之一：對演算法問 題進行抽象和分類。例如透過大O表達式，我們可以對忽略因計算模型不同而引入的常數因子。而第二個重要的理論假設，就是將多項式時間作為有效演算法的標誌 （與之對應的是指數時間）。這樣，複雜性類使得我們可以忽略多項式階的不同而專注於多項式時間和指數時間的差別。（對多項式時間作為有效演算法的標誌這一 點是有一定爭議的，比如，如果演算法的運行時間n10，那它也可以看作是緩慢的，見理論與實踐。）在本文的其餘章節，「有效演算法」等價於「多項式演算法」
[编辑] 歸約
歸約（reduction） 是將不同演算法問題建立聯繫的主要的技術手段，並且在某種程度上，定義了演算法問題的相對難度。簡單來說，假設我們有演算法任務A和B，如果我們想說「A 比B簡單」（記為A≤B），它應該是什麼意思呢？從歸約的觀點來看，就是說如果我們有了B的有效演算法M，那麼我們有一個有效演算法N，它可以引用M，最 終它要解決A問題。
我們以點集覆蓋問題（vertex cover）和獨立集問題（independent set）為例來進行說明。這兩個問題都是圖論中的問題。假設給定了無向圖G=(V, E)，和一個自然數k，點集覆蓋問題是要找到V的子集S，使得對∀e∈E，有s∈ S，使得s∈ e，且|S|≤k；而獨立集問題也是要找V的子集S，要求是∀s1, s2∈S，(s1, s2)∉ E，且|S|≤k。
一個簡單的觀察即是：對G=(V, E)，一個S⊂V是覆蓋點集，若且唯若S在G的補圖中是獨立點集（而且保持集合大小）。利用這個觀察，假設我們有了解決覆蓋點集問題的演算法M，我們設計解決獨立點集的演算法N如下：
演算法N。
輸入：給定無向圖G=(V, E)，自然數k；
輸出：一個大小≤ k的獨立點集（如果存在，否則返回「不存在」）；
已知：演算法M，輸入為(無向圖G, 自然數k)，輸出大小≤ k的覆蓋點集，如果這樣的點集存在。否則返回「不存在」；
演算法步驟：
對G，產生G的補圖G'；
調用M，輸入為(G', k)；
如果M返回「不存在」，輸出不存在。如果M返回S⊂V，輸出S。
可以看出若產生補圖這一步是有效的，那麼如果M有效，N也是有效的。一般的，如果我們有一個B有效的演算法M，和利用B作為「神諭」 （oracle）的解決A問題的演算法N，那麼如果N是有效的，則我們有有效的解決A問題的演算法N'——只需將N中查詢B的操作換作具體的M演算法即 可。而這一性質的基本解釋是：將多項式的不定元用另一個多項式代替，那麼得到的仍是一個多項式。
所以從歸約的觀點來看，下面的說法可以看作與「A比B簡單」（記為A≤B）等價：
A歸約到B（A reduces to B, or A is reducible to B, or A can be reduced to B）；
存在通過查詢B問題來解決A問題的演算法（there exists an algorithm that asks oracles of B, and solves A）。
[编辑] NP與P關係問題及相關理論
計算複雜性理論最成功的成果之一是NP完備理論。通過該理論，我們可以理解為什麼在程序設計與生產實踐中遇到的很多問題至今沒有找到多項式演算法。而該理論更為計算複雜性中的核心問題：P與NP的關係問題指明了方向。
[编辑] NP和P的定義
在上面我們已經知道，NP是指「在非確定性圖靈機上有多項式時間演算法的問題」的集合，而P是指「在確定性圖靈機上有多項式時間演算法的問題」的集 合。這裡我們都考慮的是判定型問題，即考慮一個語言L，我們要判斷一個字元串x是不是在L中。那麼，一個等價的理解是：NP是指對在L中的x，有多項式長 度的證據w，而且對語言(x,w)是有多項式時間演算法的；而P是指對L中的x，有多項式時間演算法判斷x在不在L中。
舉個例子，就是考慮完美匹配問題、點集覆蓋問題和圖不同構問題。這三個問題都有圖論背影，問題的描述如下：
完美匹配問題：給定圖G=(V,E)，找到邊的子集F⊂E，使得對任意的v∈V，存在唯一的e∈F，v∈e；
點集覆蓋問題：給定圖G=(V,E)，和自然數k，找到點的子集U⊂V，使得對任意的e∈E，存在v∈U，v∈e，且|U|≤k；
圖不同構問題：給定圖G=(V,E)，H=(U,F)，|G|=|H|。我們說G和H是同構的，是指∃T:V→U，對任意的s, t∈V，滿足E(s,t)=F(T(s),T(t))（這裡我們把邊集E看作V×V→{0,1}的映射）。圖不同構是問對G和H，是不是不存在這樣的映射。
關於這三個問題，它們在複雜性理論中，目前的地位如下：
完美匹配問題：在P中。可以利用艾德蒙德演算法得到運行時間的演算法；
點集覆蓋問題：在NP中，而不知道是否在P中。實際上，它是NP完備問題，給出它的多項式演算法將意味著證明NP=P。它在NP中，原因 是給定一 個點的子集U⊂V，我們可以在多項式時間中驗證這是否是一個滿足|U|≤k的點集覆蓋：U的大小很好驗證。然後只需對每一條邊e，遍歷U中每一個元素v， 檢查是否有v∈e即可。運行時間至多為O(VE)；
圖不同構問題：在AM中，而不知道是否在NP中。它之所以困難，一個直觀的想法是：給定兩個圖G和H，首先這個問題的「證據」很難定義 ——不像點 集覆蓋問題中，一個解就是一個點集，而且點集大小≤k≤|V|是多項式大小。這裡最直接的證據的定義，是說必須遍歷所有的映射T:V→U，並對所有的映射 驗證是否滿足同構的定義。而這樣一個證據是指數大小的。
這樣我們有了：在P中、在NP而不知道是不是在P中、在AM中而不知道是不是在NP中的三個問題。
[编辑] NP與P關係問題
在P ≠ NP前提下複雜性類的關係圖解。在該前提下，不在P也不是NP完備的問題的存在性由Ladner解決。[2]
由於在多項式時間可以判斷x在不在L中，蘊含著x本身就是其在L中的證據的含義，所以P⊂NP。這個包含關係是不是嚴格的呢？或者說，是不是有語言L∈NP，使得L∉P？這就是著名的NP與P關係問題。從這個問題在1970年代被正式的提出之後，有NP完備理論賦予了它在實踐上的重要性，有證明複雜性理論賦予了它純數學理論上的重要性，有PCP理論和NP完備理論賦予了它演算法理論上的重要性。這些理論或者在根本上依賴於NP和P關係問題的某些假設，或者本身就是試圖去理解NP和P關係問題而發展出來的，這使得它成為了理論計算機科學乃至數學的中心問題之一。在2000年，凱萊數學研究所提出了新世紀的數學中七個中心問題，NP與P關係問題就是其中的一個。
關於NP與P關係問題最早發展出的理論是NP完備理論。我們在下面一節簡單了解NP完備理論。
[编辑] NP完備理論
主條目：NP完備
由上面歸約的知識我們知道，演算法問題之間可以根據歸約來定義相對的難度。即對問題A和問題B，我們認為A比B簡單，記為A≤B，就是存在使用B問 題解來解決A問題的演算法M，且M是多項式時間的。那麼，在一個複雜性類中，有沒有可能存在「最難的問題」呢？具體的對NP，就是說是不是存在問題 A∈NP，使得對∀B∈NP，有B≤A呢？對這樣的問題，我們稱它是NP完備的。
這個問題乍看起來很不容易把握。因為這需要對所有的NP中的語言L，去找到一個L到A的歸約演算法。然而1970年代的由史蒂芬·庫克和列昂尼德·列文分別發現的庫克-列文定理，證明了布爾表達式（Boolean formula）的可滿足性問題（SAT問題）是NP完備的。概括的說，他們證明了，有一個通用的過程對NP中任意語言在非確定性圖靈機上運行歷史用布爾表達式來編碼，使得該布爾表達式是可滿足的，若且唯若該運行歷史是對給定輸入，接受該輸入的。這樣，我們就有了第一個被證明是NP完備的問題。
在庫克給出SAT問題是NP完備之後不久，理察·卡普證明了21個圖論、組合數學中常見的問題都是NP完備的。這賦予了NP完備問題在實踐中的重要性。現在，已經有成千個在實踐中遇到的演算法問題被證明是NP完備的（參見NP完備問題列表），特別的有許多問題，如旅行商問題等 的最優演算法會帶來很大的經濟效益（旅行商問題的最優解可以給出最優的電路布線方案，而SAT的最優演算法會促進程序驗證等問題的進步）。由NP完備的定 義，我們知道對這其中任何一個問題的多項式演算法都將給出所有NP問題，也包括所有NP完備問題的多項式演算法。然而儘管實際問題中遇到很多NP完備的問 題，而且有很多問題在不同領域有著相當的重要性而被大量研究，至今，仍沒有對NP完備問題的多項式演算法，這是一些理論計算機科學家認為NP≠P的理由之 一。
對NP和P關係問題，NP完備理論給出了如下的暗示：如果要證明NP=P，一個可能的方向是對NP完備問題給出多項式演算法；如果要證明NP≠P，那麼必然的一個結果是NP完備問題沒有多項式演算法。
[编辑] 電路複雜性
主條目：電路複雜性
電路複雜性理論在1990年代以前，被眾多研究者認為是解決NP與P關係問題的可能的途徑之一。電路複雜性研究的對象是非一致性的計算模型電路，並考慮計算一個布爾函數所需的最小的電路的深度（depth）和大小（size）等資源。其中，大小為多項式大小的電路族可以計算的布爾函數被記為P/poly。可以證明，P包含在P/poly之中，而卡普-利普頓定理（Karp-Lipton theorem）表明若P/poly在NP之中，則多項式層級（polynomial hierarchy）將會坍縮至第二層，這是一個不大可能的結果。這兩個結果結合起來表明，P/poly可以當作是分離NP與P的一個中間的工具，具體的 途徑就是證明任一個NP完全問題的電路大小的下界。在直觀上說，電路複雜性也繞過了NP與P問題的第一個困難：相對化證明困難（relativizing proofs）。
在1980年代，電路複雜性途徑取得了一系列的成功，其中包括奇偶性函數（Parity function）在AC0中的下界為指數，以及團問題（clique problem）在單調性電路（monotone circuit）中的下界為指數。然而在1994年Razborov和Rudich的著名論文自然性證明（Natural proof）中指出，上面所用證明電路下界的方法，在單向函數存在的前提下是不可能分離NP和P的。該結果使很多專家對證明電路下界來分離NP和P的前景表示不樂觀。
[编辑] 其它NP與P關係問題相關的理論
計算複雜性理論的基本的主題之一是演算法所需資源的下界。隨著演算法理論的發展，如隨機演算法、近似演算法等演算法理論的發現，計算複雜性理論也相應的展開了對隨機演算法去隨機化（derandomization）和近似演算法不可近似性（hardness of approximation）的研究。有趣的是，這些理論都與NP與P關係問題以及電路複雜性有著密切的聯繫。這裡列表出一些理論計算機科學以NP與P關係問題為基礎發展出的理論，並簡單的介紹它們的研究進展：
互動式證明系統理論；
去隨機化理論：包括偽隨機數發生器（pseudorandom generator）和extractor的構造等；
不可近似性：以PCP定理為基礎，基於NP≠P和更強的唯一性遊戲假設（Unique game conjecture），可以證明對一些問題不存在某近似比的近似演算法；
[编辑] 理論與實踐
計算複雜性的初衷是理解不同演算法問題的難度，特別的是一些重要演算法問題的困難性。為了確切的描述一個問題的困難性，計算複雜性的第一步抽象是認為多項式時間是有效的，非多項式時間是困難的。這基於指數函數增長速度的「違反直覺」的特性：如果一個演算法的時間複雜性為2n，取輸入的規模是100，在運算速度是1012每秒（關於CPU速度，參見Instructions per second，其中報告截止2009年，主流個人電腦的運算速度可以看作是每秒）的情況下，該程序將會運行年，幾乎是宇宙年齡。這為多項式時間被看作是有效時間提供了直觀上的證據。
然而多項式的指數很大的時候，演算法在實踐中也不能看作是有效的。如n10的多項式演算法，取問題規模大小為1000，那麼幾乎就是2100的大小。另一方面，即便一個問題沒有多項式演算法，它可能會有近似比很好的近似演算法（參見近似演算法），或有很好的啟發式演算法（heuristics）。啟發式演算法的特點是在理論上沒有精確的行為的分析，或者可以表明存在很壞的輸入，在這些輸入上運行很慢。然而在大多數時候，它都能快速解決問題。計算複雜性中對應的理論分析是平均複雜性理論（average-case complexity theory）和光滑分析（smooth analysis）。實際中的例子包括en:Presburger arithmetic、布爾可滿足性問題（參見SAT solver）和背包問題。
[编辑] 參考
^ Khuller, S. and Vazirani, V. V. 1991. Planar graph coloring is not self-reducible, assuming P≠NP . Theor. Comput. Sci. 88, 1 (Oct. 1991), 183-183.
^ Ladner, Richard E.. On the structure of polynomial time reducibility (PDF). Journal of the ACM (JACM). 1975, 22 (1): 151–171. doi:10.1145/321864.321877.
[编辑] 外部鏈結
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彈指（acchatā），是指捻彈手指發出聲音，古印度習慣以拇指、中指壓食指，以食指向外急彈，是一種習俗。
南朝宋順帝曾「泣而彈指」。宇文招、敬暉皆曾「彈指出血」。旅法學者吳其昱歸納這種動作的涵義有：一、命令；二、責備；三、推辭謝絕；四、漠不相關、蔑視；五、滿足快樂[1]。彈指又是一種時間。董其昌《畫禪室隨筆》云：「達摩西來，一門超出，而億劫修持三千相，彈指了之。」《摩訶僧祇律》記載：「一剎那者為一念，二十念為一瞬，二十瞬為一彈指，二十彈指為一羅預，二十羅預為一須臾，一日一夜有三十須臾。」
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[编辑] 注釋
^ 吳其昱：〈《世說新語》所引胡語蘭闍考〉
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