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關於本條目的避免深奧術語且更容易理解的版本，請見「廣義相對論入門」。

在600千米的距離上觀看十倍太陽質量的黑洞（模擬圖），背景為銀河系

廣義相對論是阿爾伯特·愛因斯坦於1916年發表的用幾何語言描述的引力理論，它代表了現代物理學中引力理論研究的最高水平。廣義相對論將古典的牛頓萬有引力定律包含在狹義相對論的框架中，並在此基礎上應用等效原理而建立。在廣義相對論中，引力被描述為時空的一種幾何屬性（曲率）；而這種時空曲率與處於時空中的物質與輻射的能量-動量張量直接相聯繫，其聯繫方式即是愛因斯坦的引力場方程式（一個二階非線性偏微分方程式組）。

從廣義相對論得到的有關預言和古典物理中的對應預言非常不相同，尤其是有關時間流逝、空間幾何、自由落體的運動以及光的傳播等問題，例如引力場內的時間膨脹、光的引力紅移和引力時間延遲效應。廣義相對論的預言至今為止已經通過了所有觀測和實驗的驗證——雖說廣義相對論並非當今描述引力的唯一理論，它卻是能夠與實驗數據相符合的最簡潔的理論。不過，仍然有一些問題至今未能解決，典型的即是如何將廣義相對論和量子物理的定律統一起來，從而建立一個完備並且自洽的量子引力理論。

愛因斯坦的廣義相對論理論在天體物理學中有著非常重要的應用：它直接推導出某些大質量恆星會終結為一個黑洞——時空中的某些區域發生極度的扭曲以至於連光都無法逸出。有證據表明恆星質量黑洞以及超大質量黑洞是某些天體例如活動星系核和微類星體發射高強度輻射的直接成因。光線在引力場中的偏折會形成引力透鏡現象，這使得人們能夠觀察到處於遙遠位置的同一個天體的多個成像。廣義相對論還預言了引力波的存在，引力波已經被間接觀測所證實，而直接觀測則是當今世界像雷射干涉引力波天文台（LIGO）這樣的引力波觀測計劃的目標。此外，廣義相對論還是現代宇宙學的膨脹宇宙模型的理論基礎。

廣義相對論

$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,$

入門、數學形式

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显示▼愛因斯坦場方程式的解

显示▼科學家

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[编辑] 歷史

愛因斯坦解釋廣義相對論的手稿扉頁

1905年愛因斯坦發表狹義相對論後，他開始著眼於如何將引力納入狹義相對論框架的思考。以一個處在自由落體狀態的觀察者的理想實驗為出發點，他從1907年開始了長達八年的對引力的相對性理論的探索。在歷經多次彎路和錯誤之後，他於1915年11月在普魯士科學院上作了發言，其內容正是著名的愛因斯坦引力場方程式。這個方程式描述了處於時空中的物質是如何影響其周圍的時空幾何，並成為了愛因斯坦的廣義相對論的核心^[1]。

愛因斯坦的引力場方程式是一個二階非線性偏微分方程式組，數學上想要求得方程式的解是一件非常困難的事。愛因斯坦運用了很多近似方法，從引力場方程式得出了很多最初的預言。不過很快天才的天體物理學家卡爾·史瓦西就在1916年得到了引力場方程式的第一個非平庸精確解——史瓦西度規，這個解是研究星體引力塌縮的最終階段，即黑洞的理論基礎。在同一年，將史瓦西幾何擴展到帶有電荷的質量的研究工作也開始進行，其最終結果就是萊斯納-諾斯特朗姆度規，其對應的是帶電荷的靜態黑洞^[2]。1917年愛因斯坦將廣義相對論理論應用於整個宇宙，開創了相對論宇宙學的研究領域。考慮到同時期的宇宙學研究中靜態宇宙的學說仍被廣為接受，愛因斯坦在他的引力場方程式中添加了一個新的常數，這被稱作宇宙常數項，以求得和當時的「觀測」相符合^[3]。然而到了1929年，哈柏等人的觀測表明我們的宇宙處在膨脹狀態，而相應的膨脹宇宙解早在1922年就已經由亞歷山大·弗里德曼從他的弗里德曼方程式（同樣由愛因斯坦場方程式推出）得到，這個膨脹宇宙解不需要任何附加的宇宙常數項。比利時牧師勒梅特應用這些解構造了宇宙大爆炸的最早模型，模型預言宇宙是從一個高溫高緻密狀態演化來的^[4]。愛因斯坦其後承認添加宇宙常數項是他一生中犯下的最大錯誤^[5]。

在那個時代，廣義相對論與其他物理理論相比仍保持了一種神秘感。由於它和狹義相對論相融洽，並能夠解釋很多牛頓引力無法解釋的現象，顯然它要優於牛頓理論。愛因斯坦本人在1915年證明了廣義相對論是如何解釋水星軌道的反常近日點進動的現象，其過程不需要任何附加參數（所謂「敷衍因子」）^[6]。另一個著名的實驗驗證是由亞瑟·愛丁頓爵士率領的探險隊在非洲的普林西比島觀測到的日食時的光線在太陽引力場中的偏折^[7]，其偏折角度和廣義相對論的預言完全相符（是牛頓理論預言的偏折角的兩倍），這一發現隨後被全球報紙競相報導，一時間使愛因斯坦的理論名聲赫赫^[8]。但是直到1960年至1975年間，廣義相對論才真正進入了理論物理和天體物理主流研究的視野，這一時期被稱作廣義相對論的黃金時代。物理學家逐漸理解了黑洞的概念，並能夠通過天體物理學的性質從類星體中識別黑洞^[9]。在太陽系內能夠進行的更精確的廣義相對論的實驗驗證進一步展示了廣義相對論非凡的預言能力^[10]，而相對論宇宙學的預言也同樣經受住了實驗觀測的檢驗^[11]。

[编辑] 從古典力學到廣義相對論

理解廣義相對論的最佳方法之一是從古典力學出發比較兩者的異同點：這種方法首先需要認識到古典力學和牛頓引力也可以用幾何語言來描述，而將這種幾何描述和狹義相對論的基本原理放在一起對理解廣義相對論具有啟發性作用^[12]。

[编辑] 牛頓引力的幾何學

古典力學的一個基本原理是：任何一個物體的運動都可看作是一個不受任何外力的自由運動（慣性運動）和一個偏離於這種自由運動的組合。這種偏離來自於施加在物體上的外力作用，其大小和方向遵循牛頓第二定律（外力大小等於物體的慣性質量乘以加速度，方向與加速度方向相同^[13]）。而慣性運動與時空的幾何性質直接相關：古典力學中在標準參考系下的慣性運動是勻速直線運動。用廣義相對論的語言說，慣性運動的軌跡是時空幾何上的最短路徑（測地線），在閔考斯基時空中是直的世界線^[14]。

小球落到正在加速的火箭的地板上（左）和落到地球上（右），處在其中的觀察者會認為這兩種情形下小球的運動軌跡沒有什麼區別

反過來，原則上講也可以通過觀察物體的運動狀態和外力作用（如附加的電磁力或摩擦力等）來判斷物體的慣性運動性質，從而用來定義物體所處的時空幾何。不過，當有引力存在時這種方法會產生一些含糊不清之處：牛頓萬有引力定律以及多個彼此獨立驗證的相關實驗表明，自由落體具有一個普遍性（這也被稱作弱等效原理，亦即慣性質量與引力質量等價），即任何測試質量的自由落體的軌跡只和它的初始位置和速度有關，與構成測試質量的材質等無關^[15]。這一性質的一個簡化版本可以通過愛因斯坦的理想實驗來說明，如右圖所示：對於一個處在狹小的封閉空間中的觀察者而言，無法通過觀測落下小球的運動軌跡來判斷自己是處於地面上的地球引力場中，還是處於一艘無引力作用但正在加速的火箭裡（加速度等於地球引力場的重力加速度）^[16]；而作為對比，處於電磁場中的帶電小球運動和加速參考系中的小球運動則是可以通過不同小球攜帶不同的電量來區分的。而由於引力場在空間中存在分布的變化，弱等效原理需要加上局部的條件，即在足夠小的時空區域內引力場中的自由落體運動和均一加速參考系中的慣性運動是完全相同的。

由於自由落體的普遍性，慣性運動（實驗中的火箭內）和在引力場中的運動（實驗中的地面上）是無法通過觀察來區分的。這是在暗示一類新的慣性運動的定義，即在引力作用下的自由落體也屬於慣性運動。通過這種慣性運動則可以重新定義周圍的時空幾何——從數學上看引力場中慣性運動的軌跡（測地線）和引力勢的梯度有關。

[编辑] 相對論的概括

光錐

牛頓引力的幾何理論儘管看上去很有趣，但這一理論的基礎古典力學不過是（狹義）相對論力學的一個特例^[17]。用對稱的語言來說，在不考慮引力的情形下物理學具有勞侖茲不變性，而並非古典力學所具有的伽利略不變性。(狹義相對論的對稱性包含在龐加萊群中，它除了包含有勞侖茲變換所包含的勞侖茲遞升和旋轉外還包含平移不變性。)在研究對象的速度接近光速或者高能的情形下這兩者的區別逐漸變得明顯^[18]。

在勞侖茲對稱性下可以引入光錐的概念（見左圖），光錐構成了狹義相對論中的因果結構：對於每一個發生在時空中的事件A，原則上有能夠通過傳播速度小於光速的信號或交互作用影響到事件A或被事件A影響的一組事件（具有因果聯繫），例如圖中的事件B；也有一組不可能互相影響的事件（不具有因果聯繫），例如圖中的事件C；而這些事件間有無因果聯繫都與觀測者無關^[19]。將光錐和自由落體的世界線聯繫起來可以導出時空的半黎曼度規，或至少可以得到一個正的純量因子，在數學上這是共形結構的定義^[20]。

狹義相對論的建立改變了人們對質量唯一性的觀念：質量不過是系統能量和動量的一種表現形式，這使得愛因斯坦著手將弱等效原理納入一個更廣泛的框架中：處於封閉空間中的觀察者無論採用什麼測量方法（而不僅限於投擲小球）都無法區分自己是處於引力場還是加速參考系中。這種概括成為了著名的愛因斯坦等效原理：在足夠小的時空區域中物理定律退化成狹義相對論中的形式；而不可能通過局部的實驗來探測到周圍引力場的存在。狹義相對論是在不考慮引力的情況下建立的，因此對於實際引力可以忽略的應用這是一個合適的模型。如果考慮引力的存在並假設愛因斯坦等效原理成立，則可知宇宙間不存在全局的慣性系，而只存在跟隨著自由落體的粒子一起運動的局部近似慣性系。用時空彎曲的語言來說，是表徵了無引力作用的慣性系的直的類時世界線在實際時空中彼此會產生彎曲，這意味著引力的引入會改變時空的幾何結構^[21]。愛因斯坦等效原理由此暗示引力作用應歸屬於時空彎曲的範疇，無加速度的慣性運動和引力作用下的自由落體具有完全相同的定義。

實驗數據表明，處於引力場中的時鐘測量出的時間——或者用相對論的語言稱為原時——並不服從狹義相對論定律的制約。用時空幾何的語言來說，這是由於所測量的時空並非閔考斯基度規。對於牛頓引力理論而言這暗示著一種更一般的幾何學。在微小尺度上所有處於自由落體狀態的參考系都是等效的，並且都可近似為閔考斯基性質的平直度規。而接下來我們正在處理的是對閔考斯基時空的彎曲化的一般性概括，所用到的度規張量定義的所在的時空幾何——具體說來是時空中的長度和角度是如何被測量的——並不是狹義相對論的閔考斯基度規，這種度規被概括地稱作半黎曼度規或偽黎曼度規。並且每一種黎曼度規都自然地與一種特別的聯絡相關聯，這種聯絡被稱作列維-奇維塔聯絡；事實上這種聯絡能夠滿足愛因斯坦等效原理的要求並使得時空具有局部的閔考斯基性（這是指在一個適合的局部慣性坐標系下度規是閔考斯基性的，其度規的導數和連接係數即克里斯托費爾符號都為零。）^[22]。總體上可以歸納為，在愛因斯坦的理論中引力引起的時空彎曲是一種可微分流形，這種流形在局部是平直的，但整體上可能具有非常不同的全局幾何。

[编辑] 愛因斯坦方程式

主條目：愛因斯坦引力場方程式

在建立了描述引力效應的相對論性幾何化版本後，還有一個關於引力的起源問題沒有解決。牛頓理論中的引力來源於質量，而在狹義相對論中質量的概念被包含在更具有一般性的能量-動量張量中。這個張量包含了對系統的能量和動量的密度，以及應力（即壓強和切應力的統稱）的描述^[23]，通過等效原理就可以將能量-動量張量概括到彎曲的時空幾何中去。如果和幾何化的牛頓引力作進一步的類比，可以很自然地通過一個場方程式將能量-動量張量和里奇張量聯繫起來，而里奇張量正描述了潮汐效應的一類特殊情形：一團初始狀態為靜止的測試粒子形成的雲的體積會由於這群測試粒子作自由落體運動而變化。在狹義相對論中，能量-動量張量的守恆律在數學上對應著它的散度為零，而這一守恆律也可以被概括到更一般的彎曲時空中，其方法是將古典的偏導數替換為它們在曲面流形上的對應物：協變導數。在這一附加條件下，能量-動量張量的協變散度，以及場方程式右邊所有可能出現的項統統為零，這一組簡潔的方程式表述被稱作愛因斯坦引力場方程式。

$R_{ab} - {\textstyle 1 \over 2}R\,g_{ab} = \kappa T_{ab}.\,$

方程式左邊是一個由里奇張量 $R_{ab}\,$ 構成的並且散度為零的特別組合，這種組合被稱作愛因斯坦張量。特別地，

$R=R_{cd}g^{cd}\,$

是時空曲率的里奇純量。而里奇張量本身與更一般化的黎曼張量之間的關係為

$\quad R_{ab}={R^d}_{adb}.\,$

方程式右邊的 $T_{ab}\,$ 是能量-動量張量。將引力場方程式的理論和對行星軌道實際觀測的結果（或等價地考慮到弱場低速時近似為牛頓引力理論）相比較，可得到方程式中的比例常數 $\kappa = 8\pi G/c^4\,$ ，其中 $G\,$ 是萬有引力常數而 $c\,$ 是光速^[24]。當沒有物質存在時能量-動量張量為零，這時的愛因斯坦場方程式的形式化簡為所謂真空解法：

$R_{ab}=0.\,$

某些廣義相對論的替代理論在基於同樣的前提下通過附加其他準則或約束得到了形式不一樣的引力場方程式，例如愛因斯坦-嘉當理論^[25]。

[编辑] 定義和基礎應用

前一章節概括介紹了確立廣義相對論的基本內容所需的全部信息，並指出了廣義相對論理論的幾個關鍵性質。那麼隨之而來的問題是，廣義相對論對物理學究竟有多重要的意義；具體說來，如何從廣義相對論理論建立具有應用價值的具體物理模型呢？

[编辑] 定義和基本性質

廣義相對論是引力的度規理論，其核心是愛因斯坦場方程式。場方程式描述的是用四維半黎曼流形所描述的時空幾何學，與處在時空中物質的能量-動量張量之間的關係^[26]。古典力學中由引力引起的現象（例如自由落體、星體軌道運動、太空飛行器軌道等），在廣義相對論中對應著在彎曲時空中的慣性運動，即沒有所謂外來的引力使得物體的運動偏離它們原本的自然直線運動路徑。引力本身是時空屬性的幾何學改變，使處在其中的物體沿著時空中最短的路徑作慣性運動^[27]；而反過來時空的曲率是由處在時空中的物質的能量-動量張量改變的。用約翰·惠勒的話來解釋說：時空告訴物體如何運動，物體告訴時空如何彎曲^[28]。

廣義相對論用一個對稱的二階張量替換了古典力學中的引力純量勢，不過前者在某些極限情形下會退化為後者。在弱引力場並且速度遠小於光速的前提下，相對論的結果和牛頓古典理論的結果是重合的^[29]。

廣義相對論是用張量表示的，這是其廣義協變性的體現：廣義相對論的定律——以及在廣義相對論框架中得到的物理定律——在所有參考系中具有相同的形式^[30]。並且，廣義相對論本身並不包含任何不變的幾何背景結構，這使得它能夠滿足更嚴格的廣義相對性原理：物理定律的形式在所有的觀察者看來都是相同的^[31]。而廣義相對論認為在局部由於有等效原理的要求，時空是閔考斯基性的，物理定律具有局部勞侖茲不變性^[32]。

[编辑] 物理模型的建立

廣義相對論性的模型建立的核心內容是愛因斯坦場方程式的解。在愛因斯坦場方程式和一個附加描述物質屬性的方程式（類似於馬克士威方程組和介質的本構方程式）同時已知的前提下，愛因斯坦場方程式的解包含有一個確定的半黎曼流形（通常由特定坐標下得到的度規給出），以及一個在這個流形上定義好的物質場。物質和時空幾何一定滿足愛因斯坦場方程式，因此特別地物質的能量-動量張量的協變散度一定為零。當然，物質本身還需要滿足描述其屬性的附加方程式。因此可以將愛因斯坦場方程式的解簡單理解為一個由廣義相對論制約的宇宙模型，其內部的物質還同時滿足附加的物理定律^[33]。

愛因斯坦場方程式是非線性的偏微分方程式組，因此想要求得其精確解十分困難^[34]。儘管如此，仍有相當數量的精確解被求得，但只有一些具有物理上的直接應用^[35]。其中最著名的精確解，同時也是從物理角度來看最令人感興趣的解包括史瓦西解、萊斯納-諾斯特朗姆解、克爾解，每一個解都對應著特定類型的黑洞模型^[36]；以及弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克解和德西特宇宙，每一個解都對應著一個膨脹的宇宙模型^[37]。純粹理論上比較有趣的精確解還包括哥德爾宇宙（暗示了在彎曲時空中進行時間旅行的可能性）、Taub-NUT解（一種均勻卻又各向異性的宇宙模型）、反德西特空間（近年來由於超弦理論中的馬爾達西那假說的提出而變得知名）^[38] 。

尋找愛因斯坦場方程式的精確解並非易事，因此在更多場合下愛因斯坦場方程式的解是通過計算機採用數值積分的方法，或者對精確解作微擾求得的近似解。在數值相對論這一分支中，人們使用高性能的計算機來數值模擬時空幾何，以用於數值求解兩個黑洞碰撞等有趣場合下的愛因斯坦場方程式^[39]。原則上只要計算機的運算能力足夠強大，數值相對論的方法就可以應用到任何系統中，從而有可能對裸奇異點等基礎問題做出解答。另一種求得近似解的方法是藉助於像線性化引力^[40]和後牛頓力學近似方法這樣的微擾理論，這兩種微擾方法都是由愛因斯坦發展的，其中後者為求解時空內分布的物體速度遠小於光速時的時空幾何提供了系統的方法。後牛頓力學近似方法是一系列展開項，第一項對應著牛頓引力，而後面的微擾項對應著廣義相對論理論對牛頓力學所作的修正^[41]。這種近似展開的一種擴展方法是參數化後牛頓形式，應用這種方法可以量化地比較廣義相對論和其替代理論的預言結果^[42]。

[编辑] 愛因斯坦理論的後續

廣義相對論對物理學的影響非常深遠，其引發了諸多理論和實驗的研究成果。其中一部分是從廣義相對論的定律中直接導出的，而有些則從廣義相對論發表至今經過長久的研究才逐漸變得明朗。

[编辑] 引力時間膨脹和引力紅移

主條目：引力時間膨脹和紅移

光波從一個大質量物體表面出射時頻率會發生紅移

如果等效原理成立^[43] ，則可得到引力會影響時間流逝的結論。射入引力勢阱中的光會發生藍移，而相反從勢阱中射出的光會發生紅移；歸納而言這兩種現象被稱作引力紅移。更一般地講，當有一個大質量物體存在時，對於同一個過程在距離大質量物體更近時會比遠離這個物體時進行得更慢，這種現象叫做引力時間膨脹^[44]。

引力紅移已經在實驗室中^[45]及在天文觀測中^[46]得到證實和測量，而地球引力場中的引力時間延緩效應也已經通過原子鐘進行過多次測量^[47]。當前的測量表明地球引力場的時間延緩會對全球定位系統（GPS）的運行產生一定影響^[48]。這種效應在強引力場中的測試是通過對脈衝雙星的觀測完成的^[49]，所有的實驗結果都和廣義相對論相符^[50]。不過在當前的測量精度下，人們還不能從中判斷這些觀測到底更支持廣義相對論還是同樣滿足等效原理的其他替代理論^[51]。

[编辑] 光線偏折和引力時間延遲

主條目：廣義相對論中的克卜勒問題、引力透鏡和引力時間延遲效應

從光源（圖中藍點表示）發射出的光線在途徑一個緻密星體（圖中灰色區域表示）時發生的光線偏折

廣義相對論預言光子的路徑在引力場中會發生偏折，即當光子途徑一個大質量物體時路徑會朝向物體發生彎曲。這種效應已經通過對來自遙遠恆星或類星體的光線途徑太陽時的路徑觀測得到證實^[52]。

這種現象（以及其他相關現象）的原因是光具有被稱作類光的（或被稱作零性的）測地線——相對於在古典物理中光的傳播路線是直線，類光的（或零性的）測地線是廣義相對論的相應概括，來源於狹義相對論中的光速不變原理^[53]。選取了合適的時空幾何（例如黑洞視界外的史瓦西解，或後牛頓展開項）^[54]就可以進一步看到引力場對光的傳播的影響，這種影響是純粹廣義相對論性的。即是說儘管從古典力學出發，通過計算中心質量對光子的古典散射也可以得到光線的偏折效應^[55]，但從這種古典方法得到的偏折角度只有廣義相對論結果的一半。^[56]

和光線偏折現象密切相關的另一現象是引力時間延遲效應（或稱作夏皮羅延遲效應），這種現象是指在引力場中光的傳播時間要比無引力場的情形下要長，這種效應已經被多個觀測成功證實^[57]。在參數化後牛頓形式中，對光線偏折和對時間延遲的測量共同決定了一個參數 $\gamma\,$ ，這個參數表徵了引力對時空幾何的影響^[58]。

[编辑] 引力波

主條目：引力波

懸浮在空間中的靜止粒子排列成的環

測試粒子受到引力波的作用

弱引力場和電磁場相比有一個重要類同之處：類似於隨時間變化的電磁場會輻射電磁波，引力場也有可能會輻射引力波。引力波有如時空度規的漣漪，以光速在空間中傳播^[59]。最簡單的一類情形如右所示：排列成一個環狀的自由懸浮粒子（右上靜態圖像），當有一束正弦引力波穿過這個環並朝向讀者傳播時，引力波會將這個環以一種具有特徵性和旋律性的方式扭曲（右下動畫）^[60]。由於愛因斯坦場方程式是非線性的，強引力場中的任意強度的引力波不滿足線性疊加原理。但在弱場情形下可採用線性近似，由於從遙遠的天體輻射出的引力波到達地球時已經非常微弱，這時線性化的引力波已經足以精確描述其到達地球時的強度，其引起的空間距離的相對變化大約在10^-21或更低。這些線性化的引力波是可以進行傅立葉分解的，對這些引力波信號進行的數據分析正是基於這個原理^[61]。

場方程式的個別精確解能夠在不藉助任何近似條件的前提下描述引力波，如一束傳遍整個空間的波列^[62]，以及所謂高蒂宇宙（多種充滿引力波的膨脹宇宙的總稱）^[63]。不過對於天體物理學意義上的引力輻射而言，例如黑洞雙星的合并過程，後牛頓力學近似方法、微擾理論或數值相對論等近似途徑是僅有的處理手段^[64]。

[编辑] 軌道效應

主條目：廣義相對論中的克卜勒問題

對於作軌道運動的物體，廣義相對論和古典力學的預言在很多地方有所不同。廣義相對論預言公轉星體的軌道會發生總體的旋轉（進動），而軌道本身也會由於引力輻射而發生衰減。

[编辑] 近星點的進動

行星繞恆星作公轉的古典力學軌道（紅）和廣義相對論軌道（藍）比較

廣義相對論中，任意軌道的拱點（軌道上最接近或最遠離系統質心的點）會發生進動，這使得軌道不再是橢圓，而是一個繞著質心旋轉的准橢圓軌道，其總體上看接近於玫瑰線的形狀。愛因斯坦最早通過近似度規來表示牛頓力學的極限，並將軌道運動的物體看作一個測試質點從而在理論上得到了這一結果。這一結果的重要性在於，它能夠最簡潔地解釋天文學家勒維耶在1859年發現的水星近日點的反常進動，而這對於當時的愛因斯坦而言是最終確認引力場方程式的正確形式的一個重要依據^[65]。

從精確的史瓦西度規^[66]或採用更為一般的後牛頓力學近似形式^[67]也能夠推導出這種效應。從本質上說，這種進動是由於引力對時空幾何的影響，以及對物體引力的自能量的貢獻（其意義包含在愛因斯坦場方程式的非線性中）^[68]。現在已經觀測到了所有能夠進行精確軌道進動測量的太陽系行星（水星、金星、地球）的相對論進動^[69]，而且已經觀察到某些脈衝雙星系統的軌道進動效應，其效應要比太陽系內行星高出五個數量級^[70]。

[编辑] 軌道衰減

對脈衝雙星PSR1913+16的周期變化長達三十年的觀測，其周期變化在秒量級內

根據廣義相對論，一個雙星系統會通過引力輻射的形式損失能量。儘管這種能量損失一般相當緩慢，卻會使得雙星間的距離逐漸降低，同時降低的還有軌道周期。在太陽系內的兩體系統或者一般的雙星中，這種效應十分微弱因此難以觀測。然而對於一個密近脈衝雙星系統而言，在軌道運動中它們會發射極度規律的脈衝信號，地球上的接收者從而能夠將這個信號序列作為一個高度精確的時鐘。這個精確的時鐘是用來精確測量脈衝雙星軌道周期的最佳工具。並且由於組成脈衝雙星的恆星是中子星，其緻密性能導致有較多部分的能量以引力輻射的形式傳播出去^[71]。

最早觀測到這種因引力輻射導致的軌道周期衰減的實驗是由赫爾斯和泰勒完成的，他們所觀測的脈衝雙星是他們於1974年發現的PSR 1913+16。這也是人類首次在實驗上證實引力波的存在，儘管這只是一種間接觀測，這項工作因此獲得1993年的諾貝爾物理學獎^[72]。從那以後更多的脈衝雙星被發現，值得一提的是PSR J0737-3039，雙星系統的兩個成員都是脈衝星^[73] 。

[编辑] 測地線效應和參考系拖拽

主條目：測地線效應和參考系拖拽

有些相對論效應與坐標的方向性有關^[74]，其一是測地線效應，例如一個在彎曲時空中作自由落體運動的陀螺的自轉軸會因此而改變，即使陀螺的自轉軸方向在運動過程中儘可能保持一直穩定（即所謂在曲面上作「平行輸運」）^[75]。地球-月球系統的測地線效應已經通過月球雷射測距實驗得到驗證^[76]。近年來人們又通過發射引力探測器B衛星來測量測試質量在地球引力場中的測地線效應，其結果和理論值的誤差小於1%^[77]。

在一個旋轉質量的周圍還會產生引力磁性以及更一般的參考系拖拽效應，觀察者會認為旋轉質量對周圍的時空產生拖拽效應，處於旋轉質量周圍的物體會因此發生坐標改變。一個極端的版本是旋轉黑洞的所謂能層區域，當有任何物體進入旋轉黑洞的能層時都會不可避免地隨著黑洞一起發生轉動^[78]。理論上這種效應也可以通過觀察其對一個自由落體狀態的陀螺自轉方向的影響進行驗證^[79] 。在存在爭議的LAGEOS衛星實驗中參考系拖拽效應得到了初步證實^[80]。參考系拖拽的測量也是引力探測器B的主要任務之一，其結果預計將於2008年9月發布^[81]。

[编辑] 天體物理學上的應用

[编辑] 引力透鏡

主條目：引力透鏡

愛因斯坦十字：同一個天體在引力透鏡效應下的四個成像

引力場中光線的偏折效應是一類新的天文現象的原因。當觀測者與遙遠的觀測天體之間還存在有一個大質量天體，當觀測天體的質量和相對距離合適時觀測者會看到多個扭曲的天體成像，這種效應被稱作引力透鏡^[82]。受系統結構、尺寸和質量分布的影響，成像可以是多個，甚至可以形成被稱作愛因斯坦環的圓環，或者圓環的一部分弧^[83]。最早的引力透鏡效應是在1979年發現的^[84]，至今已經發現了超過一百個引力透鏡^[85]。即使這些成像彼此非常接近以至於無法分辨——這種情形被稱作微引力透鏡——這種效應仍然可通過觀測總光強變化測量到，很多微引力透鏡也已經被發現^[86]。

引力透鏡已經發展成為觀測天文學的一個重要工具，它被用來探測宇宙間暗物質的存在和分布，並成為了用於觀測遙遠星系的天然望遠鏡，還可對哈柏常數做出獨立的估計。引力透鏡觀測數據的統計結果還對星繫結構演化的研究具有重要意義^[87]。

[编辑] 引力波天文學

主條目：引力波天文學

藝術家的構想圖：雷射空間干涉引力波探測器LISA

對脈衝雙星的觀測是間接證實引力波存在的有力證據（參見上文軌道衰減一節），然而對來自宇宙深處的引力波的直接觀測始終未能實現，這也成為了相對論前沿研究的主要課題之一^[88]。現在已經有相當數量的地面引力波探測器投入運行，最著名的是GEO600、LIGO（包括三架雷射干涉引力波探測器）、TAMA300和VIRGO^[89]；而美國和歐洲合作的空間雷射干涉探測器LISA現在正處於開發階段^[90]，其先行測試計劃LISA探路者（LISA Pathfinder）將於2009年底之前正式發射升空^[91]。

對引力波的探測將在很大程度上擴展基於電磁波觀測的傳統觀測天文學的視野^[92] ，人們能夠通過探測到的引力波信號了解到其波源的信息。這些從未被真正了解過的信息可能來自於黑洞、中子星或白矮星等緻密星體，可能來自於某些超新星爆發，甚至可能來自宇宙誕生極早期的暴漲時代的某些烙印，例如假想的宇宙弦^[93]。

[编辑] 黑洞和其它緻密星體

主條目：黑洞

基於廣義相對論理論的計算機模擬一顆恆星塌縮為黑洞並釋放出引力波的過程

廣義相對論預言了黑洞的存在，即當一個星體足夠緻密時，其引力使得時空中的一塊區域極端扭曲以至於光都無法逸出。在當前被廣為接受的恆星演化模型中，一般認為大質量恆星演化的最終階段的情形包括1.4倍左右太陽質量的恆星演化為中子星，而數倍至幾十倍太陽質量的恆星演化為恆星質量黑洞^[94]。具有幾百萬倍至幾十億倍太陽質量的超大質量黑洞被認為定律性地存在於每個星系的中心^[95]，一般認為它們的存在對於星系及更大的宇宙尺度結構的形成具有重要作用^[96]。

在天文學上緻密星體的最重要屬性之一是它們能夠極有效率地將引力能量轉換為電磁輻射^[97]。恆星質量黑洞或超大質量黑洞對星際氣體和塵埃的吸積過程被認為是某些非常明亮的天體的形成機制，著名且多樣的例子包括星系尺度的活動星系核以及恆星尺度的微類星體^[98]。在某些特定場合下吸積過程會在這些天體中激發強度極強的相對論性噴流，這是一種噴射速度可接近光速的^[99]且方向性極強的高能電漿束。在對這些現象進行建立模型的過程中廣義相對論都起到了關鍵作用^[100]，而實驗觀測也為支持黑洞的存在以及廣義相對論做出的種種預言提供了有力證據^[101]。

黑洞也是引力波探測的重要目標之一：黑洞雙星的合并過程可能會輻射出能夠被地球上的探測器接收到的某些最強的引力波信號，並且在雙星合并前的啁啾信號可以被當作一種「標準燭光」從而來推測合并時的距離，並進一步成為在大尺度上探測宇宙膨脹的一種手段^[102]。而恆星質量黑洞等小質量緻密星體落入超大質量黑洞的這一過程所輻射的引力波能夠直接並完整地還原超大質量黑洞周圍的時空幾何信息^[103]。

[编辑] 宇宙學

主條目：物理宇宙學

威爾金森微波各向異性探測器（WMAP）拍攝的全天微波背景輻射的溫度漲落

現代的宇宙模型是基於帶有宇宙常數的愛因斯坦場方程式建立的，宇宙常數的值對大尺度的宇宙動力學有著重要影響。

$R_{ab} - {\textstyle 1 \over 2}R\,g_{ab} + \Lambda\ g_{ab} = \kappa\, T_{ab}$

這個經修改的愛因斯坦場方程式具有一個各向同性並均勻的解：弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規^[104]，在這個解的基礎上物理學家建立了從一百四十億年前熾熱的大爆炸中演化而來的宇宙模型^[105]。只要能夠將這個模型中為數不多的幾個參數（例如宇宙的物質平均密度）通過天文觀測加以確定^[106]，人們就能從進一步得到的實驗數據檢驗這個模型的正確性^[107]。這個模型的很多預言都是成功的，這包括太初核合成時期形成的化學元素初始丰度^[108]、宇宙的大尺度結構^[109]以及早期的宇宙溫度在今天留下的「迴音」：宇宙微波背景輻射^[110]。

從天文學觀測得到的宇宙膨脹速率可以進一步估算出宇宙中存在的物質總量，不過有關宇宙中物質的本性還是一個有待解決的問題。現在估計宇宙中大約有90%以上的物質都屬於暗物質，它們具有質量（即參與引力交互作用），但不參與電磁交互作用，即它們無法（通過電磁波）直接觀測到^[111]。目前在已知的粒子物理^[112]或其他什麼理論^[113]的框架中還沒有辦法對這種物質做出令人滿意的描述。另外，對遙遠的超新星紅移的觀測以及對宇宙微波背景輻射的測量顯示，我們的宇宙的演化過程在很大程度上受宇宙常數值的影響，而正是宇宙常數的值決定了現在宇宙的加速膨脹。換句話說，宇宙的加速膨脹是由具有非通常意義下的狀態方程式的某種能量形式決定的，這種能量被稱作暗能量，其本性也仍然不為所知^[114]。

在所謂暴漲模型中，宇宙曾在誕生的極早期（～10^-33秒）經歷了劇烈的加速膨脹過程^[115]。這個在於二十世紀八十年代提出的假說是由於某些令人困惑並且用古典宇宙學無法解釋的觀測結果而提出的，例如宇宙微波背景輻射的高度各向同性^[116]，而現在對微波背景輻射各向異性的觀測結果是支持暴漲模型的證據之一^[117]。然而，暴漲的可能的方式也是多樣的，現今的觀測還無法對此作出約束^[118]。一個更大的課題是關於極早期宇宙的物理學的，這涉及到發生在暴漲之前的、由古典宇宙學模型預言的大爆炸奇異點。對此比較有權威性的意見是這個問題需要由一個完備的量子引力理論來解答，而這個理論至今還沒有建立^[119]（參見下文量子引力）。

[编辑] 進階概念

[编辑] 因果結構和全局幾何

主條目：因果結構

一個無限的靜態閔考斯基宇宙的潘洛斯圖

在廣義相對論中沒有任何有靜止質量的物體能夠追上或超過一束光脈衝，即是說發生於某一點的事件A在光從那一點傳播到空間中任意位置X之前無法對位置X產生影響。因此，一個時空中所有光的世界線（零性測地線）包含了有關這個時空的關鍵因果結構信息。描述這種因果結構的是潘洛斯-卡特圖，在這種圖中無限大的空間區域和時間間隔通過共形變換被「收縮」（數學上稱為緊化）在可被容納的有限時空區域內，而光的世界線仍然和在閔考斯基圖中一樣用對角線表示^[120]。

潘洛斯和其他研究者注意到因果結構的重要性，從而發展了所謂全局幾何。全局幾何中研究的對象不再是愛因斯坦場方程式的一個個特定解（或一族解），而是運用一些對所有測地線都成立的關係，如Raychaudhuri方程式，以及對物質本性的非特異性假設（通常用所謂能量條件的形式來表述）來推導普適性結論^[121]。

[编辑] 視界

主條目：視界、無毛定理和黑洞力學

在全局幾何下可以證明有些時空中存在被稱作視界的分界線，它們將時空中的一部分區域隔離起來。這樣的最著名例子是黑洞：當質量被壓縮到空間中的一塊足夠小的區域中後（相關長度為史瓦西半徑^[122]），沒有光子能從內部逸出。而由於任何有質量的粒子速度都無法超過光速，黑洞內部的物質也被封閉在視界內。不過，從視界之外到視界之內的通道依然是存在的，這表明黑洞的視界作為一種分界線並不是物理性質的屏障^[123]。

一個旋轉黑洞的能層，在從旋轉黑洞抽取能量的過程中扮演著重要角色

早期的黑洞研究主要依賴於求得愛因斯坦場方程式的精確解，著名的解包括球對稱的史瓦西解（用來描述靜態黑洞）和反對稱的克爾解（用來描述旋轉定態黑洞，並由此引入了能層等有趣的屬性）。而後來的研究通過全局幾何揭示了更多的關於黑洞的普適性質：研究表明經過一段相當長的時間後黑洞都逐漸演化為一類相當簡單的可用十一個參數來確定的星體，包括能量、動量、角動量、某一時刻的位置和所帶電荷。這一性質可歸納為黑洞的唯一性定理：「黑洞沒有毛髮」，即黑洞沒有像人類的不同髮型那樣的不同標記。例如，星體經過引力塌縮形成黑洞的過程非常複雜，但最終形成的黑洞的屬性卻相當簡單^[124]。

更值得一提的是黑洞研究已經得到了一組制約黑洞行為的一般性定律，這被稱作黑洞（熱）力學，這些定律與熱力學定律有很強的類比關係。例如根據黑洞力學的第二定律，一個黑洞的視界面積永不會自發地隨著時間而減少，這類似於一個熱力學系統的熵；這個定律也決定了通過古典方法（例如，潘洛斯過程）不可能從一個旋轉黑洞中無限度地抽取能量^[125]。這些都強烈暗示了黑洞力學定律實際是熱力學定律的一個子集，而黑洞的表面積和它的熵成正比^[126]。從這個假設可以進一步修正黑洞力學定律。例如，由於黑洞力學第二定律是熱力學第二定律的一部分，則可知黑洞的表面積也有可能減小，只要有某種其它過程來保證系統的總熵是增加的。而熱力學第三定律認為不存在溫度為絕對零度的物體，可以進一步推知黑洞應該也存在熱輻射；半古典理論計算表明它們確實存在有熱輻射，在這個機制中黑洞的表面引力充當著普朗克黑體輻射定律中溫度的角色，這種輻射稱作霍金輻射（參見下文量子理論一節）^[127]。

廣義相對論還預言了其他類型的視界模型：在一個膨脹宇宙中，觀察者可能會發現過去的某些區域不能被觀測（所謂「粒子視界」），而未來的某些區域不能被影響（事件視界）^[128]。即使是在平直的閔考斯基時空中，當觀察者處於一個加速的參考系時也會存在視界，這些視界也會伴隨有半古典理論中的盎魯輻射^[129]。

[编辑] 奇異點

主條目：引力奇異點

廣義相對論的另一個普遍卻又令人困擾的特色問題是時空的分界線——奇異點的出現。時空可以通過沿著類時和類光的測地線來探索，這些路徑是光子及其他所有粒子在自由落體運動中的可能軌跡，但愛因斯坦場方程式的某些解具有「粗糙的邊緣」——這被稱作時空奇異點，這些奇異點上類時或類光的測地線會突然中止，而對於這些奇異點沒有定義好的時空幾何來描述。需要說明的是，「奇異點」往往可能並不是一個「點」：那些場方程式的解的「粗糙邊緣」在既有坐標系下，不僅可能是一個「點」，還可以以其他幾何形式出現（比如克爾黑洞的「奇環」等）。一般意義上的奇異點是指曲率奇異點，這是說在這些點上描述時空曲率的幾何量，例如里奇張量為無限大^[130]（曲率奇異點是相對所謂坐標奇異點而言的，坐標奇異點本質上不屬於奇異點的範疇：有些度規在某個特定坐標下會產生無窮大，但本質上這些點不具有奇性，在其他合適的坐標下是光滑的，也不會產生無窮大的曲率張量）。描述未來的奇異點（世界線的終結）的著名例子包括永遠靜態的史瓦西黑洞內部的奇異點^[131]，以及永遠旋轉的克爾黑洞內部的環狀奇異點^[132]。弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規，以及其他描述宇宙的時空幾何都具有過去的奇異點（世界線的開端），這被稱作大爆炸奇異點，而有些還具有未來的奇異點（大擠壓）^[133]。

考慮到這些模型都是高度對稱從而被簡化的，人們很容易去猜測奇異點的出現是否只是理想狀態下的不自然產物。然而著名的由全局幾何證明的奇異點定理指出，奇異點是廣義相對論的一個普遍特色結果，並且任何有質量的實體發生引力塌縮並達到一個特定階段後都會形成奇異點^[134]，而在一系列膨脹宇宙模型中也一樣存在奇異點^[135]。不過奇異點定理的內容基本沒有涉及到奇異點的性質，這些關於確定奇異點的一般結構（例如所謂BKL假說）的問題是當前相關研究的主要課題^[136]。另一方面，由於在對於物理規律的破壞方面而言，一個被包裹於視界之中的奇異點被認為要好過一個「裸」的奇異點，故而宇宙監督假說被提出，它認為所有未來的實際奇異點（即沒有完美對稱性的具有實際性質的物體形成的奇異點）都會被藏在視界之內，從而對外面對觀察者不可見，即自然界憎恨裸奇異點。儘管還沒有實際證據證明這一點，有數值模擬的結果支持這一假說的正確性^[137]。

[编辑] 演化方程式

每一個愛因斯坦場方程式的解都是一個宇宙，這裡的宇宙含義既包括了整個空間，也包括了過去與未來——它們並不單單是反映某些事物的「快照」，而是所描述的時空的完全寫真。每一個解在其專屬的特定宇宙中都能描述任意時間和任意位置的時空幾何和物質狀態。出於這個表徵，愛因斯坦的理論看上去與其他大多數物理理論有所不同：大多數物理理論都需要指明一個物理系統的演化方程式（例如量子力學中的埃倫費斯特定理），即如果一個物理系統在給定時刻的狀態已知，其演化方程式能夠允許描述系統在過去和未來的狀態。愛因斯坦理論中的引力場和其他場的更多區別還在於前者是自身交互作用的（是指它在沒有其他場出現時仍然還是非線性的），並且不具有固定的背景結構（在宇宙尺度上會發生演化）^[138]。

為了更好地理解愛因斯坦場方程式這個與時間有關的偏微分方程式，可以將它寫成某種能夠描述宇宙隨時間演化的形式。這種形式被稱作「3+1」分解，其中時空被分為三維空間和一維時間。最著名的形式叫做ADM形式^[139] ，在這種分解下廣義相對論的時空演化方程式具有良好的性質：在適當的初始條件給定的情形下方程式有解並且是唯一的^[140]。場方程式的「3+1」分解形式是數值相對論的研究基礎^[141]。

[编辑] 全局和准局部量

主條目：廣義相對論中的質量

演化方程式的觀念與廣義相對論性物理中的另一個方面緊密聯繫：在愛因斯坦的理論中，一個系統的總質量（或能量）這個看似簡單的概念無法找到一種普遍性的定義。其原因在於，引力場原則上並不像其他的場那樣具有可以局域化的能量^[142]。

儘管如此，試圖通過其他途徑來定義一個系統的總質量還是可能的，在古典物理中，質量（或能量）的定義可以來自時間平移不變性的守恆量，或是通過系統的哈密頓形式。在廣義相對論中，從這兩種途徑出發可以分別得到如下質量的定義：

柯瑪質量^[143]：從類時的Killing向量出發通過柯瑪積分得到的在時間平移不變性下的守恆量，表現為一個靜態時空的總能量；

ADM質量^[144]：在一個漸近平直時空中建立廣義相對論的哈密頓形式，從中定義系統的總能量。

如果將一個系統的總質量中被引力波攜帶至無限遠處的能量除去，得到的結果叫做零性無限遠處的邦迪質量^[145]。這些定義而來的質量被舍恩和丘成桐的正質量定理證明是正值^[146]，而動量和角動量也具有全局的相應定義^[147]。在這方面的研究中還有很多試圖建立所謂准局部量的嘗試，例如僅通過一個孤立系統所在的有限空間區域中包含的物理量來構造這個孤立系統的質量。這類嘗試寄希望於能夠找到一個更好地描述孤立系統的量化方式，例如環假說的某種更精確的形式^[148]。

[编辑] 和量子理論的關係

如果說廣義相對論是現代物理學的兩大支柱之一，那麼量子理論作為我們藉此了解基本粒子以及凝態物理的基礎理論就是現代物理的另一支柱^[149]。然而，如何將量子理論中的概念應用到廣義相對論的框架中仍然是一個未能解決的問題。

[编辑] 彎曲時空中的量子場論

作為現代物理中粒子物理學的基礎，通常意義上的量子場論是建立在平直的閔考斯基時空中的，這對於處在像地球這樣的弱引力場中的微觀粒子的描述而言是一個非常好的近似^[150]。而在某些情形中，引力場的強度足以影響到其中的量子化的物質但不足以要求引力場本身也被量子化，為此物理學家發展了彎曲時空中的量子場論。這些理論藉助於古典的廣義相對論來描述彎曲的背景時空，並定義了廣義化的彎曲時空中的量子場理論^[151]。通過這種理論，可以證明黑洞也在通過黑體輻射釋放出粒子，這即是霍金輻射，並有可能通過這種機制導致黑洞最終蒸發^[152]。如前文所述，霍金輻射在黑洞熱力學的研究中起到了關鍵作用^[153]。

[编辑] 量子引力

主條目：量子引力

參見：弦論及迴圈量子重力

物質的量子化描述和時空的幾何化描述之間彼此不具有相容性^[154]，以及廣義相對論中時空曲率無限大（意味著其結構成為微觀尺度）的奇異點的出現，這些都要求著一個完整的量子引力理論的建立。這個理論需要能夠對黑洞內部以及極早期宇宙的情形做出充分的描述，而其中的引力和相關的時空幾何需要用量子化的語言來敘述^[155]。儘管物理學家為此做出了很多努力，並有多個有潛質的候選理論已經發展起來，至今人類還沒能得到一個稱得上完整並自洽的量子引力理論^[156]。

一個卡拉比-丘流形的投影，由弦論所提出的緊化額外維度的一種方法

量子場論作為粒子物理的基礎已經能夠描述除引力外的其餘三種基本交互作用，但試圖將引力概括到量子場論的框架中的嘗試卻遇到了嚴重的問題。在低能區域這種嘗試取得了成功，其結果是一個可被接受的引力的有效（量子）場理論^[157]，但在高能區域得到的模型是發散的（不可重整化）^[158]。

迴圈量子重力中的一個簡單自旋網路

試圖克服這些限制的嘗試性理論之一是弦論，在這種量子理論中研究的最基本單位不再是點狀粒子，而是一維的弦^[159]。弦論有可能成為能夠描述所有粒子和包括引力在內的基本交互作用的大統一理論^[160]，其代價是導致了在三維空間的基礎上生成六維的額外維度等反常特性^[161]。在所謂第二次超弦理論革新中，人們猜測超弦理論，以及廣義相對論與超對稱的統一即所謂超引力^[162]，能夠構成一個猜想的十一維模型的一部分，這種模型叫做M理論，它被認為能夠建立一個具有唯一性定義且自洽的量子引力理論^[163]。

另外一種嘗試來自於量子理論中的正則量子化方法。應用廣義相對論的初值形式（參見上文演化方程式一節），其結果是惠勒-得衛特方程式（其作用類似於薛丁格方程式）。雖然這個方程式在一般情形下定義並不完備^[164]，但在所謂阿西特卡變數的引入下^[165]，從這個方程式能夠得到一個很有前途的模型：迴圈量子重力。在這個理論中空間是一種被稱作自旋網路的網狀結構，並在離散的時間中演化^[166]。

取決於廣義相對論和量子理論中的哪些性質可以被接受保留，並在什麼能量量級上需要引入變化^[167]，對量子引力的嘗試理論還有很多，例如動力三角剖分^[168]、因果組合^[169]、扭量理論^[170]以及基於路徑積分的量子宇宙學模型^[171]。

所有這些嘗試性候選理論都仍有形式上和概念上的主要問題需要解決，而且它們都在面臨一個共同的問題，即至今還沒有辦法從實驗上驗證量子引力理論的預言，進而無法通過多個理論之間某些預言的不同來判別其正確性。在這個意義上，量子引力的實驗觀測還需要寄希望於未來的宇宙學觀測以及相關的粒子物理實驗逐漸成為可能^[172]。

[编辑] 當前進展

在引力和宇宙學的研究中，廣義相對論已經成為了一個高度成功的模型，至今為止已經通過了每一次意義明確的觀測和實驗的檢驗。然而即便如此，仍然有證據顯示這個理論並不是那麼完善的^[173]：對量子引力的尋求以及時空奇異點的現實性問題依然有待解決^[174]；實驗觀測得到的支持暗物質和暗能量存在的數據結果也在暗暗呼喚著一種新物理學的建立^[175]；而從先驅者號觀測到的反常效應也許可以用已知的理論來解釋，也許則真的是一種新物理學來臨的預告^[176]。不過，廣義相對論之中仍然充滿了值得探索的可能性：數學相對論學家正在尋求理解奇異點的本性，以及愛因斯坦場方程式的基本屬性^[177]；不斷更新的電腦正在進行黑洞合并等更多的數值模擬^[178]；而第一次直接觀測到引力波的競賽也正在前進中^[179]，人類希望藉此能夠在比至今能達到的強得多的引力場中創造更多檢驗這個理論的正確性的機會^[180]。在愛因斯坦發表他的理論九十多年之後，廣義相對論依然是一個高度活躍的研究領域^[181]。

[编辑] 注釋

^ 這段研究發展歷程請參見 Pais（1982年）．和 Janssen（2005年）．的第九章至第十五章；涵蓋當前最新研究並包含有最初版本的多個重印版都收集在 Renn（2007年）．中；在 Renn（2005年），p. 110ff.．有相關概述。在 Einstein（1907年）．還提供了一篇早期的重要文章，並參見 Pais（1982年），ch. 9．。以場方程式為主要特色內容發表的文章是 Einstein（1915年）．，並參見 Pais（1982年），ch. 11–15．。

^ 參見 Schwarzschild（1916a年）．， Schwarzschild（1916b年）．和 Reissner（1916年）．（其後在 Nordström（1918年）．有補充）。

^ 參見 Einstein（1917年）．，並參考 Pais（1982年），ch. 15e．。

^ 哈柏的原文是 Hubble（1929年）．；相關概述請見 Singh（2004年），ch. 2–4．。

^ 正如伽莫夫在 Gamow（1970年）．中所指出的，愛因斯坦的懺悔被證明是為時尚早，參見下文的宇宙學一節。

^ 參見 Pais（1982年），p. 253–254．。

^ 參見 Kennefick（2005年）．和 Kennefick（2007年）．。

^ 參見 Pais（1982年），ch. 16．。

^ 參見 Israel（1987年），ch. 7.8–7.10．和 Thorne（1994年），ch. 3–9．。

^ 參見下文的軌道效應，引力時間膨脹和紅移和光線偏折和引力時間延遲及其參考文獻

^ 參見下文的宇宙學及其參考文獻；歷史發展回顧請見 Overbye（1999年）．。

^ 下文的表述參考自 Ehlers（1973年），section 1．。

^ 例如參見 Arnold（1989年），chapter 1．。

^ 參見 Ehlers（1973年），pp. 5f.．。

^ 參見 Will（1993年），section 2.4．或 Will（2006年），section 2．。

^ 參見 Wheeler（1990年），chapter 2．；在大多數廣義相對論的通俗讀物中都會提到這個演示。

^ 按照需要的數學水平從低到高排序，參考讀物包括 Giulini（2005年）．， Mermin（2005年）．，以及 Rindler（1991年）．；相關的精確實驗測量參見 Ehlers & Lämmerzahl（2006年）．的第四部分。

^ 關於這兩種對稱群的比較請見 Giulini（2006a年）．。

^ 例如參見 Rindler（1991年），section 22．；較為全面的處理方法參見 Synge（1972年），ch. 1 and 2．。

^ 例如 Ehlers（1973年），sec. 2.3.．

^ 參見 Ehlers（1973年），sec. 1.4.．和 Schutz（1985年），sec. 5.1．。

^ 實驗證據請參見 Ehlers（1973年），sec. 1.4.．，並見下文引力時間膨脹和引力紅移。選擇另一種非零的連接係數扭率張量就會得到愛因斯坦-嘉當理論。

^ 參見 Ehlers（1973年），p. 16．； Kenyon（1990年），sec. 7.2．； Weinberg（1972年），sec. 2.8．。

^ 例如參見 Kenyon（1990年），sec. 7.4．。

^ 關於更多的替代理論參見 Brans & Dicke（1961年）．， Weinberg（1972年）．的第七章第三節， Goenner（2004年），sec. 7.2．以及 Trautman（2006年）．。

^ 例如參見 Wald（1984年），ch. 4．， Weinberg（1972年），ch. 7．或任意一本廣義相對論教科書

^ 這種說法至少是近似成立的，參見 Poisson（2004年）．。

^ 例如見於 Wheeler（1990年）．p. xi

^ 例如參見 Wald（1984年），sec. 4.4．

^ 例如參見 Wald（1984年），sec. 4.1．。

^ 關於定義廣義相對性原理以及將其從廣義協變性的觀念中分離出來這一過程中所遇到的困難，參見 Giulini（2006b年）．。

^ 例如 Weinberg（1972年）．的第十二章第五節。

^ 參見 Stephani等作者（2003年）．中的介紹章節。

^ 在 Geroch（1996年）．中有關於愛因斯坦場方程式在聯繫其他具有物理意義的偏微分方程式下的回顧討論。

^ 關於這些解的背景和列表，參見 Stephani等作者（2003年）．；另一個更新的回顧討論是 MacCallum（2006年）．。

^ 例如參見 Chandrasekhar（1983年）．的第三、五、六章。

^ 例如參見 Narlikar（1993年）．的第四章和第3.3節。

^ 在 Hawking & Ellis（1973年），ch. 5．中有關於這些解的簡略描述和其他更多的有趣精確解。

^ 參見 Lehner（2002年）．的概述。

^ 例如參見 Wald（1984年），sec. 4.4．。

^ 例如參見 Will（1993年），sec. 4.1 and 4.2．。

^ 參見 Will（2006年）．的第3.2節以及 Will（1993年），ch. 4．。

^ 參見 Rindler（2001年），pp. 24–26 vs. pp. 236–237．和 Ohanian & Ruffini（1994年），pp. 164–172．。事實上，愛因斯坦早在1907年就通過（愛因斯坦）等效原理（EEP）推導出了這些效應，參見 Einstein（1907年）．和 Pais（1982年），pp. 196–198．中的描述。

^ 參見 Rindler（2001年），pp. 24–26．； Misner，Thorne & Wheeler（1973 年），§ 38.5．。

^ 龐德-雷布卡實驗，參見 Pound & Rebka（1959年）．， Pound & Rebka（1960年）．； Pound & Snider（1964年）．；更多的實驗列表在 Ohanian & Ruffini（1994年），table 4.1 on p. 186．。

^ 例如參見 Greenstein，Oke & Shipman（1971年）．；最新也是最精確的對於天狼B的觀測成果發表在 Barstow，Bond & Holberg（2005年）．。

^ 這類測量以Hafele-Keating實驗為起始，參見 Hafele & Keating（1972a年）．和 Hafele & Keating（1972b年）．，在引力探測器A的探測中達到頂峰；對這類實驗的概述參見 Ohanian & Ruffini（1994年），table 4.1 on p. 186．。

^ 通過比較地面上的原子鐘和軌道衛星上的原子鐘來檢測GPS的工作一直在持續進行中；關於相應的相對論效應參見 Ashby（2002年）．和 Ashby（2003年）．。

^ 在 Stairs（2003年）．和 Kramer（2004年）．中有回顧評論。

^ 一般性綜述在Will 2006的2.1節；Will 2003, pp. 32–36； Ohanian & Ruffini（1994年），section 4.2．。

^ 參見 Ohanian & Ruffini（1994年），pp. 164–172．。

^ 參見 Kennefick（2005年）．以了解愛丁頓爵士的早期古典測量；關於現代更多更新的同類測量概述參見 Ohanian & Ruffini（1994年），chapter 4.3．。現在所能達到的最精確測量方法是通過脈衝星，參見 Shapiro等作者（2004年）．。

^ 狹義相對論中的光速不變不是一條獨立的公理，它能通過愛因斯坦場方程式和電磁場的拉格朗日量並使用WKB方法導出，參見 Ehlers（1973年），section 5．。

^ 對這一方面的一個簡明摘要可見於 Blanchet（2006年），section 1.3．。

^ 或對光子應用自由落體定律，參見 Rindler（2001年），section 1.16．；其他歷史實例可見於 Israel（1987年），p. 202–204.．；事實上愛因斯坦在 Einstein（1907年）．這篇文獻中已經發表過這種推導，其中的計算默認了時空是歐幾里德性的。參見 Ehlers & Rindler（1997年）．。

^ 從愛因斯坦理論的立場來看，這些推導考慮的是引力對光的作用，而並非將引力看作是時空的彎曲，參見 Rindler（2001年），sec. 11.11．。

^ 關於在太陽引力場中雷達信號到達金星或水星等行星後返回的延遲，參見 Shapiro（1964年）．，其教學性的介紹可見於 Weinberg（1972年），ch. 8, sec. 7．；關於從太空探測器返回的信號延遲（收發機測量），參見 Bertotti，Iess & Tortora（2003年）．；概述可見於 Ohanian & Ruffini（1994年），table 4.4 on p. 200．；關於更新的對接收到的脈衝雙星信號的測量，其中一顆脈衝星的信號在另一顆脈衝星的引力場中被延遲，參見 Stairs（2003年），section 4.4．。

^ 參見 Will（1993年），sec. 7.1 and 7.2．。

^ 關於引力波的概述請見 Misner，Thorne & Wheeler（1973年），part VIII．。需要注意到是儘管性質類同於電磁波，引力波輻射的主導項來自於波源的四極矩而非電磁波一樣的偶極矩，參見 Schutz（2001年）．。

^ 大多數廣義相對論的教科書都會包含這方面的說明，例如 Schutz（1985年），ch. 9．。

^ 例如參見 Jaranowski & Królak（2005年）．。

^ 參見 Rindler（2001年），ch. 13．。

^ 參見 Gowdy（1971年）．， Gowdy（1974年）．。

^ 關於數值相對論方法的簡要介紹參見 Lehner（2002年）．，而 Seidel（1998年）．介紹了數值相對論與引力波天文學之間的銜接關係。

^ 參見 Schutz（2003年），pp. 48–49．和 Pais（1982年），pp. 253–254．。

^ 參見 Rindler（2001年），sec. 11.9．。

^ 參見 Will（1993年），pp. 177–181．。

^ 在參數化後牛頓形式中，對這種效應的測量決定了兩個參數 $β$ 和 $γ$ 的線性組合，參見 Will（2006年），sec. 3.5．和 Will（1993年），sec. 7.3．。

^ 在太陽系行星上做出的最精確測量是VLBI測量，參見 Will（1993年），chapter 5．， Will（2006年），section 3.5．， Anderson等作者（1992年）．；概述見於 Ohanian & Ruffini（1994年），pp. 406–407．。

^ 參見 Kramer等作者（2006年）．。

^ 參見 Stairs（2003年）．和 Schutz（2003年），pp. 317–321．；以及 Bartusiak（2000年），pp. 70–86．。

^ 關於這段研究的概述在 Weisberg & Taylor（2003年）．；脈衝雙星本身的發現可見於 Hulse & Taylor（1975年）．；關於引力波存在的最早證據在 Taylor（1994年）．。

^ 參見 Kramer（2004年）．。

^ 例如參見 Penrose（2004年），§14.5．和 Misner，Thorne & Wheeler（1973年），sec. §11.4．。

^ 參見 Weinberg（1972年），sec. 9.6．和 Ohanian & Ruffini（1994年），sec. 7.8．。

^ 參見 Bertotti，Ciufolini & Bender（1987年）．和更新的評論 Nordtvedt（2003年）．。

^ 參見 Kahn（2007年）．。

^ 例如參見 Townsend（1997年），sec. 4.2.1．和 Ohanian & Ruffini（1994年），pp. 469–471.．。

^ 例如參見 Ohanian & Ruffini（1994年），sec. 4.7．和 Weinberg（1972年），sec. 9.7．；更新的評論在 Schäfer（2004年）．。

^ 例如參見 Ciufolini & Pavlis（2004年）．和 Ciufolini，Pavlis & Peron（2006年）．；參見參考系拖拽了解相關的爭論。

^ 任務的介紹可見於 Everitt等作者（2001年）．；飛行後的首次評估可見於 Everitt等作者（2007年）．；更多更新即將見於此項任務的網站 Kahn（1996–2008年）．。

^ 關於引力透鏡及其應用的概述參見 Ehlers，Falco & Schneider（1992年）．和 Wambsganss（1998年）．。

^ 關於引力透鏡效應的簡單推導參見 Schutz（2003年），ch. 23．；以及 Narayan & Bartelmann（1997年），sec. 3．。

^ 參見 Walsh，Carswell & Weymann（1979年）．。

^ 所有這些已知的引力透鏡的照片都可以在CASTLES計劃中找到： Kochanek等作者（2007年）．。

^ 相關概述參見 Roulet & Mollerach（1997年）．。

^ 參見 Narayan & Bartelmann（1997年），sec. 3.7．。

^ 引力波天文學的概述可參見 Barish（2005年）．；以及 Bartusiak（2000年）．和 Blair & McNamara（1997年）．。

^ 引力波探測器概述可見於 Hough & Rowan（2000年）．。

^ 參見 Danzmann & Rüdiger（2003年）．。

^ 參見 Landgraf，Hechler & Kemble（2005年）．。

^ 參見 Thorne（1995年）．。

^ 參見 Cutler & Thorne（2002年）．。

^ 參見 Miller（2002年），lectures 19 and 21．。

^ 例如參見 Celotti，Miller & Sciama（1999年），sec. 3．。

^ 參見 Springel等作者（2005年）． and the accompanying summary Gnedin（2005年）．。

^ 參見 Blandford（1987年），section 8.2.4．。

^ 關於這種機制的基本原理參見 Carroll & Ostlie（1996年），sec. 17.2．；關於由這種機制形成的不同種類的天體的更多信息參見 Robson（1996年）．。

^ 有關相對論性噴流的介紹參見 Begelman，Blandford & Rees（1984年）．。有趣的是，對於一個距離遙遠的觀測者而言，某些相對論性噴流的速度看上去甚至超過了光速；但這其實是一種光學上的幻象而並不違反相對論，參見 Rees（1966年）．。

^ 關於恆星演化的最終階段參見 Oppenheimer & Snyder（1939年）．，以及 Font（2003年），sec. 4.1．包含了更多更新的數值計算成果；對於超新星爆發的過程仍有一些主要問題沒有被解決，參見 Buras等作者（2003年）．；關於吸積和噴流形成的數值模擬，參見 Font（2003年），sec. 4.2．。而引力透鏡效應則被認為在接收來自X射線脈衝星的信號中起到了一定作用，參見 Kraus（1998年）．。

^ 這些證據包括通過對吸積驅動效應的觀測得到的星體緻密度的極限（「愛丁頓光度」），參見 Celotti，Miller & Sciama（1999年）．；對我們的銀河系中心附近的恆星動力學觀測，參見 Schödel等作者（2003年）．；對某些X射線暴（其中心星體往往是一顆中子星或黑洞）的研究表明宇宙中至少有某些緻密星體並沒有固態的表面，參見 Remillard等作者（2006年）．及 Narayan（2006年），sec. 5．；以及對銀河系中心的超大質量黑洞的事件視界的「陰暗」部分的搜索觀測正在積極進行中，參見 Falcke，Melia & Agol（2000年）．.

^ 參見 Dalal等作者（2006年）．。

^ 例如參見 Barack & Cutler（2004年）．。

^ 參見 Carroll（2001年），ch. 2．。

^ 參見 Bergström & Goobar（2003年），ch. 9–11．；這些宇宙模型之所以能夠被認可，是由於觀測到的宇宙在大尺度（一億光年以上）上是均勻且各向同性的，參見 Peebles等作者（1991年）．。

^ 例如參考來自WMAP的數據，參見 Spergel等作者（2003年）．。

^ 這些檢驗來自於彼此獨立的觀測，例如參見 Bridle等作者（2003年）．中圖2。

^ 參見 Peebles（1966年）．；對這些預言的解釋參見 Coc等作者（2004年）．；以及 Weiss（2006年）．；對這些觀測的比較參見 Olive & Skillman（2004年）．， Bania，Rood & Balser（2002年）．， O'Meara等作者（2001年）．以及 Charbonnel & Primas（2005年）．。

^ 回顧評論可見於 Lahav & Suto（2004年）．和 Bertschinger（1998年）．；更新的研究成果在 Springel等作者（2005年）．。

^ 參見 Alpher & Herman（1948年）．，教學性的介紹參見 Bergström & Goobar（2003年），ch. 11．；最早對微波背景輻射的觀測在 Penzias & Wilson（1965年）．，通過人造衛星所作的精確測量在 Mather等作者（1994年）． (COBE)和 Bennett等作者（2003年）． (WMAP)。未來的觀測還有可能揭示極早期宇宙誕生時就存在的引力波的一些證據；這些附加的信息包含在微波背景輻射的偏振中，參見 Kamionkowski，Kosowsky & Stebbins（1997年）．和 Seljak & Zaldarriaga（1997年）．。

^ 暗物質存在的證據：一部分來自於對宇宙學參數的確定以及對星系和星系團的一些觀測，參見 Peebles（1993年）．的第十八章；一部分來自於引力透鏡，參見 Peacock（1999年），sec. 4.6．；一部分來自對大尺度結構形成的模擬，參見 Springel等作者（2005年）．。

^ 參見 Peacock（1999年），ch. 12．和 Peskin（2007年）．；特別地，觀測顯示除了少到可以忽略的一部分之外這些物質基本上不是由通常狀態下的基本粒子組成的（即它們並非強子組成的物質），參見 Peacock（1999年），ch. 12．。

^ 也就是說，有些物理學家開始懷疑暗物質存在的證據是否其實是愛因斯坦理論（當然也包括牛頓理論）對引力的描述存在偏差的證明，關於這一猜測的概述參見 Mannheim（2006年），sec. 9．。

^ 參見 Carroll（2001年）．；概述可見於 Caldwell（2004年）．。對於暗能量，有些科學家也認為暗能量並非是一種新的能量形式，而是我們的宇宙學模型需要修正，參見 Mannheim（2006年），sec. 10．；不過這不一定意味著要對廣義相對論進行修正，而可以是我們對宇宙各向異性的處理方法需要修正，參見 Buchert（2007年）．。

^ 關於暴漲模型有一篇很好的介紹： Linde（1990年）．；以及一篇更近的回顧評論： Linde（2005年）．。

^ 更準確地說，其中包括平坦問題、視界問題和單極矩問題；教學性介紹參見 Narlikar（1993年），sec. 6.4．以及 Börner（1993年），sec. 9.1．。

^ 參見 Spergel等作者（2007年），sec. 5 & 6．。

^ 更具體地說，在暴漲的動力學中起到關鍵作用的勢能函數在現階段只是簡單推測來的，並沒有經過一個物理理論的推導。

^ 參見 Brandenberger（2007年），sec. 2．。

^ 參見 Frauendiener（2004年）．， Wald（1984年），section 11.1．，以及 Hawking & Ellis（1973年），section 6.8 & 6.9．。

^ 例如參見 Wald（1984年），sec. 9.2–9.4．和 Hawking & Ellis（1973年），ch. 6.．。

^ 參見 Thorne（1972年）．；對更新的數值計算結果的解釋可見於 Berger（2002年），sec. 2.1．。

^ 有關這一概念的演化介紹，參見 Israel（1987年）．。用更精確的數學描述來區別不同種類的視界，著名的包括事件視界和表面視界，可見於 Hawking & Ellis（1973年），pp. 312–320．或 Wald（1984年），sec. 12.2．；對於不需要在無限遠處時空性質的孤立系統，還存在直覺的定義，參見 Ashtekar & Krishnan（2004年）．。

^ 初步知識參見 Israel（1971年）．；相關推導參見 Hawking & Ellis（1973年），sec. 9.3．或 Heusler（1996年），ch. 9 and 10．；最近的研究成果回顧參見 Heusler（1998年）．和 Beig & Chruściel（2006年）．。

^ 黑洞力學定律首先是在 Bardeen，Carter & Hawking（1973年）．中描述的；一個具有教學性的演示發言可見於 Carter（1979年）．；更新的回顧評論參見 Wald（2001年）．的第二章。涵蓋了所需要數學的較為全面詳細的介紹參見 Poisson（2004年）．。關於潘洛斯過程參見 Penrose（1969年）．。

^ 參見 Bekenstein（1973年）．和 Bekenstein（1974年）．。

^ 黑洞存在量子輻射的事實最早是在 Hawking（1975年）．中推導出的；一個更全面的推導可見於 Wald（1975年）．；相關回顧評論參見 Wald（2001年）．第三章。

^ 參見 Narlikar（1993年），sec. 4.4.4 and 4.4.5．。

^ 關於視界參見 Rindler（2001年），sec. 12.4．；關於盎魯效應參見 Unruh（1976年）．, cf. Wald（2001年），chapter 3．。

^ 參見 Hawking & Ellis（1973年），section 8.1．， Wald（1984年），section 9.1．。

^ 參見 Townsend（1997年），chapter 2．；這一精確解的延伸處理參見 Chandrasekhar（1983年），chapter 3．。

^ 參見 Townsend（1997年），chapter 4．；這一精確解的延伸處理參見 Chandrasekhar（1983年），chapter 6．。

^ 參見 Ellis & van Elst（1999年）．；關於奇異點本身的探討參見 Börner（1993年），sec. 1.2．。

^ 這是指束縛的零性表面（en:trapped null surface），參見 Penrose（1965年）．。

^ 參見 Hawking（1966年）．。

^ BKL假說是在 Belinskii，Khalatnikov & Lifschitz（1971年）．中建立的；更新的回顧評論參見 Berger（2002年）．，以及 Garfinkle（2007年）．。

^ 對未來奇異點的約束條件自然地排除了像大爆炸奇異點這樣的初始奇異點的存在可能，而這些奇異點原則上在經過一定宇宙學上的時間尺度後是可以被觀測者看到的。宇宙監督假說首先見於 Penrose（1969年）．；教科書水平的解釋見於 Wald（1984年），pp. 302–305．。更多的數值模擬結果參見評論 Berger（2002年），sec. 2.1．。

^ 參見 Hawking & Ellis（1973年），sec. 7.1．。

^ 參見 Arnowitt，Deser & Misner（1962年）．；教學性介紹參見 Misner，Thorne & Wheeler（1973年），§21.4–§21.7．。

^ Fourès-Bruhat（1952年）． and Bruhat（1962年）．；教學性介紹參見 Wald（1984年），ch. 10．；在線的回顧評論參見 Reula（1998年）．。

^ 參見 Gourgoulhon（2007年）．；並參見數值相對論的基礎回顧 Lehner（2001年）．，其中還包含從愛因斯坦方程式特性引發的問題。

^ 參見 Misner，Thorne & Wheeler（1973年），§20.4．。

^ 參見 Komar（1959年）．；教學性介紹參見 Wald（1984年），sec. 11.2．；儘管定義方法差別很大，對於定態時空而言可以證明它和ADM質量等價，參見 Ashtekar & Magnon-Ashtekar（1979年）．。

^ 參見 Arnowitt，Deser & Misner（1962年）．。

^ 教學性介紹參見 Wald（1984年），sec. 11.2．。

^ 在 Wald（1984年）．的第295頁給出了很多參考；這對於時空的穩定性問題而言非常重要——如果負質量態存在，那麼當平直的閔考斯基時空中的質量為零時將有可能向這些態演化。

^ 例如參見 Townsend（1997年），ch. 5．。

^ 這樣的准局部的質量-能量定義包括霍金能量、Geroch能量，以及潘洛斯通過扭量方法定義的准局部能量-動量，參考評論 Szabados（2004年）．。

^ 系統介紹量子理論的教科書有很多，如 Messiah（1999年）．；更基礎的解釋可參見 Hey & Walters（2003年）．。

^ 參見教科書 Ramond（1990年）．， Weinberg（1995年）．或 Peskin & Schroeder（1995年）．；以及概述 Auyang（1995年）．。

^ 參見 Wald（1994年）．和 Birrell & Davies（1984年）．。

^ 霍金輻射參見 Hawking（1975年）．， Wald（1975年）．黑洞蒸發的更基礎解釋參見 Traschen（2000年）．。

^ 參見 Wald（2001年）．第三章。

^ 簡單說來，物質是時空曲率的源，由於物質是量子化的，所以我們也期待時空也具有相應的量子性質，參見 Carlip（2001年）．第二節。

^ 例如參見 Schutz（2003年）．的第407ff頁。

^ 有關時間表和概述可見於 Rovelli（2000年）．。

^ 參見 Donoghue（1995年）．。

^ 有關重整化參見 Weinberg（1996年）．的第十七和十八章；關於重整化對引力場在高能範圍內失效參見 Goroff & Sagnotti（1985年）．。

^ 本科生水平的弦論介紹參見 Zwiebach（2004年）．；更全面的介紹參見 Polchinski（1998a年）．和 Polchinski（1998b年）．。

^ 在當前的實驗所能達到的能量下，弦和點狀粒子仍然是無法區分的；但關鍵一點在於，同一種類的基本弦在不同的振動模式下所表現出來的粒子攜帶有不一樣的電荷，例如參見 Ibanez（2000年）．。這一理論的成功之處是有一種振動模式總是能與引力的媒介子即引力子對應，例如參見 Green，Schwarz & Witten（1987年），sec. 2.3 and 5.3．。

^ 例如參見 Green，Schwarz & Witten（1987年），sec. 4.2．。

^ 例如參見 Weinberg（2000年），ch. 31．。

^ 例如參見 Townsend（1996年）．， Duff（1996年）．。

^ Cf. section 3 in Kuchař（1973年）．.

^ 這種變數用電場和磁場在數學上的類比來表示幾何引力，參見 Ashtekar（1986年）．， Ashtekar（1987年）．。

^ 回顧評論參見 Thiemann（2006年）．；更詳細的解釋參見 Rovelli（1998年）．， Ashtekar & Lewandowski（2004年）．以及講義 Thiemann（2003年）．。

^ 例如參見系統性的說明 Isham（1994年）．和 Sorkin（1997年）．。

^ 參見 Loll（1998年）．。

^ 參見 Sorkin（2005年）．。

^ 參見 Penrose（2004年）．的第三十三章和其包含的參考文獻。

^ 參見 Hawking（1987年）．。

^ 例如參見 Ashtekar（2007年）．， Schwarz（2007年）．。

^ 參見 Maddox（1998年），pp. 52–59 and 98–122．， Penrose（2004年），section 34.1 and chapter 30．。

^ 參見上文量子引力。

^ 參見上文宇宙學。

^ 參見 Nieto（2006年）．。

^ 參見 Friedrich（2005年）．。

^ 關於數值模擬的諸多問題，以及由此發展的解決技術的回顧評論參見 Lehner（2002年）．。

^ 參見 Bartusiak（2000年）．了解到2000年為止的引力波探測，更新的結果可見於各大引力波探測計劃主頁，例如GEO 600和LIGO。

^ 緻密雙星旋近的引力波偏振的相關論文參見 Blanchet等作者（2008年）．和 Arun等作者（2007年）．；緻密雙星的研究回顧評論參見 Blanchet（2006年）．和 Futamase & Itoh（2006年）．；廣義相對論的實驗驗證概述參見 Will（2006年）．。

^ 高度推薦在線的當代廣義相對論研究評論期刊Living Reviews in Relativity。

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Zwiebach, Barton, A First Course in String Theory, Cambridge University Press. 2004, ISBN 0-521-83143-1

[编辑] 外部連結

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廣義相對論

耶魯大學教學視頻：狹義與廣義相對論來自Google Video

相對論：狹義與廣義的理論 PDF

廣義相對論教學視頻來自麻省理工學院教授Edmund Bertschinger

廣義相對論系列講義來自2006年龐加萊研究所（入門和進階課程）

廣義相對論教程作者約翰·貝伊茲

Sean Carroll. Lecture Notes on General Relativity. ArXiv. 加州理工學院的教授Sean Carroll所編寫的廣義相對論課堂講義，這是它的PDF版本。

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萬有引力

雙重狹義相對論

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（重定向自雙重特殊相對論）

雙重狹義相對論或稱雙重特殊相對論(Doubly-special relativity, DSR；英文又稱deformed special relativity及extra-special relativity)是一個狹義相對論的新理論。最先是在一篇由喬凡尼·阿梅利諾-卡梅利亞(Giovanni Amelino-Camelia)所寫的論文所假設，雖然稍早在Paul Merriam的一篇論文中已被隱射。在這理論中，他假設除了光速外，一個以普朗克尺度(Planck scale)為基礎的特徵能量尺度也該在相對論性轉換中維持不變性。他的理論包含了與觀測者獨立無關的速度尺度及長度/動量尺度。

另一版本的雙重狹義相對論，受到阿梅利諾-卡梅利亞成果所鼓舞，稍後由João Magueijo與李·斯莫林(Lee Smolin)所提出。現有提案指出這些理論可能與迴圈量子重力(loop quantum gravity)有關。

$E = m c 2$ 狹義相對論公式

$E = m c 2 / (1 + m c 2 / E p)$ 斯莫林及馬古尤的雙重狹義相對論公式

這些研究的動機之一是出於高能量宇宙射線的觀測顯示出違反了GZK極限(Greisen-Zatsepin-Kuzmin limit)的結果，其被戲稱作是「我的天啊粒子」。

[编辑] 參考文獻

Fabio Cardone, Roberto Mignani , Energy and Geometry: An Introduction to Deformed Special Relativity, World Scientific 2004, ISBN 981-238-728-5

[编辑] 外部連結

Giovanni Amelino-Camelia, "Doubly-Special Relativity: First Results and Key Open Problems." Int. J. Mod. Phys. D11 (2002) 1643. Online copy at http://arxiv.org/abs/gr-qc/0210063

Giovanni Amelino-Camelia, Doubly-Special Relativity.' http://lanl.arxiv.org/abs/gr-qc/0207049, a non-technical review

Nosratollah Jafari, Ahmad Shariati, Doubly Special Relativity: A New Relativity or Not? http://arxiv.org/abs/gr-qc/0602075

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在經典物理裏，自由空間 (free space) 是電磁理論的一種概念，指的是一種理論的完美真空，不含有任何物質的真空。有時候，自由空間又稱為自由空間真空，或經典真空。自由空間可以恰當地被視為一種參考介質^[1]^[2]

許多國際單位制的單位，像安培或公尺，其定義都是建立於以自由空間為參考介質的測量值。由於實驗室所使用的參考介質並不是自由空間，實驗室得到的測量值必須經過修正，才能成為以自由空間為參考介質的測量值^[3]。

[编辑] 自由空間的性質

自由空間是將大自然抽象化而得到的一種基線或參考狀態。實際而言，就像絕對零度，這種狀態是永遠無法達到的。自由空間有三個特定的參數：電常數 $\varepsilon_0\,\!$ 、磁常數 $\mu_0\,\!$ 和真空光速 $c_0\,\!$ 。應過馬克士威方程組，可以推導出這三個參數的關係式^[1]：

$\varepsilon_0 \mu_0 = 1 / c_0^2\,\!$ 。

在國際單位制裏， $\mu_0\,\!$ 和 $c_0\,\!$ 都已設定了精確的定義值，沒有任何誤差^[4]：

$\mu_0\ \stackrel{def}{=}\ 4\pi \times 10^{ - 6} \approx 1.2566370614...\ \times\ 10^{-6} \,\!$ [H/m] （〔亨利／公尺〕）或 [N/A²] （〔牛頓／安培²〕）、

$c_0\ \stackrel{def}{=}\ 299 792 458\,\!$ [m/sec] （〔公尺／秒〕）。

根據這些定義值， $\varepsilon_0\,\!$ 的定義值也是精確值^[4]：

$\varepsilon_0\ \stackrel{def}{=}\ \frac {1}{\mu_0 {c_0}^2} \approx 8.854187817...\ \times \ 10^{-12} \ \,\!$ [F/m] （〔法拉／公尺〕）。

表徵電磁交互作用的強度的精細結構常數 $\alpha\,\!$ ，其表達式內也有電常數 $\varepsilon_0\,\!$ 出現：

$\alpha = \frac{e^2}{(4 \pi \varepsilon_0)\hbar c_0}\,\!$ ；

其中， $e\,\!$ 是單位電荷， $\hbar\,\!$ 是約化普朗克常數。

處於自由空間的參考狀態，根據馬克士威方程組的導引，每一種電磁波譜頻率的電磁波，像無線電波或可見光波，都是以光速 $c_0\,\!$ 傳播。這些電磁波的電場和磁場之間的關係涉及了真空特性阻抗（characteristic impedance of vacuum） $Z_0\,\!$ ^[4] ：

$Z_0= \mu_0 c_0 =\sqrt{\frac {\mu_0} { \varepsilon_0}} \approx 376.73031... \,\!$ [Ω] （〔歐姆〕）。

在自由空間裏，線性疊加原理對於電勢、向量勢、電場和磁場，都仍舊成立。例如，兩個電荷所共同產生的電勢，即乃其中個別電荷所產生的電勢的純量和^[5]。

[编辑] 真空的本質

參見：真空能量及真空態

物理學家時常會用術語「真空」來指稱幾種不同的狀態。其中一種狀態是完美真空。有時候，物理學家會討論在完美真空裏所得到的理想實驗結果。這不是真正實驗可以得到的結果，而是想像出來會得到的理想結果。採用這種用法時，物理學家簡明扼要地稱呼完美真空為經典真空^[6]或自由空間。實際而言，完美真空是不可能實現的！術語「部分真空」指的是真正能夠實現的不完美真空。在可實現真空與自由空間兩者之間，這提示了一個重要的分歧點，那就是，非零值壓強。

但是，在現代物理學裡，真空只是一種簡單、空無一物的空間^[7]這經典概念，已被量子真空（quantum vacuum）的概念所取代。這動作將自由空間與實際真空（量子真空）分離的更遠：真空態（vacuum state）並不是空蕩蕩的一無所有！量子真空可以簡略地定義為^[8]：

量子真空所描述的區域，是一種處於最低能級態，而且沒有任何真實粒子的區域。

量子真空"決不是一種簡單的空無一物的空間"^[9]。再重複一遍，"將任何物理真空視為絕對空無一物的空間是個特大的錯誤"^[10]。根據量子力學，真空並不是真正的空無所有，而是含有瞬時的電磁波和虛粒子突然地出現或消失。從這些短暫的事件，可以觀察到卡西米爾效應^[11]、自發射（spontaneous emission）^[12]、蘭姆位移^[13]等等重要的物理現象。對這些問題有濃厚興趣，欲想進一步探索量子真空的各種物理行為的讀者，可以閱讀 S. Saunders 的書《The philosophy of vacuum》^[14]或 Henning Genz 新近發表的書《Nothingness: the science of empty space》^[15]。

量子真空到底是甚麼？很遺憾地，這最基本的問題，到今天仍舊尚未成定論。物理學家 Gerald E. Brown 這樣說^[16]：

在十八世紀，牛頓力學無法解析三體問題。在大約誕生於 1910 年的廣義相對論和 1930 年的量子電動力學之後，二體問體和一體問題都變得無法解析。現代的量子場理論又發現零體問題（真空）無解。

——Gerald E. Brown，於《Collective Motion and the Application of Many-Body Techniques》

例如，一個粒子的存在與否，與觀察者的重力態有密切關係^[17]。這是盎魯效應的一個重要物理行為。關於量子真空在膨脹宇宙中所扮演的角色，物理學家提出很多推測，請參閱條目真空 (宇宙學)（Cosmological constant problem）。還有，量子真空會顯示出自發對稱性破缺^[18]。

未解決的物理學問題: 為何真空的零點能量不會造成一個大的宇宙常數？是什麼將它抵銷，而使得宇宙常數接近於零？

[编辑] 實驗室實現的自由空間

在這裡，「實現」指的是將「自由空間」這概念約化為實習（reduction to practice），或實驗具體化，例如，成為實驗室裡製備的「部份真空」。甚麼是自由空間的操作型定義？雖然，從理論而言，與絕對零度所面對的狀況類似，自由空間是無法達成的，很多國際單位制的單位都是參考自由空間的性質設定的。因此，實驗者必須估計對於實際測量值所需要的修正。例如，對於部分真空的非零壓強所做的修正。對於在實驗室取得關於自由空間的測量值（例如，部分真空），國際度量衡委員會（International Committee for Weights and Measures）特別告誡：^[3]

為了要考慮到真實狀況，像繞射、重力或真空的不完美，所有實驗得到的測量值都必須給予精確的修正。

實際而言，最新的技術可以在實驗室裡製備出相當好的真空，稱為超高真空（ultra high vacuum）。到現在為止，對於實驗室裡製備出的真空，可測量到的最低壓強大約為 10⁻¹¹ [Pa] 〔帕斯卡〕^[19] 。

[编辑] 外太空實現的自由空間

虛無縹緲的外太空含有非常稀少的物質。儘管只是部分真空，外太空的壓強大約為 10 [pPa] （1×10⁻¹¹ 〔帕斯卡〕）^[20]。稍加比較，地球海平面的壓強大約為 101 [kPa] （1×10⁵ 〔帕斯卡〕）。當然，星際太空的物質分布並不均勻。銀河系的氫原子密度大約為 1 〔原子／公分³〕^[21]。宇宙終究會連續膨脹，還是會縮塌？決定這最後命運的臨界密度估計為 3 〔原子／千公升〕^[22]。在外太空的部分真空裏，有稀少的物質（大多是氫原子）、宇宙塵和宇宙線雜訊（cosmic noise）。除此以外，還有溫度為 2.725 K 的宇宙微波背景輻射，意味著光子密度為 400 〔光子／公分³〕^[23]。

因為行星際物質和星際物質的密度超小，在許多應用領域裡，可以將行星際區域和星際區域視為自由空間。這動作所帶入的誤差微乎其微。

[编辑] 參考文獻

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[编辑] 參閱

大爆炸理論

宇宙學

虛粒子

狄拉克之海

近場和遠場（near and far field）

均勻介質（homogeneous media）

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美國國家標準和科技學院網頁：基本物理常數

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