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弦理論
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弦理論是發展中的理論物理學的一支，結合量子力學和廣義相對論為量子引力。弦理論用一段段「能量弦線」作最基本單位以說明世界上所有物質結構，大至星際銀河，小至電子、質子及夸克一類的基本粒子都由這一維的「能量線」所組成。中文文獻上，一般寫作「弦」或「絃」。
較早時期所建立的粒子學說則是認為所有物質是由零維的點粒子所組成，也是目前廣為接受的物理模型，也很成功的解釋和預測相當多的物理現象和問題，但是此理論所根據的粒子模型卻遇到一些無法解釋的問題。比較起來，弦理論的基礎是波動模型，因此能夠避開前一種理論所遇到的問題。更深的弦理論學說不只是描述弦狀物體，還包含了點狀、薄膜狀物體，更高維度的空間，甚至平行宇宙。值得注意的是，弦理論目前尚未能做出可以實驗驗證的準確預測，關於這一點，以下內文會說明。
目錄
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1 發展歷史
2 弦理論
2.1 玻色弦理論
2.2 超弦理論
2.3 弦理論與大一統理論
2.4 額外維
2.5 D-膜
3 物理或是哲學
4 問題與爭論
5 相關主題
6 資料來源
7 參考出處
8 外部連結
[编辑] 發展歷史
弦理論的雛形是在1968年由Gabriele Veneziano發現。有說法稱，他原本是要找能描述原子核內的強作用力的數學函數，然後在一本老舊的數學書裡找到了有200年歷史的Β函數，這函數能夠描述他所要求解的強作用力。事實並非如此，根據維內奇諾本人的說法，這個函數是他多年努力的結果，而那些「偶爾發現」以及「從數學書中發現」的傳言令他本人很不高興。不久後李奧納特·蘇士侃發現，這函數可理解為一小段類似橡皮筋那樣可扭曲抖動的有彈性的「線段」，這在日後則發展成「弦理論」。
雖然弦理論最開始是要解出強作用力的作用模式，但是後來的研究則發現了所有的最基本粒子，包含正反夸克，正反電子，正反微中子等等，以及四種基本作用力「粒子」（強、弱作用力粒子，電磁力粒子，以及引力粒子），都是由一小段的不停抖動的能量弦線所構成，而各種粒子彼此之間的差異只是這弦線抖動的方式和形狀的不同而已。
[编辑] 弦理論
[编辑] 玻色弦理論
最早期的弦論叫做玻色弦理論，南部陽一郎給予最早的作用量，但是該作用量在場論的框架內難以量子化。此後亞歷山大·泊里雅科夫給予一個等效的作用量，其幾何含義是把時空坐標視為一個世界面的純量場，並且在世界面上滿足廣義相對論的一般坐標變換規則。除此之外，如果要求這個作用量同時滿足在外爾變化下不變，那麼自然的會要求這個世界面是一個二維的曲面。
玻色弦理論是最簡單的一個弦論的模型，它最重要的物理圖像是認為物理粒子不是單純的點粒子，而是由於弦的振動產生的激發態。顯然它有很大的缺點，其一是它只簡單描述純量玻色子，沒有將費米子引入框架內；其二沒有包含一般量子場論中的規範對稱性；其三是當研究它的質量譜時候發現，它的真空態是一組質量平方小於零的不穩定快子。所有這些問題在推廣到超弦理論後得到很好的解釋。
[编辑] 超弦理論
另外，「弦理論」這一用詞所指的原本包含26維的玻色弦理論，和加入超對稱性的超弦理論。在近日的物理界，「弦理論」 一般是專指「超弦理論」，為了方便區分，較早的「玻色弦理論」則以全名稱呼。1990年代，受絃對偶的啓發，愛德華·維頓猜想存在一11維的M理論，他和其他學者找到強力的證據，顯示五種不同版本的十維超弦理論與十一維超重力論其實應該是M理論的六個不同極限。這些發現帶動了第二次超弦理論革新。
[编辑] 弦理論與大一統理論
弦理論會吸引這麼多注意，大部分的原因是因為它很有可能會成為大一統理論。弦理論也可能是量子重力的解決方案之一。除了重力之外，它很自然的成功描述各式作用力，包含電磁力和其他自然界存在的各種作用力。超弦理論還包含組成物質的基本粒子之一的費米子。至於弦理論能不能成功的解釋基於目前物理界已知的所有作用力和物質所組成的宇宙，這還是未知數。至今研究員仍未能找到一個弦論模型，其低能極限為標準模型。
[编辑] 額外維
額外維是相對於"四維時空"而提出的一個概念，一般泛指的是理論在四維時空基礎上擴展出來的其它維度。
愛因斯坦提出宇宙是空間加時間組成的"四維時空"。1926年，德國數學物理學家西奧多·卡魯扎在四維時空上再添加一個空間維，也就是添加一個第五 維，把愛因斯坦的相對論方程式加以改寫，改寫後的方程式可以把當時已知的兩種基本力即「電磁力」和「引力」很自然地統一在同一個方程式中。至此，理論中存 在額外添加的維度統稱為「額外維」。
[编辑] D-膜
由於超弦理論的時空維數為10維，所以很自然的可以認為有6個額外的維度需要被緊化。當對閉弦緊化時，可以發現所謂的T-對偶；而對開弦緊化則可以發現開弦的端點是停留在這些超曲面上的，並且滿足Dirichlet邊界條件。所以這些超曲面一般被稱為「D膜」。 研究員稱D膜的動力學為「矩陣理論」（M理論)，是為「M」字之一來源。
[编辑] 物理或是哲學
未解決的物理學問題: 是否存在一個精確描述宇宙中萬物的弦理論真空？它是否能以低能量數據一一地確定？
在未獲實驗證實之前，弦理論是屬於哲學的範疇，不能完全算是物理學。無法獲得實驗證明的原因之一是目前尚沒有人對弦理論有足夠的了解而做出正確的預測，另一個則是目前的高速粒子加速器還不夠強大。
科學家們使用目前的和正在籌備中的新一代的高速粒子加速器試圖尋找超弦理論裡主要的超對稱性學說所預測的超粒子。但是就算是超粒子真的找到了，這仍不能算是可以證實弦理論的強力證據，因為那也只是找到一個本來就存在於這個宇宙的粒子而已，不過這至少表示研究方向是正確的。
[编辑] 問題與爭論
雖然歷史上，弦理論是物理學的分支之一，但仍有一些人主張，弦理論目前不可實驗的情況，意味著它應該（嚴格地說）被更多地歸為一個數學框架而非科學。一個有效的理論，必須通過實驗與觀察，並被經驗地證明。不少物理學家們主張要通過一些實驗途徑去證實弦理論。[1] 一些科學家希望藉助歐洲核子研究組織（CERN，Conseil European Pour Recherches Nucleaires）的大型強子對撞機，以獲得相應的實驗數據——儘管許多人相信，任何關於量子引力的理論都需要更高數量級的能量來直接探查。[2]此外，弦理論雖然被普遍認同[原創研究？]，但它擁有非常多的等可能性的解決方案。[3]因此，一些科學家主張弦理論或許不是可證偽的，並且沒有預言的力量。[4][5][6][7]
由於任何弦理論所作出的那些與其他理論都不同的預測都未經實驗證實的，該理論的正確與否尚待驗證。為了看清微粒中弦的本性所需要的能量級，要比目前 實驗可達到的高出許多。弦理論具有很多數學興趣的特性（features of mathematical interest）並自然地包含了標準模型的大多數特性，比如非阿貝爾群與手性費米子（chiral fermions）。因為弦理論在可預知的未來可能難以被實驗證明，一些科學家[8] 問，弦理論甚至是否應該被叫做一個科學理論。它現在還不能在波普爾的哲學含義中被證偽。但這也暗示了弦理論更多地被看做建設模型的框架。在同樣的形式中，量子場論是一個框架。[9]
弦理論的思想為物理學帶來了一個建議上超越標準模型的巨大影響。例如，雖然超對稱性是組成弦理論的重要一部分，但是那些與弦理論沒有明顯聯繫的超對稱模型，科學家們也有研究。因此，如果超對稱性在大型強子對撞機中被偵測到，它不會被看做弦理論的一個直接證明。然而，如果超對稱性未被偵測出，由於弦理論中存在只有以更加更加高的能量才能看出超對稱性的真空，所以它的缺乏不會證明弦理論是錯誤的。相反，如果日食期間觀測到太陽的引力未使光按預測的角度偏轉，那麼愛因斯坦的廣義相對論將被證明是錯誤的。（廣義相對論當然已被證明是正確的。）
在更數學的層次上，另一個問題是，如同很多量子場論，弦理論的很大一部分仍然是微擾地（perturbatively）用公式表達的（即為對連續的逼近，而非一個精確的解）。雖然非微擾技術有相當大的進步——包括猜測時空中滿足某些漸進性的完整定義——一個非微擾的、充分的理論定義仍然是缺乏的。
物理學中，弦理論有關應用的一個中心問題是，弦理論最好的理解背景保存著大部分從時不變的時空得出的的超對稱性潛在理論：目前，弦理論無法處理好時間依賴與宇宙論背景的問題。
前面提到的兩點涉及一個更深奧的問題：在弦理論目前的構想中，由於弦理論對背景的依賴——它描述的是關於固定時空背景的微擾膨脹，它可能不是真正基礎的。一些人把獨立背景（background independence）看做對於一個量子重力理論的基礎要求；自從廣義相對論已經是背景獨立的以來，尤其如此。
[编辑] 相關主題
超弦理論
M理論
[编辑] 資料來源
^ M. R. Douglas,Are There Testable Predictions of String Theory? February 2007 Texas A&M
^ 見e.g. E. Kiritsis, String theory in a nutshell. Introduction to Modern String theory, Princeton University Press, Princeton, N.Y. (2007)
^ S. Kachru, R. Kallosh, A. Linde and S. P. Trivedi, de Sitter Vacua in String Theory, Phys.Rev.D68:046005,2003
^ Peter Woit's Not Even Wrong weblog
^ P. Woit (Columbia University) String theory: An Evaluation,February 2001, e-Print: physics/0102051
^ P. Woit, Is String Theory Testable? INFN Rome March 2007
^ Lee Smolin's The Trouble With Physics webpage
^ Prominent critics include Philip Anderson ("string theory is the first science in hundreds of years to be pursued in pre-Baconian fashion, without any adequate experimental guidance", New York Times, 4 January 2005), Sheldon Glashow ("there ain't no experiment that could be done nor is there any observation that could be made that would say, `You guys are wrong.' The theory is safe, permanently safe", NOVA interview), Lawrence Krauss ("String theory [is] yet to have any real successes in explaining or predicting anything measurable", New York Times, 8 November 2005), Peter Woit (see his blog, article and book "Not Even Wrong", ISBN 0-224-07605-1) and Carlo Rovelli (see his Dialog on Quantum Gravity)
^ David Gross, Perspectives, String Theory: Achievements and Perspectives - A conference
[编辑] 參考出處
Greene, Brian. The Elegant Universe（台灣中文譯本《優雅的宇宙》或大陸中文譯本《宇宙的琴弦》）. W.W. Norton and Co. New York,NY. c1999. ISBN 0-375-70811-1
Witten, E. , <<String Theory Dynamics in Various Dimensions>>, http://arxiv.org/abs/hep-th/9503124
Hull, C. - Townsend, P , <<Unity of Superstring Dualities>>, http://arxiv.org/abs/hep-th/9410167
Smolin Lee. <The Trouble with Physics>(簡體中文譯本<物理學的困惑>)，ISBN 9787535752406
[编辑] 外部連結
The Elegant Universe Online (含3小時的影片)
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未解決的物理學問題: 請問弦理論、超弦理論或M理論等等類似理論，是否向萬有理論的康莊大道邁上一大步，還是一條死胡同？
超弦理論(Superstring)屬於弦理論的一種，也指狹義的弦理論。是一種引進了超對稱(SuperSymmetry)的弦論(String Theory)，其中指物質的基石為十維空間中的弦。
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1 理論基礎
2 相關條目
3 參考文獻
4 外部鏈結
[编辑] 理論基礎
十維空間(九維空間加一維時間)
為了將玻色子（bosons）和費米子（fermions）統一，科學家預言了這種粒子，由於實驗條件的限制，人們很難找到這種能夠證明弦理論的粒子。超弦理論作為最為艱深的理論之一，吸引著很多理論研究者對它進行研究，是萬有理論的候選者之一，可來解釋我們所知的一切作用力、乃至於解釋宇宙。
超弦理論將次原子粒子都被視為受激而振動的多維迴圈(開頭所提的10維空間)。
超弦理論與傳統的量子力學一樣，將不確定性視為真正的隨機。
[编辑] 相關條目
大統一理論
量子力學（Quantum mechanics）
迴圈量子重力理論（Loop Quantum Gravity）
M理論
D-膜
[编辑] 參考文獻
Kaku, Michio. Introduction to Superstring and M-Theory. 2nd edition. New York, USA: Springer-Verlag. 1999.
Shen, Sinyan. Introduction to Superfluidity. 2nd edition. Beijing, China: Science Press. 1982.
Greene, Brian. The Elegant Universe: Superstrings, Hidden Dimensions, and the Quest for the Ultimate Theory. Random House Inc. 2000.
[编辑] 外部鏈結
超弦發展史
訪費因曼談超弦論
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未解決的物理學問題: 請問弦理論、超弦理論或M理論等等類似理論，是否向萬有理論的康莊大道邁上一大步，還是一條死胡同？
M理論(M-theory)是為「物理的終極理論」而提出的理論。物理學家希望能用一個理論來解釋所有的物質與能量的本質和交互關係。它試圖把4種作用力：電磁力、引力、強核力和弱核力統一起來。它還試圖結合當前所有5種超弦理論和11維的超引力理論。為了充分了解它，愛德華·維騰 (Edward Witten) 認為需要發明新的數學工具，就如牛頓當時發明微積分一樣。M理論的「M」包含有許多意思，例如魔術（magic）、神秘（mystery）、大師（master）、膜（membrane）、矩陣（matrix）或母親（mother）等等。[原創研究？]亦有人[誰？]認為這個M字代表著維騰本人(Witten 的 "W" 反轉便是 "M")
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萬有理論
量子力學（Quantum mechanics）
迴圈量子重力理論（Loop Quantum Gravity）
超弦理論
D-膜
[编辑] 外部連結
M-Theory-Cambridge
M-Theory-Caltech
（英文）The Elegant Universe
M理論及其哲學意義
（日文）Ｍ理論の窓
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未解決的物理學問題: 時空超對稱是否正確？超對稱破壞（supersymmetry breaking）是怎樣發生的，是為甚麼發生的？超對稱是否能夠穩定電弱尺度，避免大幅度量子修正？最輕的超對稱粒子是否為暗物質的組成成分之一？
超對稱是費米子和玻色子之間的一種對稱性，該對稱性至今在自然界中尚未被觀測到。物理學家認為這種對稱性是自發破缺的。大型強子對撞機將會驗證粒子是否有相對應的超對稱粒子這個疑問。
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1 理論
2 歷史
3 參見
4 外部連結
[编辑] 理論
[编辑] 歷史
[编辑] 參見
中子電偶極矩
最小超對稱標準模型
[编辑] 外部連結
"Particle wobble shakes up supersymmetry", Cosmos magazine, September 2006
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在弦論中，D-膜是一種物體可以讓開弦的端點以狄利克雷邊界條件固定的地方。[1]D-模是在1989年由Dai, Leigh和約瑟夫·泡耳欽斯基發現，另外較罕為人知的是，切赫·荷拉伐在1989年也曾獨立發現D-膜。在1995年,約瑟夫·泡耳欽斯基發現了D-膜其實和超重力裡的解:黑p-膜是一樣的東西。這個發現促使了第二次弦論革命，還有全像對偶和M理論對偶的發現。 D-膜通常以它的維度作分類，可以在D後面加入維度數做表示，如D0-膜是一個點，D1-膜是一條線(有時又稱作D-線)，D2-是平面等，其中D25-膜是在波色弦理論(bosonic string theory)所考慮道維度最高的空間。除此之外，還有跟即時子同性質固定在時間和空間中的D(-1)-膜。 [2]
[编辑] 理論背景
開弦(一種有端點的弦)的端點依照弦論的用動方程式必須滿足兩種邊界條件的其中一種。1.諾伊曼邊界條件:端點可以在時間和空間中自由的移動。2.狄利克雷邊界條件:端點被固定在時間空間之中。弦的端點的每一個座標都需要滿足其中一種的邊界條件。而弦的兩個端點也可以滿足不同的邊界條件。
[编辑] 參見
M理論
弦論
[编辑] 參考文獻
^ Bachas, C. P. "Lectures on D-branes" (1998). arXiv:hep-th/9806199.
^ Johnson, Clifford. D-branes. Cambridge: Cambridge University Press. 2003. ISBN 0-521-80912-6.
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迴圈量子重力論
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迴圈量子重力論（loop quantum gravity，LQG），又譯環圈量子引力論，英文別名迴圈重力（loop gravity）及量子幾何學（quantum geometry）；由阿貝·阿希提卡（Ahbay Ashtekar）、李·施莫林（Lee Smolin）、卡洛·洛華利（Carlo Rovelli）等人發展出來的量子重力理論，與弦理論一併是目前為止將引力論量子化最成功的理論。
利用量子場論的微擾理論來實現引力論的量子化的理論是不能被重整化的。如果主張時空只有四維，從廣義相對論下手，結果可以把廣義相對論轉變成類似規範場論的理論，基本正則變量為阿希提卡-巴貝羅聯絡（Ashtekar-Barbero Connection）而非度規張量,再以聯絡定義的平移算子（holonomy）以及通量變數(flux variable)為基本變數實現量子化。
在此理論下，時空描述是呈背景獨立，由關係性迴圈織成的自旋網路鋪成時空幾何。網路中每條邊及每個節點分別為一普朗克長度及普朗克體積。迴圈並不存在於時空中，迴圈扭結的方式定義時空幾何。在普朗克尺度下，時空幾何充滿隨機的量子漲落，因此自旋網路又稱為自旋泡沫（Spin foam）。在此理論下，時空是離散的。
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1 迴圈量子重力通論與目標
2 迴圈量子重力的假設
2.1 量子力學與廣義相對論的不相容
3 迴圈量子重力的基本內容
3.1 阿希提卡-巴貝羅聯絡
4 相關條目
5 參考文獻
5.1 書目
5.2 論文
[编辑] 迴圈量子重力通論與目標
多數弦論學家相信無法在3+1維時空中，將重力量子化而不產生物質與能量有關的人工產物。然而弦論所預測的物質有關的人工產物也未被證明是否真的與實際觀測到的物質不相同。不過若迴圈量子重力成功地成為重力的量子理論，則已知的物質場必須「事後」再加到此一理論中，而不是從理論中自然而然地出現。迴圈量子重力論的創始者之一李·施莫林已思索過弦論與迴圈量子重力兩者可能分別是一個終極理論兩相不同的近似這樣的可能性。
迴圈量子理論中使用的簡單的自旋網路形態
目前迴圈量子重力聲稱具有的成功之處有：
其為3維空間幾何的非微擾量子化，具有量子化的面積與體積算符。
其包含了對於黑洞熵的計算。
其為弦論以外另一可行的理論，但僅只涉及重力的量子化（即非萬有理論）。
然而，這樣的聲稱尚未被完全接受。雖然許多迴圈量子重力的核心成果都是來自於嚴謹的數學物理，不過它們的物理詮釋仍多為推敲性質。迴圈量子重力是有可能成為重力或者是幾何的改進方案；舉例來說，(2)中的熵計算事實上是針對一種形式的「洞」來做的，這個洞可能是，也可能不是黑洞。
量子重力的其他方案，比如自旋泡沫模型，與迴圈量子重力密切相關。
[编辑] 迴圈量子重力的假設
迴圈量子重力的兩個最重要的假設為
廣義協變 - 物理學的定律可以用任何的坐標系來表示，這也是廣義相對論的基本假設。
背景獨立 - 不存在可以作為背景的獨立不變的度規，坐標系等。
迴圈量子重力也假設量子論的基本原理是正確的。舉例廣義協變的理論有廣義相對論，非廣義協變的理論有狹義相對論（狹義協變），非背景獨立的理論有牛頓力學（假設存在一條獨立不變的時間軸），狹義相對論（其背景為閔考斯基空間，背景度規為閔考斯基度規），在背景電磁場中運動的電子的方程式等，背景獨立的理論有廣義相對論,度規張量的值完全由理論決定。
[编辑] 量子力學與廣義相對論的不相容
主條目：量子引力
量子力學與廣義相對論是20世紀最具革命性的兩大理論，但兩者卻互不兼容。廣義相對論研究大尺度的物體，而量子力學則掌管著亞原子粒子的微觀世界， 一個具有定域性，而另一個則不具備。所以我們需要一個完備的量子引力理論來統一廣義相對論與量子力學，就像電弱統一理論很好地把電磁力與弱交互作用力合并 在一起那樣。目前有許多的候選理論，如弦論,迴圈量子重力理論，標度相對論。
[编辑] 迴圈量子重力的基本內容
迴圈量子重力可以從廣義相對論的ADM表示法推導。ADM表示法的正則變數為三維空間的度規張量qab以及其正則動量Pab。使用狄拉克約束處理方法可得ADM表示法有兩個第一類約束：
微分同胚約束:
哈密頓約束:
[编辑] 阿希提卡-巴貝羅聯絡
此時用卡當的幾何法，用三足（triad）一次型來表示度規張量,
假設與三足相容的聯絡為(稱為自旋聯絡),三維空間的外部曲率張量為,γ為任何實數，定義一個新的聯絡
即阿希提卡-巴貝羅聯絡。其正則動量為。使用狄拉克約束處理方法可得三個第一類約束:
高斯約束:
微分同胚約束:
哈密頓約束:
Da為阿希提卡-巴貝羅聯絡定義的協變微商，為阿希提卡-巴貝羅聯絡定義的曲率張量.由於有高斯約束的關係,所以迴圈量子重力是一種類似規範場論的理論.
[编辑] 相關條目
非交換幾何
C*代數
雙重狹義相對論
[编辑] 參考文獻
[编辑] 書目
[编辑] 論文
（英文）迴圈量子重力論中的重力子傳遞子(Graviton propagator in loop quantum gravity)-- We compute some components of the graviton propagator in loop quantum gravity, using the spinfoam formalism, up to some second order terms in the expansion parameter.
（英文）量子重力與標準模型(Quantum Gravity and the Standard Model)-- Shows that a class of background independent models of quantum spacetime have local excitations that can be mapped to the first generation fermions of the standard model of particle physics.
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重力理論
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費米子
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費米子（英語：fermion）是依隨費米-狄拉克統計、角動量的自旋量子數為半奇數的粒子。費米子遵從泡利不相容原理。根據標準理論，費米子均是由一批基本費米子構成的，而基本費米子則不可能分解為更細小的粒。基本費米子分為 2 類：夸克和輕子。而這 2 類基本費米子，又分為合共 24 種味（flavour）：
12 種夸克：包括上夸克 (u)、下夸克 (d)、奇夸克 (s)、魅夸克 (c)、底夸克 (b)、頂夸克 (t)，及它們對應的 6 種反粒子。
12 種輕子：包括電子 (e-)、渺子 (μ-)、陶子 (τ-)、微中子νe、微中子νμ、微中子ντ，及對應的 6 種反粒子，包括 3 種反微中子。
根據標準理論，其他有質量的非基本粒子，都有費米組成，例如中子、質子都是由三種夸克組成，自旋為1/2。奇數個核子組成的原子核。因為中子、質子都是費米子，故奇數個核子組成的原子核自旋是半整數。
[编辑] 參閱
玻色子
費米-狄拉克統計
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粒子
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玻色子（英語：boson） 是依隨玻色-愛因斯坦統計，自旋為整數的粒子。玻色子不遵守泡利不相容原理，在低溫時可以發生玻色-愛因斯坦凝聚。
玻色子包括：
膠子 - 強相互作用的媒介粒子，自旋為1，有8種
光子 - 電磁相互作用的媒介粒子，自旋為1，只有1種
W 及 Z 玻色子 - 弱相互作用的媒介粒子，自旋為1，有3種
引力子 - 引力相互作用的媒介粒子，自旋為2，只有1種，尚未被發現
希格斯玻色子 - 尚未被發現
介子 - 由兩個費米子——夸克組成的強子。
由偶數個核子組成的原子核。因為質子和中子都是費米子，故含偶數個核子的原子核是自旋為整數的玻色子。
聲子 - 請參閱固體物理學
[编辑] 參閱
費米子
玻色-愛因斯坦統計
規範玻色子
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基本粒子
費米子
夸克：u · u · d · d · c · c · s · s · t · t · b · b
輕子：e- · e+ · μ- · μ+ · τ- · τ+ · νe · ve · νμ · vμ · ντ · vτ
玻色子
規範玻色子：γ · g · W± · Z0
複合粒子
強子
重子/核子/超子：p · p · n · n · Δ · Λ · Σ · Ξ · Ω ·
介子/夸克偶素：π · K · ρ · D · J/ψ · Υ
其它
原子核 · 原子 · 奇異原子：電子偶素 · 渺子偶素 · 介子原子 · 超子原子 · 反氫 · 介子核 · 超核 · 重味超核 · 分子
假想的基本粒子
超對稱粒子
超規範子：超膠子 · 超引力子
其他：超軸子 · 超荷子 · 超中性子 · 超希格斯粒子 · 超費米子
其它
大質量弱相互作用粒子(WIMP) · 惰性中微子 · 加速子 · 快子 · 軸子 · 引力子 · 希格斯玻色子 · X · Y · W' · Z'
假想的複合粒子
奇異強子
奇異重子：五夸克態 · 雙重子態 · 奇異介子：膠球 · 混雜態 · 四夸克態
其它
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麥克斯韋 · 吉布斯 · 玻爾茲曼
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玻色-愛因斯坦統計是玻色子所依從的統計規律。
根據量子力學，玻色子是自旋為整數的粒子，其本徵波函數對稱，在玻色子的某一個能級上，可以容納無限個粒子。因而符合玻色-愛因斯坦統計分布的粒子，當他們處於某一分布（「某一分布」指這樣一種狀態：即在能量為的能級上同時有nj個粒子存在著，不難想像，當從宏觀觀察體系能量一定的時候，從微觀角度觀察體系可能有很多種不同的分布狀態，而且在這些不同的分布狀態中，總有一些狀態出現的幾率特別的大，而其中出現幾率最大的分布狀態被稱為最可幾分布）時，體系總狀態數為：
gj個隔室和nj個小球的排列
〇〇〇〇……〇
〇〇〇
〇
…………
〇
__
…………
__
__
對這一公式的理解是這樣的：把:gj個簡併能級看作一個擁有:gj個隔室的大盒子，把:nj個粒子看作準備放入盒子中的:nj個不可區分的小球，則可以把這個向盒子裡面放小球的過程看作:nj個小球和盒子中:gj − 1個隔室壁的隨機排列過程，則這樣的排列一共有:(gj + nj − 1)!種可能出現的狀態；另一方面，小球和小球是不可區分的，隔室壁和隔室壁也是不可區分的，因此對小球和隔室壁的計數都有重複，需要除以這種重複計數:(gj − 1)!和:(nj)!，最終得到的結果就是上述結果。
服從B-E統計的兩個粒子在三重簡併態下的分布
狀態1
狀態2
狀態3
A
A
A
A
A
A
AA
AA
AA
玻色-愛因斯坦統計的最可幾分布的數學表達式為：
由於量子統計在數學處理上非常困難，因此在處理實際問題時經常引入一些近似條件，使費米-狄拉克統計和玻色-愛因斯坦統計退化成為經典的麥克斯韋-玻爾茲曼統計。
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費米–狄拉克統計
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麥克斯韋 · 吉布斯 · 玻爾茲曼
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費米-狄拉克統計是費米子所依從的統計規律。
根據量子力學，費米子為自旋為半奇數的粒子，其本徵波函數反對稱，在費米子的某一個能級上，最多只能容納一個粒子。因而符合費米-狄拉克統計分布的粒子，當他們處於某一分布（「某一分布」指這樣一種狀態：即在能量為的能級上同時有個粒子存在著，不難想像，當從宏觀觀察體系能量一定的時候，從微觀角度觀察體系可能有很多種不同的分布狀態，而且在這些不同的分布狀態中，總有一些狀態出現的幾率特別的大，而其中出現幾率最大的分布狀態被稱為最可幾分布）時，體系總狀態數為：
服從F-D統計的兩個粒子在三重簡併態下的分布
狀態1
狀態2
狀態3
A
A
A
A
A
A
費米-狄拉克統計的最可幾分布的數學表達式為：
由於費米-狄拉克統計在數學處理上非常困難，因此在處理實際問題時經常引入一些近似條件，使費米-狄拉克統計和玻色-愛因斯坦統計退化成為經典的麥克斯韋-玻爾茲曼統計。
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粒子統計學
馬克士威-波茲曼統計
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馬克士威 · 吉布斯 · 波茲曼
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馬克士威—波茲曼統計是描述獨立定域粒子體系分布狀況的統計規律。
所謂獨立定域粒子體系指的是這樣一個體系：粒子間相互沒有任何作用，互不影響，並且各個不同的粒子之間都是可以互相區別的，在量子力學背景下只有定 域分布粒子體系中的粒子是可以相互區分的，因此這種體系被稱為獨立定域粒子體系。而在古典力學背景下，任何一個粒子的運動都是嚴格符淨力學規律的，有著可 確定的運動軌跡可以相互區分，因此所有古典粒子體系都是定域粒子體系，在近獨立假設下，都符合馬克士威-波茲曼統計。
因而符合馬克士威—波茲曼統計分布的粒子，當他們處於某一分布（「某一分布」指這樣一種狀態：即在能量為的能級上同時有Nj個粒子存在著，不難想像，當從巨觀觀察體系能量一定的時候，從微觀角度觀察體系可能有很多種不同的分布狀態，而且在這些不同的分布狀態中，總有一些狀態出現的機率特別的大，而其中出現機率最大的分布狀態被稱為最可幾分布）時，體系總狀態數為：
服從M-B統計的兩個粒子在三重簡併態下的分布
狀態1
狀態2
狀態3
A
B
B
A
B
A
A
B
B
A
A
B
AB
AB
AB
gj = 3;Nj = 2;Wj = 9
我們想要求出數列 Ni 在什麼條件之下 W 會得到極大值, 但我們要注意的是數列 Ni 必須滿足粒子總數固定且能量固定的條件。利用 W 或 ln(W) 來求出粒子分配時最概然分佈的條件是等價的，然而基於數學上的理由，我們取後者的極大值會較為方便。由於 Ni 並非完全獨立，因此我們採用拉格朗日乘數法以求出 ln(W) 的極值。
令
利用 斯特靈公式 作為階乘的近似
我們得到:
代入 ln(W)
最後我們得到
根據拉氏乘法原則，我們對 f(N1,N2,...,Nn)對每一項Ni做偏微分，並令其等於0。
即
利用其他熱力學的方法可以證明 β = 1/kT （k 是 波茲曼常數 T 是 絕對溫標 ） α = -μ/kT （ μ 是 化學勢 ） 最後我們得到:
由於量子統計在數學處理上非常困難，因此在處理實際問題時經常引入一些近似條件，使費米-狄拉克統計和玻色-愛因斯坦統計退化成為古典的馬克士威-波茲曼統計。
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隐藏▲機率分布 [ 查看 • 討論 • 編輯 • 歷史 ]
單隨機變數
多隨機變數
離散機率分布
均勻 • 白努利 • 幾何 • 二項 • 卜氏 • 超幾何 • 多項 • 負二項 • 波茲曼 • 複合帕松 • 退化 • 高斯-庫茲明 • 對數 • 拉德馬赫 • Skellam • Yule-Simon • ζ • 齊夫 • 齊夫-曼德爾布羅特 • 拋物線碎形
Ewens抽樣公式
連續機率分布
均勻 • 常態 • 指數 • β（貝他） • β'（第二類） • 柯西 • χ²（卡方） • δ（德爾塔） • 愛爾朗（Erlang） • 廣義誤差 • F • 衰落 • Fisher的z • Fisher-Tippett • γ（伽瑪） • 廣義極值 • 廣義雙曲 • 半邏輯 • Hotelling的T平方 • 雙曲正割 • 超指數 • 逆χ² • 逆高斯 • 廣義逆高斯 • 逆γ • Kumaraswamy • Landau • 拉普拉斯 • 列維 • 穩定 • 邏輯 • 對數常態•馬克士威-波耳茲曼•馬克士威速率分布律 • 玻色-愛因斯坦 • 費米-狄拉克 • Pareto • Pearson • 極角 • 餘弦平方 • 瑞立 • 相對論的Breit-Wigner • 萊斯 • t（學生氏） • 三角 • 第一類Gumbel•第二類Gumbel • Voigt • von Mises • 韋氏 • Wigner半圓形
狄利克雷 • 肯特 • 矩陣常態分配 • 多變量常態分配 • von Mises-Fisher • Wigner擬機率 • Wishart
其它分布
康托爾分布 • 條件機率 • 指數分布族 • infinitely divisible • location-scale family • 邊緣 • 最大熵 • phase-type • posterior • prior • 擬機率 • 抽樣分配 • singular
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粒子統計學
標準模型
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粒子物理學標準模型
標準模型
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在粒子物理學裏，標準模型是一套描述強力、弱力及電磁力這三種基本力及組成所有物質的基本粒子的理論。它隷屬量子場論的範疇，並與量子力學及狹義相對論相容。到目前為止，幾乎所有對以上三種力的實驗的結果都合乎這套理論的預測。但是標準模型還不是一套萬有理論，主要是因為它並沒有描述到引力。
標準模型常被人縮寫作「SM」（Standard Model）。
目錄
[隐藏]
1 標準模型的內容
2 測試及預測
3 標準模型的擴展
4 參考
5 參看
6 外部連結
[编辑] 標準模型的內容
標準模型包含費米子及玻色子——費米子為擁有半奇數的自旋並遵守包立不相容原理（這原理指出沒有相同的費米子能佔有同樣的量子態）的粒子；玻色子則擁有整數自旋而並不遵守包立不相容原理。簡單來說，費米子就是組成物質的粒子而玻色子則負責傳遞各種作用力。
電弱統一理論與量子色動力學在標準模型中合併為一。這些理論都是規範場論，即它們把費米子跟玻色子（即力的中介者）配對起來，以描述費米子之間的力。由於每組中介玻色子的拉格朗日函數在規範變換中都不變，所以這些中介玻色子就被稱為規範玻色子。標準模型所包含的玻色子有：
膠子 - 強交互作用的媒介粒子，自旋為1，有8種
光子 - 電磁交互作用的媒介粒子，自旋為1，只有1種
W 及 Z 玻色子 - 弱交互作用的媒介粒子，自旋為1，有3種
希格斯粒子 - 引導規範組的自發對稱性破缺，亦是慣性質量的源頭。
實際上規範玻色子的規範變換是可以準確地利用一個稱為「規範群」的酉群去描述。強交互作用的規範群是SU(3)，而電弱作用的規範群是SU(2)×U(1)。所以標準模型亦被稱為SU(3)×SU(2)×U(1)。
在眾玻色子中，只有希格斯玻色子不是規範玻色子。而負責傳遞引力交互作用的玻色子——引力子則未能被包括入標準模型之中。
標準模型包含了十二種「味道」的費米子。組成大部份物質三種粒子：質子、中子及電子，當中只有電子是這套理論的基本粒子。質子和中子只是由更基本的夸克，受強作用力吸引而組成。以下的標準模型的基本費米子：
費米子
符號
電磁荷
弱荷*
弱同自旋 (Weak isospin)
超荷
強荷（色荷)*
質量**
第一代
左旋電子
e
-1
2
-1/2
-1/2
1
0.511 MeV
左旋電子微中子
νe
0
2
+1/2
-1/2
1
<50 eV
左旋正子
ec
1
1
0
1
1
0.511 MeV
左旋電子反微中子
0
1
0
0
1
<50 eV
左旋上夸克
u
+2/3
2
+1/2
+1/6
3
~5 MeV ***
左旋下夸克
d
-1/3
2
-1/2
+1/6
3
~10 MeV ***
左旋反上夸克
uc
-2/3
1
0
-2/3
~5 MeV ***
左旋反下夸克
dc
+1/3
1
0
+1/3
~10 MeV ***
第二代
左旋渺子
μ
-1
2
-1/2
-1/2
1
105.6 MeV
左旋渺子微中子
νμ
0
2
+1/2
-1/2
1
<0.5 MeV
左旋反渺子
μc
1
1
0
1
1
105.6 MeV
左旋反渺子微中子
0
1
0
0
1
<0.5 MeV
左旋魅夸克
c
+2/3
2
+1/2
+1/6
3
~1.5 GeV
左旋奇夸克
s
-1/3
2
-1/2
+1/6
3
~100 MeV
左旋反魅夸克
cc
-2/3
1
0
-2/3
~1.5 GeV
左旋反奇夸克
sc
+1/3
1
0
+1/3
~100 MeV
第三代
左旋τ子
τ
-1
2
-1/2
-1/2
1
1.784 GeV
左旋τ子微中子
ντ
0
2
+1/2
-1/2
1
<70 MeV
左旋反τ子
τc
1
1
0
1
1
1.784 GeV
左旋τ子反微中子
0
1
0
0
1
<70 MeV
左旋頂夸克
t
+2/3
2
+1/2
+1/6
3
178 GeV
左旋底夸克
b
-1/3
2
-1/2
+1/6
3
~4.7 GeV
左旋反頂夸克
tc
-2/3
1
0
-2/3
178 GeV
左旋反底夸克
bc
+1/3
1
0
+1/3
~4.7 GeV
* - 這些不是一般的阿貝爾電荷 (Abelian charges)，而是李群的表示之標籤。它們不能相加。
** - 質量實為左旋及右旋費米子的耦合 (Coupling)。例如電子之質量實為一左旋電子及一右旋電子（左旋正子之反粒子）之耦合。另外，微中子在它們的質量耦合中因有大量混合，故不能準確以味荷或左右旋微中子質量等同來得出微中子之質量。
*** - 這裡所列出的重子 (Baryon)、強子 (Hadron) 質量及其生成截面（cross-section 即生成率）為實驗測量所得。因量子色動力學之色禁閉 (QCD Confinement) 使得擁有單一「色」的夸克不能獨立存在，這裡顯示的數值為夸克於量子色動力學相變化經重整化 (QCD Phase Transition Renormalization) 後的值。物理學家嘗試由格點模型 (Lattice model) 計算不同夸克的質量值，但所得出的第一代夸克質量仍遠低於量子色動力學所需的大小，故其不準確性仍然是很大的。
費米子可以分為三個「世代」。第一代包括電子、上及下夸克及電子微中子。所有普通物質都是由這一代的粒子所組成；第二及第三代粒子只能在宇宙射線或是高能實驗中製造出來，而且會在短時間內衰變成第一代粒子。把這些粒子排列成三代是因為每一代的四種粒子與另一代相對應的四種粒子的性質幾乎一樣，唯一的分別就是它們的質量。例如，電子跟渺子的自旋皆為半整數而電荷同樣是-1，但渺子的質量大約是電子的二百倍。
電子與電子微中子，以及在第二、三代中相對應的粒子，被統稱為輕子。夸克擁有一種叫「色」的量子性質，並且與強作用力耦合。強作用力不同於其他的作用力（弱力、電磁力、重力），會隨距離增加變得越來越強。由於強作用力的色禁閉特性，夸克永遠只會在色荷為零的組合中出現（如介子、重子），這些不同的組合被統稱為「強子」。
目前實驗中確認的強子有兩種：由三顆夸克組成的費米子，即重子（如質子及中子）；以及由夸克－反夸克對所組成的玻色子，即介子（如π介子）。而由五個夸克所組成的五夸克粒子，目前實驗上的結果仍有爭議。
[编辑] 測試及預測
在W玻色子、Z玻色子、膠子、頂夸克及魅夸克未被發現前，標準模型已經預測到它們的存在，而且對它們性質的估計非常精確。
CERN的大型電子－正子對撞機測試並確定標準模型有關Z玻色子衰變的預測。
[编辑] 標準模型的擴展
未解決的物理學問題:
到底是甚麼造成了粒子物理學的標準模型？
為什麼粒子質量和耦合常數（coupling constant）會擁有實驗測量的數值？其物理意義為何？
請問希格斯粒子是否存在？
為什麼粒子會有三代？有否可能找到第四代粒子？
在這宇宙裏，為什麼粒子比反粒子超多?
怎樣將暗物質納入標準模型？暗物質是否為新粒子？
雖然標準模型對實驗結果的解釋很成功，但它也有很大的缺陷。首先，模型中包含了許多參數，如各粒子的質量和各交互作用強度。這些數字不能只從計算中得出，而必須由實驗決定。其次，理論所預測的希格斯玻色子到目前為止仍未被發現。弱電對稱破缺還沒有滿意的解釋。再次，理論中存在所謂的自然性問題。最後，這理論未能描述引力。
首個與標準模型不相符的實驗結果在1998年出現：日本超級神岡微中子探測器發表有關微中子振蕩的結果，顯示微中子擁有非零質量。標準模型的簡單修正（引入非零質量的微中子）可以解釋這個實驗結果。這個新的模型仍叫做標準模型。
大統一理論是 標準模型的一個擴展。它假設SU(3)、SU(2)及U(1)群其實是一個更大的對稱群的成員。只有在高能狀態（比目前實驗能達到的能量還要高）這個對稱 性才能保存；在低能狀態，它自發破缺到SU(3)×SU(2)×U(1)。第一個大統一理論（SU(5)大統一）是由Georgi及Glashow於 1974年提出的。其它流行的還有SO(10)和E(6)大統一模型。
解決自然性問題的主要方案包括藝彩理論（technicolor theory），超對稱模型，額外維度等等。超弦模型則是描寫包括引力在內所有基本現象的終級理論的最主要代表。
許多標準模型的擴展都預言了質子衰變。這一現象至今沒有為實驗所證實。
[编辑] 參考
[编辑] 參看
主要題目：未解決的物理學問題、大一統理論、萬有理論、宇宙論、非標準宇宙論、物理學、物理學歷史、科學政策
理論物理學：弦論、規範理論（規範場論、規範、SU(3)XSU(2)XU(1)）
粒子物理學：光子、電子、基本粒子、規範玻色子、味、渺子、中性子、微中子、希格斯玻色子、重子數、輕子數、太陽微中子問題、光微子
概念：超對稱、基本交互作用、精細結構常數
重要實驗：中子電偶極矩、超導環場探測器、大型離子對撞機實驗
[编辑] 外部連結
New Scientist story: flaws found in the Standard Model?
short article on standard models of physics and cosmology, F. Wilczek
粒子冒險奇境
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物理學分支
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3个分类:
物理學中未解決的問題
粒子物理學
標準模型
全同粒子
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在量子力學裏，全同粒子是一群不可區分的粒子，又稱不可區分粒子。全同粒子包括基本粒子，像電子、光子，也包括合成的粒子，像原子、分子。
全同粒子可以分為兩個類型：
玻色子可以處於同樣的量子態。光子、膠子、聲子、與氦-4 原子，都是玻色子。
費米子不能處於同樣的量子態（這性質稱為包立不相容原理）。電子、微中子、夸克、質子、中子、氦-3 原子，都是費米子。
目錄
[隐藏]
1 怎樣區分粒子
2 量子力學的描述
2.1 對稱與反對稱量子態
2.2 交換對稱性
2.3 費米子與玻色子
2.4 N 個粒子
2.5 斯萊特行列式
2.6 範例
2.6.1 二個全同玻色子
2.6.2 三個全同玻色子
2.6.3 二個全同費米子
2.6.4 三個全同費米子
3 統計性質
4 參閱
5 參考文獻
[编辑] 怎樣區分粒子
有兩種方法可以用來區分粒子。第一種方法倚靠粒子內在物理性質的不同，像質量，電荷，或自旋。假若粒子的性質有任何的不同，我們可以藉著測量那不同的性質來區分粒子。可是，根據許多實驗結果，同一種類的粒子都具有完全相同的物理性質。例如，宇宙裏所有的電子都擁有同樣的電荷。這就是為什麼我們經常提到電子的電荷，而不是哪一個電子的電荷。
第二種區分法跟蹤每一個粒子的軌道。只要我們能夠無限精確地測量出每一個粒子的位置，就不會搞不清楚哪一個粒子在哪裡。這個方法有一個問題，那就是它與量子力學的基本原理相矛盾。根據量子理論，在位置測量期間，粒子並不會保持明確的位置。粒子的位置是由波函數來決定。而波函數只能給予粒子在每一個位置的機率。隨著時間演變，幾個粒子的波函數會擴散蔓延，互相重疊。一但重疊事件發生，我們就無法區分在重疊區域的兩個粒子。這樣，粒子就越來越不可區分了。
[编辑] 量子力學的描述
[编辑] 對稱與反對稱量子態
我們現在要應用在量子力學的數學表述這條目裏的形式論，來做更具體的講述，
為了簡易起見，設想一個量子系統，內中有兩個全同粒子。因為這兩個粒子具有完全相同的物理性質，它們的態向量的希爾伯特空間完全相同。假若我們標記一個粒子的希爾伯特空間為 ，則這兩個粒子結合的希爾伯特空間是張量乘積 。
設定 來標記單獨粒子量子態的（離散的）量子數（例如，在盒中粒子問題裏，我們設定 為波函數的量子化的波數）。假設一個粒子處於量子態 ，另一個粒子處於量子態 。那麼，什麼是結合系統的量子態？或許我們猜想答案是
。
這只是一個正則方法，從單獨空間之結合，建構出一個張量乘積空間的基底。設定這表達式的第一個量子態為粒子 1 的量子態，第二個量子態為粒子 2 的量子態。那麼，這個表達式意味著我們可以區分粒子 1 是量子數為 的粒子，粒子 2 是量子數為 的粒子的粒子。可是，量子數不是粒子的內在物理性質。我們不能做這樣的區分。
事實上，實驗的結果顯示出，全同粒子的量子態是特別種類的多粒子量子態，稱為對稱態或反對稱態。對稱態的形式為
，
反對稱態的形式為
；
其中，等價方程式左手邊的兩個參數是允許的量子數。 代表對稱態 (symmetric state) ， 代表反對稱態 (antisymmetric state) ；右手邊的括弧內每一個項目的第一個量子態是粒子 1 的量子態，第二個量子態是粒子 2 的量子態。兩個量子態的前後順序很重要：
。
注意到假若 等於 ，則反對稱態會給出 0 。這機率幅是實際物理所不允許的。所以，反對稱態的兩個全同粒子不能處於同樣的量子態。這規則就是著名的包立不相容原理，是造成原子千變萬軫的化學性質的主要因素。
[编辑] 交換對稱性
對稱態與反對稱態的概念的正確性，最終是建立於實驗獲得的證據。大自然似乎並不允許全同粒子的量子態具有混合的對稱性，像下述公式：
。
事實上，這個規則有一個例外，稍後，我們會講述這例外。從另外一方面來看，我們可以表明對稱態與反對稱態，就某種意義來說，是很特別的。讓我們現在檢視多粒子量子態的一種特別的對稱性，稱為交換對稱性。
定義一個線性算符 ，稱為交換算符。當交換算符作用於量子系統的兩個粒子時，這兩個粒子會互相交換：
。
原來粒子 1 的量子態是 ，粒子 2 的量子態是 。經過 作用後，粒子 1 與粒子 2 交換。所以粒子 1 的量子態變為 ，而粒子 2 的量子態變為 。
算符 是個厄米算符和么正算符。因為它是么正的，我們可以將它視為一個對稱性算符。我們可以描述這個對稱性為粒子量子態的交換對稱性：經過 作用後，粒子 1 的量子態與粒子 2 的量子態交換。
明確地， （ 是單位算符）。所以， 的本徵值為 或 。對應的本徵態是對稱態與反對稱態：
我們可以觀察出，經過粒子的交換，對稱態與反對稱態基本上並無改變，它們只被乘以一個因子 或 ，而不是被旋轉於希伯爾特空間。這證明了粒子的標籤並無任何物理意義，這與前面關於不可區分的講述相符合。
由於 是個厄米算符，它是一個可觀察量。理論上，我們可以做一個實驗測量來查明它到底是對稱態，還是反對稱態。此外，粒子的全同意味著哈密頓量可以寫為對稱形式，像
。
很明顯地，交換算符與哈密頓量滿足正則對易關係
。
根據海森堡繪景，這方程式表明 是個運動常數。假若一個量子態本來是對稱態（反對稱態），隨著時間的演變，它仍舊會是對稱態（反對稱態）。在數學裡，態向量被限制為 的兩個本徵態之中的一個；它無法以整個希伯爾特空間為值域範圍。因此，我們可以乾脆將本徵空間當為這系統的真正的希伯爾特空間。這就是佛克空間 (Fock space) 的定義背後的點子。
[编辑] 費米子與玻色子
一個一維無限深方形阱裏的兩個全同費米子的反對稱波函數。
在一個一維無限深方形阱裏的兩個全同玻色子的對稱波函數。
粒子的種類決定了它們的量子態是對稱態或反對稱態。例如，當描述光子、氦-4 原子時，我們必須用到對稱態；而當描述電子、質子時，就必須用到反對稱態。
量子態是對稱態的粒子稱為玻色子。稍後，我們會講述到，對於一個許多全同玻色子組成的系統，對稱性給予了非常重要的統計性質。這些統計性質稱為玻色-愛因斯坦統計。
量子態是反對稱態的粒子稱為費米子。我們已經知道，反對稱性造成了包立不相容原理的產生，使得全同費米子被禁止共處於同樣的量子態。費米-狄拉克統計專門描述許多全同費米子組成的系統，
在某些二維系統裏，混合對稱性也可能發生。這些奇特的粒子被稱為任意子 (anyon) 。它們遵守分數統計 (fractional statistics)。分數量子霍爾效應實驗的證明了任意子的存在。在形成 MOSFET 反轉層的二維電子氣體裏，也觀察到了這種效應。另外有一種統計，稱為辮統計 (braid statistics) ，是用來描述許多全同普瑞頓子 (plekton) 組成的系統，
自旋統計理論將全同粒子的交換對稱性追溯至它們的自旋。這理論闡明玻色子的自旋是正整數，費米子的自旋是半整數，任意子的自旋是分數。
[编辑] N 個粒子
前面的講述可以很容易地推廣至 個粒子的案例。設定 個粒子。再設定 個量子數為 的單獨粒子量子態 。設定其中獨特的量子數為 。 代表量子數 出現的次數（簡併度）。
假若這些粒子都是玻色子，則描述它們的量子態是完全對稱態，對於任何兩個粒子的交換，都是對稱的：
;
其中， 代表所有從整數 到 的置換的集合。這集合裡面有 個元素。因此，公式右邊的總合表達式一共有 項目，每一個項目的指數 是置換集合 的一個元素。指數 內部第 個字位 所代表的整數指定粒子 的量子數 。平方根係數是一個歸一化常數。
假若這些粒子都是費米子，則描述它們的量子態是完全反對稱態，對於任何兩個粒子的交換，都是反對稱的：
其中， 是正號或負號。假若元素 屬於偶置換，則是正號；否則即是負號。注意到在這裡並沒有 這個總乘積項目，因為每一個單獨粒子量子態只能出現一次；否則，機率幅等於 。
這些多粒子量子態方程式都已經歸一化：
， 。
[编辑] 斯萊特行列式
用位置空間的波函數來表示，標記 個費米子的波函數為 ；其中， 是允許的量子數，波函數的第 個參數 是粒子 的位置。將量子數是 的單獨粒子波函數標記為 。單獨粒子波函數只有一個位置參數 。這樣， 個費米子的波函數可以用斯萊特行列式表示
。
[编辑] 範例
[编辑] 二個全同玻色子
。 。
[编辑] 三個全同玻色子
。 。 。
[编辑] 二個全同費米子
。 。
[编辑] 三個全同費米子
。 。 。
[编辑] 統計性質
在統計行為上，玻色子與費米子有很重要的差別。玻色子的統計行為是以玻色-愛因斯坦統計來描述，費米子的統計行為則是以費米-狄拉克統計來描述。粗略地說，玻色子喜好凝聚於同樣的量子態。因此，造成了雷射、玻色-愛因斯坦凝聚、超流體、等等量子現象。在另一方面，費米子禁止共同享有同樣的量子態，造成了像費米氣體、白矮星、中子星、等等奇異的系統。這規則稱為包立不相容原理。大多數的化學現象都與這原理有關。在原子裏，因為這原理，電子依次地裝填一層一層的電子層，而不是全部處於最低能量的量子態。
讓我們表明可區分粒子，玻色子，與費米子在統計行為上的不同。稱兩個粒子為 和 。每一個粒子都可以處於兩個能量相同的量子態， 與 。
假若 和 是可區分粒子，則可能有四種不同的量子態：
，
，
，
。
統計力學的基礎假設闡明：給予一個處於熱力平衡的隔離系統，則每一個能量相同的微觀狀態都有相同的機率成為系統的狀態。根據這基礎假設，兩個粒子都處於 的機率是 ，兩個粒子都處於 的機率是 ，而一個粒子處於 ，另一個粒子處於 的機率是 。
假若 和 是全同玻色子，則可能有三種不同的量子態：
，
，
。
假若這個隔離系統正處於熱力平衡，則兩個粒子都都處於 的機率是 ，兩個粒子都都處於 的機率也是 ，而一個粒子處於 ，另一個粒子處於 的機率還是 。請注意，找到玻色子處於同樣的量子態的機率大於可區分粒子處於同樣的量子態的機率。這表明了玻色子的趨向於凝聚。
假若 和 是全同費米子，則只有一種可能的量子態：
。
當我們做測量實驗時，我們會必然地得到一個粒子處於 ，另一個粒子處於 。
桌表 1 展示出前面講述的結果：
桌表 1 ：兩個粒子的統計
粒子
都處於
都處於
一個處於 ，另一個處於
可區分粒子
0.25
0.25
0.5
玻色子
0.33
0.33
0.33
費米子
0
0
1
[编辑] 參閱
盒中氣體
馬克士威-玻茲曼統計
[编辑] 參考文獻
Griffiths, David J.. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.
Styer, Daniel. Common misconceptions regarding quantum mechanics: pp. 4-5 . 這篇文章談到學習全同粒子容易犯的錯誤。
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