π之泣~
3.1415926535
8979323846
2643383279
5028841971
6939937510
... ...
為了 天地
他们以無匹的利刃
無限 化碎了 妳的心魂
將妳 無盡 淚滴
填補 時空 縫隙
無窮 有理
依附
無量 無理
在那被匡定的圓滿之中
妳卻無由訴說 心中不平
四維 宿命 陰陽 實虛
在 光 四散逃逸 之界
怎 指望 妳
得能 將之 八方框定
我想 夢中 必然失落了一些
被遺忘的事情
虛空之界
將心凝晶
將魂化鏡
在 思念成圓 之際
伴妳 暗夜 默默低泣
若 一朝 尋回
那 曾 失落 的 記憶
... ...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
圓周率
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汉漢▼
手寫體的π
如果一個圓的直徑是1，它的圓周便是π
數學的數
基本
\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}
自然數 \mathbb{N}
整數 \mathbb{Z}
二進分數
有限小數
循環小數
有理數 \mathbb{Q}
高斯整數 \mathbb{Z}[i]
代數數 \mathbb{A}
實數 \mathbb{R}
複數 \mathbb{C}
負數
分數
單位分數
無限小數
規矩數
無理數
超越數
二次無理數
虛數
艾森斯坦整數 \mathbb{Z}[\omega]
延伸
雙複數
四元數 \mathbb{H}
共四元數
八元數 \mathbb{O}
超數
上超實數
超現實數
超複數
十六元數 \mathbb{S}
複四元數
Tessarine
大實數
超實數 {}^\star\mathbb{R}
其他
對偶數
雙曲複數
序數
質數
同餘
可計算數
艾禮富數
公稱值
超限數
基數
P進數
規矩數
整數序列
數學常數
圓周率 π = 3.141592653…
自然對數的底 e = 2.718281828…
虛數單位 i = +\sqrt{-1}
無窮大量 ∞
圓周率，一般以π來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數，是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何量的關鍵值，其定義為圓的周長與直徑的比值。\pi\, 也等於圓的面積與半徑平方的比值。
在分析學裡， \pi \, 可以嚴格定義為滿足 \sin(x)=0\, 的最小正實數 x\,，這裡的 \sin()\, 是正弦函數（採用分析學的定義）。
目錄
1 近似值
2 π的計算及歷史
2.1 實驗時期
2.2 幾何法時期——反覆割圓
2.3 分析法時期——無窮級數
2.4 電腦時代
2.5 年表
3 π的特性和相關公式
3.1 代數
3.2 數學分析
3.3 數論
3.4 機率論
3.5 動態系統／遍歷理論
3.6 物理學
3.7 統計學
4 精度高π的應用
5 尚待解決的問題
6 批評
7 文化
7.1 背誦π的位數
8 π在數學外的用途
9 注釋
10 相關條目
11 外部連接
近似值
常用π的十進位近似值為3.141592654，另外還有由祖沖之給出的約率：\frac{22}{7}及密率：\frac{355}{113}[1]。
一般教育使用的π值只取3.14或\frac{22}{7}，超過3.14159265358979323846264338327之後的位數就較鮮為人知了。
巴比倫人曾使用六十進制的圓周率，數值為
3.8,29,44,0,47,25,53,7,24,57,
36,17,43,4,29,7,1,3,41,17,
52,36,12,14,36,44,51,5,15,33,
7,23,59,9,13,48,22,12,21,45,
22,56,47,39,44,28,37,58,23,21,
11,56,33,22,4,42,31,6,6,4。[2]
π≈3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952 0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151 5574857242 4541506959
π的計算及歷史
由於π的無理性，所以只能以近似值的方法計算π。對於一般應用3.14或\frac{22}{7}已足夠，但工程學常利用3.1416（5位有效數字）或3.14159（6位有效數字）。至於密率\frac{355}{113}（3.1415929203539823008849557522124........）則是一個易於記憶（三個連續奇數：113355），且精確至7位有效數字的分數近似值。
而在2009年末，有科學家已經用超級電腦計算出圓周率暫時計到小數點後2萬9千億個小數位。
而在2010年8月，日本男子近藤茂利用自己組裝硬盤容量達32TB的電腦，計算出圓周率小數點後5萬億個小數位。[3]
而在2011年10月19日，日本程序員JA0HXV宣布他已經將圓周率Pi計算到小數點後10萬億位[4]
實驗時期
中國古籍云：「徑一周三」[5]，意即取π=3。
公元前17世紀的埃及古籍《阿美斯紙草書》（Ahmes，又稱「阿梅斯草片文書」；為英國人Alexander Henry Rhind（萊茵德）於1858年發現，因此還稱「萊茵德紙草書」 Rhind Papyrus）是世界上最早給出圓周率的超過十分位的近似值，為256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81)或3.160。
在阿基米德以前，π值的測定依靠實物測量。
幾何法時期——反覆割圓
阿基米德用正96邊形割圓術得出圓周率介於3\frac{1}{7}與3\frac{10}{71}之間。
公元263年，中國數學家劉徽用「割圓術」計算圓周率，他先從圓內接正六邊形，逐次分割為12、24、48、96、192邊形。他說「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」（分割愈精細，誤差愈少。分割之後再分割，直到不能再分割為止，它就會與圓周完全重疊，就不會有誤差了），其中有求極限的思想。劉徽給出π=3.141024的圓周率近似值，並以{157 \over 50}=3.14（徽率）為其分數近似值。
公元466年，中國數學家祖沖之將圓周率算到小數點後6位的精確度，這一紀錄在世界上保持了一千年之久。同時，祖沖之給出了{355 \over 113}（密率）這個很好的分數近似值，它是分母小於10,000的簡單分數中最接近π的。為紀念祖沖之對圓周率發展的貢獻，日本數學家三上義夫將這一推算值命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。可惜祖沖之的著作《綴術》已經亡佚，後人無從得知祖沖之如何估算圓周率的值。
錢大昕的《十駕齋養新錄》卷第十七首條〈圓徑周率〉引《隋書律曆志》：「古之九數，圓周率三圓徑率一，其術疏舛，自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設新率，未臻折衷。宋末南徐州從事史祖沖之更開密率，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三（刻本作二，誤）丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間，密率圓徑一百一十三，圓週三百五十五，約率圓徑七，周二十二。又設開差冪、開差立，兼以正圓參之，指要精密，算氏之最者也。」
分析法時期——無窮級數
這一時期人們開始擺脫利用割圓術的繁複計算，開始利用無窮級數或無窮連乘積求π。
魯道夫·范·科伊倫（約1600年）計算出π的小數點後首35位。他對此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。
斯洛維尼亞數學家Jurij Vega於1789年得出π的小數點後首140位，其中有137位是正確的。這個世界紀錄維持了五十年。他利用了John Machin於1706年提出的數式。
所有以上的方法都不能快速算出π。第一個快速演算法由梅欽在1706年提出：
\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}
其中arctan(x)可由泰勒級數算出。類似方法稱為「梅欽類公式」。
電腦時代
上萬位以上的小數位值通常利用高斯-勒讓德演算法或波溫演算法；另外以往亦曾使用於1976年發現的薩拉明-布倫特演算法。
第一個π和1/π的小數點後首一百萬位利用了古騰堡計劃。最新紀錄是2002年九月得出的1,241,100,000,000個小數位，由擁有1TB主記憶體的64-node日立超級電腦，以每秒200億運算速度得出，比舊紀錄多算出一倍（206億小數位）。此紀錄由以下梅欽類公式得出：
\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443} (K. Takano, 1982年)
\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943} (F. C. W. Störmer, 1896年)
這麼多的小數位沒什麼實用價值，只用以測試超級電腦。
1996年，David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙·普勞夫發現了π的其中一個無窮級數：
\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)
以上述公式可以計算π的第n個二進位或十六進位小數，而不需先計算首n-1個小數位。此類π演算法稱為貝利－波爾溫－普勞夫公式。請參考Bailey s website 上相關程式。
法布里斯·貝拉於1997年給出了計算機效率上高出上式47%的BBP演算法：
\pi = \frac{1}{2^6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{(-1)}^n}{2^{10n}} \left( - \frac{2^5}{4n+1} - \frac{1}{4n+3} + \frac{2^8}{10n+1} - \frac{2^6}{10n+3} - \frac{2^2}{10n+5} - \frac{2^2}{10n+7} + \frac{1}{10n+9} \right)
請參考Fabrice Bellard s PI page 。
其他計算圓周率的公式包括：
\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k!)(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} (拉馬努金Ramanujan)
\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}} (David Chudnovsky及Gregory Chudnovsky)
\pi = \frac {426880 \sqrt {10005}} {\sum_{k=0}^\infty \frac {(6n)!\ (545140134n + 13591409)} { (n!)^3\ (3n)!\ (-640320)^3n}} [2]
編寫電腦程式時，也可以利用反三角函數直接定義\pi值，但是編譯器必須具備三角函數的函式庫：
利用正弦函數
\sin\left(\pi / 2 \right)=1
\pi=2*\arcsin\left(1 \right)
利用餘弦函數
\cos\left(\pi \right)=-1
\pi=\arccos\left(-1 \right)
年表
日期 計算者 π的值
(世界紀錄用粗體表示)
前20世紀 巴比倫人 25/8 = 3.125
前20世紀 埃及人Rhind Papyrus （16/9）² = 3.160493...
前12世紀 中國 3
前6世紀中 聖經列王記上7章23節 3
前434年 阿那克薩哥拉嘗試通過尺規作圖來化圓為方
前3世紀 阿基米德 223/71 <π<22/7
(3.140845... <π <3.142857...)
211875/67441 = 3.14163491...
前20年 Vitruvius 25/8 = 3.125
前50年－23年 劉歆 3.1547[6]
130年 張衡 92/29 = 3.17241...[6]
√10 = 3.162277...
150年 托勒密 377/120 = 3.141666...
250年 王蕃 142/45 = 3.155555...
263年 劉徽 3.14159
480年 祖沖之 3.1415926 <π<3.1415927/3.1415929......
499年 Aryabhatta 62832/20000 = 3.1416
598年 Brahmagupta √10 = 3.162277...
800年 花拉子密 3.1416
12世紀 Bhaskara 3.14156
1220年 比薩的列奧納多 3.141818
1400年 Madhava 3.14159265359
以後的紀錄都僅記錄小數點後多少位，而不給出實際數值
1424年 Jamshid Masud Al Kashi 16位小數
1573年 Valenthus Otho 6位小數
1593年 Francois Viete 9位小數
1593年 Adriaen van Roomen 15位小數
1596年 魯道夫·范·科伊倫 20位小數
1615年 32位小數
1621年 威理博·司乃耳, 范·科伊倫的學生 35位小數
1665年 牛頓 16位小數
1699年 Abraham Sharp 71位小數
1700年 Seki Kowa 10位小數
1706年 John Machin 100位小數
1706年 William Jones引入希臘字母π
1719年 De Lagny計算了127個小數位，但並非全部是正確的 112位小數
1723年 Takebe 41位小數
1730年 Kamata 25位小數
1734年 萊昂哈德·歐拉引入希臘字母π並肯定其普及性
1739年 Matsunaga 50位小數
1761年 Johann Heinrich Lambert證明π是無理數
1775年 歐拉指出π是超越數的可能性
1789年 Jurij Vega 計算了140個小數位，但並非全部是正確的 137位小數
1794年 阿德里安-馬里·勒讓德證明π²是無理數（則π也是無理數），並提及π是超越數的可能性
1841年 Rutherford計算了208個小數位，但並非全部是正確的 152位小數
1844年 Zacharias Dase及Strassnitzky 200位小數
1847年 Thomas Clausen 248位小數
1853年 Lehmann 261位小數
1853年 Rutherford 440位小數
1853年 William Shanks 527位小數
1855年 Richter 500位小數
1874年 en:William Shanks耗費15年計算了707位小數，可惜1946年D. F. Ferguson發現其結果非全對 527位小數
1882年 Lindemann證明π是超越數（林德曼-魏爾斯特拉斯定理）
1946年 D. F. Ferguson使用桌上計算器 620位小數
1947年 710位小數
1947年 808位小數
1949年 J. W. Wrench爵士和L. R. Smith首次使用電腦（ENIAC）計算π，以後的記錄都用電腦來計算的 2,037位小數
1953年 Mahler證明π不是劉維爾數
1955年 J. W. Wrench, Jr，及L. R. Smith 3,089位小數
1957年 G.E.Felton 7,480位小數
1958年 Francois Genuys 10,000位小數
1958年 G.E.Felton 10,020位小數
1959年 Francois Genuys 16,167位小數
1961年 IBM 7090電晶體計算機 20,000位小數
1961年 J. W. Wrench, Jr，及L. R. Smith 100,000位小數
1966年 250,000位小數
1967年 500,000位小數
1974年 1,000,000位小數
1981年 金田康正 2,000,000位小數
1982年 4,000,000位小數
1983年 8,000,000位小數
1983年 16,000,000位小數
1985年 Bill Gosper 17,000,000位小數
1986年 David H. Bailey 29,000,000位小數
1986年 金田康正 33,000,000位小數
1986年 67,000,000位小數
1987年 134,000,000位小數
1988年 201,000,000位小數
1989年 楚諾維斯基兄弟 480,000,000位小數
1989年 535,000,000位小數
1989年 金田康正 536,000,000位小數
1989年 楚諾維斯基兄弟 1,011,000,000位小數
1989年 金田康正 1,073,000,000位小數
1992年 2,180,000,000位小數
1994年 楚諾維斯基兄弟 4,044,000,000位小數
1995年 金田康正和高橋 4,294,960,000位小數
1995年 6,000,000,000位小數
1996年 楚諾維斯基兄弟 8,000,000,000位小數
1997年 金田康正和高橋 51,500,000,000位小數
1999年 68,700,000,000位小數
1999年 206,000,000,000位小數
2002年 金田康正的隊伍 1,241,100,000,000位小數
2009年 高橋大介[7] 2,576,980,370,000位小數
2009年 法布里斯·貝拉 2,699,999,990,000位小數
2010年 近藤茂[8] 5,000,000,000,000位小數
2011年 近藤茂[9] 10,000,000,000,000位小數
2011年IBM 藍色基因/P超級電腦[10]算出π2的60,000,000,000,000位二進制小數。
π的特性和相關公式
幾何：
若圓的半徑為r，則其圓周為C = 2πr
若圓的半徑為r，則其面積為A =πr2
若橢圓的長、短兩軸分別為a 和 b ，則其面積為A = πab
若球體的半徑為 r，則其體積為 V = (4/3)πr3
若球體的半徑為r，則其表面積為 A = 4πr2
角：180度相等於π弧度
環面的體積和表面積公式
A = 4 \pi^2 R r = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,
V = 2 \pi^2 R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,
R是管子的中心到畫面的中心的距離， r是圓管的半徑。
代數
π是個無理數，即不可表達成兩個整數之比，是由Johann Heinrich Lambert於1761年證明的。 1882年，Ferdinand Lindemann更證明了π是超越數，即不可能是任何有理數多項式的根。
圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規作圖問題的可能性，因所有尺規作圖只能得出代數數。
數學分析
\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} (Leibniz定理)
\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} (Wallis乘積)
\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}(由歐拉證明，參見巴塞爾問題)
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n (斯特林公式)
e^{\pi i} + 1 = 0\; (歐拉公式)
π有個特別的連分數表示式：
\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}
π本身的連分數表示式(簡寫)為[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,...]，其近似部分給出的首三個漸近分數
3 + \frac{1}{7} = \frac{22}{7}
3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15}} = \frac{333}{106}
3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15 + \frac{1}{1}}} = \frac{355}{113}
第一個和第三個漸近分數即為約率和密率的值。數學上可以證明，這樣得到的漸近分數，在分子或分母小於下一個漸進分數的分數中，其值是最接近精確值的近似值。
(另有12個表達式見於[3] )
數論
兩個任意自然數是互質的機率是\frac{6}{\pi^2}。
任取一個任意整數，該整數沒有重複質因數的機率為\frac{6}{\pi^2}。
一個任意整數平均可用\frac{\pi}{4}個方法寫成兩個完全數之和。
機率論
取一枚長度為l的針，再取一張白紙在上面畫上一些距離為2l的平行線。把針從一定高度釋放，讓其自由落體到紙面上。針與平行線相交的機率是圓周率的倒數（泊松針）。曾經有人以此方法來尋找π的值。
動態系統／遍歷理論
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}
對[0, 1]中幾乎所有x0，其中 xi是對於r=4的邏輯圖像迭代數列。
物理學
\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi} (海森堡不確定性原理)
R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik} (相對論的場方程)
統計學
f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}} （此為常態分配的機率密度函數）
精度高π的應用
一般工程或天文運算不需要成千上萬位精確度的π，因為40位精確度的π已經足以計算誤差小於一個質子大小的銀河系圓周。現今精度高π應用於電腦軟硬體的測試，以不同的演算法計算π而結果誤差大代表電腦系統可能出問題。[11] [12]
尚待解決的問題
關於π未解決的問題包括：
它是否是一個正規數，即π的十進位運算式是否包含所有的有限數列？對於二進位運算式，答案是肯定的，這是Bailey及Crandall於2000年從Bailey-Borwein-Plouffe方程的存在而引申出來的。
0,...,9是否以完全隨機的形態出現在π的十進位運算式中？若然，則對於非十進位運算式，亦應有類似特質。
究竟是否所有0,...,9都會無窮地在π的小數運算式中出現？
到底超級電腦計算出來的上億位的圓周率是否正確？
批評
近年來，有部分學者認為約等於3.14的π「不合自然」，應該用雙倍於π、約等於6.28的一個常數代替。支持這一說法的學者認為在很多數學公式2π很常見，很少單獨使用一個π。美國哈佛大學物理學教授的麥可·哈特爾稱「圓形與直徑無關，而與半徑相關，圓形由離中心一定距離即半徑的一系列點構成」。並建議使用希臘字母τ來代替π[13][14][15]。
美國數學家鮑勃·帕萊（Bob Palais）於2001年在《數學情報》（The Mathematical Intelligencer）上發表了一篇題為《π 是錯誤的！》（π Is Wrong!）的論文。在論文的第一段，鮑勃·帕萊說道：
幾個世紀以來，π 受到了無限的推崇和讚賞。數學家們歌頌 π 的偉大與神秘，把它當作數學界的象徵；計算器和程式語言里也少不了 π 的身影；甚至有 一部電影 就直接以它命名⋯⋯但是，π 其實只是一個冒牌貨，真正值得大家敬畏和讚賞的，其實應該是一個不幸被我們稱作 2π 的數。
美國數學家麥克·哈特爾（Michael Hartl） 建立了網站 tauday.com ，呼籲人們用希臘字母 τ（發音：tau）來表示「正確的」圓周率 C/r。並建議大家以後在寫論文時，用一句「為方便起見，定義 τ = 2π 」開頭。
著名的 Geek 漫畫網站 spikedmath.com 建立了 thepimanifesto.com ，裡邊有一篇洋洋灑灑 數千字的 π 宣言。宣稱圓周率定義為周長與直徑之比有優越性。在衡量圓柱形物體的截面大小時，直徑比半徑更方便測量。
文化
背誦π的位數
圓周率背誦世界記錄的趨勢
世界記錄是100000位，日本人原口証於2006年10月3日背誦圓周率π至小數點後100000位。[16]
普通話用諧音記憶的有「山巔一寺一壺酒，爾樂苦煞吾，把酒吃，酒殺爾，殺不死，樂而樂」，就是3.1415926535897932384626。 另一諧音為：「山巔一石一壺酒，二侶舞仙舞，罷酒去舊衫，握扇把市溜」，就是3.14159265358979323846。
在英文，會使用英文字母的長度作為數字，例如「How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard, and if the lectures were boring or tiring, then any odd thinking was on quartic equations again.」就是3.1415926535897932384626433832795。
π在數學外的用途
在Google公司2005年的一次公開募股中，集資額不是通常的整頭數，而是$14,159,265，這當然是由π小數點後的位數得來。（順便一提，谷歌公司2004年的首次公開募股，集資額為$2,718,281,828，與數學常數e有關）
排版軟體TeX從第三版之後的版本號為逐次增加一位小數，使之越來越接近π的值：3.1，3.14，……當前的最新版本號是3.1415926
3月14日為圓周率日
注釋
^ 錢大昕的《十駕齋養新錄》卷第十七首條〈圓徑周率〉
^ 60進制下60個小數位的圓周率
^ 日男砌機 計圓周率小數點5萬億位
^ [1]
^ 《周髀算經》注中，趙爽指出「圓徑一而周三，方徑一而匝四」。
^ 6.0 6.1 《\pi和e》，夏道行，商務印書館，第10頁，ISBN 962-07-2007-5
^ 筑波大學計算科學研究中心准教授，以超級電腦T2K筑波システム耗費73小時36分計算而得
^ 電算圓周率5兆位數 日人創紀錄. 中央社即時新聞 CNA-NEWS.COM [2010-08-05].
^ 計算圓周率 日近藤茂再創紀錄. 自由時報 [2011-10-17].
^ Supercomputers Crack Sixty-Trillionth Binary Digit of Pi-Squared. energy.gov. April 28, 2011 [2011-05-05].
^ The Quest for Pi
^ Pi goes on forever
^ 有學者認為圓周率定義不合理 要求改為6.28. 網易. 2011-6-30 [2011-6-30] （簡體中文）.
^ Landau, Elizabeth. On Pi Day, is pi under attack?. CNN. 14 March 2011 [15 March 2011].
^ Michael Hartl. The Tau Manifesto. 28 June 2010 [12 January 2011].
^ The Japan Times - How can anyone remember 100,000 numbers?
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朗伯W函數
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W0(x)的圖像，−1/e ≤ x ≤ 4
朗伯W函數（英語：Lambert W function，又稱為歐米加函數或乘積對數），是f(w) = wew的反函數，其中ew是指數函數，w是任意複數。對於任何複數z，都有：
z = W(z)e^{W(z)}.
由於函數f不是單射，因此函數W是多值的（除了0以外）。如果我們把x限制為實數，並要求w是實數，那麼函數僅對於x ≥ −1/e有定義，在（−1/e, 0）內是多值的；如果加上w ≥ −1的限制，則定義了一個單值函數W0(x)（見圖）。我們有W0(0) = 0，W0(−1/e) = −1。而在[−1/e, 0）內的w ≤ −1分支，則記為W−1(x)，從W−1(−1/e) = −1遞減為W−1(0−) = −∞。
朗伯W函數不能用初等函數來表示。它在組合數學中有許多用途，例如樹的計算。它可以用來解許多含有指數的方程，也出現在某些微分方程的解中，例如y (t) = a y(t − 1)。
複平面上的朗伯W函數
目錄
1 微分和積分
2 性質
3 泰勒級數
4 加法定理
5 複數值
6 特殊值
7 應用
7.1 例子
8 一般化
9 外部連結
10 圖象
11 計算
12 外部連結
微分和積分
朗伯W\,函數的積分形式為
W(x)=\frac{x}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{(1-v\cot v)^2+v^2}{x+v\csc v \cdot e^{-v\cot v}} {\rm{d}}v\,
W(x)=\int_{-\infty}^{-\frac{1}{e}}{-\frac{1}{\pi}}\Im \left[\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}W(x)\right]\ln (1-\frac{z}{x}){\rm{d}}x\,
W(x)=1+(\ln x-1)e^{\frac{\rm{i}}{2\pi}\int_0^{\infty}\frac{1}{1+t}\ln \frac{\ln x+t-\ln t-{\rm{i}}\pi}{\ln x+t-\ln t+{\rm{i}}\pi} {\rm{d} }t}\,
W_k(x)=1+(\ln x+2k\pi {{\rm{i}}-1 )e^{\frac{{\rm{i}}}{2\pi}\int_0^{\infty}\frac{1}{t+1}\ln \frac{\ln x+t-\ln t+(2k-1){\rm{i}}\pi}{\ln x+t-\ln t+(2k+1){\rm{i}}\pi}{\rm{d}}t}} \,，
以上均要求:x\in (-\infty,-\frac{1}{e}]\cup\mathbf[0,\infty),k\in \mathbb{Z}\,
利用隱函數的求導法則，我們可以證明朗伯W\,函數滿足以下的微分方程：
z\left[1+W(z)\right]\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z}W(z)=W(z)，z\neq -\frac{1}{e}\,,
因此：
\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z}W(z)=\frac{ W(z) }{z\left[1 + W(z)\right]}，z\neq -\frac{1}{e} \,.
函數W(x)\,，以及許多含有W(x)\,的表達式，都可以用w=W(x)\,的變數代換來積分，也就是說x=we^w\,
\int W(x) {\rm{d}}x = x \left[ W(x)+ \frac{1}{W (x) }-1 \right] + C
\int_0^1 W(x) {\rm{d}}x = \Omega+\frac{1}{\Omega} -2\approx 0.330336
性質
1\,、函數y=z^{z^{z^{z^{z^{z^{z^{\cdots}}}}}}} \,
的極限可以表示為y=-\frac{W(-\ln z)}{\ln z}\,
2\,、若z>0 \,，則\ln W(z)=\ln z-W(z)\,
泰勒級數
W_0 \,在 x=0 \,的泰勒級數如下：
W_0 (x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac{3}{2}x^3 - \frac{8}{3}x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots
收斂半徑為 \frac{1}{e}\, 。
加法定理
W(x)+W(y)=W\left[\frac{xy}{W(x)}+\frac{xy}{W(y)}\right]\,
x>0,y>0\,
複數值
實部
\Re\left[W(x+y{\rm{i}})\right]=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-k)^{k-1}}{k!}\sqrt{(x^2+y^2)^k}\cos \left(k\arctan\frac{x}{y}\right)\, , x^2+y^2<\frac{1}{e^2}\,
虛部
\Im\left[W(x+y{\rm{i}})\right]=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-k)^{k-1}}{k!}\sqrt{(x^2+y^2)^k}\sin \left(k\arctan\frac{x}{y}\right)\,, x^2+y^2<\frac{1}{e^2}\,
模長
|W(x+y{\rm{i}})|=W(\sqrt{x+y})\,
模角
\arg\left[W(x+y{\rm{i}})\right]=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-k)^{k-1}}{k!}\arctan\left[\cot(k\arctan\frac{x}{y})\right]\,, x^2+y^2<\frac{1}{e^2}\,
共軛值
\overline{W(x+y{\rm{i}})}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-k)^{k-1}}{k!}\sqrt{(x^2+y^2)^k}\left[\cos \left(k\arctan\frac{x}{y}\right)-{\rm{i}}\sin \left(k\arctan\frac{x}{y}\right)\right]\,, x^2+y^2<\frac{1}{e^2}\,
特殊值
{}_{W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}{\rm{i}}}
{}_{W\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)= -\ln 2}
{}_{W\left(-{1\over e}\right) = -1}
{}_{W\left(1\right) = \Omega=\frac{1}{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{{\rm{d}}x}{(e^x-x)^2+\pi^2}}-1\approx 0.56714329\dots}\,（歐米加常數）
{}_{W(e) = 1}\,
{}_{W(e^{e+1}) = e}\,
{}_{W\left(\frac{1}{e^{1- \frac{1}{e}}}\right)= \frac{1}{e}}\,
{}_{W(-\frac{1}{e})=-1}\,
{}_{W({\pi}e^{\pi})=\pi}\,
{}_{W(k{\ln k})={\ln k}}\, {}_{(k>0)}\,
{}_{W({\rm{i}}\pi)=-{\rm{i}}\pi}\,
{}_{W(-{\rm{i}}\pi)={\rm{i}}\pi}\,
{}_{W({\rm{i}}\cos1-\sin1)={\rm{i}}}\,
{}_{W(-\frac{3}{2}{\pi})=-\frac{3}{2}{\pi}{\rm{i}}}\,
{}_{W(-\frac{\sqrt[7]{8}}{7}{\ln 2})=-\frac{32}{7}{\ln 2}}\,
{}_{W(-\frac{\sqrt{3}}{54}{\ln 3})=-\frac{9}{2}{\ln 3}}\,
{}_{W(-\frac{\ln 2}{4})=-4{\ln 2}}\,
{}_{W\left(-1\right)=\frac{e^{\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\arctan{2\pi\over t-\ln t}{\rm{d}}t}-\cos\left[\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\ln{\left(t-\ln t\right)^2\over 4\pi^2+\left(t-\ln t\right)^2}{\rm{d}}t\right]+\pi\sin\left[\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\ln{\left(t-\ln t\right)^2\over 4\pi^2+\left(t-\ln t\right)^2}{\rm{d}}t\right]-{\rm{i}}\left\{\pi\cos\left[\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\ln{\left(t-\ln t\right)^2\over 4\pi^2+\left(t-\ln t\right)^2}{\rm{d}}t\right]+\sin\left[\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\ln{\left(t-\ln t\right)^2\over 4\pi^2+\left(t-\ln t\right)^2}{\rm{d}}t\right]\right\}}{e^{\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\arctan{2\pi\over t-\ln t}{\rm{d}}t}}\approx -0.31813-1.33723{\rm{i}}} \,
{}_{W(-\frac{\ln k}{k})=-\ln k}\,
{}_{W\left[-\frac{\ln (x+1)}{x(x+1)^{\frac{1}{x}}}\right]=-\frac{x+1}{x}\ln (x+1)>,-1<x<0}\,
應用
許多含有指數的方程都可以用W\,函數來解出。一般的方法是把未知數都移到方程的一側，並設法化為Y= Xe^X \,的形式。
例子
例子1
2^t = 5 t\,
\Rightarrow 1 = \frac{5 t}{2^t}\,
\Rightarrow 1 = 5 t \, e^{-t \ln 2}\,
\Rightarrow \frac{1}{5} = t \, e^{-t \ln 2}\,
\Rightarrow -\frac{\ln 2}{5} = ( - \, t \, \ln 2 ) \, e^{-t \ln 2}\,
\Rightarrow -t \ln 2 = W_k \left (-\frac{\ln 2}{5} \right )\,
\Rightarrow t = -\frac{ W_k \left ( -\frac{\ln 2}{5} \right )}{\ln 2}\,
更一般地，以下的方程
Q^{a x + b} = c x + d \,
其中
Q > 0 \and Q \neq 1\and c \neq 0
兩邊同乘: \frac{a}{c} ，
得到: \frac{a}{c} Q^{ax+b} = ax + \frac{ad}{c} \,
同除以: Q^{ax} \,，
得到: \frac{a}{c} Q^{b} = \left(ax + \frac{ad}{c} \right)Q^{-ax} \,
同除: Q^{\frac{ad}{c}} \,，
\frac{a}{c} Q^{b-\frac{ad}{c}}= \left(ax + \frac{ad}{c}\right)Q^{-\left(ax+\frac{ad}{c}\right)} \,
可以用變數代換
令 t = a x + \frac{a d}{c}
化為
t Q^{-t} = \frac{a}{c} Q^{b-\frac{a d}{c}}
即: t \left(e^{\ln Q}\right) ^{-t} = \frac{a}{c} Q^{b-\frac{a d}{c}}
同乘: {\ln Q} \,
得出
： t{\ln Q} \cdot e^{-t \ln Q}= \frac{a}{c} Q^{b-\frac{a d}{c}}
故 t{\ln Q}=-W_k\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)
帶入 t= a x + \frac{a d}{c}
為
\left(ax+\frac{ad}{c}\right){\ln Q}=-W_k\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)
因此最終的解為
x = -\frac{W_k\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)}{a\ln Q} - \frac{d}{c}
若輔助方程: xe^x=-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}} 中，
-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}} \in \left(-\infty ,-\frac{1}{e} \right) ,
輔助方程無實數解，原方程亦無實解;
若: -\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}} \in \left\{-\frac{1}{e}\right\} \cup\mathbf [0,+\infty ) ,
輔助方程有一實數解，原方程有一實解:
x = -\frac{W_k\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)}{a\ln Q} - \frac{d}{c}
若: -\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}} \in \left(-\frac{1}{e},0 \right) ,
輔助方程有二實解，設為W\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right) ，
{\rm{W}}_{-1}\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right) ，
為
x_1=-\frac{W\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)}{a\ln Q} - \frac{d}{c}
x_2=-\frac{{\rm{W}}_{-1}\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)}{a\ln Q} - \frac{d}{c}
例子2
用類似的方法，可知以下方程的解
x^x={\mathrm{t}}\, ,
為
x=\frac{\ln{\rm{t}}}{W(\ln {\rm{t}})}\,
或
x=\exp\left(W_k\left[\ln({\rm{t}})\right]\right).
例子3
以下方程的解
x \log_b {x} = a \,
具有形式
x = \frac{a {\ln b}}{W_k\left(a {\ln b}\right)}
例子4
x^a-b^x=0\,
a > 0 \, : b > 0 \, : x > 0 \,
取對數，
a \ln x=x \ln b \,
\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln b}{a}\,
e^{\frac{\ln x}{x}}=e^{\frac{\ln b}{a}} \,
x^{\frac{1}{x}}=b^{\frac{1}{a}}\,
取倒數，
\left(\frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{x}}=b^{-\frac{1}{a}}\,
\frac{1}{x} =-\frac{\ln b}{aW\left(-\frac{1}{a} \ln b\right)}\,
最終解為 : x=-\frac{a}{\ln b}W_k\left(-\frac{\ln b}{a}\right)\,
例子5
(ax+b)^n=u^{cx+d} \,
兩邊開n \,次方併除以a \,得
x+\frac{b}{a}=\frac{u^{\frac{c}{n}x+\frac{d}{n}}}{a}\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+{\rm{i}}\sin\frac{2k\pi}{n}\right)\,
令u=e^{\ln u}\, ，
化為
x+\frac{b}{a}=\frac{e^{\frac{c\ln u}{n}x+\frac{d\ln u}{n}}}{a}\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+{\rm{i}}\sin\frac{2k\pi}{n}\right)\,
兩邊同乘
-\frac{c\ln u}{n}u^{-\frac{c}{n}x-\frac{cb}{na}}\, ，
\left(-\frac{c\ln u}{n}x-\frac{cb\ln u}{na}\right)e^{-\frac{c\ln u}{n}x-\frac{cb\ln u}{na}}=-\frac{c\ln u}{na}u^{\frac{d}{n}-\frac{cb}{na}}\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+{\rm{i}}\sin\frac{2k\pi}{n}\right)\,
最終得
x_k=-\frac{n}{c\ln u}W_k\left[-\frac{c\ln u}{na}u^{\frac{d}{n}-\frac{cb}{na}}\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+{\rm{i}}\sin\frac{2k\pi}{n}\right)\right]-\frac{b}{a}\,
k\in{\mathbb{Z}}\,
一般化
標準的 Lambert W 函數可用來表示以下超越代數方程式的解：
e^{-c x} = a_o (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)
其中 a0, c 與 r 為實常數。
其解為 x = r + W( c e^{-c r}/a_o )/c
Lambert W 函數之一般化[1] 包括:
一項在低維空間內廣義相對論與量子力學的應用 (量子引力)，實際上一種以前未知的 連結 於此二區域中 , 如 「Journal of Classical and Quantum Gravity」[2] 所示 其 (1) 的右邊式 現為二維多項式 x:
e^{-c x} = a_o (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)
其中 r1 和 r2 是不同實常數 , 為二維多項式的根. 於此 函數解 有單一引數 x 但 ri 和 ao 為函數的參數. 如此一來, 此一般式類似於 「hypergeometric」 (超幾何分布) 函數 與 「Meijer G「-但屬於不同 類 函數. 當 r1 = r2, (2)的兩方 可分解為 (1) 因此其解簡化為標準 W 函數. (2)式 代表著 「dilaton」 (軸子) 場的方程, 可據此推導 線性 雙體重力問題 1+1 維 (一空間維與一時間維) 當兩不等 (靜止) 質量, 以及, 量子力學的特徵能 Delta位勢阱 給不等 電位於一維空間.
量子力學的一特例 特徵能的分析解 三體問題, 亦即 (三維) 水分子離子.[3] 於此 (1) (或 (2))的右手邊 現為無限級數多項式之比 於 x:
e^{-c x} = a_o \frac{\prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{ \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)
其中 ri 與 si 是相異實常數 而 x 是特徵能和內核距離 R之函數. 式 (3) 與其特例 表示於 (1) 和 (2) 是與一更大類型 延遲微分方程.
Lambert "W" 函數 於基礎物理問題之應用 並 未完全 即使標準情況如 (1) 最近在 原子, 分子, 與 光學物理領域可見.[4]
外部連結
^ T.C. Scott and R.B. Mann, General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 17, no. 1, (April 2006), pp.41-47, [1]; Arxiv [2]
^ P.S. Farrugia, R.B. Mann, and T.C. Scott, N-body Gravity and the Schrödinger Equation, Class. Quantum Grav. vol. 24, (2007), pp. 4647-4659, [3]; Arxiv [4]
^ T.C. Scott, M. Aubert-Frécon and J. Grotendorst, New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion, Chem. Phys. vol. 324, (2006), pp. 323-338, [5]; Arxiv [6]
^ T.C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini and J.D. Morgan III, The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions, Phys. Rev. A 75, (2007), p. 060101, [7]
圖象
朗伯W函數在複平面上的圖像
z = Re(W0(x + i y))
z = Im(W0(x + i y))
z = |W0(x + i y)|
LambertWAll.png
計算
W函數可以用以下的遞推關係算出：
w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_je^{w_j}-z)} {2w_j+2}}
外部連結
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特殊函數
巴拿赫－塔斯基定理
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巴拿赫 - 塔斯基「悖論」：一個球可以分解和重新組合成兩個大小和原來一樣的球。
巴拿赫 - 塔斯基定理（或稱豪斯多夫 - 巴拿赫 - 塔斯基定理，又名「分球怪論」），是一條數學定理。1924年斯特凡·巴拿赫和阿爾弗雷德·塔斯基首次提出這一定理。這一定理指出在選擇公理成立的情況下，可以將一個三維實心球分成有限（不可測的）部分，然後僅僅通過旋轉和平移到其他地方重新組合，就可以組成兩個半徑和原來相同的完整的球。巴拿赫和塔斯基提出這一定理原意是想拒絕選擇公理，但該證明很自然，因此數學家認為這僅意味著選擇公理可以導致少數令人驚訝和反直覺的結果。有些敘述中這條定理被看成是悖論，但是定理本身沒有邏輯上不一致的地方，實際上不符合悖論的定義。
正式敘述
設A和B是歐幾里得空間的兩個子集。如果它們可以分為有限個不相交子集的並集，形如A=\cup_{i=1}^n A_i和B=\cup_{i=1}^n B_i，且對任意i，子集A_i全等於B_i，那麼這兩個子集稱為等度分解的(paradoxical)。於是，這個悖論可以如下敘述：
一個球和它自身的兩個拷貝是等度分解的。
對球來說，五塊就足夠做到這點了，但少於五塊卻不行。這個悖論甚至有個更強的版本：
任意兩個三維歐幾里得空間具有非空內部的子集是等度分解的。
換句話說，一塊大理石可以分成有限塊然後重新組合成一個行星，或者一部電話機可以變形之後藏進水百合花裡面。在現實生活中這種變形之所以不可行是因為原子的體積不是無限小，數量不是無限大，但其幾何形狀確實可以這樣變形的。如果知道總是可以存在從一個幾何體的內部點一一映射到另一個的方法，也許這個悖論看上去就不那麼怪異了。例如兩個球可以雙射到其自身同樣級別的無限子集（例如一個球）。同樣我們還可以使一個球映射到一個大點或者小點的球，只要根據半徑放大係數即可將一個點映射到另一個。然而，這些變換一般來說不能保積，或者需要將幾何體分割成不可數無限塊。巴拿赫 - 塔斯基悖論出人意料的地方是僅用有限塊進行旋轉和平移就能完成變換。
使這個悖論成為可能的是無限的卷繞。技術上，這是不可測的，因此它們不具有「合理的」範圍或者平常說的「體積」。用小刀等物理方法是無法完成這種分割的，因為它們只能分割出可測集合。這個純粹存在性的數學定理指出在多數人熟悉的可測集合之外，還有更多更多的不可測集合。
對於三維以上的情形這個悖論依然成立。但對於歐幾里得平面它不成立。（以上敘述不適用於三維空間的二維子集，因為這個子集可能具有空的內部。）同時，也有一些悖論性的分解組合在平面上成立：一個圓盤可以分割成有限塊並重新拼成一個面積相同的實心正方形。參見塔斯基分割圓問題。
這個悖論表明如果等度分解的子集被認為具有相同體積的話，就無法對歐幾里得空間的有界子集定義什麼叫做「體積」。
證明是基於費利克斯·豪斯多夫早些時候的工作。他10年前發現一個類似的悖論，事實上，巴拿赫 - 塔斯基悖論正是豪斯多夫所用技術的一個推廣應用。
邏輯學家常常對邏輯上不一致的命題使用「悖論」一詞，例如說謊者悖論或者羅素悖論。巴拿赫 - 塔斯基悖論並非這種意義上的悖論，它是一個已證明的定理，只因為違反直覺才被稱為悖論。由於其證明明確地用到選擇公理，這種反常的結論被用作反對使用該公理的理據。
證明概要
基本上，尋找這個分球的奇怪方法可以分為4個步驟：
找到把一個具有兩個生成元的自由群進行分割的特殊方法
找到一個3維空間中同態於這兩個生成元的旋轉群
利用這個群的特殊分割方法和選擇公理對單位球面進行分解
把這個單位球面的分解推廣到實心球
每個步驟的詳情如下：
第一步，具有兩個生成元a和b的自由群由所有含有a、b、a-1和b-1這些符號的有限字元串組成，其中沒有a緊挨著a-1或者b緊挨著b-1這種現象。兩個這樣的字元串可以連接在一起，只要將緊挨著的a和a-1抵銷掉（對b一樣）。例如abab-1a-1連接到abab-1a得到abab-1a-1abab-1a，並可化簡為abaab-1a。我們可以驗證這些字元串在這個操作下構成一個群，其單位元是空串e。我們稱這個群為F_2。
凱萊圖中F2的子集S(a-1)和aS(a-1)
群F_2可被進行如下特殊分割：令S(a)為所有以a開頭的字元串，同理定義S(a-1)、S(b)和S(b-1)。很明顯
F_2={e}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})
並且
F_2=aS(a^{-1})\cup S(a)，同時
F_2=bS(b^{-1})\cup S(b)。
（aS(a-1)表示從S(a-1)取出所有字元串，並在左邊連接上一個a，之後所得的所有字元串）證明的關鍵就在這裡了。簡而言之，現在我們已經將F_2這個群分成了四塊（e忽略也沒有問題），然後通過乘上一個a或者b來「旋轉」它們，其中兩個「重新組合」成F_2，另外兩個重新組合成另一個F_2。這樣的事情，放在球體上就是我們想要證明的東西了。
第二步，為了尋找三維空間旋轉群類似於F_2那樣的行為，我們取兩條坐標軸並設A是繞第一條軸旋轉arccos(1/3)弧度而B是繞另一條軸旋轉arccos(1/3)弧度。（這一步驟可在二維上完成。）有些瑣碎但不太難的是這兩種旋轉的行為正如F_2中a和b兩個元素的行為一樣，這裡就略去。由A和B所生成的這個旋轉群命名為H。當然，我們可以按照第一步所述方法對H進行分割。
第三步，單位球面S2可被群H中的操作分成一些軌道：兩個點屬於同一個軌道若且唯若H中某個旋轉將第一個點移到第二個。我們可以利用選擇公理在每個軌道中選出來一個點。將這些點合起來組成集合M。現在S2中(幾乎)所有點都可以通過H中合適的元素相應的轉動移到M中。因此，H的分割也就可以應用到S2上面去。
第四步，最後，將每個S2的點連到原點，對S2的分割便可以應用到實心單位球上去。（球心處會有些特殊，但這個簡要證明中忽略它。）
總結，這個簡要證明到此結束。H中有些旋轉會剛好對應於剛好一些特殊的軸線，這時需要加以特殊處理。但一方面，這些情況的總數是可數的因此沒有影響，另一方面，即使相關的這些點也是可以加以修正以符合定理的。對球心點這個特殊點以上同樣適用。
延伸閱讀
"Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes", 數學基礎, 6, (1924), 244-277, 巴拿赫和塔斯基的原始論文（法文）。
萊曼的巴拿赫 - 塔斯基悖論指南 (來自 Kuro5hin)
Francis E. Su, "巴拿赫 - 塔斯基悖論"
S. Wagon, 巴拿赫·塔斯基悖論, 劍橋大學出版社, 1986.
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圓錐曲線
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圓錐曲線
圓錐曲線（英語：conic section），又稱圓錐截痕、圓錐截面、二次曲線，是數學、幾何學中通過平切圓錐（嚴格為一個正圓錐面和一個平面完整相切）得到的一些曲線，圓錐曲線在約前200年時就已被命名和研究了，其發現者為古希臘的數學家阿波羅尼阿斯，那時阿波羅尼阿斯對它們的性質已做了系統性的研究。
目錄
1 圓錐曲線的類型
1.1 離心率
2 笛卡爾坐標
3 極坐標
4 齊次坐標
5 外部連結
圓錐曲線的類型
圓錐曲線的類型：1.拋物線 2.圓和橢圓 3.雙曲線
兩個眾知的圓錐曲線是圓和橢圓。這出現在圓錐和平面的交截線是閉合曲線的時候。圓是橢圓的特殊情況，這時平面垂直於圓錐的軸線。如果平面平行且僅平行於圓錐的一條母線(generator line)，則圓錐曲線叫做拋物線。最後，如果平面與軸線的夾角小於軸線與母線的夾角，則圓錐曲線是雙曲線。(在這個種情況平面將交截圓錐的兩段，而生成兩個分開的曲線，儘管經常忽略一個。)
在平面通過圓錐的頂點的時候，有一些退化情況。交截線可以是一個直線、一個點、或一對直線。
離心率
有固定焦點 F 和準線的橢圓 (e=1/2)、拋物線 (e=1)和雙曲線 (e=2)。
上述四個條件可以被合并為依賴固定的一個點 F(焦點)和不包含 F 的一個線 L(準線)和一個非負實數 e(離心率) 的一個條件。對應的圓錐曲線由到 F 的距離等於 e 乘以它們到 L 的距離的所有點組成。對於 0 <e <1 得到橢圓，對於 e = 1 得到拋物線，對於 e > 1 得到雙曲線。
對於橢圓和雙曲線，可以採用兩種焦點-準線組合，每個都給出同樣完整的橢圓或雙曲線。從中心到準線的距離是 a/e \ ，這裡的 a \ 是橢圓的半長軸，或雙曲線的半實軸。從中心到焦點的距離是 ae \ 。
在圓的情況下，e = 0 且準線被假想得離中心無限遠。這時聲稱圓由距離是到 L 的距離的 e 倍的所有點組成是沒有意義的。
圓錐曲線的離心率因此是對它偏離於圓的程度的度量。
對於一個給定的 a \ , e \ 越接近於 1，半短軸就越小。
笛卡爾坐標
在笛卡爾坐標系內，二元二次方程的圖像可以表示圓錐曲綫，並且所有圓錐曲綫都以這種方式引出。方程有如下形式
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\; 有著參數A\,和C\,皆不得等於0\,。
如果B^2-4AC<0\,，方程表示橢圓(除非圓錐曲綫退化了，例如x^2+y^2+10=0\,)；
如果A=C\,且B=0\,且D^2+E^2-4F>0\,,方程表示圓；
如果B^2-4AC=0\,，方程表示拋物綫；
如果B^2-4AC>0\,，方程表示雙曲綫；
如果還有A=-C\,，方程表示直角雙曲綫。
注意這裡的 A\, 和 C\, 就是多項式係數，不是前面定義的半長/短軸的長度。
通過坐標變換這些方程可以變為標準形式:
圓 橢圓 拋物線 雙曲線
標準方程 {x^2} + {y^2}=a^2 \ {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2}=1 \ y^2=4ax\, {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2}=1 \
參數方程 a\cos\theta,a\sin\theta\, a\cos\theta,b\sin\theta\, a t^2,2 a t\, a\sec\theta,b\tan\theta\, 或
\pm a\cosh u,b \sinh u\,
極坐標
橢圓的半正焦弦
圓錐曲線的半正焦弦(semi-latus rectum)通常指示為 l，是從單一焦點或兩個焦點中的一個，到圓錐曲線自身的，沿著垂直於主軸(長軸)的直線度量的距離。它有關於半長軸 a，和半短軸 b，通過公式 al=b^2 \ 或 l=a(1-e^2) \ 。
在極坐標系中，圓錐曲線有一個焦點在原點，如果有另一個焦點的話它在正 x 軸上，給出自方程
r = {l \over (1 + e \cos \theta) }.
如上，對於 e = 0 得到一個圓，對於 0 <e <1 得到橢圓，對於 e = 1 得到拋物線，對於 e > 1 得到雙曲線。
齊次坐標
在齊次坐標下圓錐曲線可以表示為:
A_1x^2 + A_2y^2 + A_3z^2 + 2B_1xy + 2B_2xz + 2B_3yz = 0\;
或表示為矩陣：
\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = 0
矩陣 M=\begin{bmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{bmatrix} 叫做「圓錐曲線矩陣」。
\Delta = det(M) = \begin{vmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{vmatrix} 叫做圓錐曲線的行列式。如果 Δ = 0 則這個圓錐曲線被稱為退化的，這意味著圓錐曲線是兩個直線的聯合。與自身相交的圓錐曲線總是退化的，但是不是所有的圓錐曲線都與自身相交，如果它們都是直線的話。
例如，圓錐曲線 \begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0&0&0\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = 0 簡約為兩個直線的聯合: \{ x^2 - y^2 = 0\} = \{(x+y)(x-y)=0\} = \{x+y=0\} \cup \{x-y=0\}。類似的，圓錐曲線有時簡約為一個(單一)直線: \{x^2+2xy+y^2 = 0\} = \{(x+y)^2=0\}=\{x+y=0\} \cup \{x+y=0\} = \{x+y=0\}。
\delta = \begin{vmatrix}A_1 & B_1\\B_1 & A_2\end{vmatrix} 被稱為圓錐曲線的判別式。如果 δ = 0 則圓錐曲線是拋物線，如果 δ<0 則是雙曲線，如果 δ>0 則是橢圓。圓錐曲線是圓，如果 δ>0 且 A1 = A2；它是直角雙曲線，如果 δ<0 且 A1 = -A2。這可以在復投影平面 CP2 中證明，兩個圓錐曲線共有四個點(如果考慮多重性)，所以永不多於 4 個交點並總有 1 個交點(可能性: 4 個不同的交點，2 個單一交點和 1 個雙重交點，2 個雙重交點，1 單一交點和 1 個三重交點，1 個四重交點)。如果存在至少一個多重性 > 1 的交點，則兩個圓錐曲線被稱為相切的。如果只有一個四重交點，兩個圓錐曲線被稱為是共振的。
進一步的，每個直線與每個圓錐曲線相交兩次。如果交點是雙重的，則這個線被稱為切線。因為所有直線交圓錐曲線兩次，每個圓錐曲線有兩個點在無窮遠(與無窮遠線的交點)。如果這些點是實數的，圓錐曲線必定是雙曲線；如果它們是虛共軛，圓錐曲線必定是橢圓，如果圓錐曲線有雙重點在無窮遠，則它是拋物線。如果在無窮遠的點是 (1,i,0) 和 (1,-i,0)，則圓錐曲線是圓。如果圓錐曲線有一個實數點和一個虛數點在無窮遠，或它有兩個不共軛的虛數點，它不是拋物線不是橢圓不是雙曲線。
外部連結
Conic sections at Special plane curves.
Eric W. Weisstein, Conic Section, MathWorld.
Eric W. Weisstein, Conic Section Directrix, MathWorld.
Eric W. Weisstein, Focus, MathWorld.
Determinants and Conic Section Curves
Occurrence of the conics. Conics in nature and elsewhere.
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POV-Ray-Dodecahedron.svg幾何術語
點
頂點 | 交點 | 中點 | 角
直線和曲線
線段 | 射線 | 直線 | 切線 | 法線 | 曲線 | 圓錐曲線 | 雙曲線 | 拋物線 | 螺線 | 邊 | 周界 | 弦
平面圖形
圓 | 橢圓 | 扇形 | 弓形 | 多邊形 | 三角形 | 四邊形 | 五邊形 | 六邊形 | 梯形 | 平行四邊形 | 菱形 | 矩形 | 正方形 | 鷂形
立體圖形
多面體 | 正多面體 | 長方體 | 立方體 | 圓柱體 | 四面體 | 平行六面體 | 稜柱 | 反稜柱 | 棱錐 | 圓錐 | 圓台 | 橢球 | 球體 | 球缺 | 球冠 | 球台 | 二次曲面 | 拋物面 | 雙曲面
圖形關係
相似 | 全等 | 對稱 | 平行 | 垂直 | 相鄰 | 相交 | 相切 | 鏡像 | 旋轉 | 反演
三角形關係
相似三角形 | 全等三角形
量
距離 | 長度 | 周長 | 高度 | 面積 | 表面積 | 體積 | 角度
作圖
尺| 直尺 | 圓規 | 尺規作圖 | 二刻尺作圖
理論
定理 | 公理 | 定義 | 證明
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圓錐曲線
雙曲面
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HyperboloidOfOneSheet.png
HyperboloidOfTwoSheets.png
單葉雙曲面 雙葉雙曲面
在數學裏，雙曲面是一種二次曲面。採用直角坐標 (x,\ y,\ z)\,\! ，雙曲面可以用公式表達為
{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}=1\,\! （單葉雙曲面），
或
- {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2}=1\,\! （雙葉雙曲面）。
假若，a=b\,\! ，則稱為旋轉雙曲面。
試想一個雙曲線。它的實軸包含了雙曲線的兩個焦點，而虛軸則是兩個焦點的中分線。繞著實軸，旋轉此雙曲線，可以得到旋轉雙葉雙曲面。繞著虛軸，旋轉此雙曲線，可以得到旋轉單葉雙曲面。
一個雙曲線。
換另一種方法描述。參閱圖右．在三維空間裏，滿足 \left|PB_1 - PB_2\right|\,\! 為常數的所有的點的集合，是一個旋轉雙葉雙曲面。稱點 B_1\,\! 與 B_2\,\! 為雙曲面的焦點。
簡併雙曲面的公式可以表達為
{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}=0\,\! 。
假若，a=b\,\! ，則這雙曲面是一個圓錐面；否則，是一個橢圓錐面。
一個單葉雙曲面。每一根絲線都是直線。曲面的每一點，都有兩根包含於曲面的直線經過。所以，這表示出單葉雙曲面是個雙重直紋曲面。
許多發電廠的冷卻塔結構是單葉雙曲面形狀。由於單葉雙曲面是一種雙重直紋曲面 (ruled surface) ，它可以用直的鋼樑建造。這樣，會減少風的阻力．同時，也可以用最少的材料來維持結構的完整。
參閱
橢球面
拋物面
卵形體
直紋曲面
廣州新電視塔，2010
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雙曲面
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平面圖形
圓 | 橢圓 | 扇形 | 弓形 | 多邊形 | 三角形 | 四邊形 | 五邊形 | 六邊形 | 梯形 | 平行四邊形 | 菱形 | 矩形 | 正方形 | 鷂形
立體圖形
多面體 | 正多面體 | 長方體 | 立方體 | 圓柱體 | 四面體 | 平行六面體 | 稜柱 | 反稜柱 | 棱錐 | 圓錐 | 圓台 | 橢球 | 球體 | 球缺 | 球冠 | 球台 | 二次曲面 | 拋物面 | 雙曲面
圖形關係
相似 | 全等 | 對稱 | 平行 | 垂直 | 相鄰 | 相交 | 相切 | 鏡像 | 旋轉 | 反演
三角形關係
相似三角形 | 全等三角形
量
距離 | 長度 | 周長 | 高度 | 面積 | 表面積 | 體積 | 角度
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理論
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曲面
二次曲面
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2維球面的正交投影
n維球面是普通的球面在任意維度的推廣。它是(n + 1)維空間內的n維流形。特別地，0維球面就是直線上的兩個點，1維球面是平面上的圓，2維球面是三維空間內的普通球面。高於2維的球面有時稱為超球面。中心位於原點且半徑為單位長度的n維球面稱為單位n維球面，記為Sn。用符號來表示，就是：
S^n = \left\{ x \in \mathbb{R}^{n+1} : \|x\| = 1\right\}.
n維球面是(n + 1)維球體的表面或邊界，是n維流形的一種。對於n ≥ 2，n維球面是單連通的n維流形，其曲率為正的常數。
目錄
1 描述
1.1 (n + 1)維空間中的歐幾里得坐標
1.2 n維球體
2 n維球體的體積
2.1 例子
3 超球坐標系
4 球極平面投影
5 參見
6 參考文獻
7 外部連結
描述
三維球面的平行線（紅色）、 子午線（藍色)以及超子午線（綠色）的立體投影法。 因為立體投影法的共形特性，這些曲線彼此在交點上彼此正交（圖中黃色點），如同在四維空間中一樣。所有曲線都是圓；交會在<0,0,0,1>的曲線具有無限大的半徑（亦即直線）。
對於任何自然數n，半徑為r的n維球面定義為(n + 1)維歐幾里得空間中到某個定點的距離等於常數r的所有點的集合，其中r可以是任何正的實數。它是(n + 1)維空間內的n維流形。特別地：
0維球面是直線上的兩個點{p − r, p + r}；
1維球面是平面上的圓；
2維球面是三維空間內的普通球面；
3維球面是四維空間內的球面。
(n + 1)維空間中的歐幾里得坐標
(n + 1)維空間中的點：(x1、x1、x2、……、xn+1)定義了一個n維球面(Sn)，由以下方程表示：
r^2=\sum_{i=1}^{n+1} (x_i - C_i)^2.\,
其中C是中心點，r是半徑。
以上的n維球面在(n + 1)維空間中存在，是n維流形的一個例子。半徑為r的n維球面的體積形式ω由下式給出：
\omega = {1 \over r} \sum_{j=1}^{n+1} (-1)^{j-1} x_j \,dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_{j-1} \wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1} = * dr
其中*是霍奇星算子（關於討論和這個公式在r = 1的情形下的證明，請參見Flanders (1989, §6.1)）。因此，\scriptstyle{dr \wedge \omega = dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_{n+1}}.
n維球體
由n維球面所包圍的體積，稱為(n + 1)維球體。如果把球體的表面包括在內，則(n + 1)維球體是封閉的，否則是開放的。
特別地：
1維球體，是一個線段，是0維球面的內部。
2維球體，是一個圓盤，是圓（1維球面）的內部。
3維球體，是一個普通的球體，是球面（2維球面）的內部。
4維球體，是3維球面的內部。
n維球體的體積
(n-1)維球面所包圍的體積（n維球體的體積）由以下公式給出：
V_n={\pi^\frac{n}{2}R^n\over\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}={C_n R^n},
其中\Gamma是伽瑪函數。對於偶數n，\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)= \left(\frac{n}{2}\right)!；對於奇數n，\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)= \sqrt{\pi} \frac{n!!}{2^{(n+1)/2}}，其中n!!表示雙階乘。
由此可以推出，對於給定的n，常數C_n的值為：
C_n={\frac{\pi^k}{k!}}（對於偶數n=2k），
C_n=C_{2k+1}=\frac{2^{2k+1} k!\, \pi^{k}}{(2k+1)!}（對於奇數n=2k+1）。
這個(n-1)維球面的表面積是：
S_{n-1}=\frac{dV_n}{dR}=\frac{nV_n}{R}={2\pi^\frac{n}{2}R^{n-1}\over\Gamma(\frac{n}{2})}={n C_n R^{n-1}}
n維球面的表面積和體積之間有以下的關係：
V_n/S_{n-1} = R/n\,
S_{n+1}/V_n = 2\pi R\,
從此可以推導出遞推關係：
V_n = \frac{2 \pi R^2}{n} V_{n-2}\,
這些公式也可以直接從n維球坐標系中的積分推出Stewart, 缺乏參考資料名稱. 2006: 881。
例子
對於較小的n，半徑為Rn維球體的的體積V_n為如下：
V_0\, = 1\,
V_1\, = 2\,R
V_2\, = \pi\,R^2 \approx 3.14159 \,R^2
V_3\, = \frac{4 \pi}{3}\,R^3 \approx 4.18879 \,R^3
V_4\, = \frac{\pi^2}{2}\,R^4 \approx 4.93480 \,R^4
V_5\, = \frac{8 \pi^2}{15}\,R^5 \approx 5.26379 \,R^5
V_6\, = \frac{\pi^3}{6}\,R^6 \approx 5.16771 \,R^6
V_7\, = \frac{16 \pi^3}{105}\,R^7 \approx 4.72477 \,R^7
V_8\, = \frac{\pi^4}{24}\,R^8 \approx 4.05871 \,R^8
但當 n 趨於無窮大時， \frac{V_n}{R^n} 趨於0。
如果維度n不限於整數，那麼n維球面的體積就是n的連續函數，它的極大值位於n = 5.2569464...，體積為5.277768...。當n = 0或n = 12.76405...時，體積為1。
單位n維球面的外切超正方體的邊長為2，因此體積為2n；當維度增加時，n維球面的體積與外切於它的超正方體的體積之比單調減少。
超球坐標系
我們可以定義n維空間內的坐標系統，與3維空間內的球坐標系類似，由徑向坐標\ r和\ n-1個角度坐標\ \phi _1 , \phi _2 , ... , \phi _{n-1}組成。如果\ x_i是笛卡兒坐標系，那麼我們可以定義：
x_1=r\cos(\phi_1)\,
x_2=r\sin(\phi_1)\cos(\phi_2)\,
x_3=r\sin(\phi_1)\sin(\phi_2)\cos(\phi_3)\,
\cdots\,
x_{n-1}=r\sin(\phi_1)\cdots\sin(\phi_{n-2})\cos(\phi_{n-1})\,
x_n~~\,=r\sin(\phi_1)\cdots\sin(\phi_{n-2})\sin(\phi_{n-1})\,
從中可以推出逆變換的公式：
\tan(\phi_{n-1})=\frac{x_n}{x_{n-1}}
\tan(\phi_{n-2})=\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2}}{x_{n-2}}
\cdots\,
\tan(\phi_{1})=\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2+\cdots+{x_2}^2}}{x_{1}}
注意最後一個角\phi _{n-1}的值域為2\pi，而其它角的值域為\pi。這個值域覆蓋了整個球面。
n維空間內的體積元素可以從變換的雅可比行列式得出：
d_{\mathbb{R}^n}V = \left|\det\frac{\partial (x_i)}{\partial(r,\phi_j)}\right| dr\,d\phi_1 \, d\phi_2\ldots d\phi_{n-1}
=r^{n-1}\sin^{n-2}(\phi_1)\sin^{n-3}(\phi_2)\cdots \sin(\phi_{n-2})\, dr\,d\phi_1 \, d\phi_2\cdots d\phi_{n-1}
以上n維球體的體積方程可以通過積分來重新得出：
V_n=\int_{r=0}^R \int_{\phi_1=0}^\pi \cdots \int_{\phi_{n-2}=0}^\pi\int_{\phi_{n-1}=0}^{2\pi}d_{\mathbb{R}^n}V. \,
(n-1)–維球面的體積元素是2維球面的面積元素的推廣，由以下公式給出：
d_{S^{n-1}}V = \sin^{n-2}(\phi_1)\sin^{n-3}(\phi_2)\cdots \sin(\phi_{n-2})\, d\phi_1 \, d\phi_2\ldots d\phi_{n-1}
球極平面投影
就像三維空間中的二維球面可以通過球極平面投影映射到二維平面上一樣，一個n維球面也可以通過球極平面投影的n維形式映射到n維超平面。例如，半徑為1的二維球面上的點\ [x,y,z]映射到\ xy平面上的點\ [x,y,z] \mapsto \left[\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}\right]。也就是說：
\ [x,y,z] \mapsto \left[\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}\right].
類似地，半徑為1的n維球面\mathbf{S}^{n-1}的球極平面投影映射到垂直於\ x_n軸的n-1維超平面\mathbf{R}^{n-1}：
[x_1,x_2,\ldots,x_n] \mapsto \left[\frac{x_1}{1-x_n},\frac{x_2}{1-x_n},\ldots,\frac{x_{n-1}}{1-x_n}\right].
參見
共形幾何
同調球
球的同倫群
同倫球
雙曲群
超正方體
反演幾何
正交群
莫比烏斯變換
參考文獻
Flanders, Harley, Differential forms with applications to the physical sciences, New York: Dover Publications. 1989, ISBN 978-0-486-66169-8.
Moura, Eduarda; Henderson, David G., Experiencing geometry: on plane and sphere, Prentice Hall. 1996, ISBN 978-0-13-373770-7（第20章：3-spheres and hyperbolic 3-spaces）
Weeks, Jeffrey R., The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds, Marcel Dekker. 1985, ISBN 978-0-8247-7437-0（第14章：The Hypersphere）
Marsaglia, G. "Choosing a Point from the Surface of a Sphere." Ann. Math. Stat. 43, 645-646, 1972.
Stewart, James, Calculus: Concepts and Contexts. 3rd, Thomson/Brooks/Cole. 2006.
外部連結
Eric W. Weisstein, 超球面, MathWorld.
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數學中，霍奇星算子（Hodge star operator）或霍奇對偶（Hodge dual）由蘇格蘭數學家威廉·霍奇（Hodge）引入的一個重要的線性映射。它定義在有限維定向內積空間的外代數上。
目錄
1 維數與代數
2 擴張
3 k-向量的霍奇星號的正式定義
4 星算子的指標記法
5 例子
6 k-向量的內積
7 對偶性
8 流形上的霍奇星號
8.1 余微分
9 三維中的導數
10 注釋
11 參考文獻
維數與代數
霍奇星算子在 k-向量空間與 (n -k)-向量空間建立了一個對應。一個 k-向量在這個對於下的像稱為這個 k-向量的霍奇對偶。k-向量空間的維數是
{n \choose k},\,
後一個空間的維數是
{n \choose n - k},\,
又由二項式係數的對稱性，這兩個維數事實上相等。兩個具有相同維數的向量空間總同構；但不一定有一種自然或典範的方式。但霍奇對偶性利用了向量空間內積和定向，給出了一個特定的同構，因此在代數上這反應了二項式係數的性質。這也在 k-向量空間上誘導了一個內積。「自然」定義意味著這個對偶性關係在理論中可起幾何作用。
第一個有趣的情形是在三維歐幾里得空間 V。在這種情形，帕斯卡三角形相關行是
1, 3, 3, 1
霍奇對偶在兩個三維空間之間建立起一個同構，一個是 V 自己，另一個是 V 中兩個向量的楔積。具體細節參見例子一節。叉積只是三維的特殊性質，但霍奇對偶在所有維數都有效。
擴張
由於一個向量空間上 k 個變量的交錯線性形式空間自然同構於那個向量空間上的 k-向量空間的對偶，霍奇對偶也能對這些空間定義。與線性代數的大部分構造一樣，霍奇對偶可以擴張到一個向量叢。這樣的霍奇對偶特別常見的是在餘切叢的外代數（即流形上的微分形式）上，可用來從外導數構造余微分（codifferential），以及拉普拉斯-德拉姆算子，它導致了緊黎曼流形上微分形式的霍奇分解。
k-向量的霍奇星號的正式定義
一個定向內積向量空間 V 上的霍奇星算子是 V 的外代數上一個線性算子，將 k-向量子空間與 (n-k)-向量自空間互換，這裡 n = dim V，0 ≤ k ≤ n。它具有如下性質，這些性質完全定義了霍奇星算子：給定一個定向正交基 e_1,e_2,\cdots,e_n 我們有
*(e_1\wedge e_2\wedge \cdots \wedge e_k)= e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \dots \wedge e_n.
星算子的指標記法
使用指標記法，霍奇對偶由縮並一個 k-形式與 n-維完全反對稱列維-奇維塔張量的指標得到。這不同於列維-奇維塔符號有一個額外因子 (det g)½，這裡 g 是一個內積（如果 g 不是正定的，比如洛倫茲流形的切空間，則取行列式的絕對值）。
從而有
(*\eta)_{i_1,i_2,\ldots,i_{n-k}}= \frac{1}{k!} \eta^{j_1,\ldots,j_k}\,\sqrt {|\det g|} \,\epsilon_{j_1,\ldots,j_k,i_1,\ldots,i_{n-k}},\,
這裡 η 是任意一個反對稱 k 階張量。利用在定義列維-奇維塔張量中同一個內積 g 上升和下降指標。當然也可以對任何張量取星號，所得是反對稱的，因為張量的對稱分量在與完全反對稱列維-奇維塔張量縮並時完全抵消了。
例子
星算子一個常見例子是在 n = 3，可以做為 3 維向量與斜對稱矩陣之間的對應。這不明顯地使用於向量分析中，例如由兩個向量的楔積產生叉積向量。具體地說，對歐幾里得空間 R3，容易發現
*\mathrm{d}x=\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z
和
*\mathrm{d}y=\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x
以及
*\mathrm{d}z=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y
這裡 dx、dy 與 dz 是 R3 上的標準正交微分1-形式。霍奇對偶在此情形顯然對應於三維中的叉積。
當 n = 4 時，霍奇對偶作用在第二外冪（6 維）上是自同態。它是一個對合，從而可以分解為子對偶與反自對偶子空間，在這兩個子空間上的作用分別為 +1 和 -1。
另一個有用的例子是 n = 4 閔可夫斯基時空，具有度量符號為 (+,-,-,-,) 與坐標 (t,x,y,z)，對1-形式有
*\,\mathrm{d}t=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z
*\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z
*\,\mathrm{d}y=-\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}z
*\,\mathrm{d}z=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y
對2-形式有
*\, \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}x = - \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z
*\, \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}y = \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}z
*\, \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}z = - \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y
*\, \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y = \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}z
*\, \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}z = - \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y
*\, \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z = \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x
k-向量的內積
霍奇對偶在 k-向量空間上誘導了一個內積，即在 V 的外代數上。給定兩個 k-向量 \eta 與 \zeta，有
\zeta\wedge *\eta = \langle\zeta, \eta \rangle\;\omega,\,
這裡 ω 是正規化的體積形式。可以證明 \langle\cdot,\cdot\rangle 是一個內積，它是半雙線性的，並定義了一個範數。反之，如果在 \Lambda^k(V) 上給了一個內積，則這個等式可以做為霍奇對偶的另一種定義[1]。
本質上，V 的正交基元素的楔積組成了 V 的外代數的一個正交基。當霍奇星號擴張到流形上，可以證明體積形式能寫做
\omega=\sqrt{|\det g_{ij}|}\;dx^1\wedge\ldots\wedge dx^n,\,
其中 g_{ij} 是流形的度量。
對偶性
當作用兩次時霍奇星號定義了一個對偶，不考慮符號的話，所得結果是外代數上一個恆等式。給定 n-維空間 V 上一個 k-向量 \eta \in \Lambda^k (V)，我們有
**\eta=(-1)^{k(n-k)}s\;\eta,\,
這裡 s 與 V 上內積的符號有關。具體說，s 是內積張量行列式的符號。例如，如果 n = 4 時，若內積的符號是 (+,-,-，-) 或 (-,+,+,+) 則 s = -1。對普通的歐幾里得空間，符號總是正的，所以 s = +1。在普通向量空間，這一般不是一個問題。當霍奇星號擴張到偽-黎曼流形上時，上面的內積理解為對角形式的度量。
流形上的霍奇星號
在一個 n-維定向黎曼或偽黎曼流形上每一點的切空間上可以重複如上構造，將得到 k-形式的霍奇對偶，是一個 n- k 形式。霍奇星號在流形上的微分形式上誘導了一個 L2-範數。對 \Lambda^k(M) 的空間截面 \eta 與 \zeta，其內積可寫做
(\eta,\zeta)=\int_M \eta\wedge *\zeta.\,
（截面的集合通常記做 \Omega^k(M)=\Gamma(\Lambda^k(M))；裡面的元素稱為外 k-形式。）
更一般地，在非定向情形，我們可以定義 k-形式的霍奇星號維一個 (n - k)-偽微分形式；即取值於典範線叢的一個微分形式。
余微分
霍奇星號在流形上最重要的應用是用來定義余微分 δ。令
\delta = (-1)^{nk + n + 1} *d*\,
這裡 d 是外導數。對黎曼流形 s = +1 。
d:\Omega^k(M)\rightarrow \Omega^{k+1}(M),\,
而
\delta:\Omega^k(M)\rightarrow \Omega^{k-1}(M).\,
相比於外導數，余微分不是外代數上的反導子。
余微分在是外微分的伴隨：
\langle \delta \zeta, \eta\rangle = \langle \zeta, d\eta\rangle .\,
這個恆等式是因為體積形式 ω 滿足 dω = 0，從而
\int_M d(\zeta \wedge *\eta)=0.\,
拉普拉斯–德拉姆算子由
\Delta=\delta d + d\delta
給出，是霍奇理論的核心。它有對稱性：
\langle\Delta \zeta,\eta\rangle = \langle\zeta,\Delta \eta\rangle,\,
以及非負：
\langle\Delta\eta,\eta\rangle \ge 0.\,
霍奇星號將一個調和形式變成調和形式。作為霍奇定理的一個推論，德拉姆上同調自然同構於調和 k-形式空間，從而霍奇星號誘導了上同調群之間一個同構
\star : H^k_\Delta(M)\to H^{n-k}_\Delta(M),\,
通過龐加萊對偶性，這給出了 Hk(M) 與它的對偶空間的一個典範等價。
三維中的導數
\ast 算子與外導數 d 的組合推廣了三維經典算子 grad、curl 和 div。具體做法如下：d 將一個 0-形式（函數）變成 1-形式，1-形式變成 2-形式，2-形式變成 3-形式（應用到 3-形式變成零）。
1. 對一個 0-形式（\omega=f(x,y,z)），第一種情形，寫成分量與 \operatorname{grad} 算子等價：
d\omega=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz.
2. 第二種情形後面跟著 \ast，是 1-形式（\omega=Adx+Bdy+Cdz）上一個算子，其分量是 \operatorname{curl} 算子：
d\omega=\left({\partial C \over \partial y} - {\partial B \over \partial z}\right)dy\wedge dz + \left({\partial C \over \partial x} - {\partial A \over \partial z}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x} - {\partial A \over \partial y}\right)dx\wedge dy.
使用霍奇星號給出：
\ast d\omega=\left({\partial C \over \partial y} - {\partial B \over \partial z}\right)dx - \left({\partial C \over \partial x} - {\partial A \over \partial z}\right)dy+\left({\partial B \over \partial x} - {\partial A \over \partial y}\right)dz.
3. 最後一種情形，前面與後面都有一個 \ast，將一個 1-形式（\omega=Adx+Bdy+Cdz）變成 0-形式（函數）；寫成分量是 \operatorname{div} 算子：
\ast\omega=Ady\wedge dz-Bdx\wedge dz+Cdx\wedge dy
d\ast\omega=\left(\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}\right)dx\wedge dy\wedge dz
\ast d\ast\omega=\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}.
這些表達式的一個好處是恆等式 d^2=0，任何情形都成立，將
\operatorname{curl}(\operatorname{grad}(f))=\operatorname{div}(\operatorname{curl}(\mathbf{F}))=0
統一起來了。特別地，麥克斯韋方程組用外導數與霍奇星號表示時，有一個特別簡單和優美的形式：
\mathrm{d}\bold{F}=0,\qquad\mathrm {d} * {\bold{F}}=\bold{J}.
這裡 \bold{F} 是四維洛倫茲時空中某個 2-形式，\bold{J} 是電流 3-形式。
注釋
^ Darling, R. W. R.. Differential forms and connections. Cambridge University Press. 1994.
參考文獻
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (Provides a basic review of differential geometry in the special case of four-dimensional space-time.)
Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 . (Provides a detailed exposition starting from basic principles, but does not treat the pseudo-Riemannian case).
David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981) Addison-Wesley Publishing, New York ISBN 0-201-10096-7. (Provides condensed review of non-Riemannian differential geometry in chapter 0).
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微分形式
黎曼幾何
對偶理論
偽黎曼流形
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偽黎曼流形是光滑流形擁有光滑對稱(0,2) 張量。它在流形每點都非退化。這個張量稱為偽黎曼度量或偽度量張量。
黎曼流形與偽黎曼流形的最大分別是偽黎曼流形不一定正定，通常是非退化。因為每個正定形式都是非退化的，黎曼度量是偽黎曼度量的一個特殊例子。固此，可以把黎曼流形歸納為偽黎曼流形。
每一個非退化對稱，雙線性形式有一個固定的度量符號 (p,q)。這裡p 與 q 記作正特徵值及負特徵值的個數。注意 p + q = n 是流形的維數。黎曼流形就是以 (n,0) 作為符號。
偽黎曼流形的符號 (p,1) 稱為洛倫茲度量。 擁有洛倫茲度量的流形都是洛倫茲流形。除黎曼流形外，洛倫茲流形是偽黎曼流形的最重要的子類。因為它常被用於廣義相對論。廣義相對論首要假設是時空可以轉為擁有 (3,1) 符號的洛倫茲流形的模型。
和歐幾里得空間 \mathbf R^n 可以被認為是黎曼流形的模型一樣，, 有平坦閔可夫斯基度量的閔可夫斯基空間(Minkowski space) \mathbf R^{p,1} 是洛倫茲流形的模型空間。特徵數為(p,q)的偽黎曼流形的模型空間是有如下偽度量的\mathbf R^{p,q}:
g = dx_1^2 + \cdots + dx_p^2 - dx_{p+1}^2 - \cdots - dx_{p+q}^2
有些黎曼度量的基本定理可以推廣到偽黎曼的情形。例如黎曼幾何基本定理對偽黎曼流形也成立。這使得我們能夠在偽黎曼流形上能夠使用列維-奇維塔聯絡和相關的曲率張量。另一方面，黎曼幾何的很多定理在推廣到偽黎曼的情況下不成立。例如，並不是每個光滑流形都可以有一個給定符號的偽黎曼度量；因為有一些特殊的拓撲阻礙存在。
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微分幾何
流形上的結構
洛倫茲流形
廣義相對論
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汉漢▼
關於本條目的避免深奧術語且更容易理解的版本，請見「廣義相對論入門」。
在600千米的距離上觀看十倍太陽質量的黑洞（模擬圖），背景為銀河系
廣義相對論是阿爾伯特·愛因斯坦於1916年發表的用幾何語言描述的引力理論，它代表了現代物理學中引力理論研究的最高水平。廣義相對論將古典的牛頓萬有引力定律包含在狹義相對論的框架中，並在此基礎上應用等效原理而建立。在廣義相對論中，引力被描述為時空的一種幾何屬性（曲率）；而這種時空曲率與處於時空中的物質與輻射的能量-動量張量直接相聯繫，其聯繫方式即是愛因斯坦的引力場方程式（一個二階非線性偏微分方程式組）。
從廣義相對論得到的有關預言和古典物理中的對應預言非常不相同，尤其是有關時間流逝、空間幾何、自由落體的運動以及光的傳播等問題，例如引力場內的時間膨脹、光的引力紅移和引力時間延遲效應。廣義相對論的預言至今為止已經通過了所有觀測和實驗的驗證——雖說廣義相對論並非當今描述引力的唯一理論，它卻是能夠與實驗數據相符合的最簡潔的理論。不過，仍然有一些問題至今未能解決，典型的即是如何將廣義相對論和量子物理的定律統一起來，從而建立一個完備並且自洽的量子引力理論。
愛因斯坦的廣義相對論理論在天體物理學中有著非常重要的應用：它直接推導出某些大質量恆星會終結為一個黑洞——時空中的某些區域發生極度的扭曲以至於連光都無法逸出。有證據表明恆星質量黑洞以及超大質量黑洞是某些天體例如活動星系核和微類星體發射高強度輻射的直接成因。光線在引力場中的偏折會形成引力透鏡現象，這使得人們能夠觀察到處於遙遠位置的同一個天體的多個成像。廣義相對論還預言了重力波的存在，重力波已經被間接觀測所證實，而直接觀測則是當今世界像雷射干涉重力波天文台（LIGO）這樣的重力波觀測計劃的目標。此外，廣義相對論還是現代宇宙學的膨脹宇宙模型的理論基礎。
廣義相對論
G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,
入門、數學形式
显示▼基礎概念
显示▼現象
显示▼方程式
显示▼進階理論
显示▼愛因斯坦場
方程式的解
显示▼科學家
查·論·編·歷
目錄
1 歷史
2 從古典力學到廣義相對論
2.1 牛頓引力的幾何學
2.2 相對論的概括
2.3 愛因斯坦方程式
3 定義和基礎應用
3.1 定義和基本性質
3.2 物理模型的建立
4 愛因斯坦理論的後續
4.1 引力時間膨脹和引力紅移
4.2 光線偏折和引力時間延遲
4.3 重力波
4.4 軌道效應
4.4.1 近星點的進動
4.4.2 軌道衰減
4.5 測地線效應和參考系拖拽
5 天體物理學上的應用
5.1 引力透鏡
5.2 重力波天文學
5.3 黑洞和其它緻密星體
5.4 宇宙學
6 進階概念
6.1 因果結構和全局幾何
6.2 視界
6.3 奇異點
6.4 演化方程式
6.5 全局和准局部量
7 和量子理論的關係
7.1 彎曲時空中的量子場論
7.2 量子引力
8 當前進展
9 注釋
10 參考文獻
11 外部連結
歷史
愛因斯坦解釋廣義相對論的手稿扉頁
1905年愛因斯坦發表狹義相對論後，他開始著眼於如何將引力納入狹義相對論框架的思考。以一個處在自由落體狀態的觀察者的理想實驗為出發點，他從1907年開始了長達八年的對引力的相對性理論的探索。在歷經多次彎路和錯誤之後，他於1915年11月在普魯士科學院上作了發言，其內容正是著名的愛因斯坦引力場方程式。這個方程式描述了處於時空中的物質是如何影響其周圍的時空幾何，並成為了愛因斯坦的廣義相對論的核心[1]。
愛因斯坦的引力場方程式是一個二階非線性偏微分方程式組，數學上想要求得方程式的解是一件非常困難的事。愛因斯坦運用了很多近似方法，從引力場方程式得出了很多最初的預言。不過很快天才的天體物理學家卡爾·史瓦西就在1916年得到了引力場方程式的第一個非平庸精確解——史瓦西度規，這個解是研究星體引力塌縮的最終階段，即黑洞的理論基礎。在同一年，將史瓦西幾何擴展到帶有電荷的質量的研究工作也開始進行，其最終結果就是萊斯納-諾斯特朗姆度規，其對應的是帶電荷的靜態黑洞[2]。1917年愛因斯坦將廣義相對論理論應用於整個宇宙，開創了相對論宇宙學的研究領域。考慮到同時期的宇宙學研究中靜態宇宙的學說仍被廣為接受，愛因斯坦在他的引力場方程式中添加了一個新的常數，這被稱作宇宙常數項，以求得和當時的「觀測」相符合[3]。然而到了1929年，哈柏等人的觀測表明我們的宇宙處在膨脹狀態，而相應的膨脹宇宙解早在1922年就已經由亞歷山大·弗里德曼從他的弗里德曼方程式（同樣由愛因斯坦場方程式推出）得到，這個膨脹宇宙解不需要任何附加的宇宙常數項。比利時牧師勒梅特應用這些解構造了宇宙大爆炸的最早模型，模型預言宇宙是從一個高溫高緻密狀態演化來的[4]。愛因斯坦其後承認添加宇宙常數項是他一生中犯下的最大錯誤[5]。
在那個時代，廣義相對論與其他物理理論相比仍保持了一種神秘感。由於它和狹義相對論相融洽，並能夠解釋很多牛頓引力無法解釋的現象，顯然它要優於牛頓理論。愛因斯坦本人在1915年證明了廣義相對論是如何解釋水星軌道的反常近日點進動的現象，其過程不需要任何附加參數（所謂「敷衍因子」）[6]。另一個著名的實驗驗證是由亞瑟·愛丁頓爵士率領的探險隊在非洲的普林西比島觀測到的日食時的光線在太陽引力場中的偏折[7]，其偏折角度和廣義相對論的預言完全相符（是牛頓理論預言的偏折角的兩倍），這一發現隨後被全球報紙競相報導，一時間使愛因斯坦的理論名聲赫赫[8]。但是直到1960年至1975年間，廣義相對論才真正進入了理論物理和天體物理主流研究的視野，這一時期被稱作廣義相對論的黃金時代。物理學家逐漸理解了黑洞的概念，並能夠通過天體物理學的性質從類星體中識別黑洞[9]。在太陽系內能夠進行的更精確的廣義相對論的實驗驗證進一步展示了廣義相對論非凡的預言能力[10]，而相對論宇宙學的預言也同樣經受住了實驗觀測的檢驗[11]。
從古典力學到廣義相對論
理解廣義相對論的最佳方法之一是從古典力學出發比較兩者的異同點：這種方法首先需要認識到古典力學和牛頓引力也可以用幾何語言來描述，而將這種幾何描述和狹義相對論的基本原理放在一起對理解廣義相對論具有啟發性作用[12]。
牛頓引力的幾何學
古典力學的一個基本原理是：任何一個物體的運動都可看作是一個不受任何外力的自由運動（慣性運動）和一個偏離於這種自由運動的組合。這種偏離來自於施加在物體上的外力作用，其大小和方向遵循牛頓第二定律（外力大小等於物體的慣性質量乘以加速度，方向與加速度方向相同[13]）。而慣性運動與時空的幾何性質直接相關：古典力學中在標準參考系下的慣性運動是勻速直線運動。用廣義相對論的語言說，慣性運動的軌跡是時空幾何上的最短路徑（測地線），在閔考斯基時空中是直的世界線[14]。
小球落到正在加速的火箭的地板上（左）和落到地球上（右），處在其中的觀察者會認為這兩種情形下小球的運動軌跡沒有什麼區別
反過來，原則上講也可以通過觀察物體的運動狀態和外力作用（如附加的電磁力或摩擦力等）來判斷物體的慣性運動性質，從而用來定義物體所處的時空幾何。不過，當有引力存在時這種方法會產生一些含糊不清之處：牛頓萬有引力定律以及多個彼此獨立驗證的相關實驗表明，自由落體具有一個普遍性（這也被稱作弱等效原理，亦即慣性質量與引力質量等價），即任何測試質量的自由落體的軌跡只和它的初始位置和速度有關，與構成測試質量的材質等無關[15]。這一性質的一個簡化版本可以通過愛因斯坦的理想實驗來說明，如右圖所示：對於一個處在狹小的封閉空間中的觀察者而言，無法通過觀測落下小球的運動軌跡來判斷自己是處於地面上的地球引力場中，還是處於一艘無引力作用但正在加速的火箭裡（加速度等於地球引力場的重力加速度）[16]；而作為對比，處於電磁場中的帶電小球運動和加速參考系中的小球運動則是可以通過不同小球攜帶不同的電量來區分的。而由於引力場在空間中存在分布的變化，弱等效原理需要加上局部的條件，即在足夠小的時空區域內引力場中的自由落體運動和均一加速參考系中的慣性運動是完全相同的。
由於自由落體的普遍性，慣性運動（實驗中的火箭內）和在引力場中的運動（實驗中的地面上）是無法通過觀察來區分的。這是在暗示一類新的慣性運動的定義，即在引力作用下的自由落體也屬於慣性運動。通過這種慣性運動則可以重新定義周圍的時空幾何——從數學上看引力場中慣性運動的軌跡（測地線）和引力勢的梯度有關。
相對論的概括
光錐
牛頓引力的幾何理論儘管看上去很有趣，但這一理論的基礎古典力學不過是（狹義）相對論力學的一個特例[17]。用對稱的語言來說，在不考慮引力的情形下物理學具有勞侖茲不變性，而並非古典力學所具有的伽利略不變性。(狹義相對論的對稱性包含在龐加萊群中，它除了包含有勞侖茲變換所包含的勞侖茲遞升和旋轉外還包含平移不變性。)在研究對象的速度接近光速或者高能的情形下這兩者的區別逐漸變得明顯[18]。
在勞侖茲對稱性下可以引入光錐的概念（見左圖），光錐構成了狹義相對論中的因果結構：對於每一個發生在時空中的事件A，原則上有能夠通過傳播速度小於光速的信號或交互作用影響到事件A或被事件A影響的一組事件（具有因果聯繫），例如圖中的事件B；也有一組不可能互相影響的事件（不具有因果聯繫），例如圖中的事件C；而這些事件間有無因果聯繫都與觀測者無關[19]。將光錐和自由落體的世界線聯繫起來可以導出時空的半黎曼度規，或至少可以得到一個正的純量因子，在數學上這是共形結構的定義[20]。
狹義相對論的建立改變了人們對質量唯一性的觀念：質量不過是系統能量和動量的一種表現形式，這使得愛因斯坦著手將弱等效原理納入一個更廣泛的框架中：處於封閉空間中的觀察者無論採用什麼測量方法（而不僅限於投擲小球）都無法區分自己是處於引力場還是加速參考系中。這種概括成為了著名的愛因斯坦等效原理：在足夠小的時空區域中物理定律退化成狹義相對論中的形式；而不可能通過局部的實驗來探測到周圍引力場的存在。狹義相對論是在不考慮引力的情況下建立的，因此對於實際引力可以忽略的應用這是一個合適的模型。如果考慮引力的存在並假設愛因斯坦等效原理成立，則可知宇宙間不存在全局的慣性系，而只存在跟隨著自由落體的粒子一起運動的局部近似慣性系。用時空彎曲的語言來說，是表徵了無引力作用的慣性系的直的類時世界線在實際時空中彼此會產生彎曲，這意味著引力的引入會改變時空的幾何結構[21]。愛因斯坦等效原理由此暗示引力作用應歸屬於時空彎曲的範疇，無加速度的慣性運動和引力作用下的自由落體具有完全相同的定義。
實驗數據表明，處於引力場中的時鐘測量出的時間——或者用相對論的語言稱為原時——並不服從狹義相對論定律的制約。用時空幾何的語言來說，這是由於所測量的時空並非閔考斯基度規。對於牛頓引力理論而言這暗示著一種更一般的幾何學。在微小尺度上所有處於自由落體狀態的參考系都是等效的，並且都可近似為閔考斯基性質的平直度規。而接下來我們正在處理的是對閔考斯基時空的彎曲化的一般性概括，所用到的度規張量定義的所在的時空幾何——具體說來是時空中的長度和角度是如何被測量的——並不是狹義相對論的閔考斯基度規，這種度規被概括地稱作半黎曼度規或偽黎曼度規。並且每一種黎曼度規都自然地與一種特別的聯絡相關聯，這種聯絡被稱作列維-奇維塔聯絡；事實上這種聯絡能夠滿足愛因斯坦等效原理的要求並使得時空具有局部的閔考斯基性（這是指在一個適合的局部慣性坐標系下度規是閔考斯基性的，其度規的導數和連接係數即克里斯托費爾符號都為零。）[22]。總體上可以歸納為，在愛因斯坦的理論中引力引起的時空彎曲是一種可微分流形，這種流形在局部是平直的，但整體上可能具有非常不同的全局幾何。
愛因斯坦方程式
主條目：愛因斯坦引力場方程式
在建立了描述引力效應的相對論性幾何化版本後，還有一個關於引力的起源問題沒有解決。牛頓理論中的引力來源於質量，而在狹義相對論中質量的概念被包含在更具有一般性的能量-動量張量中。這個張量包含了對系統的能量和動量的密度，以及應力（即壓強和切應力的統稱）的描述[23]，通過等效原理就可以將能量-動量張量概括到彎曲的時空幾何中去。如果和幾何化的牛頓引力作進一步的類比，可以很自然地通過一個場方程式將能量-動量張量和里奇張量聯繫起來，而里奇張量正描述了潮汐效應的一類特殊情形：一團初始狀態為靜止的測試粒子形成的雲的體積會由於這群測試粒子作自由落體運動而變化。在狹義相對論中，能量-動量張量的守恆律在數學上對應著它的散度為零，而這一守恆律也可以被概括到更一般的彎曲時空中，其方法是將古典的偏導數替換為它們在曲面流形上的對應物：協變導數。在這一附加條件下，能量-動量張量的協變散度，以及場方程式右邊所有可能出現的項統統為零，這一組簡潔的方程式表述被稱作愛因斯坦引力場方程式。
R_{ab} - {\textstyle 1 \over 2}R\,g_{ab} = \kappa T_{ab}.\,
方程式左邊是一個由里奇張量R_{ab}\,構成的並且散度為零的特別組合，這種組合被稱作愛因斯坦張量。特別地，
R=R_{cd}g^{cd}\,
是時空曲率的里奇純量。而里奇張量本身與更一般化的黎曼張量之間的關係為
\quad R_{ab}={R^d}_{adb}.\,
方程式右邊的T_{ab}\,是能量-動量張量。將引力場方程式的理論和對行星軌道實際觀測的結果（或等價地考慮到弱場低速時近似為牛頓引力理論）相比較，可得到方程式中的比例常數\kappa = 8\pi G/c^4\,，其中G\,是萬有引力常數而c\,是光速[24]。當沒有物質存在時能量-動量張量為零，這時的愛因斯坦場方程式的形式化簡為所謂真空解法：
R_{ab}=0.\,
某些廣義相對論的替代理論在基於同樣的前提下通過附加其他準則或約束得到了形式不一樣的引力場方程式，例如愛因斯坦-嘉當理論[25]。
定義和基礎應用
前一章節概括介紹了確立廣義相對論的基本內容所需的全部信息，並指出了廣義相對論理論的幾個關鍵性質。那麼隨之而來的問題是，廣義相對論對物理學究竟有多重要的意義；具體說來，如何從廣義相對論理論建立具有應用價值的具體物理模型呢？
定義和基本性質
廣義相對論是引力的度規理論，其核心是愛因斯坦場方程式。場方程式描述的是用四維半黎曼流形所描述的時空幾何學，與處在時空中物質的能量-動量張量之間的關係[26]。古典力學中由引力引起的現象（例如自由落體、星體軌道運動、太空飛行器軌道等），在廣義相對論中對應著在彎曲時空中的慣性運動，即沒有所謂外來的引力使得物體的運動偏離它們原本的自然直線運動路徑。引力本身是時空屬性的幾何學改變，使處在其中的物體沿著時空中最短的路徑作慣性運動[27]；而反過來時空的曲率是由處在時空中的物質的能量-動量張量改變的。用約翰·惠勒的話來解釋說：時空告訴物體如何運動，物體告訴時空如何彎曲[28]。
廣義相對論用一個對稱的二階張量替換了古典力學中的引力純量勢，不過前者在某些極限情形下會退化為後者。在弱引力場並且速度遠小於光速的前提下，相對論的結果和牛頓古典理論的結果是重合的[29]。
廣義相對論是用張量表示的，這是其廣義協變性的體現：廣義相對論的定律——以及在廣義相對論框架中得到的物理定律——在所有參考系中具有相同的形式[30]。並且，廣義相對論本身並不包含任何不變的幾何背景結構，這使得它能夠滿足更嚴格的廣義相對性原理：物理定律的形式在所有的觀察者看來都是相同的[31]。而廣義相對論認為在局部由於有等效原理的要求，時空是閔考斯基性的，物理定律具有局部勞侖茲不變性[32]。
物理模型的建立
廣義相對論性的模型建立的核心內容是愛因斯坦場方程式的解。在愛因斯坦場方程式和一個附加描述物質屬性的方程式（類似於馬克士威方程組和介質的本構方程式）同時已知的前提下，愛因斯坦場方程式的解包含有一個確定的半黎曼流形（通常由特定坐標下得到的度規給出），以及一個在這個流形上定義好的物質場。物質和時空幾何一定滿足愛因斯坦場方程式，因此特別地物質的能量-動量張量的協變散度一定為零。當然，物質本身還需要滿足描述其屬性的附加方程式。因此可以將愛因斯坦場方程式的解簡單理解為一個由廣義相對論制約的宇宙模型，其內部的物質還同時滿足附加的物理定律[33]。
愛因斯坦場方程式是非線性的偏微分方程式組，因此想要求得其精確解十分困難[34]。儘管如此，仍有相當數量的精確解被求得，但只有一些具有物理上的直接應用[35]。其中最著名的精確解，同時也是從物理角度來看最令人感興趣的解包括史瓦西解、萊斯納-諾斯特朗姆解、克爾解，每一個解都對應著特定類型的黑洞模型[36]；以及弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克解和德西特宇宙，每一個解都對應著一個膨脹的宇宙模型[37]。純粹理論上比較有趣的精確解還包括哥德爾宇宙（暗示了在彎曲時空中進行時間旅行的可能性）、Taub-NUT解（一種均勻卻又各向異性的宇宙模型）、反德西特空間（近年來由於超弦理論中的馬爾達西那假說的提出而變得知名）[38] 。
尋找愛因斯坦場方程式的精確解並非易事，因此在更多場合下愛因斯坦場方程式的解是通過計算機採用數值積分的方法，或者對精確解作微擾求得的近似解。在數值相對論這一分支中，人們使用高性能的計算機來數值模擬時空幾何，以用於數值求解兩個黑洞碰撞等有趣場合下的愛因斯坦場方程式[39]。原則上只要計算機的運算能力足夠強大，數值相對論的方法就可以應用到任何系統中，從而有可能對裸奇異點等基礎問題做出解答。另一種求得近似解的方法是藉助於像線性化引力[40]和後牛頓力學近似方法這樣的微擾理論，這兩種微擾方法都是由愛因斯坦發展的，其中後者為求解時空內分布的物體速度遠小於光速時的時空幾何提供了系統的方法。後牛頓力學近似方法是一系列展開項，第一項對應著牛頓引力，而後面的微擾項對應著廣義相對論理論對牛頓力學所作的修正[41]。這種近似展開的一種擴展方法是參數化後牛頓形式，應用這種方法可以量化地比較廣義相對論和其替代理論的預言結果[42]。
愛因斯坦理論的後續
廣義相對論對物理學的影響非常深遠，其引發了諸多理論和實驗的研究成果。其中一部分是從廣義相對論的定律中直接導出的，而有些則從廣義相對論發表至今經過長久的研究才逐漸變得明朗。
引力時間膨脹和引力紅移
主條目：引力時間膨脹和紅移
光波從一個大質量物體表面出射時頻率會發生紅移
如果等效原理成立[43] ，則可得到引力會影響時間流逝的結論。射入引力勢阱中的光會發生藍移，而相反從勢阱中射出的光會發生紅移；歸納而言這兩種現象被稱作引力紅移。更一般地講，當有一個大質量物體存在時，對於同一個過程在距離大質量物體更近時會比遠離這個物體時進行得更慢，這種現象叫做引力時間膨脹[44]。
引力紅移已經在實驗室中[45]及在天文觀測中[46]得到證實和測量，而地球引力場中的引力時間延緩效應也已經通過原子鐘進行過多次測量[47]。當前的測量表明地球引力場的時間延緩會對全球定位系統（GPS）的運行產生一定影響[48]。這種效應在強引力場中的測試是通過對脈衝雙星的觀測完成的[49]，所有的實驗結果都和廣義相對論相符[50]。不過在當前的測量精度下，人們還不能從中判斷這些觀測到底更支持廣義相對論還是同樣滿足等效原理的其他替代理論[51]。
光線偏折和引力時間延遲
主條目：廣義相對論中的克卜勒問題、引力透鏡和引力時間延遲效應
從光源（圖中藍點表示）發射出的光線在途徑一個緻密星體（圖中灰色區域表示）時發生的光線偏折
廣義相對論預言光子的路徑在引力場中會發生偏折，即當光子途徑一個大質量物體時路徑會朝向物體發生彎曲。這種效應已經通過對來自遙遠恆星或類星體的光線途徑太陽時的路徑觀測得到證實[52]。
這種現象（以及其他相關現象）的原因是光具有被稱作類光的（或被稱作零性的）測地線——相對於在古典物理中光的傳播路線是直線，類光的（或零性的）測地線是廣義相對論的相應概括，來源於狹義相對論中的光速不變原理[53]。選取了合適的時空幾何（例如黑洞視界外的史瓦西解，或後牛頓展開項）[54]就可以進一步看到引力場對光的傳播的影響，這種影響是純粹廣義相對論性的。即是說儘管從古典力學出發，通過計算中心質量對光子的古典散射也可以得到光線的偏折效應[55]，但從這種古典方法得到的偏折角度只有廣義相對論結果的一半。[56]
和光線偏折現象密切相關的另一現象是引力時間延遲效應（或稱作夏皮羅延遲效應），這種現象是指在引力場中光的傳播時間要比無引力場的情形下要長，這種效應已經被多個觀測成功證實[57]。在參數化後牛頓形式中，對光線偏折和對時間延遲的測量共同決定了一個參數\gamma\,，這個參數表徵了引力對時空幾何的影響[58]。
重力波
主條目：重力波
懸浮在空間中的靜止粒子排列成的環
測試粒子受到重力波的作用
弱引力場和電磁場相比有一個重要類同之處：類似於隨時間變化的電磁場會輻射電磁波，引力場也有可能會輻射重力波。重力波有如時空度規的漣漪，以光速在空間中傳播[59]。最簡單的一類情形如右所示：排列成一個環狀的自由懸浮粒子（右上靜態圖像），當有一束正弦重力波穿過這個環並朝向讀者傳播時，重力波會將這個環以一種具有特徵性和旋律性的方式扭曲（右下動畫）[60]。由於愛因斯坦場方程式是非線性的，強引力場中的任意強度的重力波不滿足線性疊加原理。但在弱場情形下可採用線性近似，由於從遙遠的天體輻射出的重力波到達地球時已經非常微弱，這時線性化的重力波已經足以精確描述其到達地球時的強度，其引起的空間距離的相對變化大約在10-21或更低。這些線性化的重力波是可以進行傅立葉分解的，對這些重力波信號進行的數據分析正是基於這個原理[61]。
場方程式的個別精確解能夠在不藉助任何近似條件的前提下描述重力波，如一束傳遍整個空間的波列[62]，以及所謂高蒂宇宙（多種充滿重力波的膨脹宇宙的總稱）[63]。不過對於天體物理學意義上的引力輻射而言，例如黑洞雙星的合并過程，後牛頓力學近似方法、微擾理論或數值相對論等近似途徑是僅有的處理手段[64]。
軌道效應
主條目：廣義相對論中的克卜勒問題
對於作軌道運動的物體，廣義相對論和古典力學的預言在很多地方有所不同。廣義相對論預言公轉星體的軌道會發生總體的旋轉（進動），而軌道本身也會由於引力輻射而發生衰減。
近星點的進動
行星繞恆星作公轉的古典力學軌道（紅）和廣義相對論軌道（藍）比較
廣義相對論中，任意軌道的拱點（軌道上最接近或最遠離系統質心的點）會發生進動，這使得軌道不再是橢圓，而是一個繞著質心旋轉的准橢圓軌道，其總體上看接近於玫瑰線的形狀。愛因斯坦最早通過近似度規來表示牛頓力學的極限，並將軌道運動的物體看作一個測試質點從而在理論上得到了這一結果。這一結果的重要性在於，它能夠最簡潔地解釋天文學家勒維耶在1859年發現的水星近日點的反常進動，而這對於當時的愛因斯坦而言是最終確認引力場方程式的正確形式的一個重要依據[65]。
從精確的史瓦西度規[66]或採用更為一般的後牛頓力學近似形式[67]也能夠推導出這種效應。從本質上說，這種進動是由於引力對時空幾何的影響，以及對物體引力的自能量的貢獻（其意義包含在愛因斯坦場方程式的非線性中）[68]。現在已經觀測到了所有能夠進行精確軌道進動測量的太陽系行星（水星、金星、地球）的相對論進動[69]，而且已經觀察到某些脈衝雙星系統的軌道進動效應，其效應要比太陽系內行星高出五個數量級[70]。
軌道衰減
對脈衝雙星PSR1913+16的周期變化長達三十年的觀測，其周期變化在秒量級內
根據廣義相對論，一個雙星系統會通過引力輻射的形式損失能量。儘管這種能量損失一般相當緩慢，卻會使得雙星間的距離逐漸降低，同時降低的還有軌道周期。在太陽系內的兩體系統或者一般的雙星中，這種效應十分微弱因此難以觀測。然而對於一個密近脈衝雙星系統而言，在軌道運動中它們會發射極度規律的脈衝信號，地球上的接收者從而能夠將這個信號序列作為一個高度精確的時鐘。這個精確的時鐘是用來精確測量脈衝雙星軌道周期的最佳工具。並且由於組成脈衝雙星的恆星是中子星，其緻密性能導致有較多部分的能量以引力輻射的形式傳播出去[71]。
最早觀測到這種因引力輻射導致的軌道周期衰減的實驗是由赫爾斯和泰勒完成的，他們所觀測的脈衝雙星是他們於1974年發現的PSR 1913+16。這也是人類首次在實驗上證實重力波的存在，儘管這只是一種間接觀測，這項工作因此獲得1993年的諾貝爾物理學獎[72]。從那以後更多的脈衝雙星被發現，值得一提的是PSR J0737-3039，雙星系統的兩個成員都是脈衝星[73] 。
測地線效應和參考系拖拽
主條目：測地線效應和參考系拖拽
有些相對論效應與坐標的方向性有關[74]，其一是測地線效應，例如一個在彎曲時空中作自由落體運動的陀螺的自轉軸會因此而改變，即使陀螺的自轉軸方向在運動過程中儘可能保持一直穩定（即所謂在曲面上作「平行輸運」）[75]。地球-月球系統的測地線效應已經通過月球雷射測距實驗得到驗證[76]。近年來物理學者通過引力探測器B衛星測量測試質量在地球引力場中的測地線效應，其結果和理論值的誤差小於0.3%[77][78]
在一個旋轉質量的周圍還會產生引力磁性以及更一般的參考系拖拽效應，觀察者會認為旋轉質量對周圍的時空產生拖拽效應，處於旋轉質量周圍的物體會因此發生坐標改變。一個極端的版本是旋轉黑洞的所謂能層區域，當有任何物體進入旋轉黑洞的能層時都會不可避免地隨著黑洞一起發生轉動[79]。理論上這種效應也可以通過觀察其對一個自由落體狀態的陀螺自轉方向的影響進行驗證[80] 。在存在爭議的LAGEOS衛星實驗中參考系拖拽效應得到了初步證實[81]。火星全球探勘者號在火星獲得的數據資料，也被用來做廣義相對論的參考系拖拽實驗[82][83]。
天體物理學上的應用
引力透鏡
主條目：引力透鏡
愛因斯坦十字：同一個天體在引力透鏡效應下的四個成像
引力場中光線的偏折效應是一類新的天文現象的原因。當觀測者與遙遠的觀測天體之間還存在有一個大質量天體，當觀測天體的質量和 相對距離合適時觀測者會看到多個扭曲的天體成像，這種效應被稱作引力透鏡[84]。受系統結構、尺寸和質量分布的影響，成像可以是多個，甚至可以形成被稱作愛因斯坦環的圓環，或者圓環的一部分弧[85]。最早的引力透鏡效應是在1979年發現的[86]，至今已經發現了超過一百個引力透鏡[87]。即使這些成像彼此非常接近以至於無法分辨——這種情形被稱作微引力透鏡——這種效應仍然可通過觀測總光強變化測量到，很多微引力透鏡也已經被發現[88]。
引力透鏡已經發展成為觀測天文學的一個重要工具，它被用來探測宇宙間暗物質的存在和分布，並成為了用於觀測遙遠星系的天然望遠鏡，還可對哈柏常數做出獨立的估計。引力透鏡觀測數據的統計結果還對星繫結構演化的研究具有重要意義[89]。
重力波天文學
主條目：重力波天文學
藝術家的構想圖：雷射空間干涉重力波探測器LISA
對脈衝雙星的觀測是間接證實重力波存在的有力證據（參見上文軌道衰減一節），然而對來自宇宙深處的重力波的直接觀測始終未能實現，這也成為了相對論前沿研究的主要課題之一[90]。現在已經有相當數量的地面重力波探測器投入運行，最值得注目的干涉重力波探測器是GEO600、LIGO（包括三架雷射干涉重力波探測器）、TAMA300和VIRGO[91]歐洲獨立在太空中操作的雷射干涉探測器新重力波天文台（New Gravitational wave Observatory，NGO，原名「雷射干涉空間天線」，LISA）現在正處於開發階段[92]，其先行測試計劃LISA探路者（LISA Pathfinder）將於2014年底之前正式發射升空[93]。
對重力波的探測將在很大程度上擴展基於電磁波觀測的傳統觀測天文學的視野[94] ，人們能夠通過探測到的重力波信號了解到其波源的信息。這些從未被真正了解過的信息可能來自於黑洞、中子星或白矮星等緻密星體，可能來自於某些超新星爆發，甚至可能來自宇宙誕生極早期的暴漲時代的某些烙印，例如假想的宇宙弦[95]。
黑洞和其它緻密星體
主條目：黑洞
基於廣義相對論理論的計算機模擬一顆恆星塌縮為黑洞並釋放出重力波的過程
廣義相對論預言了黑洞的存在，即當一個星體足夠緻密時，其引力使得時空中的一塊區域極端扭曲以至於光都無法逸出。在當前被廣為接受的恆星演化模型中，一般認為大質量恆星演化的最終階段的情形包括1.4倍左右太陽質量的恆星演化為中子星，而數倍至幾十倍太陽質量的恆星演化為恆星質量黑洞[96]。具有幾百萬倍至幾十億倍太陽質量的超大質量黑洞被認為定律性地存在於每個星系的中心[97]，一般認為它們的存在對於星系及更大的宇宙尺度結構的形成具有重要作用[98]。
在天文學上緻密星體的最重要屬性之一是它們能夠極有效率地將引力能量轉換為電磁輻射[99]。恆星質量黑洞或超大質量黑洞對星際氣體和塵埃的吸積過程被認為是某些非常明亮的天體的形成機制，著名且多樣的例子包括星系尺度的活動星系核以及恆星尺度的微類星體[100]。在某些特定場合下吸積過程會在這些天體中激發強度極強的相對論性噴流，這是一種噴射速度可接近光速的[101]且方向性極強的高能電漿束。在對這些現象進行建立模型的過程中廣義相對論都起到了關鍵作用[102]，而實驗觀測也為支持黑洞的存在以及廣義相對論做出的種種預言提供了有力證據[103]。
黑洞也是重力波探測的重要目標之一：黑洞雙星的合并過程可能會輻射出能夠被地球上的探測器接收到的某些最強的重力波信號，並且在雙星合并前的啁啾信號可以被當作一種「標準燭光」從而來推測合并時的距離，並進一步成為在大尺度上探測宇宙膨脹的一種手段[104]。而恆星質量黑洞等小質量緻密星體落入超大質量黑洞的這一過程所輻射的重力波能夠直接並完整地還原超大質量黑洞周圍的時空幾何信息[105]。
宇宙學
主條目：物理宇宙學
威爾金森微波各向異性探測器（WMAP）拍攝的全天微波背景輻射的溫度漲落
現代的宇宙模型是基於帶有宇宙常數的愛因斯坦場方程式建立的，宇宙常數的值對大尺度的宇宙動力學有著重要影響。
R_{ab} - {\textstyle 1 \over 2}R\,g_{ab} + \Lambda\ g_{ab} = \kappa\, T_{ab}
這個經修改的愛因斯坦場方程式具有一個各向同性並均勻的解：弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規[106]，在這個解的基礎上物理學家建立了從一百四十億年前熾熱的大爆炸中演化而來的宇宙模型[107]。只要能夠將這個模型中為數不多的幾個參數（例如宇宙的物質平均密度）通過天文觀測加以確定[108]，人們就能從進一步得到的實驗數據檢驗這個模型的正確性[109]。這個模型的很多預言都是成功的，這包括太初核合成時期形成的化學元素初始丰度[110]、宇宙的大尺度結構[111]以及早期的宇宙溫度在今天留下的「迴音」：宇宙微波背景輻射[112]。
從天文學觀測得到的宇宙膨脹速率可以進一步估算出宇宙中存在的物質總量，不過有關宇宙中物質的本性還是一個有待解決的問題。現在估計宇宙中大約有90%以上的物質都屬於暗物質，它們具有質量（即參與引力交互作用），但不參與電磁交互作用，即它們無法（通過電磁波）直接觀測到[113]。目前在已知的粒子物理[114]或其他什麼理論[115]的框架中還沒有辦法對這種物質做出令人滿意的描述。另外，對遙遠的超新星紅移的觀測以及對宇宙微波背景輻射的測量顯示，我們的宇宙的演化過程在很大程度上受宇宙常數值的影響，而正是宇宙常數的值決定了現在宇宙的加速膨脹。換句話說，宇宙的加速膨脹是由具有非通常意義下的狀態方程式的某種能量形式決定的，這種能量被稱作暗能量，其本性也仍然不為所知[116]。
在所謂暴漲模型中，宇宙曾在誕生的極早期（～10-33秒）經歷了劇烈的加速膨脹過程[117]。這個在於二十世紀八十年代提出的假說是由於某些令人困惑並且用古典宇宙學無法解釋的觀測結果而提出的，例如宇宙微波背景輻射的高度各向同性[118]，而現在對微波背景輻射各向異性的觀測結果是支持暴漲模型的證據之一[119]。然而，暴漲的可能的方式也是多樣的，現今的觀測還無法對此作出約束[120]。一個更大的課題是關於極早期宇宙的物理學的，這涉及到發生在暴漲之前的、由古典宇宙學模型預言的大爆炸奇異點。對此比較有權威性的意見是這個問題需要由一個完備的量子引力理論來解答，而這個理論至今還沒有建立[121]（參見下文量子引力）。
進階概念
因果結構和全局幾何
主條目：因果結構
一個無限的靜態閔考斯基宇宙的潘洛斯圖
在廣義相對論中沒有任何有靜止質量的物體能夠追上或超過一束光脈衝，即是說發生於某一點的事件A在光從那一點傳播到空間中任意位置X之前無法對位置X產生影響。因此，一個時空中所有光的世界線（零性測地線）包含了有關這個時空的關鍵因果結構信息。描述這種因果結構的是潘洛斯-卡特圖，在這種圖中無限大的空間區域和時間間隔通過共形變換被「收縮」（數學上稱為緊化）在可被容納的有限時空區域內，而光的世界線仍然和在閔考斯基圖中一樣用對角線表示[122]。
潘洛斯和其他研究者注意到因果結構的重要性，從而發展了所謂全局幾何。全局幾何中研究的對象不再是愛因斯坦場方程式的一個個特定解（或一族解），而是運用一些對所有測地線都成立的關係，如Raychaudhuri方程式，以及對物質本性的非特異性假設（通常用所謂能量條件的形式來表述）來推導普適性結論[123]。
視界
主條目：視界、無毛定理和黑洞力學
在全局幾何下可以證明有些時空中存在被稱作視界的分界線，它們將時空中的一部分區域隔離起來。這樣的最著名例子是黑洞：當質量被壓縮到空間中的一塊足夠小的區域中後（相關長度為史瓦西半徑[124]），沒有光子能從內部逸出。而由於任何有質量的粒子速度都無法超過光速，黑洞內部的物質也被封閉在視界內。不過，從視界之外到視界之內的通道依然是存在的，這表明黑洞的視界作為一種分界線並不是物理性質的屏障[125]。
一個旋轉黑洞的能層，在從旋轉黑洞抽取能量的過程中扮演著重要角色
早期的黑洞研究主要依賴於求得愛因斯坦場方程式的精確解，著名的解包括球對稱的史瓦西解（用來描述靜態黑洞）和反對稱的克爾解（用來描述旋轉定態黑洞，並由此引入了能層等有趣的屬性）。而後來的研究通過全局幾何揭示了更多的關於黑洞的普適性質：研究表明經過一段相當長的時間後黑洞都逐漸演化為一類相當簡單的可用十一個參數來確定的星體，包括能量、動量、角動量、某一時刻的位置和所帶電荷。這一性質可歸納為黑洞的唯一性定理：「黑洞沒有毛髮」，即黑洞沒有像人類的不同髮型那樣的不同標記。例如，星體經過引力塌縮形成黑洞的過程非常複雜，但最終形成的黑洞的屬性卻相當簡單[126]。
更值得一提的是黑洞研究已經得到了一組制約黑洞行為的一般性定律，這被稱作黑洞（熱）力學，這些定律與熱力學定律有很強的類比關係。例如根據黑洞力學的第二定律，一個黑洞的視界面積永不會自發地隨著時間而減少，這類似於一個熱力學系統的熵；這個定律也決定了通過古典方法（例如，潘洛斯過程）不可能從一個旋轉黑洞中無限度地抽取能量[127]。這些都強烈暗示了黑洞力學定律實際是熱力學定律的一個子集，而黑洞的表面積和它的熵成正比[128]。從這個假設可以進一步修正黑洞力學定律。例如，由於黑洞力學第二定律是熱力學第二定律的一部分，則可知黑洞的表面積也有可能減小，只要有某種其它過程來保證系統的總熵是增加的。而熱力學第三定律認為不存在溫度為絕對零度的物體，可以進一步推知黑洞應該也存在熱輻射；半古典理論計算表明它們確實存在有熱輻射，在這個機制中黑洞的表面引力充當著普朗克黑體輻射定律中溫度的角色，這種輻射稱作霍金輻射（參見下文量子理論一節）[129]。
廣義相對論還預言了其他類型的視界模型：在一個膨脹宇宙中，觀察者可能會發現過去的某些區域不能被觀測（所謂「粒子視界」），而未來的某些區域不能被影響（事件視界）[130]。即使是在平直的閔考斯基時空中，當觀察者處於一個加速的參考系時也會存在視界，這些視界也會伴隨有半古典理論中的盎魯輻射[131]。
奇異點
主條目：引力奇異點
廣義相對論的另一個普遍卻又令人困擾的特色問題是時空的分界線——奇異點的出現。時空可以通過沿著類時和類光的測地線來探索，這些路徑是光子及其他所有粒子在自由落體運動中的可能軌跡，但愛因斯坦場方程式的某些解具有「粗糙的邊緣」——這被稱作時空奇異點，這些奇異點上類時或類光的測地線會突然中止，而對於這些奇異點沒有定義好的時空幾何來描述。需要說明的是，「奇異點」往往可能並不是一個「點」：那些場方程式的解的「粗糙邊緣」在既有坐標系下，不僅可能是一個「點」，還可以以其他幾何形式出現（比如克爾黑洞的「奇環」等）。一般意義上的奇異點是指曲率奇異點，這是說在這些點上描述時空曲率的幾何量，例如里奇張量為無限大[132]（曲率奇異點是相對所謂坐標奇異點而言的，坐標奇異點本質上不屬於奇異點的範疇：有些度規在某個特定坐標下會產生無窮大，但本質上這些點不具有奇性，在其他合適的坐標下是光滑的，也不會產生無窮大的曲率張量）。描述未來的奇異點（世界線的終結）的著名例子包括永遠靜態的史瓦西黑洞內部的奇異點[133]，以及永遠旋轉的克爾黑洞內部的環狀奇異點[134]。弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規，以及其他描述宇宙的時空幾何都具有過去的奇異點（世界線的開端），這被稱作大爆炸奇異點，而有些還具有未來的奇異點（大擠壓）[135]。
考慮到這些模型都是高度對稱從而被簡化的，人們很容易去猜測奇異點的出現是否只是理想狀態下的不自然產物。然而著名的由全局幾何證明的奇異點定理指出，奇異點是廣義相對論的一個普遍特色結果，並且任何有質量的實體發生引力塌縮並達到一個特定階段後都會形成奇異點[136]，而在一系列膨脹宇宙模型中也一樣存在奇異點[137]。不過奇異點定理的內容基本沒有涉及到奇異點的性質，這些關於確定奇異點的一般結構（例如所謂BKL假說）的問題是當前相關研究的主要課題[138]。另一方面，由於在對於物理規律的破壞方面而言，一個被包裹於視界之中的奇異點被認為要好過一個「裸」的奇異點，故而宇宙監督假說被提出，它認為所有未來的實際奇異點（即沒有完美對稱性的具有實際性質的物體形成的奇異點）都會被藏在視界之內，從而對外面對觀察者不可見，即自然界憎恨裸奇異點。儘管還沒有實際證據證明這一點，有數值模擬的結果支持這一假說的正確性[139]。
演化方程式
每一個愛因斯坦場方程式的解都是一個宇宙，這裡的宇宙含義既包括了整個空間，也包括了過去與未來——它們並不單單是反映某些事物的「快照」，而是所描述的時空的完全寫真。每一個解在其專屬的特定宇宙中都能描述任意時間和任意位置的時空幾何和物質狀態。出於這個表徵，愛因斯坦的理論看上去與其他大多數物理理論有所不同：大多數物理理論都需要指明一個物理系統的演化方程式（例如量子力學中的埃倫費斯特定理），即如果一個物理系統在給定時刻的狀態已知，其演化方程式能夠允許描述系統在過去和未來的狀態。愛因斯坦理論中的引力場和其他場的更多區別還在於前者是自身交互作用的（是指它在沒有其他場出現時仍然還是非線性的），並且不具有固定的背景結構（在宇宙尺度上會發生演化）[140]。
為了更好地理解愛因斯坦場方程式這個與時間有關的偏微分方程式，可以將它寫成某種能夠描述宇宙隨時間演化的形式。這種形式被稱作「3+1」分解，其中時空被分為三維空間和一維時間。最著名的形式叫做ADM形式[141] ，在這種分解下廣義相對論的時空演化方程式具有良好的性質：在適當的初始條件給定的情形下方程式有解並且是唯一的[142]。場方程式的「3+1」分解形式是數值相對論的研究基礎[143]。
全局和准局部量
主條目：廣義相對論中的質量
演化方程式的觀念與廣義相對論性物理中的另一個方面緊密聯繫：在愛因斯坦的理論中，一個系統的總質量（或能量）這個看似簡單的概念無法找到一種普遍性的定義。其原因在於，引力場原則上並不像其他的場那樣具有可以局域化的能量[144]。
儘管如此，試圖通過其他途徑來定義一個系統的總質量還是可能的，在古典物理中，質量（或能量）的定義可以來自時間平移不變性的守恆量，或是通過系統的哈密頓形式。在廣義相對論中，從這兩種途徑出發可以分別得到如下質量的定義：
柯瑪質量[145]：從類時的Killing向量出發通過柯瑪積分得到的在時間平移不變性下的守恆量，表現為一個靜態時空的總能量；
ADM質量[146]：在一個漸近平直時空中建立廣義相對論的哈密頓形式，從中定義系統的總能量。
如果將一個系統的總質量中被重力波攜帶至無限遠處的能量除去，得到的結果叫做零性無限遠處的邦迪質量[147]。這些定義而來的質量被舍恩和丘成桐的正質量定理證明是正值[148]，而動量和角動量也具有全局的相應定義[149]。在這方面的研究中還有很多試圖建立所謂准局部量的嘗試，例如僅通過一個孤立系統所在的有限空間區域中包含的物理量來構造這個孤立系統的質量。這類嘗試寄希望於能夠找到一個更好地描述孤立系統的量化方式，例如環假說的某種更精確的形式[150]。
和量子理論的關係
如果說廣義相對論是現代物理學的兩大支柱之一，那麼量子理論作為我們藉此了解基本粒子以及凝態物理的基礎理論就是現代物理的另一支柱[151]。然而，如何將量子理論中的概念應用到廣義相對論的框架中仍然是一個未能解決的問題。
彎曲時空中的量子場論
作為現代物理中粒子物理學的基礎，通常意義上的量子場論是建立在平直的閔考斯基時空中的，這對於處在像地球這樣的弱引力場中的微觀粒子的描述而言是一個非常好的近似[152]。而在某些情形中，引力場的強度足以影響到其中的量子化的物質但不足以要求引力場本身也被量子化，為此物理學家發展了彎曲時空中的量子場論。這些理論藉助於古典的廣義相對論來描述彎曲的背景時空，並定義了廣義化的彎曲時空中的量子場理論[153]。通過這種理論，可以證明黑洞也在通過黑體輻射釋放出粒子，這即是霍金輻射，並有可能通過這種機制導致黑洞最終蒸發[154]。如前文所述，霍金輻射在黑洞熱力學的研究中起到了關鍵作用[155]。
量子引力
主條目：量子引力
參見：弦論及迴圈量子重力
物質的量子化描述和時空的幾何化描述之間彼此不具有相容性[156]，以及廣義相對論中時空曲率無限大（意味著其結構成為微觀尺度）的奇異點的出現，這些都要求著一個完整的量子引力理論的建立。這個理論需要能夠對黑洞內部以及極早期宇宙的情形做出充分的描述，而其中的引力和相關的時空幾何需要用量子化的語言來敘述[157]。儘管物理學家為此做出了很多努力，並有多個有潛質的候選理論已經發展起來，至今人類還沒能得到一個稱得上完整並自洽的量子引力理論[158]。
一個卡拉比-丘流形的投影，由弦論所提出的緊化額外維度的一種方法
量子場論作為粒子物理的基礎已經能夠描述除引力外的其餘三種基本交互作用，但試圖將引力概括到量子場論的框架中的嘗試卻遇到了嚴重的問題。在低能區域這種嘗試取得了成功，其結果是一個可被接受的引力的有效（量子）場理論[159]，但在高能區域得到的模型是發散的（不可重整化）[160]。
迴圈量子重力中的一個簡單自旋網路
試圖克服這些限制的嘗試性理論之一是弦論，在這種量子理論中研究的最基本單位不再是點狀粒子，而是一維的弦[161]。弦論有可能成為能夠描述所有粒子和包括引力在內的基本交互作用的大統一理論[162]，其代價是導致了在三維空間的基礎上生成六維的額外維度等反常特性[163]。在所謂第二次超弦理論革新中，人們猜測超弦理論，以及廣義相對論與超對稱的統一即所謂超引力[164]，能夠構成一個猜想的十一維模型的一部分，這種模型叫做M理論，它被認為能夠建立一個具有唯一性定義且自洽的量子引力理論[165]。
另外一種嘗試來自於量子理論中的正則量子化方法。應用廣義相對論的初值形式（參見上文演化方程式一節），其結果是惠勒-得衛特方程式（其作用類似於薛丁格方程式）。雖然這個方程式在一般情形下定義並不完備[166]，但在所謂阿西特卡變數的引入下[167]，從這個方程式能夠得到一個很有前途的模型：迴圈量子重力。在這個理論中空間是一種被稱作自旋網路的網狀結構，並在離散的時間中演化[168]。
取決於廣義相對論和量子理論中的哪些性質可以被接受保留，並在什麼能量量級上需要引入變化[169]，對量子引力的嘗試理論還有很多，例如動力三角剖分[170]、因果組合[171]、扭量理論[172]以及基於路徑積分的量子宇宙學模型[173]。
所有這些嘗試性候選理論都仍有形式上和概念上的主要問題需要解決，而且它們都在面臨一個共同的問題，即至今還沒有辦法從實驗上驗證量子引力理論的預言，進而無法通過多個理論之間某些預言的不同來判別其正確性。在這個意義上，量子引力的實驗觀測還需要寄希望於未來的宇宙學觀測以及相關的粒子物理實驗逐漸成為可能[174]。
當前進展
在引力和宇宙學的研究中，廣義相對論已經成為了一個高度成功的模型，至今為止已經通過了每一次意義明確的觀測和實驗的檢驗。然而即便如此，仍然有證據顯示這個理論並不是那麼完善的[175]：對量子引力的尋求以及時空奇異點的現實性問題依然有待解決[176]；實驗觀測得到的支持暗物質和暗能量存在的數據結果也在暗暗呼喚著一種新物理學的建立[177]；而從先驅者號觀測到的反常效應也許可以用已知的理論來解釋，也許則真的是一種新物理學來臨的預告[178]。不過，廣義相對論之中仍然充滿了值得探索的可能性：數學相對論學家正在尋求理解奇異點的本性，以及愛因斯坦場方程式的基本屬性[179]；不斷更新的電腦正在進行黑洞合并等更多的數值模擬[180]；而第一次直接觀測到重力波的競賽也正在前進中[181]，人類希望藉此能夠在比至今能達到的強得多的引力場中創造更多檢驗這個理論的正確性的機會[182]。在愛因斯坦發表他的理論九十多年之後，廣義相對論依然是一個高度活躍的研究領域[183]。
注釋
^ 這段研究發展歷程請參見 Pais（1982年）和 Janssen（2005年）的第九章至第十五章；涵蓋當前最新研究並包含有最初版本的多個重印版都收集在 Renn（2007年）中；在 Renn（2005年），p. 110ff.有相關概述。在 Einstein（1907年）還提供了一篇早期的重要文章，並參見 Pais（1982年），ch. 9。以場方程式為主要特色內容發表的文章是 Einstein（1915年），並參見 Pais（1982年），ch. 11–15。
^ 參見 Schwarzschild（1916a年）， Schwarzschild（1916b年）和 Reissner（1916年）（其後在 Nordström（1918年）有補充）。
^ 參見 Einstein（1917年），並參考 Pais（1982年），ch. 15e。
^ 哈柏的原文是 Hubble（1929年）；相關概述請見 Singh（2004年），ch. 2–4。
^ 正如伽莫夫在 Gamow（1970年）中所指出的，愛因斯坦的懺悔被證明是為時尚早，參見下文的宇宙學一節。
^ 參見 Pais（1982年），p. 253–254。
^ 參見 Kennefick（2005年）和 Kennefick（2007年）。
^ 參見 Pais（1982年），ch. 16。
^ 參見 Israel（1987年），ch. 7.8–7.10和 Thorne（1994年），ch. 3–9。
^ 參見下文的軌道效應，引力時間膨脹和紅移和光線偏折和引力時間延遲及其參考文獻
^ 參見下文的宇宙學及其參考文獻；歷史發展回顧請見 Overbye（1999年）。
^ 下文的表述參考自 Ehlers（1973年），section 1。
^ 例如參見 Arnold（1989年），chapter 1。
^ 參見 Ehlers（1973年），pp. 5f.。
^ 參見 Will（1993年），section 2.4或 Will（2006年），section 2。
^ 參見 Wheeler（1990年），chapter 2；在大多數廣義相對論的通俗讀物中都會提到這個演示。
^ 按照需要的數學水平從低到高排序，參考讀物包括 Giulini（2005年）， Mermin（2005年），以及 Rindler（1991年）；相關的精確實驗測量參見 Ehlers & Lämmerzahl（2006年）的第四部分。
^ 關於這兩種對稱群的比較請見 Giulini（2006a年）。
^ 例如參見 Rindler（1991年），section 22；較為全面的處理方法參見 Synge（1972年），ch. 1 and 2。
^ 例如 Ehlers（1973年），sec. 2.3.
^ 參見 Ehlers（1973年），sec. 1.4.和 Schutz（1985年），sec. 5.1。
^ 實驗證據請參見 Ehlers（1973年），sec. 1.4.，並見下文引力時間膨脹和引力紅移。選擇另一種非零的連接係數扭率張量就會得到愛因斯坦-嘉當理論。
^ 參見 Ehlers（1973年），p. 16； Kenyon（1990年），sec. 7.2； Weinberg（1972年），sec. 2.8。
^ 例如參見 Kenyon（1990年），sec. 7.4。
^ 關於更多的替代理論參見 Brans & Dicke（1961年）， Weinberg（1972年）的第七章第三節， Goenner（2004年），sec. 7.2以及 Trautman（2006年）。
^ 例如參見 Wald（1984年），ch. 4， Weinberg（1972年），ch. 7或任意一本廣義相對論教科書
^ 這種說法至少是近似成立的，參見 Poisson（2004年）。
^ 例如見於 Wheeler（1990年）p. xi
^ 例如參見 Wald（1984年），sec. 4.4
^ 例如參見 Wald（1984年），sec. 4.1。
^ 關於定義廣義相對性原理以及將其從廣義協變性的觀念中分離出來這一過程中所遇到的困難，參見 Giulini（2006b年）。
^ 例如 Weinberg（1972年）的第十二章第五節。
^ 參見 Stephani等作者（2003年）中的介紹章節。
^ 在 Geroch（1996年）中有關於愛因斯坦場方程式在聯繫其他具有物理意義的偏微分方程式下的回顧討論。
^ 關於這些解的背景和列表，參見 Stephani等作者（2003年）；另一個更新的回顧討論是 MacCallum（2006年）。
^ 例如參見 Chandrasekhar（1983年）的第三、五、六章。
^ 例如參見 Narlikar（1993年）的第四章和第3.3節。
^ 在 Hawking & Ellis（1973年），ch. 5中有關於這些解的簡略描述和其他更多的有趣精確解。
^ 參見 Lehner（2002年）的概述。
^ 例如參見 Wald（1984年），sec. 4.4。
^ 例如參見 Will（1993年），sec. 4.1 and 4.2。
^ 參見 Will（2006年）的第3.2節以及 Will（1993年），ch. 4。
^ 參見 Rindler（2001年），pp. 24–26 vs. pp. 236–237和 Ohanian & Ruffini（1994年），pp. 164–172。事實上，愛因斯坦早在1907年就通過（愛因斯坦）等效原理（EEP）推導出了這些效應，參見 Einstein（1907年）和 Pais（1982年），pp. 196–198中的描述。
^ 參見 Rindler（2001年），pp. 24–26； Misner，Thorne & Wheeler（1973 年），§ 38.5。
^ 龐德-雷布卡實驗，參見 Pound & Rebka（1959年）， Pound & Rebka（1960年）； Pound & Snider（1964年）；更多的實驗列表在 Ohanian & Ruffini（1994年），table 4.1 on p. 186。
^ 例如參見 Greenstein，Oke & Shipman（1971年）；最新也是最精確的對於天狼B的觀測成果發表在 Barstow，Bond & Holberg（2005年）。
^ 這類測量以Hafele-Keating實驗為起始，參見 Hafele & Keating（1972a年）和 Hafele & Keating（1972b年），在引力探測器A的探測中達到頂峰；對這類實驗的概述參見 Ohanian & Ruffini（1994年），table 4.1 on p. 186。
^ 通過比較地面上的原子鐘和軌道衛星上的原子鐘來檢測GPS的工作一直在持續進行中；關於相應的相對論效應參見 Ashby（2002年）和 Ashby（2003年）。
^ 在 Stairs（2003年）和 Kramer（2004年）中有回顧評論。
^ 一般性綜述在Will 2006的2.1節；Will 2003, pp. 32–36； Ohanian & Ruffini（1994年），section 4.2。
^ 參見 Ohanian & Ruffini（1994年），pp. 164–172。
^ 參見 Kennefick（2005年） 以了解愛丁頓爵士的早期古典測量；關於現代更多更新的同類測量概述參見 Ohanian & Ruffini（1994年），chapter 4.3。現在所能達到的最精確測量方法是通過脈衝星，參見 Shapiro等作者（2004年）。
^ 狹義相對論中的光速不變不是一條獨立的公理，它能通過愛因斯坦場方程式和電磁場的拉格朗日量並使用WKB方法導出，參見 Ehlers（1973年），section 5。
^ 對這一方面的一個簡明摘要可見於 Blanchet（2006年），section 1.3。
^ 或對光子應用自由落體定律，參見 Rindler（2001年），section 1.16；其他歷史實例可見於 Israel（1987年），p. 202–204.；事實上愛因斯坦在 Einstein（1907年）這篇文獻中已經發表過這種推導，其中的計算默認了時空是歐幾里德性的。參見 Ehlers & Rindler（1997年）。
^ 從愛因斯坦理論的立場來看，這些推導考慮的是引力對光的作用，而並非將引力看作是時空的彎曲，參見 Rindler（2001年），sec. 11.11。
^ 關於在太陽引力場中雷達信號到達金星或水星等行星後返回的延遲，參見 Shapiro（1964年），其教學性的介紹可見於 Weinberg（1972年），ch. 8, sec. 7；關於從太空探測器返回的信號延遲（收發機測量），參見 Bertotti，Iess & Tortora（2003年）；概述可見於 Ohanian & Ruffini（1994年），table 4.4 on p. 200；關於更新的對接收到的脈衝雙星信號的測量，其中一顆脈衝星的信號在另一顆脈衝星的引力場中被延遲，參見 Stairs（2003年），section 4.4。
^ 參見 Will（1993年），sec. 7.1 and 7.2。
^ 關於重力波的概述請見 Misner，Thorne & Wheeler（1973年），part VIII。需要注意到是儘管性質類同於電磁波，重力波輻射的主導項來自於波源的四極矩而非電磁波一樣的偶極矩，參見 Schutz（2001年）。
^ 大多數廣義相對論的教科書都會包含這方面的說明，例如 Schutz（1985年），ch. 9。
^ 例如參見 Jaranowski & Królak（2005年）。
^ 參見 Rindler（2001年），ch. 13。
^ 參見 Gowdy（1971年）， Gowdy（1974年）。
^ 關於數值相對論方法的簡要介紹參見 Lehner（2002年），而 Seidel（1998年）介紹了數值相對論與重力波天文學之間的銜接關係。
^ 參見 Schutz（2003年），pp. 48–49和 Pais（1982年），pp. 253–254。
^ 參見 Rindler（2001年），sec. 11.9。
^ 參見 Will（1993年），pp. 177–181。
^ 在參數化後牛頓形式中，對這種效應的測量決定了兩個參數\beta和\gamma的線性組合，參見 Will（2006年），sec. 3.5和 Will（1993年），sec. 7.3。
^ 在太陽系行星上做出的最精確測量是VLBI測量，參見 Will（1993年），chapter 5， Will（2006年），section 3.5， Anderson等作者（1992年）；概述見於 Ohanian & Ruffini（1994年），pp. 406–407。
^ 參見 Kramer等作者（2006年）。
^ 參見 Stairs（2003年）和 Schutz（2003年），pp. 317–321；以及 Bartusiak（2000年），pp. 70–86。
^ 關於這段研究的概述在 Weisberg & Taylor（2003年）；脈衝雙星本身的發現可見於 Hulse & Taylor（1975年）；關於重力波存在的最早證據在 Taylor（1994年）。
^ 參見 Kramer（2004年）。
^ 例如參見 Penrose（2004年），§14.5和 Misner，Thorne & Wheeler（1973年），sec. §11.4。
^ 參見 Weinberg（1972年），sec. 9.6和 Ohanian & Ruffini（1994年），sec. 7.8。
^ 參見 Bertotti，Ciufolini & Bender（1987年）和更新的評論 Nordtvedt（2003年）。
^ 參見 Kahn（2007年）
^ 任務的介紹可見於 Everitt等作者（2001年）；飛行後的首次評估可見於 Everitt等作者（2007年）；更多更新即將見於此項任務的網站 Kahn（2012年）。
^ 例如參見 Townsend（1997年），sec. 4.2.1和 Ohanian & Ruffini（1994年），pp. 469–471.。
^ 例如參見 Ohanian & Ruffini（1994年），sec. 4.7和 Weinberg（1972年），sec. 9.7；更新的評論在 Schäfer（2004年）。
^ 例如參見 Ciufolini & Pavlis（2004年）和 Ciufolini，Pavlis & Peron（2006年）；參見參考系拖拽了解相關的爭論。
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^ 關於引力透鏡及其應用的概述參見 Ehlers，Falco & Schneider（1992年）和 Wambsganss（1998年）。
^ 關於引力透鏡效應的簡單推導參見 Schutz（2003年），ch. 23；以及 Narayan & Bartelmann（1997年），sec. 3。
^ 參見 Walsh，Carswell & Weymann（1979年）。
^ 所有這些已知的引力透鏡的照片都可以在CASTLES計劃中找到： Kochanek等作者（2007年）。
^ 相關概述參見 Roulet & Mollerach（1997年）。
^ 參見 Narayan & Bartelmann（1997年），sec. 3.7。
^ 重力波天文學的概述可參見 Barish（2005年）；以及 Bartusiak（2000年）和 Blair & McNamara（1997年）。
^ 重力波探測器概述可見於 Hough & Rowan（2000年）。
^ 參見 Danzmann & Rüdiger（2003年）。
^ LISA pathfinder overview. ESA [23-4-2012].
^ 參見 Thorne（1995年）。
^ 參見 Cutler & Thorne（2002年）。
^ 參見 Miller（2002年），lectures 19 and 21。
^ 例如參見 Celotti，Miller & Sciama（1999年），sec. 3。
^ 參見 Springel等作者（2005年） and the accompanying summary Gnedin（2005年）。
^ 參見 Blandford（1987年），section 8.2.4。
^ 關於這種機制的基本原理參見 Carroll & Ostlie（1996年），sec. 17.2；關於由這種機制形成的不同種類的天體的更多信息參見 Robson（1996年）。
^ 有關相對論性噴流的介紹參見 Begelman，Blandford & Rees（1984年）。有趣的是，對於一個距離遙遠的觀測者而言，某些相對論性噴流的速度看上去甚至超過了光速；但這其實是一種光學上的幻象而並不違反相對論，參見 Rees（1966年）。
^ 關於恆星演化的最終階段參見 Oppenheimer & Snyder（1939年），以及 Font（2003年），sec. 4.1包含了更多更新的數值計算成果；對於超新星爆發的過程仍有一些主要問題沒有被解決，參見 Buras等作者（2003年）；關於吸積和噴流形成的數值模擬，參見 Font（2003年），sec. 4.2。而引力透鏡效應則被認為在接收來自X射線脈衝星的信號中起到了一定作用，參見 Kraus（1998年）。
^ 這些證據包括通過對吸積驅動效應的觀測得到的星體緻密度的極限（「愛丁頓光度」），參見 Celotti，Miller & Sciama（1999年）；對我們的銀河系中心附近的恆星動力學觀測，參見 Schödel等作者（2003年）；對某些X射線暴（其中心星體往往是一顆中子星或黑洞）的研究表明宇宙中至少有某些緻密星體並沒有固態的表面，參見 Remillard等作者（2006年）及 Narayan（2006年），sec. 5；以及對銀河系中心的超大質量黑洞的事件視界的「陰暗」部分的搜索觀測正在積極進行中，參見 Falcke，Melia & Agol（2000年）.
^ 參見 Dalal等作者（2006年）。
^ 例如參見 Barack & Cutler（2004年）。
^ 參見 Carroll（2001年），ch. 2。
^ 參見 Bergström & Goobar（2003年），ch. 9–11；這些宇宙模型之所以能夠被認可，是由於觀測到的宇宙在大尺度（一億光年以上）上是均勻且各向同性的，參見 Peebles等作者（1991年）。
^ 例如參考來自WMAP的數據，參見 Spergel等作者（2003年）。
^ 這些檢驗來自於彼此獨立的觀測，例如參見 Bridle等作者（2003年）中圖2。
^ 參見 Peebles（1966年）；對這些預言的解釋參見 Coc等作者（2004年）；以及 Weiss（2006年）；對這些觀測的比較參見 Olive & Skillman（2004年）， Bania，Rood & Balser（2002年）， O Meara等作者（2001年）以及 Charbonnel & Primas（2005年）。
^ 回顧評論可見於 Lahav & Suto（2004年）和 Bertschinger（1998年）；更新的研究成果在 Springel等作者（2005年）。
^ 參見 Alpher & Herman（1948年），教學性的介紹參見 Bergström & Goobar（2003年），ch. 11；最早對微波背景輻射的觀測在 Penzias & Wilson（1965年），通過人造衛星所作的精確測量在 Mather等作者（1994年） (COBE)和 Bennett等作者（2003年） (WMAP)。未來的觀測還有可能揭示極早期宇宙誕生時就存在的重力波的一些證據；這些附加的信息包含在微波背景輻射的偏振中，參見 Kamionkowski，Kosowsky & Stebbins（1997年）和 Seljak & Zaldarriaga（1997年）。
^ 暗物質存在的證據：一部分來自於對宇宙學參數的確定以及對星系和星系團的一些觀測，參見 Peebles（1993年）的第十八章；一部分來自於引力透鏡，參見 Peacock（1999年），sec. 4.6；一部分來自對大尺度結構形成的模擬，參見 Springel等作者（2005年）。
^ 參見 Peacock（1999年），ch. 12和 Peskin（2007年）；特別地，觀測顯示除了少到可以忽略的一部分之外這些物質基本上不是由通常狀態下的基本粒子組成的（即它們並非強子組成的物質），參見 Peacock（1999年），ch. 12。
^ 也就是說，有些物理學家開始懷疑暗物質存在的證據是否其實是愛因斯坦理論（當然也包括牛頓理論）對引力的描述存在偏差的證明，關於這一猜測的概述參見 Mannheim（2006年），sec. 9。
^ 參見 Carroll（2001年）；概述可見於 Caldwell（2004年）。對於暗能量，有些科學家也認為暗能量並非是一種新的能量形式，而是我們的宇宙學模型需要修正，參見 Mannheim（2006年），sec. 10；不過這不一定意味著要對廣義相對論進行修正，而可以是我們對宇宙各向異性的處理方法需要修正，參見 Buchert（2007年）。
^ 關於暴漲模型有一篇很好的介紹： Linde（1990年）；以及一篇更近的回顧評論： Linde（2005年）。
^ 更準確地說，其中包括平坦問題、視界問題和單極矩問題；教學性介紹參見 Narlikar（1993年），sec. 6.4以及 Börner（1993年），sec. 9.1。
^ 參見 Spergel等作者（2007年），sec. 5 & 6。
^ 更具體地說，在暴漲的動力學中起到關鍵作用的勢能函數在現階段只是簡單推測來的，並沒有經過一個物理理論的推導。
^ 參見 Brandenberger（2007年），sec. 2。
^ 參見 Frauendiener（2004年）， Wald（1984年），section 11.1，以及 Hawking & Ellis（1973年），section 6.8 & 6.9。
^ 例如參見 Wald（1984年），sec. 9.2–9.4和 Hawking & Ellis（1973年），ch. 6.。
^ 參見 Thorne（1972年）；對更新的數值計算結果的解釋可見於 Berger（2002年），sec. 2.1。
^ 有關這一概念的演化介紹，參見 Israel（1987年）。 用更精確的數學描述來區別不同種類的視界，著名的包括事件視界和表面視界，可見於 Hawking & Ellis（1973年），pp. 312–320或 Wald（1984年），sec. 12.2；對於不需要在無限遠處時空性質的孤立系統，還存在直覺的定義，參見 Ashtekar & Krishnan（2004年）。
^ 初步知識參見 Israel（1971年）；相關推導參見 Hawking & Ellis（1973年），sec. 9.3或 Heusler（1996年），ch. 9 and 10；最近的研究成果回顧參見 Heusler（1998年）和 Beig & Chruściel（2006年）。
^ 黑洞力學定律首先是在 Bardeen，Carter & Hawking（1973年）中描述的；一個具有教學性的演示發言可見於 Carter（1979年）；更新的回顧評論參見 Wald（2001年）的第二章。涵蓋了所需要數學的較為全面詳細的介紹參見 Poisson（2004年）。關於潘洛斯過程參見 Penrose（1969年）。
^ 參見 Bekenstein（1973年）和 Bekenstein（1974年）。
^ 黑洞存在量子輻射的事實最早是在 Hawking（1975年）中推導出的；一個更全面的推導可見於 Wald（1975年）；相關回顧評論參見 Wald（2001年）第三章。
^ 參見 Narlikar（1993年），sec. 4.4.4 and 4.4.5。
^ 關於視界參見 Rindler（2001年），sec. 12.4； 關於盎魯效應參見 Unruh（1976年）, cf. Wald（2001年），chapter 3。
^ 參見 Hawking & Ellis（1973年），section 8.1， Wald（1984年），section 9.1。
^ 參見 Townsend（1997年），chapter 2；這一精確解的延伸處理參見 Chandrasekhar（1983年），chapter 3。
^ 參見 Townsend（1997年），chapter 4；這一精確解的延伸處理參見 Chandrasekhar（1983年），chapter 6。
^ 參見 Ellis & van Elst（1999年）；關於奇異點本身的探討參見 Börner（1993年），sec. 1.2。
^ 這是指束縛的零性表面（en:trapped null surface），參見 Penrose（1965年）。
^ 參見 Hawking（1966年）。
^ BKL假說是在 Belinskii，Khalatnikov & Lifschitz（1971年）中建立的；更新的回顧評論參見 Berger（2002年），以及 Garfinkle（2007年）。
^ 對未來奇異點的約束條件自然地排除了像大爆炸奇異點這樣的初始奇異點的存在可能，而這些奇異點原則上在經過一定宇宙學上的時間尺度後是可以被觀測者看到的。宇宙監督假說首先見於 Penrose（1969年）；教科書水平的解釋見於 Wald（1984年），pp. 302–305。更多的數值模擬結果參見評論 Berger（2002年），sec. 2.1。
^ 參見 Hawking & Ellis（1973年），sec. 7.1。
^ 參見 Arnowitt，Deser & Misner（1962年）；教學性介紹參見 Misner，Thorne & Wheeler（1973年），§21.4–§21.7。
^ Fourès-Bruhat（1952年） and Bruhat（1962年）；教學性介紹參見 Wald（1984年），ch. 10；在線的回顧評論參見 Reula（1998年）。
^ 參見 Gourgoulhon（2007年）；並參見數值相對論的基礎回顧 Lehner（2001年），其中還包含從愛因斯坦方程式特性引發的問題。
^ 參見 Misner，Thorne & Wheeler（1973年），§20.4。
^ 參見 Komar（1959年）；教學性介紹參見 Wald（1984年），sec. 11.2；儘管定義方法差別很大，對於定態時空而言可以證明它和ADM質量等價，參見 Ashtekar & Magnon-Ashtekar（1979年）。
^ 參見 Arnowitt，Deser & Misner（1962年）。
^ 教學性介紹參見 Wald（1984年），sec. 11.2。
^ 在 Wald（1984年）的第295頁給出了很多參考；這對於時空的穩定性問題而言非常重要——如果負質量態存在，那麼當平直的閔考斯基時空中的質量為零時將有可能向這些態演化。
^ 例如參見 Townsend（1997年），ch. 5。
^ 這樣的准局部的質量-能量定義包括霍金能量、Geroch能量，以及潘洛斯通過扭量方法定義的准局部能量-動量，參考評論 Szabados（2004年）。
^ 系統介紹量子理論的教科書有很多，如 Messiah（1999年）；更基礎的解釋可參見 Hey & Walters（2003年）。
^ 參見教科書 Ramond（1990年）， Weinberg（1995年）或 Peskin & Schroeder（1995年）；以及概述 Auyang（1995年）。
^ 參見 Wald（1994年）和 Birrell & Davies（1984年）。
^ 霍金輻射參見 Hawking（1975年）， Wald（1975年）黑洞蒸發的更基礎解釋參見 Traschen（2000年）。
^ 參見 Wald（2001年）第三章。
^ 簡單說來，物質是時空曲率的源，由於物質是量子化的，所以我們也期待時空也具有相應的量子性質，參見 Carlip（2001年）第二節。
^ 例如參見 Schutz（2003年）的第407ff頁。
^ 有關時間表和概述可見於 Rovelli（2000年）。
^ 參見 Donoghue（1995年）。
^ 有關重整化參見 Weinberg（1996年）的第十七和十八章；關於重整化對引力場在高能範圍內失效參見 Goroff & Sagnotti（1985年）。
^ 本科生水平的弦論介紹參見 Zwiebach（2004年）；更全面的介紹參見 Polchinski（1998a年）和 Polchinski（1998b年）。
^ 在當前的實驗所能達到的能量下，弦和點狀粒子仍然是無法區分的；但關鍵一點在於，同一種類的基本弦在不同的振動模式下所表現出來的粒子攜帶有不一樣的電荷，例如參見 Ibanez（2000年）。這一理論的成功之處是有一種振動模式總是能與引力的媒介子即引力子對應，例如參見 Green，Schwarz & Witten（1987年），sec. 2.3 and 5.3。
^ 例如參見 Green，Schwarz & Witten（1987年），sec. 4.2。
^ 例如參見 Weinberg（2000年），ch. 31。
^ 例如參見 Townsend（1996年）， Duff（1996年）。
^ Cf. section 3 in Kuchař（1973年）.
^ 這種變數用電場和磁場在數學上的類比來表示幾何引力，參見 Ashtekar（1986年）， Ashtekar（1987年）。
^ 回顧評論參見 Thiemann（2006年）；更詳細的解釋參見 Rovelli（1998年）， Ashtekar & Lewandowski（2004年）以及講義 Thiemann（2003年）。
^ 例如參見系統性的說明 Isham（1994年）和 Sorkin（1997年）。
^ 參見 Loll（1998年）。
^ 參見 Sorkin（2005年）。
^ 參見 Penrose（2004年）的第三十三章和其包含的參考文獻。
^ 參見 Hawking（1987年）。
^ 例如參見 Ashtekar（2007年）， Schwarz（2007年）。
^ 參見 Maddox（1998年），pp. 52–59 and 98–122， Penrose（2004年），section 34.1 and chapter 30。
^ 參見上文量子引力。
^ 參見上文宇宙學。
^ 參見 Nieto（2006年）。
^ 參見 Friedrich（2005年）。
^ 關於數值模擬的諸多問題，以及由此發展的解決技術的回顧評論參見 Lehner（2002年）。
^ 參見 Bartusiak（2000年）了解到2000年為止的重力波探測，更新的結果可見於各大重力波探測計劃主頁，例如GEO 600和LIGO。
^ 緻密雙星旋近的重力波偏振的相關論文參見 Blanchet等作者（2008年）和 Arun等作者（2007年）；緻密雙星的研究回顧評論參見 Blanchet（2006年） 和 Futamase & Itoh（2006年）；廣義相對論的實驗驗證概述參見 Will（2006年）。
^ 高度推薦在線的當代廣義相對論研究評論期刊Living Reviews in Relativity。
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