毫微之界 百折千迴
光年躍動 剎那相遇
心散光逸 魂凝闇黑
生逝愛憐 分離之間
於是
那 曾經記憶 無盡撕裂
原來 愛 情 俱祇宿命
在遇上 妳 之前
我心 早已為妳 碎裂千年
為了 將 妳 再次 凝定心中
心循 妳 離去的 軌跡
靜默 重逢
在 下一個 萬年 之間...
魂縈之界 祇為 心願
... ...
~星塵~:
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=202612173194551&set=a.157808494341586.30481.100003373093628&type=1&theater
那祇是一個偶然的機緣
若意念得為光速運作
在跨越這一個光年之前
重拾失落碎裂的片段
願結心田...
在得將身魂碎裂點點星塵...
自由飛翔...
重回她的身邊之前...
那路途依然漫長而遙遠...
*
惟親 為真
惟愛 情重
星月蒼穹之竟
謹願
無與 有情 無情
均蒙 眷顧 天憐
... ...
~~~~~
能階
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能階（英語：Energy level）理論是一種解釋原子核外電子運動軌道的一種理論。它認為電子只能在特定的、分立的軌道上運動，各個軌道上的電子具有分立的能量，這些能量值即為能階。電子可以在不同的軌道間發生躍遷，電子吸收能量可以從低能階躍遷到高能階或者從高能階躍遷到低能階從而輻射出光子。氫原子的能階可以由它的光譜顯示出來。
背景
19世紀末20世紀初，人類開始走進微觀世界，物理學家提出了許多關於原子機構的模型，這裡就包括拉塞福的核式模型。核式模型能很好地解釋實驗現象，因而得到許多人的支持；但是該模型與古典的電磁理論有著深刻的矛盾。
古典理論的局限
實驗事實表明：原子具有高度的穩定性，即使受到外界干擾，也很不易改變原子的屬性；且氫原子所發出的光譜為線狀光譜，與古典電磁理論得出的結論完全不同。
然而，按古典電磁理論，電子繞核轉動具有加速度，加速運動著的電荷(電子)要向周圍空間輻射電磁波，電磁波頻率等於電子繞核旋轉的頻率，隨著不斷地向外輻射能量，原子系統的能量逐漸減少，電子運動的軌道半徑也越來越小，繞核旋轉的頻率連續增大，電子輻射的電磁波頻率也在連續地變化，因而所呈現的光譜應為連續光譜。
由於電子繞核運動時不斷向外輻無線電磁波，電子能量不斷減少，電子將逐漸接近原子核，最後落於核上，這樣，原子應是一個不穩定系統。
新理論的提出
丹麥物理學家尼爾斯·波耳於1913年提出了自己的原子結構假說，認為圍繞原子核運動的電子軌道半徑只能取某些分立的數值，這種現象叫軌道的量子化，不同的軌道對應著不同的狀態，在這些狀態中，儘管電子在做高速運動，但不向外輻射能量，因而這些狀態是穩定的。原子在不同的狀態下有著不同的能量，所以原子的能量也是量子化的。
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量子力學
分子電子躍遷
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分子電子躍遷表示分子中價電子從一個能級因為吸收能量時，躍遷到一個更高的能級；或者或者釋放能量，躍遷到更低的能級的過程。如果起始能階的能量比最終能階的能量高，原子便會釋放能量（通常以電磁波的形式發放）。相反，如果起始能階的能量較低，原子便會吸收能量。釋放與吸收的能量等於這兩個能階的能量之差。
在此過程中的能量變化提供了分子結構的信息，並決定了許多分子性質如顏色。有關電子躍遷的能量和輻射頻率的關係由普朗克定律決定。
一般，我們應用電子躍遷來說明單個原子，或單原子分子。當討論多原子分子時，我們應用分子軌道理論。也可以視單個原子為單原子分子，將各種情況的電子躍遷統一到分子電子躍遷的框架下來。這裡的能級是基於分子軌道理論提出的。
有機化合物中的電子躍遷在電磁頻譜的紫外區或可見光區發生，可以由UV/VIS光譜測得。在HOMO σ帶處的光子可被激發到 LUMO 的σ帶。這個過程被寫作σ → σ*躍遷。同樣有電子從π鍵軌道激發至反π鍵軌道π*，寫作π → π*躍遷。助色團的自由電子對被寫為孤對電子n，孤電子對有自己的躍遷，如芳香π鍵躍遷。下列是已存在的分子電子躍遷：
σ → σ*
π → π*
n → σ*
n → π*
芳香 π → 芳香 π*
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分子物理學
光譜學
原子物理學
原子核
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圖為氦原子的原子及其原子核構想圖，在原子核當中（細圖），紅色代表質子，藍色代表中子。現實裡原子核亦為球形對稱。
原子核（英語：Atomic nucleus）是原子的組成部分，位於原子的中央，佔有原子的大部分質量。組成原子核的有中子和質子。當周圍有和其中質子等量的電子圍繞時，構成的是原子。原子核極其渺小，如果原子是一座大廈的大小，那麼原子核只像有大廈裡的一張桌子那麼大。
目錄
1 簡介
1.1 核組成
1.2 核的大小
1.3 同位素和核素
2 歷史
3 外部連結
簡介
核組成
原子核受核力影響由質子和中子（兩種重子）組成，這些重子進一步組成的亞原子粒子基本被稱為夸克的約束。
將質子和中子約束在原子核內的能量稱作束縛能，一般而言，原子量58到62的能量的束縛能最大，此即所謂的「鐵峰頂」。據目前所知，原子量小於62的元素，核融合反應會釋放能量，原子量大於62的元素，核分裂反應則釋放能量。
核的大小
原子核的尺度在10^{-15}m，與原子相比原子核很小，它的體積只佔原子體積的幾千億分之一。然而，在這極小的原子核里卻集中了約99.95％的原子質量。
同位素和核素
同位素的原子在原子核中同屬於某一化學元素，某一元素含有不同的中子數目，則稱為該元素的同位素。不同同位素的同一元素有著非常相似的化學性質。
歷史
發現電子的約瑟夫·湯姆森是第一位闡述原子的內部結構，其原子模型稱為梅子布丁模型，物理學家們還發現，三種類型的輻射來自原子，它們命名為α ， β ，和伽馬輻射。1911年由為莉澤·邁特納和奧托·哈恩，由詹姆斯·查德威克在1914年發現了β-衰變譜是連續而非離散。
外部連結
The Nucleus - a chapter from an online textbook
SCK.CEN Belgian Nuclear Research Centre Mol, Belgium
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粒子
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核化學
原子核物理學
亞原子粒子
放射化學
分子軌道理論
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π分子軌道
分子軌道理論（MO理論）是處理雙原子分子及多原子分子結構的一種有效的近似方法，是化學鍵理論的重要內容。它與價鍵理論不同，後者著重於用原子軌道的重組雜化成鍵來理解化學，而前者則注重於分子軌道的了解，即認為分子中的電子圍繞整個分子運動。[1]
計算化學中常以原子軌道線性組合近似來計算分子軌道波函數：[2]
\psi_j = \sum_{i=1}^{n} c_{ij} \chi_i
式中的cij係數可由將等式代入薛丁格方程以及應用變分原理求得。簡單地講，該方法意即，分子軌道由原子軌道組合而成。原子軌道波函數各乘以某一係數相加或相減，得到分子軌道波函數。組合時原子軌道對分子軌道的貢獻體現在係數上，組合前後軌道總數不變。
利用分子軌道理論與價鍵理論通常只是從一個問題的兩個方面去看問題，常常會得到相同的結論。只是有時分子軌道理論的思想與計算過於複雜，在研究簡單問題時，價鍵理論反而更顯得簡單明瞭。
目錄
1 簡介
1.1 分子軌道的類型和符號
2 參見
3 參考資料
4 外部連結
簡介
化學主題 化學主題首頁
分子軌道理論認為，分子軌道由原子軌道線性組合得到，分布在整個分子之中。分子軌道僅僅是一個薛丁格軌道，包含數個（通常只有兩個）原子核。由此可衍生出成鍵、反鍵和非鍵軌道的概念：
如果組合得到的分子軌道能量比組合前原子軌道能量之和低，換句話說，原子核間電子云密度增大，那麼所得分子軌道稱作成鍵軌道；
如果組合得到的分子軌道能量比組合前原子軌道能量之和高，即原子核間電子云密度減小，則稱作反鍵軌道，以*標註；
如果組合得到的分子軌道能量與組合前原子軌道能量之和相差不大，軌道上的電子對分子鍵合沒有貢獻，那麼該分子軌道則稱作非鍵軌道，常以n標註。
分子軌道法的基本要點，即LCAO-MO法的基本原則包括：
對稱性匹配原則：原子軌道必須具有相同的對稱性才能組合成分子軌道，參見對稱運算。
最大重疊原則：原子軌道重疊程度越大，形成的化學鍵也越強。
能量相近原則：能量相近的原子軌道才能組合成有效的分子軌道。
除了遵照LCAO-MO的三條基本規則外，電子填充規則也適用於分子軌道理論：能量最低原則、泡利不相容原理以及洪特規則。
鍵級被定義為分子中成鍵電子總數減去反鍵電子總數再除以2得到的純數，是分子穩定性的量度。鍵級大於零是分子存在的前提。
分子軌道的類型和符號
各種分子軌道具有不同的對稱性，可依此將其分為σ、π與δ三種類型。
σ分子軌道：對鍵軸呈圓柱形對稱，成鍵σ軌道如σg1s為中心對稱，反鍵σ軌道如σu1s為中心反對稱。
π分子軌道：對平面xy反對稱，只有一個含鍵軸的節面，對節面呈反對稱性。
δ分子軌道：通過鍵軸節面的分子軌道，對兩個節面都呈反對稱性。
參見
從頭計算
原子軌道
組態疊加
偶合簇
Hartree-Fock
分子軌道
MO圖，分子軌道能級順序圖
Møller-Plesset微擾理論
半經驗量子化學分析
參考資料
^ Daintith, J. (2004). Oxford Dictionary of Chemistry. New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-860918-3.
^ Licker, Mark, J. (2004). McGraw-Hill Concise Encyclopedia of Chemistry. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-143953-6.
外部連結
分子軌道理論 - Purdue University
分子軌道理論 - Sparknotes
分子軌道理論 - Mark Bishop s Chemistry Site
MO理論介紹 - Queen Mary, London University
分子軌道理論相關術語表
3个分类:
化學理論
量子化學
分子軌道理論
原子軌域
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原子軌域（英語：atomic orbital），又稱軌態，是以數學函數描述原子中電子似波行為[1][2]。此波函數可用來計算在原子核外的特定空間中，找到原子中電子的機率，並指出電子在三維空間中的可能位置[1][3]。「軌域」便是指在波函數界定下，電子在原子核外空間出現機率較大的區域。具體而言，原子軌域是在環繞著一個原子的許多電子（電子雲）中，個別電子可能的量子態，並以軌域波函數描述。
現今普遍公認的原子結構是波耳氫原子模型：電子像行星，繞著原子核（太陽）運行。然而，電子不能被視為形狀固定的固體粒子，原子軌域也不像行星的橢圓形軌道。更精確的比喻應是，大範圍且形狀特殊的「大氣」（電子），分布於極小的星球（原子核）四周。只有原子中存在唯一電子時，原子軌域才能精準符合「大氣」的形狀。當原子中有越來越多電子時，電子越傾向均勻分布在原子核四周的空間體積中，因此「電子雲」[4]越傾向分布在特定球形區域內（區域內電子出現機率較高）。
電子的原子與分子軌域。軌域圖表（左圖）是依照能階排序（見構造原理）。原子軌域是一系列波函數，由三個變數所組成：其中兩個與角度有關，一個描述電子距原子核的距離：「r」。此圖可解釋軌域的角度分布，但不能完全代表軌域整體。
電腦推估的n=6、l=0、m=0氫原子軌域。圖為6s軌域。當n > 1時，s軌域也會出現如p、d和f軌域的節點。然而，只有s軌域必存在一個中心反節點，其他軌域則否。
早在1904年，日本物理學家長岡半太郎首度發表電子以類似環繞軌道的方式在原子內運轉的想法[5]。1913年，丹麥物理學家尼爾斯·波耳提出理論，主張電子以固定的角動量環繞著體積極小的原子核運行[6]。然而，一直到1926年、量子力學發展後，薛丁格方程式才解釋了原子中的電子波動，定下關於新概念「軌域」的函數[1][7]。
由於這個新概念不同於古典物理學中的軌道想法，1932年美國化學家羅伯特·馬利肯提出以「軌域」（orbital）取代「軌道」（orbit）一詞[8]。原子軌域是單一原子的波函數，使用時必須代入n（主量子數）、l（角量子數）、m（磁量子數）三個量子化參數，分別決定電子的能量、角動量和方位，三者統稱為量子數[1]。每個軌域都有一組不同的量子數，且最多可容納兩個電子。s軌域、p軌域、d軌域、f軌域則分別代表角量子數 l =0, 1, 2, 3的軌域，表現出如右圖的軌域形狀及電子排布。它的名稱源於對其原子光譜特徵譜線外觀的描述，分為銳系光譜（sharp）、主系光譜（principal）、漫系光譜（diffuse）、基系光譜（fundamental），其餘則依字母序命名（跳過 j）[9][10]。
在原子物理學的運算中，複雜的電子函數常被簡化成較容易的原子軌域函數組合。雖然多電子原子的電子並不能以「一或二個電子之原子軌域」的理想圖像解釋，它的波函數仍可以分解成原子軌域函數組合，以原子軌域理論進行分析；就像在某種意義上，由多電子原子組成的電子雲在一定程度上仍是以原子軌域「構成」，每個原子軌域內只含一或二個電子。
目錄
1 層次分別
1.1 電子層
1.2 亞電子層
1.3 電子層一覽
1.4 軌域
1.5 電子
2 參見
3 參考資料
4 外部連結
層次分別
電子層
最簡單的電子分佈，以電子層由內至外來算，即是，距離核子的第n層電子層，可容納最多2n2個電子。 （電子層數即主量子數n。）
由內至外電子層次序 電子層符號 主量子數n 亞電子層數目 可容納電子數目2n2
1st K 1 1 2
2nd L 2 2 8
3rd M 3 3 18
4th N 4 4 32
5th O 5 5 50
（註：雖然第三`四`五層的電子層可容納電子數目分別為18和32和50，但是它們通常未擠滿電子。例如鉀（K）原子有19個電子，第一層(1s)有2個，第二層(2s2p)有8個，第三層卻不是放進9個電子，而是第三層(3s3p)只放進8個電子，再在第四層(4s)放進1個電子。）
亞電子層
電子層可再細分成亞電子層，其中又以形狀分成四種（隨新元素之發現，往後可能會有第五種），亞電子層也正是原子軌域的集合：
由內至外亞電子層次序 亞電子層名稱 角量子數l 形狀 軌域數目 電子數目 字母意思
1st s 0 球形 1 2 s 指 Sharp ，銳系光譜
2nd p 1 雙啞鈴形或吊鐘形 3 6 p 指 Principal ，主系光譜
3rd d 2 四啞鈴形或吊鐘形 5 10 d 指 Diffused ，漫系光譜
4th f 3 六啞鈴形或吊鐘形 7 14 f 指 Fundamental ，基系光譜
5th g 4 八啞鈴形或吊鐘形（？） 9 18 名稱開始依字母排列
6th h 5 未發現 ？ 11 22 未命名
電子層一覽
s (l=0) p (l=1) d (l=2) f (l=3)
m=0 m=0 m=±1 m=0 m=±1 m=±2 m=0 m=±1 m=±2 m=±3
s pz px py dz2 dxz dyz dxy dx2-y2 fz3 fxz2 fyz2 fxyz fz(x2-y2) fx(x2-3y2) fy(3x2-y2)
n=1 S1M0.png
n=2 S2M0.png P2M0.png P2M1.png P2M-1.png
n=3 S3M0.png P3M0.png P3M1.png P3M-1.png D3M0.png D3M1.png D3M-1.png D3M2.png D3M-2.png
n=4 S4M0.png P4M0.png P4M1.png P4M-1.png D4M0.png D4M1.png D4M-1.png D4M2.png D4M-2.png F4M0.png F4M1.png F4M-1.png F4M2.png F4M-2.png F4M3.png F4M-3.png
n=5 S5M0.png P5M0.png P5M1.png P5M-1.png D5M0.png D5M1.png D5M-1.png D5M2.png D5M-2.png . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=6 S6M0.png P6M0.png P6M1.png P6M-1.png . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=7 S7M0.png . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s軌域是圍繞原子核旋轉的電子軌域中最靠近核的一層軌域，包含兩個電子。
軌域間的互相作用可引致更複雜的混合形狀，例如在烷烴中的雜化。
前五大原子軌道形狀(1s, 2s, 2px, 2py, 以及 2pz)，顏色顯示出波函數的階段。
（亞電子層的「級數」即角量子數l ，以s軌域由0開始。）
軌域
亞電子層中再分的電子組合，一個軌域只能容納一對電子。在亞電子層內，軌域數目必為奇數，如下表所示。每個軌域以磁量子數m代表。
由內至外亞電子層次序 亞電子層名稱 角量子數l 軌域數目 電子數目 軌域的磁量子數m
1st s 0 1 2 0
2nd p 1 3 6 -1, 0 , +1
3rd d 2 5 10 -2, -1, 0, +1, +2
4th f 3 7 14 -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3
5th g 4 9 18 -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4
6th h 5 11 22
-5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4,+5
電子
每個軌域裡最多載有2個電子。當正好有兩個電子處於一個軌域時，該對電子的轉向必定相反。 （電子在原子軌域中的轉向即自旋量子數s ，只有+1/2（符號為\upharpoonleft）和-1/2（符號為\downharpoonright）兩值、「上轉」和「下轉」之分。）
參見
量子
電子層
電子排布
參考資料
^ 1.0 1.1 1.2 1.3 陳藝菁、張祖辛，原子軌域（Atomic orbital），國科會高瞻計畫資源平台。2010年12月11日查閱。
^ Milton Orchin,Roger S. Macomber, Allan Pinhas, and R. Marshall Wilson(2005)"Atomic Orbital Theory"
^ Daintith, J.. Oxford Dictionary of Chemistry. New York: Oxford University Press. 2004. ISBN 0-19-860918-3.
^ The Feynman Lectures on Physics -The Definitive Edition, Vol 1 lect 6 pg 11. Feynman, Richard; Leighton; Sands. (2006) Addison Wesley ISBN 0-8053-9046-4
^ Nagaoka, Hantaro. Kinetics of a System of Particles illustrating the Line and the Band Spectrum and the Phenomena of Radioactivity. Philosophical Magazine. May 1904, 7: 445–455.
^ Bohr, Niels. On the Constitution of Atoms and Molecules. Philosophical Magazine. 1913, 26 (1): 476.
^ Bryson, Bill. A Short History of Nearly Everything. Broadway Books. 2003: 141–143. ISBN 0-7679-0818-X.
^ Mulliken, Robert S.. Electronic Structures of Polyatomic Molecules and Valence. II. General Considerations. Phys. Rev.. July 1932, 41 (1): 49–71. doi:10.1103/PhysRev.41.49.
^ Griffiths, David. Introduction to Quantum Mechanics. Prentice Hall. 1995: 190–191. ISBN 0-13-124405-1.
^ Levine, Ira. Quantum Chemistry. 5. Prentice Hall. 2000: 144–145. ISBN 0-13-685512-1.
外部連結
原子軌域介紹（英文）
共價鍵及原子結構（英文）
所有原子軌域的圖像（英文）
原子軌域的靜態圖像（英文）
Orbital Viewer（英文）
Java orbital viewer applet（英文）
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查 · 論 · 編
原子模型
2个分类：
化學鍵
原子物理學
分子軌道
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H2分子的1s σ成鍵分子軌道。
乙炔（H-C≡C-H）的分子軌道。
分子軌道（Molecular orbital，MO）是分子軌道理論的一個核心概念，指電子在分子中的運動區域，[1] 該概念首先由弗里德里希·洪德和羅伯特·桑德森·馬利肯在1927-1928年引入。[2][3]
電子在分子中的空間運動狀態可以用分子軌道波函數（ψ，薛丁格方程的數學解）描述，藉助Hartree-Fock方程或自洽場方法可對其作定量近似。
定性上看，分子軌道由原子軌道線性組合（LCAO-MO法）獲得，組合後的分子軌道數目與組合前的原子軌道數目相等。
參見
分子軌道理論
原子軌道
分子軌道能級順序圖，也稱MO圖
計算化學 - 量子化學
電子構型 - HOMO/LUMO
參考資料
^ Daintith, J.. Oxford Dictionary of Chemistry. New York: Oxford University Press. 2004. ISBN 0-19-860918-3.
^ Friedrich Hund and Chemistry, Werner Kutzelnigg, on the occasion of Hund s 100th birthday, Angewandte Chemie, 35, 573 - 586, (1996)
^ Robert S. Mulliken s Nobel Lecture, Science, 157, no. 3785, 13 - 24, (1967)
外部連結
幾個介紹分子軌道的網址：[1]、[2]、[3]、[4]
Chem template.svg 分子軌道是一個與化學相關的小作品。你可以透過編輯或修訂擴充其內容。
Sciences exactes.svg 分子軌道是一個與原子物理學或分子物理學相關的小作品。你可以透過編輯或修訂擴充其內容。
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量子化學
分子軌道理論
普朗克黑體輻射定律
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普朗克定律描述的黑體輻射在不同溫度下的頻譜
物理學中，普朗克黑體輻射定律（也簡稱作普朗克定律或黑體輻射定律）（英文：Planck s law, Blackbody radiation law）是用於描述在任意溫度T\,下，從一個黑體中發射的電磁輻射的輻射率與電磁輻射的頻率的關係公式。這裡輻射率是頻率\nu的函數[1]：
I(\nu,T) =\frac{2 h\nu^{3}}{c^2}\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1}
這個函數在h\nu = 2.82kT\,時達到峰值[2]。
如果寫成波長的函數，在單位立體角內的輻射率為[3]
I(\lambda,T) =\frac{2 hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1}
注意這兩個函數具有不同的單位：第一個函數是描述單位頻率間隔內的輻射率，而第二個則是單位波長間隔內的輻射率。因而I(\nu,T) 和I(\lambda,T)並不等價。它們之間存在有如下關係：
I(\nu,T)\,d\nu= - I(\lambda,T)\,d\lambda
通過單位頻率間隔和單位波長間隔之間的關係，這兩個函數可以相互轉換：
d\nu=d\left(\frac{c}{\lambda}\right)=c\,d\left(\frac{1}{\lambda}\right)= - \frac{c}{\lambda ^2}\,d\lambda
下表中給出了函數中每一個物理量的意義和單位：
物理量 含義 國際單位制 厘米-克-秒制
I \, 輻射率，在單位時間內從單位表面積和單位立體角內以單位頻率間隔或單位波長間隔輻射出的能量 焦耳·秒-1·米-2·球面度 -1·赫茲-1，或焦耳·秒-1·米-2·球面度- 1·米-1 爾格·秒-1·厘米-2·赫茲-1·球面度-1
\nu \, 頻率 赫茲 (Hz) 赫茲
\lambda \, 波長 米 (m) 厘米（cm）
T \, 黑體的溫度 克耳文 (K) 克耳文
h \, 普朗克常數 焦耳·秒 (J·s) 爾格·秒（erg·s）
c \, 光速 米/秒 (m/s) 厘米／秒（cm/s）
e \, 自然對數的底，2.718281... 無因次 無因次
k \, 波茲曼常數 焦耳／克耳文 (J/K) 爾格／克耳文 (erg/K)
目錄
1 概述
2 推導
3 歷史
4 附錄
5 參考文獻
6 參見
7 延伸閱讀
8 外部連結
概述
德國物理學家馬克斯·普朗克
電磁波波長和頻率的關係為[4]
\lambda = { c \over \nu }.
普朗克定律有時寫做能量密度頻譜的形式[5]：
u(\nu,T) = { 4 \pi \over c } I(\nu,T) = \frac{8\pi h\nu^3 }{c^3}~\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1},
這是指單位頻率在單位體積內的能量，單位是焦耳／（立方米·赫茲）。對全頻域積分可得到與頻率無關的能量密度。一個黑體的輻射場可以被看作是光子氣體，此時的能量密度可由氣體的熱力學參數決定。
能量密度頻譜也可寫成波長的函數
u(\lambda,T) = {8\pi h c\over \lambda^5}{1\over e^{\frac{h c}{\lambda kT}} - 1},
普朗克定律（綠）、維因近似（藍）和瑞立-金斯定律（紅）在頻域下的比較，可見維因近似在高頻區域和普朗克定律相符，瑞立-金斯定律在低頻區域和普朗克定律相符。
馬克斯·普朗克於1900年建立了黑體輻射定律的公式，並於1901年發表[6]。其目的是改進由威廉·維因提出的維因近似（至於描述黑體輻射的另一公式：由瑞立勛爵和金斯爵士提出的瑞立-金斯定律，其建立時間要稍晚於普朗克定律。由此可見瑞立-金斯公式所導致的「紫外災難」並不是普朗克建立黑體輻射定律的動機，參見後文敘述）。維因近似在短波範圍內和實驗數據相當符合，但在長波範圍內偏差較大；而瑞立-金斯公式則正好相反。普朗克得到的公式則在全波段範圍內都和實驗結果符合得相當好。在推導過程中，普朗克考慮將電磁場的能量按照物質中帶電振子的不同振動模式分布。得到普朗克公式的前提假設是這些振子的能量只能取某些基本能量單位的整數倍，這些基本能量單位只與電磁波的頻率\nu\,有關，並且和頻率\nu\,成正比。
E=h\nu.\,
這即是普朗克的能量量子化假說，這一假說的提出比愛因斯坦為解釋光電效應而提出的光子概念還要至少早五年。然而普朗克並沒有像愛因斯坦那樣假設電磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他認為這種量子化只不過是對於處在封閉區域所形成的腔（也就是構成物質的原子）內的微小振子而言的，用半古典的語言來說就是束縛態必然導出量子化。普朗克沒能為這一量子化假設給出更多的物理解釋，他只是相信這是一種數學上的推導手段，從而能夠使理論和經驗上的實驗數據在全波段範圍內符合。不過最終普朗克的量子化假說和愛因斯坦的光子假說都成為了量子力學的基石。
推導
下面的推導並非普朗克的原始推導（來源[5]），需要用到電動力學、量子力學和統計力學的有關概念。
考慮一個充滿了電磁輻射的邊長為L\,的立方體：根據古典電動力學，在立方體壁表面的邊界條件為電場的平行分量和磁場的垂直分量都為零。類似於處於束縛態的粒子的波函數，立方體內部的電磁場也是滿足邊界條件的周期性本徵函數的線性疊加，在垂直於立方體壁表面的三個方向上各個本徵函數的波長分別為\lambda_{1}, \lambda_{2}和\lambda_{3},
\lambda_{i} = \frac{2L}{n_{i}},
這裡n_{i}是非負整數。對於每一組n_{i}值都有兩個線性無關的解（兩種不同的模）。根據量子力學中的諧振子理論，任意模式下的系統能級為
E_{n_{1},n_{2},n_{3}}\left(r\right)=\left(r+\frac{1}{2}\right)\frac{hc}{2L}\sqrt{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}. \qquad \mbox{(1)}
這裡量子數r\,可看作是立方體中的光子數，而兩種不同模式對應的是光子的兩種偏振態。注意到當光子數為零時能級不為零，這種電磁場的真空能量是一種量子效應，是產生卡西米爾效應的原因。下面我們計算在溫度T\,下光子數為零時系統處於真空狀態下的內能。
根據統計力學，在特定模式下不同能級的機率分布由下式給出
P_{r}=\frac{\exp\left( - \beta E\left(r\right)\right)}{Z\left(\beta\right)}.
這裡
\beta\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 1/\left(kT\right).
分母Z(\beta)\,是系統在特定模式下的配分函數，它能夠使機率分布P_r\,歸一化。對正則系綜有
Z\left(\beta\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\exp\left[-\beta E\left(r\right)\right]=\frac{1}{1 - \exp\left[ - \beta\varepsilon\right]}.
這裡我們定義單個光子的能量為
\varepsilon\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{hc}{2L}\sqrt{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}},
系統的平均能量和配分函數的關係為
\left\langle E\right\rangle=-\frac{d\log\left(Z\right)}{d\beta}=\frac{\varepsilon}{\exp\left(\beta\varepsilon\right) - 1}.
這個公式是玻色-愛因斯坦統計的一個特例。由於光子是玻色子，任一能級對光子的數量沒有限制，系統的化學勢為零。
系統的總能量是平均能量\left\langle E\right\rangle對所有可能的單光子態求和。考慮在熱力學極限下，立方體邊長L\,趨於無窮大，這時單光子能量\varepsilon近似成為連續值，我們將平均能量\left\langle E\right\rangle對單光子的連續能量積分就可以得到系統的總能量，這就需要我們首先確定在任意給定的能量範圍內具有多少個光子態。假設處於能級\varepsilon和\varepsilon + d\varepsilon的單光子態總數為g(\varepsilon)\,d\varepsilon（這裡g(\varepsilon)是所謂光子的能態密度，其具體表達式還需另行計算），則系統的總能量為
U = \int_{0}^{\infty}\frac{\varepsilon}{\exp\left(\beta\varepsilon\right) - 1}g(\varepsilon)\,d\varepsilon. \qquad \mbox{(2)}
為計算光子能態密度的表達式，我們將（1）式重寫成
\varepsilon\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{hc}{2L}n,
這裡n\,是向量\vec{n}=\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)的模
n=\sqrt{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}.
每一個向量都對應有兩個光子態，換句話說，在給定的一個由向量\vec{n}=\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)構成的希爾伯特空間中的光子態總數是這個空間體積的2倍。一個微小的能量區間d\varepsilon對應著這個希爾伯特空間中一個薄球殼的厚度dn= (2L/hc) d\varepsilon。由於向量\vec{n}的分量不能為負值，能量區間實際上只能對應整個薄球殼總體積的1/8（這是因為向量有三個分量，每一個分量都為正數時的機率為1/8）。因而在能量區間d\varepsilon上光子態總數g(\varepsilon)\,d\varepsilon為
g(\varepsilon)\,d\varepsilon=2\frac{1}{8}4\pi n^{2}\,dn=\frac{8\pi L^{3}}{h^{3}c^{3}}\varepsilon^{2}\,d\varepsilon.
將這個表達式代入（2）式，得到
U =L^{3}\frac{8\pi}{h^{3}c^{3}}\int_{0}^{\infty}\frac{\varepsilon^{3}}{\exp\left(\beta\varepsilon\right) - 1}\,d\varepsilon. \qquad \mbox{(3)}
注意到L\,的三次方是立方體體積，因此可直接得到能量密度的表達式，將它寫成頻率的頻譜函數u(\nu,T)
\frac{U}{L^3} = \int_0^{\infty}u(\nu,T)\, d\nu,
其中
u(\nu,T) = {8\pi h\nu^3\over c^3}{1\over e^{h\nu/kT} - 1}.
這裡u(\nu,T)即是黑體輻射的能量頻譜密度，其意義為單位頻率在單位體積內的能量。
如果寫成波長的函數，
\frac{U}{L^3} = \int_0^\infty u(\lambda,T)\, d\lambda,
其中
u(\lambda,T) = {8\pi h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda kT} - 1}.
這是黑體輻射的能量密度頻譜的另一種形式，其意義為單位波長在單位體積內的能量。在玻色或費米氣體情形下對這一函數積分需要用到多對數函數展開。但這裡可以用初等函數的辦法得到一個近似形式，數學上做代換
\varepsilon = kTx,
積分變數從而可寫成如下形式
u(T) =\frac{8\pi (kT)^{4}}{(hc)^{3}} J,
其中J的表達式為
J=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{\exp\left(x\right) - 1}\,dx = \frac{\pi^{4}}{15}.
這一積分結果將後文附錄中做說明。因而得到立方體中電磁場的總能量為
{U\over V} = \frac{8\pi^5(kT)^4}{15 (hc)^3},
其中V=L^3\,是立方體體積（注意：這個表達式不是斯特凡-波茲曼定律，它的含義並不是理想黑體在單位時間內從單位表面積輻射出的總能量，參見斯特凡-波茲曼定律條目）。由於輻射各向同性，並且以光速傳播，能量的輻射率（單位時間單位表面積單位立體角單位頻率下輻射的能量）為
I(\nu,T) = \frac{u(\nu,T)\,c}{4\pi},
從而得到普朗克黑體輻射定律
I(\nu,T) = \frac{2 h\nu^3 }{c^2}~\frac{1}{e^{h\nu/kT} - 1}.
歷史
參見：光子、能量均分定理及紫外災難
很多有關量子理論的大眾科普讀物，甚至某些物理學課本，在討論普朗克黑體輻射定律的歷史時都犯了嚴重的錯誤。儘管這些錯誤概念在四十多年前就已經被物理學史的研究者們指出，事實證明它們依然難以被消除。部分原因可能在於，普朗克最初量子化能量的動機並不是能用三言兩語就能夠道清的，這裡面的原因在現代人看來相當複雜，因而不易被外人所理解[7]。丹麥物理學家Helge Kragh曾發表過一篇文章清晰地闡述了這種錯誤是如何發生的[8]。
「紫外災難」：在古典統計理論中，能量均分定理預言黑體輻射的強度在紫外區域會發散至無窮大，這和事實嚴重違背
首先是儘管普朗克給出了量子化的電磁波能量表達式，普朗克並沒有將電磁波量子化，這在他1901年的論文以及這篇論文對他早先文獻的引用中就可以看到[6]。他還在他的著作《熱輻射理論》（Theory of Heat Radiation）中平淡無奇地解釋說量子化公式中的普朗克常數（現代量子力學中的基本常數）只是一個適用於赫茲振蕩器的普通常數。真正從理論上提出光量子的第一人是於1905年成功解釋光電效應的愛因斯坦，他假設電磁波本身就帶有量子化的能量，攜帶這些量子化的能量的最小單位叫光量子。1924年薩特延德拉·納特·玻色發展了光子的統計力學，從而在理論上推導了普朗克定律的表達式。
另一錯誤概念是，普朗克發展這一定律的動機並不是試圖解決「紫外災難」。「紫外災難」這一名稱是保羅·埃倫費斯特於1911年提出的，從時間上看這比普朗克定律的提出要晚十年之久。紫外災難是指將古典統計力學的能量均分定理應用於一個空腔中的黑體輻射（又叫做空室輻射或具空腔輻射）時，系統的總能量在紫外區域將變得發散並趨於無窮大，這顯然與實際不符。普朗克本人從未認為能量均分定理永遠成立，從而他根本沒有覺察到在黑體輻射中有任何「災難」存在——不過僅僅過了五年之後，這一問題隨著愛因斯坦、瑞立勛爵和金斯爵士的發現而就變得尖銳起來。
附錄
參見：黎曼ζ函數及Γ函數
有一個簡便方法計算下面的積分
J=\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x - 1}\,dx
我們可以首先用x^n\,替換式中的x^3\,，計算一般形式下的積分
\int_{0}^{\infty}\frac{x^n}{e^x - 1}\,dx = \int_{0}^{\infty}\frac{x^n e^{ - x}}{1 - e^{ - x}}\,dx
由於分母總是小於1，我們可以將它按e^{-x}展開寫成收斂的幾何級數
\frac{1}{1 - e^{ - x}} = \sum_{k=0}^{\infty} e^{-kx}.
這就是幾何級數的求和公式。等號左邊的表達式正是右邊的1 + e^{ - x} + e^{ - 2x} + e^{ - 3x} + \cdots.求和結果，右邊的幾何級數公比為e^{-x}.
從而得到
\int_{0}^{\infty}x^{n} e^{ - x} \sum_{k=0}^{\infty} e^{ - kx}\,dx.
表達式乘以e^{-x}後相當於將e^{ - x} + e^{ - 2x} + e^{ - 3x} + \cdots變成e^{ - 2x} + e^{ - 3x} + e^{ - 4x} + \cdots，因而我們將求和符號中的序號加1，並消去原先的e^{ - x}:
\int_{0}^{\infty}x^{n} \sum_{k=1}^{\infty} e^{ - kx}\,dx.
通過變數替換u = kx，我們得到x^n = \frac{u^n}{k^n}以及dx = \frac{du}{k}，積分式進一步寫成
\int_{0}^{\infty}\frac{u^n}{k^n} \sum_{k=1}^{\infty} e^{-u}\frac{du}{k}
即
\int_{0}^{\infty}u^n \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{n + 1}} e^{ - u}du.
形如上式的積分是收斂的，我們將求和的部分移到積分之外：
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{n+1}} \int_{0}^{\infty}u^{n} e^{ - u}\,du.
前面的求和係數正是黎曼ζ函數 \zeta(n+1)，而後面的積分正是Γ函數 \Gamma(n+1) 。從而我們得到一個一般的關係式：
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x - 1}\,dx = \zeta(n+1) \Gamma{\left(n+1\right)}.
或等價為
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n - 1}}{e^x - 1}\,dx = \zeta{\left(n\right)} \Gamma{\left(n\right)}.
對於我們所需要的積分，積分式的分子為x^3，因此代入上面等式中得到
J=\zeta{\left(4\right)} \Gamma{\left(4\right)} = \frac{\pi^{4}}{90} \times 6 = \frac{\pi^4}{15}.
這裡我們用到了
\zeta{\left(4\right)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}
是黎曼ζ函數中變數等於4時的特殊形式，其值為\pi^{4}/90；而對正整數變數而言\Gamma(n+1) = n!\,（參見黎曼ζ函數和Γ函數的有關性質）。
參考文獻
^ Rybicki; Lightman, 缺乏參考資料名稱. 1979: 22
^ Kittel, Thermal Physics p98
^ Rybicki; Lightman, 缺乏參考資料名稱. 1979: 22
^ Rybicki; Lightman, 缺乏參考資料名稱. 1979: 1
^ 5.0 5.1 Brehm, J.J. and Mullin, W.J., "Introduction to the Structure of Matter: A Course in Modern Physics," (Wiley, New York, 1989) ISBN 0-471-60531-X.
^ 6.0 6.1 Planck, Max, "On the Law of Distribution of Energy in the Normal Spectrum". Annalen der Physik, vol. 4, p. 553 ff (1901)
^ 關於究竟是什麼動機致使普朗克建立了量子化的能量這一歷史爭論，請參看
Kuhn, Thomas. Black-Body Theory and the Quantum Discontinuity: 1894-1912. Clarendon Press, Oxford. 1978. ISBN 0-226-45800-8.
Galison, Peter. Kuhn and the Quantum Controversy. British Journal for the Philosophy of Science. 1981, 32 (1): 71–85.
^ Kragh, Helge Max Planck: The reluctant revolutionary Physics World, December 2000.
Rybicki, G. B.; Lightman, A. P., Radiative Processes in Astrophysics, New York: John Wiley & Sons. 1979, ISBN 0-471-82759-2
Thornton, Stephen T., Andrew Rex. Modern Physics. USA: Thomson Learning. 2002. ISBN 0-03-006049-4.
參見
黑體 (熱力學)
維因位移定律
維因近似
瑞立-金斯定律
盒中氣體
延伸閱讀
Peter C. Milonni. The Quantum Vacuum. Academic Press. 1994.
YAN Kun. Zero-point energy equation and average energy equation at negative absolute temperature. DOI:10.3969/j.issn.1004-2903.2011.01.018
外部連結
國立交通大學物理系視聽教學：普朗克定律。
Summary of Radiation
Radiation of a Blackbody - interactive simulation to play with Planck s law
Scienceworld entry on Planck s Law
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統計物理學
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