窗外 他 以生命泛動那聲聲鳴唱
我 將心縈動於那共鳴泛震的交界
在 雙迴 三迭 交會的原點
我回憶起那初次的相會
未意 離別的序曲
早已譜下 遠在我们相遇之前
我專注的 將那點滴失落 重新凝聚
將意念 散向 那頻率 泛縈的邊界
期待 夢中 萬年之後
與妳 再次 相遇
... ...
因為 分離
卻讓我將妳 永遠留在心里
... ...
妳之所在 愛已逝去
而 情 凝心
未曾 須臾 離去
... ...
~星塵~:
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蟬
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蟬
爺蟬的近距離照片
爺蟬的近距離照片
科學分類
界： 動物界 Animalia
門： 節肢動物門 Arthropoda
綱： 昆蟲綱 Insecta
目： 半翅目 Hemiptera
亞目： 同翅亞目 Homoptera
科： 蟬科 Cicadidae
Westwood, 1840
亞科
Tettigarctinae
Platypediinae
裸蟬亞科 Tibicininae
Tettigadinae
蟬亞科 Cicadinae
Tibiceninae
蟬（學名Cicadidae）是同翅目 半翅亞目昆蟲的一科，由於其雄性發出的聲響（zhīliǎo, zhīliǎo, zhīliǎo...），又叫知了。蟬具有透明的有脈紋的翅膀和分得很開的小眼睛。
雄性蟬身體兩側有能夠發出很大聲響的「鼓室」。他們趴在樹榦上，向前或左右扭動肚子來調節發出的聲響。
若蟲的殼~~蟬蛻，是一種中藥材。
目錄
1 周期蟬
2 對果樹的危害
3 圖集
4 外部連結
周期蟬
比較著名的蟬是「十七年蟬」或「周期蟬」（Magicicada）。原產於美國東部地區，這些蟬在地下蟄伏十三或十七年，然後破土而出。
根據他們出現的年份，周期蟬被分為30個「群」。群1號到17號是十七年蟬，群18號到30號是十三年蟬。一些群並不存在，但為了方便起見而保留。群4號已於2003年出現。而下一次的十三年蟬為將於2011年出現的群19號。群10號，一種十七年蟬，已經出現於2004年5月的紐澤西州和北卡羅萊納州。
對果樹的危害
蟬為果樹根莖危害較大，輕則造成果實稀疏，重則造成果樹死亡。[1]
圖集
畫家筆下的蟬
蟬幼蟲殼
蟬
外部連結
昆蟲記·蟬
周期蟬 - 密西根大學 (英文)
周期蟬 - 維吉尼亞理工 (英文)
周期蟬 群5號 - 美國農業部 (英文)
蟬的圖片 (英文)
^ http://szbk.wnrb.net/html/2011-07/18/content_403439.htm 白水大荔嚴打果林地養知了行為
1个分类:
半翅目
微擾理論 (量子力學)
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量子力學的微擾理論引用一些數學的微擾理論的近似方法於量子力學。當遇到比較複雜的量子系統時，這些方法試著將複雜的量子系統簡單化或理想化，變成為有精確解的量子系統，再應用理想化的量子系統的精確解，來解析複雜的量子系統。基本的點子是，從一個簡單的量子系統開始，這簡單的系統必須有精確解，在這簡單系統的哈密頓量裏，加上一個很弱的微擾，變成了較複雜系統的哈密頓量。假若這微擾不是很大，複雜系統的許多物理性質（例如，能級，量子態）可以表達為簡單系統的物理性質加上一些修正。這樣，從研究比較簡單的量子系統所得到的知識，我們可以進而研究比較複雜的量子系統。
微擾理論可以分為兩類，不含時微擾理論與含時微擾理論。不含時微擾理論的微擾哈密頓量不相依於時間；而含時微擾理論的微擾哈密頓量相依於時間，詳見含時微擾理論。本篇文章只講述不含時微擾理論。此後凡提到微擾理論，皆指不含時微擾理論。
目錄
1 微擾理論應用
2 歷史
3 一階修正
4 二階與更高階修正
5 簡併
6 參閱
7 參考文獻
8 外部連結
微擾理論應用
微擾理論是量子力學的一個重要的工具。因為，物理學家發覺，甚至對於中等複雜度的哈密頓量，也很難找到其薛丁格方程式的精確解。我們所知道的就只有幾個量子模型有精確解，像氫原子、量子諧振子、與盒中粒子。這些量子模型都太過理想化，無法適當地描述大多數的量子系統。應用微擾理論，我們可以將這些理想的量子模型的精確解，用來生成一系列更複雜的量子系統的解答。例如，通過添加一個微擾的電位於氫原子的哈密頓量，我們可以計算在電場的作用下，氫原子譜線產生的微小偏移（參閱斯塔克效應）。
應用微擾理論而得到的解答並不是精確解，但是，這方法可以計算出相當準確的解答。假若我們使展開的參數 \lambda\,\! 變得非常的小，得到的解答會很準確。通常，解答是用有限數目的項目的 \lambda\,\! 的冪級數來表達。
歷史
薛丁格在創立了奠定基石的量子波力學理論後，經過短短一段時間，於 1926 年，他又在另一篇論文裏，發表了微擾理論[1]。在這篇論文裏，薛丁格提到瑞立勳爵先前的研究[2]。瑞立勳爵曾經在弦的諧振動的微擾研究，得到突破性的結果。現今，微擾理論時常又被稱為瑞立-薛丁格微擾理論。
一階修正
設想一個不相依於時間的零微擾哈密頓量 H_0\,\! ，有已知的本徵值能級 E_n^{(0)}\,\! 和已知的本徵態 |n^{(0)}\rang\,\! 。它們的關係可以用不含時薛丁格方程式表達為
H_0 |n^{(0)}\rang = E_n^{(0)} |n^{(0)}\rang \quad,\quad n = 1, 2, 3, \cdots \,\! 。
為了簡易起見，假設能級是離散的。上標 (0)\,\! 標記所有零微擾系統的物理量與量子態。
現在添加一個微擾於哈密頓量。讓微擾 V\,\! 代表一個很微弱的物理擾動，像外場產生的位能。設定 \lambda\,\! 為一個無因次的參數。它的值可以從 0\,\! 變化到 1\,\! 。含微擾哈密頓量 H\,\! 表達為
H = H_0 + \lambda V \,\! 。
含微擾哈密頓量的能級 E_n\,\! 和本徵態 |n\rang\,\! 由薛丁格方程式給出：
\left(H_0 + \lambda V \right) |n\rang = E_n |n\rang \,\! 。
我們的目標是用零微擾能級和零微擾量子態表達出 E_n\,\! 和 |n\rang\,\! 。假若微擾足夠的微弱，我們可以將它們寫為 \lambda\,\! 的冪級數：
E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots \,\! ，
|n\rang = |n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \lambda^2 |n^{(2)}\rang + \cdots \,\! ；
其中，
E_n^{(k)} = \frac{1}{k!} \frac{d^k E_n}{d \lambda^k} \,\! ，
|n^{(k)}\rang = \frac{1}{k!}\frac{d^k |n\rang }{d \lambda^k}\,\! 。
當 \lambda=0\,\! 時，E_n\,\! 和 |n\rang\,\! 分別約化為零微擾值，級數的第一個項目，E_n^{(0)}\,\! 和 |n^{(0)}\rang\,\! 。由於微擾很微弱，含微擾系統的能級和量子態應該不會與它們的零微擾值相差太多，高階項目應該會很快地變小。
將冪級數代入薛丁格方程式，
\begin{matrix} \left(H_0 + \lambda V \right) \left(|n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \cdots \right) \qquad\qquad\qquad\qquad\\ \qquad\qquad\qquad= \left(E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots \right) \left(|n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \cdots \right) \end{matrix}\,\!。
展開這公式，匹配每一個 \lambda\,\! 齊次的項目，可以得到一組無窮級數的聯立的方程式。零次 \lambda\,\! 的方程式就是零微擾系統的薛丁格方程式。一次 \lambda\,\! 的方程式即
H_0 |n^{(1)}\rang + V |n^{(0)}\rang = E_n^{(0)} |n^{(1)}\rang + E_n^{(1)} |n^{(0)}\rang \,\! 。(1)
將 \langle n^{(0)}|\,\! 內積於這方程式：
\langle n^{(0)}|H_0 |n^{(1)}\rang + \langle n^{(0)}|V |n^{(0)}\rang = \langle n^{(0)}|E_n^{(0)} |n^{(1)}\rang + \langle n^{(0)}|E_n^{(1)} |n^{(0)}\rang \,\! 。
這方程式的左手邊第一個項目與右手邊第一個項目相抵去（回憶零微擾哈密頓量是厄米算符）。這導致一階能級修正：
E_n^{(1)} = \langle n^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle\,\! 。
在量子力學裡，這是最常用到的方程式之一。試著解釋這方程式的內涵，E_n^{(1)}\,\! 是系統處於零微擾狀態時，其哈密頓量微擾 V\,\! 的期望值。假若微擾被施作於這系統，但我們繼續保持系統於量子態 |n^{0)}\rang\,\! 。雖然，|n^{0)}\rang\,\! 不再是新哈密頓量的本徵態，它仍舊是一個物理允許的量子態。施作的微擾使得這量子態的平均能量增加 \langle n^{(0)} | V | n^{(0)}\rangle\,\! 。可是，正確的能量修正稍微不同，因為含微擾系統的本徵態並不是 |n^{0)}\rang\,\! 。我們必須等待二階和更高階的能量修正 來給出更精密的修正。
讓我們現在計算能量本徵態的一階修正 |n^{(1)}\rangle\,\! 。請先注意到，由於所有的零微擾本徵態 |k^{0)}\rangle\,\! 形成了一個正交基，|n^{0)}\rangle\,\! 可以表達為
|n^{0)}\rangle=\sum_{k} |k^{(0)}\rangle\langle k^{(0)}|n^{0)}\rangle\,\! 。
所以，單位算符可以寫為所有密度矩陣的總合：
\sum_{k} |k^{(0)}\rangle\langle k^{(0)}|=\boldsymbol{1}\,\! 。
應用這恆等關係，
\begin{align} V|n^{(0)}\rangle & = \left(|n^{(0)}\rangle\, \langle n^{(0)}|\right) V|n^{(0)}\rangle + \left( \sum_{k\ne n} |k^{(0)}\rangle\langle k^{(0)}| \right) V|n^{(0)}\rangle \\ & = E_n^{(1)} |n^{(0)}\rangle+ \sum_{k\ne n} |k^{(0)}\rangle\langle k^{(0)}| V|n^{(0)}\rangle \\ \end{align}\,\!。
將這公式代入公式 (1) ，稍加編排，可以得到
\left(E_n^{(0)} - H_0 \right) |n^{(1)}\rang = \sum_{k \ne n} |k^{(0)}\rang \langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle \,\! 。(2)
將 \langle m^{(0)}|,\,m\ne n\,\! 內積於這方程式：
\langle m^{(0)}| \left(E_n^{(0)} - H_0 \right) |n^{(1)}\rang = \sum_{k \ne n} \langle m^{(0)}|k^{(0)}\rang \langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle=\langle m^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle \,\! 。
暫時假設零微擾能級沒有簡併。也就是說，在系統裏，抽取任意兩個不同的能量本徵態，其能級必不相等。那麼，
\langle m^{(0)}|n^{(1)}\rang=\frac{\langle m^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle}{\left(E_n^{(0)} - E_m^{(0)}\right)} \,\! 。(3)
為了避免分母可能會等於零，我們必須設定零微擾能級沒有簡併。稍後，我們會講述簡併系統的解法．
由於所有的 |n^{(0)}\rangle\,\! 形成了一個正交基， |n^{(1)}\rangle\,\! 可以表達為
|n^{(1)}\rangle=\sum_k c_k |k^{(0)}\rangle\,\! 。
這總合表達式包括了 c_n |n^{(0)}\rangle\,\! 項目，假設 |n^{(1)}\rangle\,\! 滿足公式 (2) ，則對於任意變數 \alpha\,\! ，必定 |n^{(1)}\rangle+\alpha |n^{(0)}\rangle\,\! 也滿足公式 (2) 。設定 \alpha= - c_n \,\! ，那麼，|n^{(1)}\rangle=\sum_{k\ne n} c_k |k^{(0)}\rangle\,\! 也滿足公式 (2) 。所以，
|n^{(1)}\rang = \sum_{k \ne n}\langle k^{(0)}|n^{(1)} \rangle|k^{(0)}\rang = \sum_{k \ne n} \frac{\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} |k^{(0)}\rang \,\! 。(4)
讓我們稍微解釋公式 (4)的意義。含微擾能量本徵態 |n\rangle\,\! 的一階修正 |n^{(1)}\rangle\,\! ，總合了每一個零微擾能量本徵態 |k^{(0)}\rangle,\, k\ne n\,\! 的貢獻。每一個貢獻項目跟 \langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle\,\! 成正比，是微擾作用於本徵態 |n^{(0)}\rangle\,\! 而產生的量子態，這量子態處於本徵態 |k^{(0)}\rangle\,\! 的機率幅；每一個貢獻項目又跟能量本徵值 E_n^{(0)}\,\! 與能量本徵值 E_k^{(0)}\,\! 的差值成反比，這意味的是，假若 E_n^{(0)}\,\! 附近有更多的本徵態，微擾對於量子態修正 |n^{(1)}\rangle\,\! 會造成更大的影響。還有，假若有任何量子態的能量與 |n^{0)}\rangle\,\! 的能量相同，這個表達式會變為奇異的 (singular) 。這就是為什麼我們先前設定簡併不存在。
原本的零微擾能量本徵態滿足歸一性：
\langle n^{(0)} | n^{(0)}\rangle=1\,\! 。
加上了一階修正，是否仍舊滿足歸一性？取至一階，
\langle n | n\rangle=\langle n^{(0)} | n^{(0)}\rangle+\lambda\langle n^{(0)} | n^{(1)}\rangle+\lambda\langle n^{(1)} | n^{(0)}\rangle\,\! 。
可是，
\langle n^{(0)} | n^{(1)}\rangle=\langle n^{(1)} | n^{(0)}\rangle=0\,\! 。
所以，答案是肯定的。取至一階，|n\rangle\,\! 滿足歸一性：
\langle n | n\rangle=1\,\! 。
二階與更高階修正
使用類似的程序，可以找出更高階的修正，雖然我們現在採用的這種表述，會使計算變得相當的冗長。取至二階，能量本徵值與歸一化的本徵態分別為
E_n = E_n^{(0)} + \langle n^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle + \sum_{k \ne n} \frac{|\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle|^2} {E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} + \cdots\,\! ，
|n\rangle = |n^{(0)}\rangle + \sum_{k \ne n} |k^{(0)}\rangle\frac{\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} + \sum_{k\neq n}\sum_{\ell \neq n} |k^{(0)}\rangle\frac{\langle k^{(0)}|V|\ell^{(0)}\rangle\langle \ell^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle}{(E_n^{(0)} - E_k^{(0)})(E_n^{(0)} - E_\ell^{(0)})}\,\!
- \sum_{k\neq n}|k^{(0)}\rangle\frac{\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle}{(E_n^{(0)} - E_k^{(0)})^2} - \frac{1}{2} \sum_{k \ne n} |n^{(0)}\rangle\frac{\langle n^{(0)}|V|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{(E_k^{(0)} - E_n^{(0)})^2}\,\! 。
繼續延伸這程序，三階能量修正可以計算出來[3]：
E_n^{(3)} = \sum_{k \neq n} \sum_{m \neq n} \frac{\langle n^{(0)} | V | m^{(0)} \rangle \langle m^{(0)} | V | k^{(0)} \rangle \langle k^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle}{\left( E_m^{(0)} - E_n^{(0)} \right) \left( E_k^{(0)} - E_n^{(0)} \right)}\,\!
- \langle n^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle \sum_{m \neq n} \frac{|\langle n^{(0)} | V | m^{(0)} \rangle|^2}{\left( E_m^{(0)} - E_n^{(0)} \right)^2}\,\! 。
簡併
假設兩個以上的能量本徵態是簡併的，也就是說，它們的能量本徵值相同，則其一階能量修正不是唯一定義的 （well-defined），因為沒有唯一方法來確定一個零微擾本徵態正交基。一階本徵態修正的計算也會遇到嚴峻的問題，因為假若本徵態 |n^{(0)}\rangle\,\! 與本徵態 |k^{(0)}\rangle\,\! 是簡併的，則公式 (3) 的分數內的分母 E_n^{(0)} - E_k^{(0)}=0\,\! ，這造成公式 (4) 無解。
對於某個能級 E_n^{(0)}\,\! ，將其所有簡併的量子態生成的子空間標記為 D\,\! 。藉著選擇生成本徵態的不同的線性組合，我們可以為 D\,\! 構造一個不同的正交基。含微擾系統的量子態可以表達為
|n\rangle = \sum_{k \in D} \alpha_{nk} |k^{(0)}\rangle + \lambda |n^{(1)}\rangle \,\! ；
其中，\alpha_{nk}\,\! 是常數。
對於一階微擾，我們必須在簡併子空間 D\,\! 內，同時與近似地計算，哈密頓量微擾對於每一個簡併的本徵態的作用：
V |n^{(0)}\rangle=\epsilon_n |n^{(0)}\rangle,\qquad\forall\; |n^{(0)}\rangle \in D\,\! ；
其中，\epsilon_n\,\! 是微擾所造成的能級分裂
這是一個本徵值問題，等價於對角化以下矩陣：
\begin{bmatrix} & \cdots & \\ \vdots & \langle k^{(0)} | V |l^{(0)}\rangle & \vdots \\ & \cdots & \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} & \cdots & \\ \vdots & V_{kl} & \vdots \\ & \cdots & \end{bmatrix}, \qquad \forall \; |k^{(0)}\rangle, |l^{(0)}\rangle \in D\,\! 。
通常，簡併能量的分裂 \epsilon_n\,\! 可以在實驗中被測量出來。雖然，與簡併量子態的能級本身相比，分裂值可能很小，但這對了解諸如精細結構、核磁共振等物理現象，仍然是非常重要的。
別的不簡併本徵態造成的修正也可以用不簡併方法找到：
\left(E_n^{(0)} - H_0 \right) |n^{(1)}\rang = \sum_{k \not\in D}\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle|k^{(0)}\rang\,\!。
當作用於 D\,\! 以外的本徵態時，這方程式左手邊的算符並不奇異（singular）。所以，這方程式可以寫為
|n^{(1)}\rangle = \sum_{k \not\in D} \frac{\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} |k^{(0)}\rang\,\! 。
近簡併量子態也應該使用前面講述的方法來解析，因為，在近簡併量子態的子空間內，能級的相差很可能是微擾的量級。近自由電子模型是一個標準案例，即便是對於很小的微擾，正確的近簡併計算也能給出能隙。
參閱
斯塔克效應
塞曼效應
自旋-軌道作用
精細結構
超精細結構
蘭姆位移
參考文獻
^ E. Schrödinger, Annalen der Physik, Vierte Folge, Band 80, p. 437 (1926)
^ J. W. S. Rayleigh, Theory of Sound, 2nd edition Vol. I, pp 115-118, Macmillan, London (1894)
^ L. D. Landau, E. M. Lifschitz, ``Quantum Mechanics: Non-relativistic Theory", 3rd ed.
外部連結
聖地牙哥加州大學物理系量子力學視聽教學：微擾理論
2个分类：
量子力學
微擾理論
機率幅
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在量子力學裏，機率幅，又稱為量子幅，是一個描述粒子的量子行為的複函數。例如，機率幅可以描述粒子的位置。當描述粒子的位置時，機率幅是一個波函數，表達為位置的函數。這波函數必須滿足薛丁格方程式。
一個機率幅 \psi\,\! 的機率密度函數是 \psi^*\psi\,\! ，等於 \mid\psi\mid^2\,\! ，又稱為機率密度[1]。在使用前，不一定要將機率密度函數歸一化。尚未歸一化的機率密度函數，可以給予我們，關於機率的相對大小的資訊。
假若，在整個三維空間內，機率密度 \mid\psi\mid^2\,\! 是一個有限積分。那麼，我們可以計算一個歸一常數 c\,\! ，替代 \psi\,\! 為 c\psi\,\! ，使得有限積分等於 1 。這樣，就可以將機率幅歸一化。粒子存在於某一個特定區域 V\,\! 內的機率是 \mid\psi\mid^2\,\! 在區域 V\,\! 的積分。這句話的含義是，根據量子力學的哥本哈根詮釋，假若，某一位觀察者試著測量這粒子的位置。他找到粒子在 \varepsilon\,\! 區域內的機率 P(\varepsilon)\,\! 是
P(\varepsilon)=\int_\varepsilon^{} |\psi(x)|^2\, dx\,\!。
注譯
^ 馬克斯·玻恩因為對波函數的統計學詮釋，獲得 1954 年的諾貝爾物理學獎。
參閱
機率流（Probability current）
薛丁格方程式
量子態
2个分类：
量子力學
基本物理概念
精細結構
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氫原子的精細結構圖：左邊是波耳的能級線譜，中間是經過修正後，線譜的精細結構，右邊是線譜的超精細結構。
在原子物理學裏，因為一階相對論性效應，與自旋-軌道耦合，而產生的原子譜線分裂，稱為精細結構。
非相對論性，無自旋的電子產生的譜線稱為粗略結構。類氫原子的粗略結構只相依於主量子數 n\,\! 。可是，更精確的模型，考慮到相對論效應與自旋-軌道效應，能夠分解能級的簡併，使譜線能更精細地分裂。相對於粗略結構，精細結構是一個 (Z\alpha)^{2}\,\! 效應；其中，Z\,\! 是原子序數，\alpha\,\! 是精細結構常數。
精細結構修正包括相對論性的動能修正與自旋-軌道修正。整個哈密頓量 H\,\! 是
H=H^{(0)}+H_{kinetic}+H_{so}\,\! ；
其中，H^{(0)}\,\! 是零微擾哈密頓量，H_{kinetic}\,\! 是動能修正，H_{so}\,\! 是自旋-軌道修正。
目錄
1 相對論性修正
2 自旋-軌道修正
3 總合
4 參閱
5 參考文獻
6 外部連結
相對論性修正
經典哈密頓量的動能項目是
T=\frac{p^{2}}{2m}\,\! ；
其中，T\,\! 是動能，p\,\! 是動量，m\,\! 是質量。
可是，若加入狹義相對論的效應，我們必須使用相對論形式的動能：
T=\sqrt{p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}} - mc^{2}\,\! ；
其中，c\,\! 是光速。
請注意在這方程式的右手邊，平方根項目是總相對論性能量，mc^{2}\,\! 項目是電子的靜能量。假設 p \ll mc\,\! ，則可以用泰勒級數展開平方根項目：
T=\frac{p^{2}}{2m} - \frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}+\dots\,\! 。
哈密頓量的動能修正是
H_{kinetic}= - \frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}\,\!。
將這修正當作一個小微擾，根據量子力學的微擾理論，我們可以計算出相對論性的一階能量修正 E_{n}^{(1)}\,\! ：
E_{n}^{(1)}=\langle\psi_n^{(0)}\vert H_{kinetic}\vert\psi_n^{(0)}\rangle= - \frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi_n^{(0)}\vert p^{4}\vert\psi_n^{(0)}\rangle= - \frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi_n^{(0)}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi_n^{(0)}\rangle\,\! ；
其中，n\,\! 是主量子數，零微擾波函數 \psi_n^{(0)}\,\! 是本徵能量為 E_n^{(0)}\,\! 的本徵函數，E_n^{(0)}= - \frac{Z^2\alpha^2 mc^2}{2 n^2}\,\! ，精細結構常數 \alpha=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar c}\,\! 。
回想零微擾哈密頓量 H^{(0)}\,\! 與 \psi_n^{(0)}\,\! 的關係方程式：
H^{(0)}\vert\psi_n^{(0)}\rangle=E_{n}^{(0)}\vert\psi_n^{(0)}\rangle \,\! 。
零微擾哈密頓量等於動能加上位能 V\,\! ：
\left(\frac{p^{2}}{2m}+V\right)\vert\psi_n^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}\vert\psi_n^{(0)}\rangle \,\! 。
將位能移到公式右手邊：
p^{2}\vert\psi_n^{(0)}\rangle=2m(E_{n}^{(0)} - V) \vert\psi_n^{(0)}\rangle\,\! 。
將這結果代入 E_{n}^{(1)}\,\! 的公式：
\begin{align} E_{n}^{(1)} & = - \frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi_n^{(0)}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi_n^{(0)}\rangle \\ & = - \frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi_n^{(0)}\vert (2m)^{2}(E_{n}^{(0)} - V)^{2}\vert\psi_n^{(0)}\rangle \\ & = - \frac{1}{2mc^{2}}[(E_{n}^{(0)})^{2} - 2E_{n}^{(0)}\langle V\rangle +\langle V^{2}\rangle] \\ \end{align}\,\! 。
類氫原子的位能是 V=\frac{Ze^{2}}{4\pi\epsilon_0 r}\,\! ；其中，e\,\! 是單位電荷量，r\,\! 是徑向距離。經過一番繁瑣的運算[1] ，可以得到
\langle V\rangle=\frac{Z^2 e^{2}}{4\pi\epsilon_0 a_{0}n^{2}}\,\! ，
\langle V^{2}\rangle=\frac{Z^4 e^{4}}{(l+1/2)(4\pi\epsilon_0 a_{0})^{2}n^{3}}\,\! ；
其中，a_{0}=\frac{\hbar}{\alpha mc}\,\! 是波耳半徑，l\,\! 是角量子數。
將這兩個結果代入，經過一番運算，可以得到相對論修正：
\begin{align}E_{n}^{(1)} & = - \frac{1}{2mc^{2}}\left[(E_{n}^{(0)})^{2} - 2E_{n}^{(0)}\frac{Z^2 e^{2}}{4\pi\epsilon_0 a_{0}n^{2}} +\frac{Z^4 e^{4}}{(l+1/2)(4\pi\epsilon_0 a_{0})^{2}n^{3}}\right] \\ & = - \frac{(E_{n}^{(0)})^{2}}{2mc^{2}}\left(\frac{4n}{l+1/2} - 3\right) \\ \end{align} \,\! 。
自旋-軌道修正
主條目：自旋-軌道作用
當我們從標準參考系（原子核的靜止參考系；原子核是不動的，電子運動於它環繞著原子核的軌道）改變至電子的靜止參考系（電子是不動的，原子核運動於它環繞著電子的軌道）時，我們會遇到自旋-軌道修正。在這狀況，運動中的原子核有效地形成了一個電流圈，這會產生磁場 \mathbf{B}\,\! ．可是，因為電子的自旋，電子自己擁有磁矩 \boldsymbol{\mu}\,\! 。兩個磁向量 \mathbf{B}\,\! 與 \boldsymbol{\mu}\,\! 共同耦合．這使得哈密頓量內，又添加了一個項目：
H_{so}=\frac{Ze^2}{8\pi\epsilon_0 m^2 c^2 r^3}\, (\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}) \,\! ；
其中，\epsilon_0\,\! 是真空電容率，\mathbf{L}\,\! 是角動量，\mathbf{S}\,\! 是自旋。
設定總角動量 \mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}\,\! 。應用一階微擾理論，由於 H_{so}\,\! 、J^2\,\! 、L^2\,\! 、S^2\,\! ，這四個算符都互相對易。H^{(0)}\,\! 、J^2\,\! 、L^2\,\! 、S^2\,\! ，這四個算符也都互相對易。這四個算符的共同本徵函數可以被用為零微擾波函數 |n,j,l,s\rangle\,\! ；其中，j\,\! 是總角量子數，s\,\! 是自旋量子數。那麼，經過一番運算，可以得到能級位移
E_n^{(1)} =\frac{(E_n^{(0)})^2}{mc^2}\ \frac{2n[j(j+1) - l(l+1) - 3/4]}{l(l+1)(2l+1)}\,\! 。
總合
相對論性修正與自旋-軌道修正的總合是
E_n^{(1)} = - \frac{(E_{n}^{(0)})^{2}}{2mc^{2}}\left(\frac{4n}{l+1/2} - 3\right) +\frac{(E_n^{(0)})^2}{mc^2}\ \frac{2n[j(j+1) - l(l+1) - 3/4]}{l(l+1)(2l+1)}\,\! ；
其中，j=l\pm 1/2\,\! 。
將 j\,\! 的這兩個數值分別代入總合方程式裏，經過一番運算，可以得到同樣的結果：
E_n^{(1)} =\frac{(E_{n}^{(0)})^2}{mc^2}\left(\frac{3}{2} - \frac{4n}{2j+1}\right)\,\! 。
總結，修正後，取至一階，電子的總能級為，
E_n =\frac{E_{1}^{(0)}}{n^2}\left(1 +\left(\frac{Z\alpha}{n}\right)^2 \left( \frac{2n}{2j+1} - \frac{3}{4}\right)\right)\,\! ;
其中，E_{1}^{(0)}= - 13.6\ ev\,\! 是電子的基態能級，\alpha\approx\frac{1}{137}\,\! 是精細結構常數。
參閱
斯塔克效應
塞曼效應
超精細結構
蘭姆位移
參考文獻
^ Griffiths, David J.. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 266-276. ISBN 0-13-111892-7.
Liboff, Richard L.. Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 2002. ISBN 0-8053-8714-5.
外部連結
聖地牙哥加州大學物理系視聽教學：精細結構
喬治亞州州立大學（Georgia State University）線上物理網頁：精細結構
德州大學物理講義:氫原子的精細結構
2个分类:
量子力學
原子物理學
倒晶格
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在物理學中，倒晶格是描述空間波函數的傅立葉變換後的周期性的一種方法。相對於正晶格所描述的實空間周期性，倒晶格描述的是動量空間，亦可認為是k空間的周期性。根據位置和動量所滿足的龐特里亞金對偶性，布拉菲晶格的倒晶格仍然是一種布拉菲晶格，而倒晶格的倒晶格就會變回原始晶格（正晶格）。
目錄
1 數學描述
1.1 一維晶格
1.2 二維晶格
1.3 三維晶格
1.4 倒晶格與正晶格的關係
2 倒晶格的物理意義
3 倒晶格與晶體衍射
4 常見布拉菲晶格的倒晶格
4.1 簡單立方晶體
4.2 面心立方晶體(FCC)
4.3 體心立方晶格(BCC)
5 外部連結
數學描述
一維晶格
對於以\boldsymbol{a}為基矢的一維晶格，其倒格子的基矢為
\boldsymbol{b}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a}}{a^2}
二維晶格
對於以(\boldsymbol{a_{1}}, \boldsymbol{a_{2}}) 為基矢的二維晶格，定義其二維平面法線向量為\boldsymbol{n}，其倒格子的基矢為
\boldsymbol{b_{1}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a_{2}} \times \boldsymbol{n}}{\boldsymbol{a_{1}} \cdot (\boldsymbol{a_{2}} \times \boldsymbol{n})}
\boldsymbol{b_{2}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{a_{1}}}{\boldsymbol{a_{2}} \cdot (\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{a_{1}})}
三維晶格
對三維晶格而言，我們定義素晶胞的基矢 (\boldsymbol{a_{1}}, \boldsymbol{a_{2}}, \boldsymbol{a_{3}}) ，可以用下列公式決定倒晶格的晶胞基矢 (\boldsymbol{b_{1}}, \boldsymbol{b_{2}}, \boldsymbol{b_{3}})
\boldsymbol{b_{1}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a_{2}} \times \boldsymbol{a_{3}}}{\boldsymbol{a_{1}} \cdot (\boldsymbol{a_{2}} \times \boldsymbol{a_{3}})}
\boldsymbol{b_{2}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a_{3}} \times \boldsymbol{a_{1}}}{\boldsymbol{a_{2}} \cdot (\boldsymbol{a_{3}} \times \boldsymbol{a_{1}})}
\boldsymbol{b_{3}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a_{1}} \times \boldsymbol{a_{2}}}{\boldsymbol{a_{3}} \cdot (\boldsymbol{a_{1}} \times \boldsymbol{a_{2}})}
倒晶格與正晶格的關係
倒晶格與正晶格的基矢滿足以下關係
\boldsymbol{a_{i}} \cdot \boldsymbol{b_{j}}=2 \pi \delta_{ij}= \begin{cases} 2 \pi, & i\ =\ j \\ 0, & i\ \ne\ j \end{cases}
定義三維中的倒晶格向量G
\mathbf{G}=h \boldsymbol{b_{1}} + k \boldsymbol{b_{2}} + l \boldsymbol{b_{3}}
其中hkl為密勒指數，向量G的模長與正晶格的晶面間距有以下關係
\mathbf{|G_{hkl}|}=\frac{2 \pi}{d_{hkl}}
向量G和正晶格向量R有以下關係
\mathbf{R}=c_{1} \boldsymbol{a_{1}} + c_{2} \boldsymbol{a_{2}} + c_{3} \boldsymbol{a_{3}}
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{G \cdot R}}=1
三維倒晶格中的晶胞體積ΩG和正晶格的晶胞體積Ω有以下關係
\Omega_{G}=\frac{(2 \pi)^3}{\Omega}
倒晶格的物理意義
在此以一維晶格為例。在一個以\boldsymbol{a}為基矢的一維晶格中，其波函數應該為布洛赫波
\psi_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x})
定義其倒晶格向量
\boldsymbol{G}=n\boldsymbol{b},\ n=0, 1, 2, \cdots
\boldsymbol{b}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a}}{a^2}
\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{a}=2 \pi n
以及一個函數
\begin{alignat}{2} u_{\boldsymbol{k+G}}({\boldsymbol{x}}) & =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{x}} u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x}) \\ u_{\boldsymbol{k+G}}({\boldsymbol{x+a}}) &=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{x}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{a}} u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x+a}) \\ & =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{x}} u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x+a}) \\ \end{alignat}
由於u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x})是一個布洛赫波包，滿足
u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x+a})=u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x})
所以
u_{\boldsymbol{k+G}} (\boldsymbol{x+a})=u_{\boldsymbol{k+G}} (\boldsymbol{x})
也是一個布洛赫波包。則波函數有以下性質
\begin{align} \psi_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x}) & = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x}) \\ & = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\boldsymbol{k+G})\cdot\boldsymbol{x}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{x}} u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x}) \\ & = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\boldsymbol{k+G})\cdot\boldsymbol{x}}u_{\boldsymbol{k+G}} (\boldsymbol{x}) \\ & = \psi_{\boldsymbol{k+G}} (\boldsymbol{x}) \end{align}
可見，倒晶格向量G描述了波函數在以k為基矢的動量空間（k空間）內的周期性。其向量單位，即倒晶格的基矢\boldsymbol{b_{i}}是描述k空間中平移對稱性的基矢。其最小可重複單位，即倒晶格的晶胞，稱為第一布里淵區。由於波矢k和動量與波函數對應的能量密切相關，在能帶理論中也用來解釋能帶的周期性。
倒晶格與晶體衍射
晶體衍射滿足布拉格定律
\begin{alignat}{2} 2 d\sin\theta = n\lambda \\ 2 \times \frac{2 \pi}{\lambda}\sin\theta=\frac{2 \pi}{d_{n}} \\ \end{alignat}
定義入射波波矢為\boldsymbol{k}，則上述公式可變換為
\begin{array}{lcl} |\boldsymbol{k}|= \cfrac{2 \pi}{\lambda} \\ \mathbf{|G_{hkl}|}=\cfrac{2 \pi}{d_{hkl}} \\ 2 |\boldsymbol{k}| \sin \theta = |\mathbf{G}| \\ \end{array}
因此滿足布拉格定律的晶體衍射反映的不是正晶格，而是倒晶格。
進一步將以上公式轉化為向量形式，定義入射波波矢為\boldsymbol{k_i}，反射波波矢為\boldsymbol{k_o}，可以得到
\boldsymbol{\Delta k} = \boldsymbol{k_o} - \boldsymbol{k_i} = \mathbf{|G|}
這個形式也和勞厄方程式相符。
常見布拉菲晶格的倒晶格
簡單立方晶體
簡單立方晶體的素格子基矢可以寫成
\boldsymbol{a_1}=a\hat{x}
\boldsymbol{a_2}=a\hat{y}
\boldsymbol{a_3}=a\hat{z}
體積為
\boldsymbol{a_1}\cdot\boldsymbol{a_2}\times\boldsymbol{a_3}=a^3
可推得倒晶格的素格子基矢
\boldsymbol{b_1} = {2\pi \over a} \hat{x}
\boldsymbol{b_2} = {2\pi \over a} \hat{y}
\boldsymbol{b_3} = {2\pi \over a} \hat{z}
所以簡單立方晶體的倒晶格同樣為簡單立方晶體，但是晶格常數為 2 \pi\over a。
面心立方晶體(FCC)
面心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項
\boldsymbol{a_1}={a\over 2}\left(\hat{y}+\hat{z} \right)
\boldsymbol{a_2}={a\over 2}\left(\hat{z}+\hat{x} \right)
\boldsymbol{a_3}={a\over 2}\left(\hat{x}+\hat{y} \right)
體積為
\boldsymbol{a_1}\cdot\boldsymbol{a_2}\times\boldsymbol{a_3}={a^3\over 4}
可推得倒晶格之素格子基矢
\boldsymbol{b_1} = {2\pi \over a} \left(-\hat{x} +\hat{y} +\hat{z}\right)
\boldsymbol{b_2} = {2\pi \over a} \left(+\hat{x} -\hat{y} +\hat{z}\right)
\boldsymbol{b_3} = {2\pi \over a} \left(+\hat{x} +\hat{y} -\hat{z}\right)
面心立方晶體的倒晶格為體心立方晶體。
體心立方晶格(BCC)
體心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項
\boldsymbol{a_1}={a\over 2}\left(-\hat{x} +\hat{y} +\hat{z}\right)
\boldsymbol{a_2}={a\over 2}\left(+\hat{x} -\hat{y} +\hat{z}\right)
\boldsymbol{a_3}={a\over 2}\left(+\hat{x} +\hat{y} -\hat{z}\right)
體積為
\boldsymbol{a_1}\cdot\boldsymbol{a_2}\times\boldsymbol{a_3}={a^3\over 2}
可推得倒晶格之素格子基矢
\boldsymbol{b_1} = {2\pi \over a} \left(\hat{y}+\hat{z} \right)
\boldsymbol{b_2} = {2\pi \over a} \left(\hat{z}+\hat{x} \right)
\boldsymbol{b_3} = {2\pi \over a} \left(\hat{x}+\hat{y} \right)
可得知體心立方晶體之倒晶格為面心立方晶體。
在布拉菲晶格中,三軸互為九十度的 (\boldsymbol{a_{1}}, \boldsymbol{a_{2}}, \boldsymbol{a_{3}}) (立方, 正方, 斜方)的晶體結構,是很容易被證明其倒晶格空間之三軸 (\boldsymbol{b_{1}}, \boldsymbol{b_{2}}, \boldsymbol{b_{3}}) 與其真實晶格之三軸有垂直的關係.
外部連結
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龐特里亞金對偶性
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在數學上，特別是在調和分析與拓撲群的理論中，龐特里雅金對偶定理解釋了傅立葉變換的一般性質。它統合了實數線上或有限阿貝爾群上的一些結果，如：
實數線上夠「好」的複數值周期函數能表成傅立葉級數，反之也能從傅立葉級數推出原函數。
實數線上夠「好」的複數值函數有傅立葉變換；一如周期函數，在此也能從其傅立葉變換反推出原函數。
有限阿貝爾群上的複數值函數有離散傅立葉變換，這是在對偶群上的函數。此外，也從離散傅立葉變換反推原函數。
此理論由龐特里亞金首開，並結合了約翰·馮·諾伊曼與安德魯·韋伊的哈爾測度理論，它依賴於局部緊阿貝爾群的對偶群理論。
目錄
1 哈爾測度
2 對偶群
3 例子
4 傅立葉變換
5 群代數
6 普朗歇爾暨傅立葉反轉定理
7 玻爾緊化
8 範疇論觀點
9 非交換理論
10 源流
11 文獻
哈爾測度
一個拓撲群 G 被稱作局部緊的，若且唯若其單位元素 e 有個緊鄰域。明白地說，這代表存在一個包含 e 的開集 V，使得它在 G 裡的閉包 \bar{V} 是緊的。局部緊群 G 最值得注意的性質之一是它帶有一個唯一的自然測度，稱作哈爾測度，這使得我們可以一致地為 G 中「夠好」的子集測量大小；在此「夠好」的明確意義是博雷爾集，即由緊集生成的σ-代數。更明確地說，局部緊群 G 的一個右哈爾測度是指一個有限可加的博雷爾測度 μ，並在 \mu(xg) = \mu(x) \; (\forall g \in G) 的意義下滿足「右不變性」；此測度尚須滿足一些正則性（詳見主條目哈爾測度）。任兩個右不變哈爾測度至多差一個正的比例常數。準此要領，亦可定義左不變哈爾測度，當 G 是阿貝爾群時兩者符應。
此測度讓我們得以定義 G 上的複數值博雷爾函數的積分，特別是可以考慮相關的 L^p空間：
L^p_\mu(G) = \left\{f: G \rightarrow \mathbb{C}: \int_G |f(x)|^p\, d \mu(x) <\infty \right\}
以下是局部緊阿貝爾群的若干例子：
\mathbb{R}^n，配上向量加法。
正實數配上乘法。此群透過指數及對數映射同構於 \mathbb{R}。
任意賦以離散拓撲的有限阿貝爾群。根據有限阿貝爾群的結構定理，任何這樣的群都是循環群的直積。
整數 \mathbb{Z} 配上加法，並賦予離散拓撲。
圓群 \mathbb{T}。這是絕對值為一的複數在乘法下構成的群。我們有同構 \mathbb{T} \cong \mathbb{R}/\mathbb{Z}。
p進數配上加法及其p進拓撲。
對偶群
若 G是局部緊阿貝爾群，G 的一個特徵是一個從 G 到圓群 \mathbb{T} 的群同態；特徵在逐點乘法下構成一個群，一個特徵的反元素是它的複共軛。可證明所有 G 上的特徵在緊-開拓撲（即：以緊集上的一致收斂定義收歛性）下構成一個局部緊阿貝爾群，稱作對偶群，記為 \hat{G} 或 G^\wedge。若 G 可分，則 \hat{G} 可度量化，對一般的 G 則不盡然。
定理. 二次對偶 G^{\wedge\wedge} 與 G 有個自然同構。
在此，「自然」或「典範」同構意謂一個「自然地」定義的映射 G \rightarrow G^{\wedge\wedge}，要點是它在範疇中滿足函子性（詳見條目範疇論）。舉例明之：任何有限阿貝爾群都同構於其對偶群，但並不存在典範同構。
定理中的自然同構定義如下：
x \mapsto \{\chi \mapsto \chi(x) \}\mbox{ i.e. } x(\chi):=\chi(x).
換言之，我們藉著將一個元素 x \in G 在每個 G 的特徵上求值，得到一個 \hat{G} 上的特徵。
例子
在整數對加法形成的無窮循環群 \mathbb Z （配上離散拓撲）上，設 χ 為一特徵，則 \chi(n)=\chi(1)^n，因此 χ 決定於 χ(1) 的值；反之，給定一個 \alpha \in \mathbb{T}，必存在特徵 χ 使得 χ(1)=α，由此得到群同構 \mathbb{Z}^\wedge \stackrel{\sim}{\rightarrow} \mathbb{T} 。此外也容易驗證 \mathbb{Z}^\wedge 上的緊-開拓撲對應到 \mathbb{T} 誘導自 \mathbb{C} 的拓撲。
因此，\mathbb{Z} 的對偶群自然地同構於 \mathbb{T}。
反之，\mathbb{T} 上的特徵皆形如 z \mapsto z^n，其中 n 是整數。由於 \mathbb{T} 是緊的，其對偶群上的拓撲由一致收斂性給出，對應的不外是 \mathbb Z 上的離散拓撲。因此 \mathbb{T} 的對偶群自然地同構於 \mathbb Z。
實數對加法構成的群 \mathbb R 同構於自身的對偶群；\mathbb{R} 上的特徵皆形如 r \mapsto e^{ir}，其中 r 是實數。藉著這些對偶性，下節描述的傅立葉變換將符應於 \mathbb{R} 上的古典版本。
傅立葉變換
對於一個局部緊阿貝爾群 G，傅立葉變換的值域是其對偶群 。設 f \in L^1(G)，則其傅立葉變換是下述 \hat{G} 上的函數：
\widehat f(\chi) = \int_G f(x) \overline{\chi(x)}\;d\mu(x)
其中 μ 是 G 上的一個哈爾測度。可以證明 \hat{f} 是 \hat{G} 上的有界連續函數，且在無窮遠處趨近零。同理可給出 g \in L^1(\hat{G}) 的傅立葉逆變換
\check{g} (x) = \int_{\widehat{G}} g(\chi) \chi(x)\;d\nu(\chi)
其中 ν 是 \hat{G} 上的一個哈爾測度。
群代數
局部緊阿貝爾群 G 上的可積函數構成一個代數，其乘法由卷積給出：設 f, g \in L^1(G)，則卷積定義為
[f \star g](x) = \int_G f(x - y) g(y)\, d \mu(y).
定理. 巴拿赫空間 L^1(G) 在卷積下構成一個交換結合代數。
此代數稱作 G 的群代數。根據 L^1(G) 的完備性，它是個巴拿赫空間。巴拿赫代數 L^1(G) 一般沒有乘法單位元素，除非 G 離散。但它有個近似單位元素，這是個網，以一有向集 I 為索引，寫作 (e_i)_{i \in I} 並滿足下述性質。
f \star e_i \rightarrow f.
傅立葉變換將卷積映至逐點乘法，即：
\mathcal{F}( f \star g)(\chi) = \mathcal{F}(f)(\chi) \cdot \mathcal{F}(g)(\chi).
特別是，對任意 G 上的特徵 χ，可在群代數上定義一積性線性泛函
f \mapsto \widehat{f}(\chi).
群代數的重要性質之一，在於這些線性泛函窮竭了群代數上所有非平凡（即：非恆零）的積性線性泛函。見文獻中 Loomis 著作的第34節。
普朗歇爾暨傅立葉反轉定理
如前所述，一個局部緊阿貝爾群 G 的對偶群依然是局部緊阿貝爾群，因而帶有一族哈爾測度，彼此至多差一個比例常數。
定理. 對偶群上存在一個哈爾測度，使得傅立葉變換在緊支集連續函數空間上的限制為等距同構。它可以唯一地延拓為一個么正算子。
\mathcal{F}: L^2_\mu(G) \rightarrow L^2_\nu(\widehat{G})
其中 \nu 是對偶群上既取的哈爾測度。
注意到：若 G 非緊，L^1(G) 並不包含 L^2(G)，所以我們須訴諸一些技巧，例如限制於一個稠密子空間。
依循 Loomis 書中術語，我們稱一對 G 與其對偶群上的哈爾測度 (\mu, \nu) 是相繫的，若且唯若傅立葉反轉公式成立。傅立葉變換之么正性遂蘊含：對所有 G 上的連續緊支集複數值函數 f 都有
\int_G |f(x)|^2 \ d \mu(x) = \int_{\widehat{G}} |\widehat{f}(\chi)|^2 \ d \nu(\chi)
在平方可積函數空間上，我們考慮的傅立葉變換是透過上述么正延拓得到的算子。對偶群本身也有個傅立葉逆變換；它可以刻劃為傅立葉變換之逆（或其伴隨算子，因為傅立葉變換是么正的），這是以下傅立葉反轉公式的內涵。
定理. 取定一對相繫哈爾測度 (\mu, \nu)； 對於傅立葉變換在緊支集連續函數上的限制，其伴隨算子是傅立葉逆變換：
L^2_\nu(\widehat{G}) \rightarrow L^2_\mu(G)
在 G = \mathbb{R}^n 的情形，我們有 \hat{G} = \mathbb{R}^n，若取下述相繫的哈爾測度，則回到傅立葉變換的古典定義：
\mu = (2 \pi)^{-n/2} \times (勒貝格測度)
\nu = (2 \pi)^{-n/2} \times (勒貝格測度)
在 G=\mathbb{T} 的情形，對偶群 \hat{G} 自然同構於 \mathbb{Z}，而上述算子 F 歸於計算周期函數的傅立葉係數。
若 G 為有限群，則得到離散傅立葉變換。此情形易直接證明。
玻爾緊化
龐特里亞金對偶定理的重要應用之一是下述刻劃：
定理. 一個局部緊阿貝爾群 G 為緊，若且唯若對偶群 \hat{G} 為離散。另一方面，G 為離散若且唯若 \hat{G} 為緊。
對任何拓撲群，無論局部緊或交換與否，皆可定義玻爾緊化。上述對偶性的用處之一是刻劃局部緊阿貝爾群的玻爾緊化。對一個局部緊阿貝爾群 G ，考慮拓撲群 \hat{H}，其中 H 就群結構而言是 \hat{G}，但帶離散拓撲。由於下述包含映射
\iota: H \rightarrow \widehat{G}
是個連續同態，其對偶同態
G \sim \widehat{\widehat{G}} {\rightarrow} \widehat{H}
是個映至一個緊群的同態；可以證明它滿足定義玻爾緊化的泛性質，因而 \hat{H} 確為 G的玻爾緊化。
範疇論觀點
函子的觀點對於研究對偶群是很有用的。以下將以 LCA 表示所有局部緊阿貝爾群及其間的連續群同態構成之範疇。
對偶群的構造 G \mapsto \hat{G} 給出一個對偶函子 \mathbf{LCA} \rightarrow \mathbf{LCA}^\mathrm{op}。其二次迭代 G \mapsto G^{\wedge\wedge} 遂給出函子 \mathbf{LCA} \rightarrow \mathbf{LCA}。
定理. 對偶函子是一個範疇等價。
定理. 對偶函子的二次迭代自然同構於 LCA 上的恆等函子。
此同構可以類比於有限維向量空間的二次對偶（特別是實與複向量空間）。
龐特里亞金對偶性將離散群與緊群的子範疇交換。若 R 是一個環，而 G 是個左 R-模，則從對偶性可推知離散左 R-模與緊右 R-模對偶。LCA 裡的自同態環 \mathrm{End}(G) 依對偶性對應至其反環（即：環的乘法次序交換）。舉例明之：取 G = \mathbb{Z}，則 \hat{G} = \mathbb{T}；前者滿足 \mathrm{End}(G)=\mathbb{Z}，對後者亦然。
非交換理論
對非交換群 G 沒有類似的理論，因為此時對偶的對象 \hat{G}={G 的不可約表示之同構類} 不只有一維表示，因此不構成一個群。在範疇論中類似的推廣稱作 Tannaka-Krein 對偶定理；但它缺乏與調和分析的聯繫，因而無法處理關於 \hat{G} 上的普朗歇爾測度的問題。
某些非交換群的對偶理論以C*-代數的語言表述。
源流
龐特里亞金在1934年為局部緊阿貝爾群及其對偶性的理論奠下基礎。他的進路須假定群是第二可數的，並且是緊群或離散群。此條件先後由 E.R. van Kampen （1935年）與安德魯·韋伊（1953年）改進為局部緊阿貝爾群。
文獻
下列書籍（可在大部分大學圖書館找到）都有局部緊阿貝爾群、對偶定理與傅立葉變換的相關章節。Dixmier 的著作有非交換調和分析的材料，也有英譯本。
Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier-Villars,1969.
Lynn H. Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand Co, 1953
Walter Rudin, Fourier Analysis on Groups, 1962
Hans Reiter, Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups, 1968 (2nd ed produced by Jan D. Stegeman, 2000).
Hewitt and Ross, Abstract Harmonic Analysis, vol 1, 1963.
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線性代數
\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩陣 · 行列式 · 線性空間
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查·論·編·歷
對偶空間構造是 行向量(1×n)與列向量(n×1)的關係的抽象化。這個結構能夠在無限維度空間進行並為測度,分布及希爾伯特空間提供重要的觀點。對偶空間的應用是泛函分析理論的一特徵。 傅立葉變換亦內蘊對偶空間的概念。
目錄
1 代數的對偶空間
1.1 例子
1.2 線性映射的轉置
1.3 雙線性乘積及對偶空間
1.4 到雙對偶空間內的單射
2 連續對偶空間
2.1 例子
2.2 進一步的性質
3 引用
代數的對偶空間
設V為 在域F上的向量空間，定義其對偶空間V* 為由V到F的所有線性函數的集合。 即是V的標量線性變換。V* 本身是Ｆ的向量空間並且擁有加法及標量乘法：
(\phi + \psi )( x ) = \phi ( x ) + \psi ( x ) \,
( a \phi ) ( x ) = a \phi ( x ) \,
∀ φ, ψ ∈ V*, ∀ a ∈ F , ∀ x ∈ V. 在張量的語言中,V的元素被稱為逆變(contravariant)向量而V*的元素被稱為協變(covariant)向量，同向量(co-vectors)或一形(one-form)。
例子
如果V是有限維的,V*的維度和V的維度便相等; 如果{e1,...,en}是V的基，V* 便應該有相對基 {e1,...,en}，記作：
e^i (e_j)= \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{if }i = j \\ 0, & \mbox{if } i \ne j \end{matrix}\right.
如果V 是平面幾何向量的空間，V* 便是一組組的平行線。我們能從平行線應用到任何向量產生一個標量。
如果V是無限維度，ei 不能產生V* 的基;而V* 的維度比V的大。
例如空間R(ω)的元素是實數列，其擁有很多非零數字。Rω的雙對空間是所有實數數列的空間。這些數列(an) 被用於元素(xn) 而產生∑nanxn。
線性映射的轉置
設 f: V -> W 是線性映射。 f 的轉置 tf : W* → V* 定義為
{}^t f (\phi ) = \phi \circ f \,
∀ φ ∈ W*.
對任何向量空間 V, W，定義 L(V, W) 為所有從 V 到 W 的線性映射組成的向量空間。f |-> tf 產生從 L(V,W) 至L(W^*,V^*)的單射 ；這是個同構若且唯若 W 是有限維的。
若 線性映射 f 表示作其對 V, W 的基之矩陣 A , 則 tf 表示作其對 V^*, W^*的對偶基之 轉置矩陣。 若 g: W → X 是另一線性映射，則 t(g o f) = tf o tg.
在範疇論的語言裡,為任何向量空間取對偶及為任何線性映射取轉置 都是向量空間範疇的逆變函子。
雙線性乘積及對偶空間
正如所見，如果V擁有有限維度，V跟V*是同構的，但是該同構並不自然；它是依賴於我們開始所用的V的基。事實上，任意同構Φ (V → V*) 在V上定義了一個唯一的非退化的雙線性型：
\langle v,w \rangle = (\Phi (v))(w) \,
相反地從每個在有限維空間中的非退化的雙線性積可以產生由V映射到V*的同構。
到雙對偶空間內的單射
存在一個由V到其雙對偶V**的自然映射Ψ ，定義為
(Ψ(v))(φ) = φ(v) ∀ v ∈ V, φ ∈ V*.
Ψ 常是單射; 若且唯若V的維數有限時, Ψ 是個同構。
連續對偶空間
處理拓撲向量空間時，我們一般僅感興趣於該空間射到其基域的 連續線性泛函。由此導致連續對偶空間之概念，此乃其代數對偶空間之一子空間。向量空間 V 之連續對偶記作 V′。此脈絡下可逕稱連續對偶為對偶。
線性賦範向量空間 V （如一巴拿赫空間或一希爾伯特空間）之連續對偶 V′ 產生一線性賦範向量空間。對一 V 上之連續線性泛函，其範數 ||φ|| 定義為
\|\phi \| = \sup \{ |\phi ( x )| : \|x\| \le 1 \}
此法變一連續對偶為一線性賦範向量空間，實為巴拿赫空間。
例子
對任意有限維之 線性賦範向量空間或拓撲向量空間，正如歐幾里得空間，其連續與代數對偶不二。
令 1 <p <∞ 為實數，並考慮所有序列 a = (an) 構成之巴拿赫空間 l p，使其範數
\|\mathbf{a}\|_p = \left ( \sum_{n=0}^\infty |a_n|^p \right) ^{1/p}
有限。以 1/p + 1/q = 1 定義 q， l p 其連續對偶遂自然等同於 l q：給定一元素 φ ∈ (l p)， l q 中相應元素為序列 (φ(en)) ，其中 en 謂第 n 項為 1 且餘項皆 0 之序列。反之，給定一元素 a = (an) ∈ l q，l p 上相應之連續線性泛函 φ 定為 φ(a) = ∑n an bn （對一切 a = (an) ∈ l p）(見 Hölder不等式)。
準此， l 1之連續對偶亦自然同構於 l ∞。再者，巴拿赫空間 c （賦以上確界範數之全體收斂序列）及c0（c 中收斂至零者）之連續對偶皆自然同構於 l 1。
進一步的性質
若 V 為希爾伯特空間，則其連續對偶亦然，並反同構於 V；此蓋黎茲表示定理所明，物理學人賴以描述量子力學之bra-ket 符號肇端乎是。
類似雙重代數對偶，對連續線性算子亦有連續單射 Ψ : V → V ，此映射實為等距同構，即 ||Ψ(x)|| = ||x|| 對一切 V 中 x 皆真。使 Ψ 為雙射之空間稱自反空間。
連續對偶賦 V 以一新拓撲，名弱拓撲。
若 V 之對偶可分，則 V 亦可分。反之則不然；試取空間 l1，其對偶 l∞ 不可分。
引用
Bourbaki, Nicolas. Elements of mathematics, Algebra I. Springer-Verlag. 1989. ISBN 3-540-64243-9.
Paul Halmos. Finite dimensional vector spaces. Springer. 1974. ISBN 0387900934.
Walter Rudin. Functional analysis. McGraw-Hill Science. 1991. ISBN 978-0070542365.
4个分类：
線性代數
泛函分析
同調代數
對偶理論
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