紀
N.C.S.座標系統核校
AD:2012-06-12-00:15
循左而右 何前何后
上下散逝 往昔飄落
四界十方 八荒六合
天河之盡 可為源頭
輪迴無止 循環何休
永劫無復 魂夢散落
祇妳 終始
縈繞 心頭
... ...
~塵劫~:天地紀~竟:
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大爆炸年表
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物理宇宙學
WMAP 2008.png
宇宙 · 大爆炸
宇宙的年齡
大爆炸年表
宇宙的終極命運
显示▼早期宇宙
显示▼膨脹宇宙
显示▼結構形成
显示▼成分
显示▼時間表
显示▼實驗
隐藏▲科學家
愛因斯坦 · 霍金 · 弗里德曼 · 勒梅特 · 哈柏 · 彭齊亞斯 · 威爾遜 · 伽莫夫 · 狄基 · 澤爾多維奇 · 馬瑟 · 魯賓 · 斯穆特
查·論·編·歷
大爆炸年表根據被廣泛接受的大爆炸，使用宇宙的時間參數同移座標系統進行科學理論的描述。
觀測上建議宇宙開始於137億年前，從那時開始，宇宙的演變經歷了三個階段。我們對宇宙最早期的瞭解依然很貧乏，在那個瞬間宇宙是很熱的，微粒能量高於目前地球上最大的粒子加速器所能達到的。因此，這個世紀雖然將大爆炸理論的基本特點解決了，但大部份的細節仍然是以猜測為主。
在這段期間，在早期的宇宙，宇宙的演變過程依據已知的高能物理來進行。最早形成的是質子、中子和電子，然後才有核和原子，當中性的氫形成後，宇宙微波背景輻射也開始發射了。
然後物質繼續聚集誕生第一顆恆星和最初的星系，類星體、星系團和超星系團也形成了。
有幾種理論探討宇宙的結局。
目錄
1 非常早期的宇宙
1.1 普朗克時期
1.2 大一統時期
1.3 電弱時期
1.3.1 暴脹時期
1.3.2 再加熱
1.3.3 重子產生過程
2 早期的宇宙
2.1 超對稱的破壞
2.2 夸克時期
2.3 強子時期
2.4 輕子時期
2.5 光子時期
2.5.1 核合成
2.5.2 物質主導：70,000年
2.5.3 復合：377,000年
2.6 黑暗時期(Dark ages)
3 結構形成
3.1 再電離：從1億5000萬年至10億年
3.2 恆星的形成
3.3 星系的形成
3.4 星系群、星系團與超星系團的形成
3.5 太陽系的形成
4 參考資料
5 外部鏈結
非常早期的宇宙
所有關於非常早期的想法（宇宙的起源）都帶有臆測的成分。直至2010年初期，仍然沒有夠大的加速器，可以提供足夠的能量來洞察那個時期的宇宙。所有提出的理論有些從根本上就完全不相同，這些例子有：哈特利-霍金初始狀態、弦論、平坦宇宙、弦氣宇宙論、和火劫宇宙論。其中有一些是相互兼容的，但其他的則不是。
普朗克時期
從大爆炸開始至10–43秒
主條目：普朗克時期
如果超對稱是正確的，則現今的四種基本力— 電磁力、弱作用力、強作用力和重力都有著相等的強度，所以他們可能被結合成超力。對這個時代，我們知道的非常少，但是不同的理論仍然各自提出不同的場景。廣義相對論提出在這個時期之前是重力稀有的，但在這種情況下，理論上認為量子效應主導著這個時期，因此廣義相對論是不適用的。物理學家希望量子重力學，像是弦論和環量子重力和因果論（causal sets）最終能讓我們對這個時期有更好的理解。
大一統時期
從大爆炸之後10–43秒至10–36秒[1]
主條目：大一統時期
當宇宙膨脹並且從普朗克時期冷卻，重力首先從基本的大一統交互作用中分離：電磁和強核力和弱核力。物理學在這個階段以大一統理論描述在更大標準模型的群組下是殘破的一統群，此種殘破導致被觀測到的自然力。最終，大一統理論是殘破的，強核力將從電弱力中分離出來。這會造成膨脹，而依據某些理論，這應該產生磁單極。統一強和電弱力，意味著這個時期唯一的微粒是希格斯玻色子。
電弱時期
從大爆炸之後10–36秒至10–32秒[1]
主條目：電弱時期
宇宙的溫度降至足夠低（1028K強核力也從電弱力中分離出來（在一統的名稱下還有電磁和弱核力）。這個階段宇宙發生指數型的暴漲，形成著名的宇宙暴漲。當暴漲結束時，微粒間的交互作用仍有足夠的能量創造大量很特殊的微粒，包括W和Z玻色子和希格斯玻色子。
暴脹時期
從大爆炸之後10–36秒至10–32秒
主條目：暴脹時期
宇宙暴脹發生的時間和溫度都不是很確定的知道。但是目前一般的理論認為在暴脹的階段，宇宙的尺度膨脹了e^{70}左右。由於這個巨大的膨脹，在暴脹階段結束之後，宇宙的空間曲率變成平坦的。之後宇宙進入均質和各向同性膨脹的階段。量子擾動是形成我們今天所觀測到的結構的種子。例如微波背景輻射的各向異性，它的起源就是暴脹時期的量子擾動，在暴脹時被拉出了宇宙的視界，然後又在現在重新進入視界被我們觀測到。理論計算給出，這些擾動的功率譜是標度不變的。這已經被我們對微波背景輻射的功率譜的實驗觀測所證實，成為對暴脹的一個有力支持。隨著快速的擴張，有些能量形成光子，變成虛夸克和超子，但這些粒子衰變得很快。有些理論建議在宇宙暴脹之前，宇宙是冰冷且空無一物的，而巨大的熱和能量通過在大爆炸早期的相變中被創造出來，並導致暴脹的結束。
再加熱
當再加熱時，暴脹不再以指數的形式進行並且成為暴漲子的位能，場衰變成為熱能，與相對論性電漿的粒子。如果大一統是我們宇宙的特徵，則宇宙暴漲應該是在大一統之前或之後，對稱是殘破的，否則磁單極將出現在可見的宇宙中。在這個時間點上，宇宙是由輻射控制的，夸克、電子和微中子的形式。
重子產生過程
主條目：重子產生過程
目前還沒有足夠的觀測證據可以解釋為何宇宙中的重子會比反重子多。為了能解釋這樣的比值，Sakharov情況必須在暴漲之後的某個期間出現。當考慮到這樣的情景時，在粒子物理學的實驗中觀察這種現象，但觀測到的非對稱性太小，以致不能滿足宇宙中觀測到的非對稱性。
早期的宇宙
宇宙的歷史
在宇宙暴脹結束之後，宇宙中充滿了夸克-膠子漿。從這點向前，早期宇宙的物理被瞭解的較多，猜測的成份也比較少。
超對稱的破壞
主條目：超對稱的破壞
如果超對稱是我們宇宙的產物，當能量低於1TeV的電弱對稱尺度時，它將受到破壞。微粒的質量和它們的超伴子不再是相等的，這可以解釋為何已知的超伴子微粒未能被觀測到。
夸克時期
從大爆炸之後10–12秒至10–6秒
主條目：夸克時期
當電弱對稱被破壞時，電弱時期就結束了。所有的基本粒子應該通過希格斯機制獲取大量的希格斯玻色子得到質量，並得到真空期望值。基礎交互作用力的重力、電磁力、強核力和弱核力都形成現在的形式，但是宇宙的溫度還是太高，以至於不允許夸克束縛在一起形成強子。
強子時期
在大爆炸之後10–6秒至1秒
主條目：強子時期
組成宇宙的夸克-膠子電將繼續冷卻，直到包括質子、中子的強子可以形成。大約在大爆炸之後的1秒鐘，微中子分離出來並且可以在太空中自由通行。這種宇宙微中子背景輻射類似於以後發散出來的宇宙微波背景輻射，目前還不能仔細的觀察（參考上面關於在弦論時期中的夸克-膠子電漿。）。
輕子時期
在大爆炸之後1秒至10秒鐘
主條目：輕子時期
在強子時期的末期，多數的強子和反強子互相湮滅，留下的輕子和反輕子成為控制宇宙的主要質量。大約在大爆炸之後的10秒鐘，宇宙的溫度冷卻到輕子/反輕子對不再能創造出來，並且多數的輕子和反輕子在湮滅反應中被消滅掉，只留下少量殘餘的輕子。
光子時期
在大爆炸之後10秒鐘至380,000年
主條目：光子時期
在多數的輕子和反輕子湮滅之際的輕子時期結尾，宇宙的能量是由光子控制的。這些光子頻繁的和帶電的質子、電子和可能存在的少量核子進行交互作用，並且持續進行到300,000年。
核合成
在大爆炸之後3分鐘至20分鐘[2]
主條目：太初核合成
在光子時期，宇宙的溫度下降至原子核可以開始形成的溫度。質子（氫離子）和中子開始進行結合成原子核的核融合程序。但是核合成的時間只有短短的17分鐘，之後宇宙溫度和密度的下降使核融合不能再持續的進行。這時氫核的質量數大約是氦核的三倍，其它的原子核只有可尋跡的微量。
物質主導：70,000年
在這個時期，非相對論性的物質 (原子核) 與相對論性的輻射 (光子) 密度相等。 金斯長度，確定能夠構成的最小結構 (由於重力吸引和壓力的影響互相競爭)，開始形成和造成擾動，而不是被自由流的輻射消滅，可以開始有成長的幅度。
根據ΛCDM，在現階段，冷暗物質主導下，使引力坍塌造成的宇宙不均勻性在宇宙膨脹的過程中被放大，使稠密地區更稠密度而稀薄的地區更稀薄。但是，現今的理論對暗物質的本質還沒有定論，對目前存在的重子物直是否起源於更早的時期也還沒有共識下。
復合：377,000年
主條目：復合
WMAP的資料使我們能從透視圖看出宇宙微波背景輻射的變化，而實際的變化比圖中顯示的更為平滑。
氫和氦的原子開始形成時，宇宙的密度也在下降。這個時間被認為發生在大爆炸之後的377,000年[3]，氫和氦再度游離，也就是原子核不再束縛住電子，因此核帶有電量 (各自帶有+1或+2)。當宇宙的溫度降低，電子會再度被離子捕獲，使電性中和。這個過程相對來說是快速的 (實際上氦核的速度比氫核快)，也就是所謂的復合[4]。當復合結束時，宇宙中的原子幾乎都是中性的，因此光子可以自由的移動：宇宙也變得清澈透明了。光子輻射的光在復合之後.能不受阻礙的通行並且成為我們看見的宇宙微波背景輻射。因此宇宙微波背景 (CMB) 是這個時期的結束。
黑暗時期(Dark ages)
參見：21公分線
在退耦發生之前，多數的光子會和電子和質子在光子-重子液中發生交互作用，造成的結果是宇宙不透明或是"霧狀"。雖然有光線，但是沒有光線可以抵達望遠鏡。在宇宙中的重子物質包括電離的電漿，它只能在和自由電子"再結合"的期間成為中性，進而釋放出創造宇宙微波背景輻射的光子。當光子被釋放(或是退耦)，宇宙變成透明，但在這時只有中性氫自旋的21公分波長的輻射。這是目前觀測上努力進行檢測的微弱輻射，原則上這是一種更強大的工具，能研究比微波背景輻射更早期的宇宙。
結構形成
參見：結構形成
哈柏超深空經常展示來自遠古時期的星系，告訴我們早期有如現在布滿恆星的時期。
另一張哈柏的影像顯示一個在附近形成的嬰兒星系，這意味著在宇宙時間列上是最近發生的事情，這顯示出宇宙中新星系的形成在現在依然在發生。
大爆炸模型中的結構是層層節制的，具有較小的結構會在較大的結構之前先形成。最早形成的結構是類星體，它們被認為是明亮的、早期的活躍星系，和第三星族星。在這個時期之前，宇宙的發展可以通過線性宇宙論的攝動理論來瞭解：也就是說，所有的結構都可以理解為是一個完美、均質宇宙的小變化，這是通過計算相對來說較容易的研究。非線性的結構從這個點上開始形成，計算上的問題就變得更加困難，包括，例如，數十億顆粒子的多體模擬。
再電離：從1億5000萬年至10億年
參見：再電離及21公分線
第一批類星體是從重力塌縮形成的，它們發出的強烈輻射使周圍的宇宙再電離。從這個時間點開始，宇宙的大部份都由電漿組成。
恆星的形成
參見：恆星形成
星系的形成
參見：星系的形成和演化
星系群、星系團與超星系團的形成
參見：大尺度結構
太陽系的形成
參見：太陽系的形成與演化
參考資料
^ 1.0 1.1 Ryden B: "Introduction to Cosmology", pg. 196 Addison-Wesley 2003
^ Detailed timeline of Big Bang nucleosynthesis processes
^ Hinshaw, G.; et al.. Five-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Data Processing, Sky Maps, and Basic Results (PDF). Astrophysical Journal Supplement. 2009, 180: 225–245. doi:10.1088/0067-0049/180/2/225. arXiv:0803.0732.
^ Mukhanov, V: "Physical foundations of Cosmology", pg. 120, Cambridge 2005
外部鏈結
PBS Online (2000). From the Big Bang to the End of the Universe - The Mysteries of Deep Space Timeline. Retrieved March 24, 2005.
Schulman, Eric (1997). The History of the Universe in 200 Words or Less. Retrieved March 24, 2005.
Space Telescope Science Institute Office of Public Outreach (2005). Home of the Hubble Space Telescope. Retrieved March 24, 2005.
Fermilab graphics (see "Energy time line from the Big Bang to the present" and "History of the Universe Poster")
Exploring Time from Planck time to the lifespan of the universe
Astronomers first detailed hint of what was going on less than a trillionth of a second after time began
The Universe Adventure
揭秘「暗星」 也許大爆炸之後由暗物質驅動的奇異恆星會率先形成。
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查 · 論 · 編
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查·論·編·歷
宇宙的終極命運是物理宇宙學中一個主要的議題。許多科學理論都對宇宙的命運做出預測，包括時間的無限及有限的爭論。自從大爆炸理論被科學家廣泛的接受後，宇宙的終極命運也就成為一個可以被探討的問題。
宇宙的形狀
根據天文觀測和宇宙學理論，可以對可觀測宇宙未來的演化作出預言。均勻各向同性的宇宙的膨脹滿足弗里德曼方程式。多年來，人們認為，根據這一方程式，物質的引力會導致宇宙的膨脹減速。宇宙的最終命運決定於物質的多少：如果物質密度超過臨界密度，宇宙的膨脹最後會停止，並逆轉為收縮，最終形成與大爆炸相對的一個「大擠壓」（big crunch）；如果物質密度等於或低於臨界密度，則宇宙會一直膨脹下去。另外，宇宙的幾何形狀也與密度有關： 如果密度大於臨界密度，宇宙的幾何應該是封閉的；如果密度等於臨界密度，宇宙的幾何是平直的；如果宇宙的密度小於臨界密度，宇宙的幾何是開放的。並且，宇宙的膨脹總是減速的。
參見
熱寂
大擠壓
大反彈
大撕裂
外部連結
Baez, J., 2004, "The End of the Universe."
Caldwell, R. R., Kamionski, M., and Weinberg, N. N., 2003, "Phantom Energy and Cosmic Doomsday," Physical Review Letters 91.
Hjalmarsdotter, Linnea, 2005, "Cosmological parameters."
4个分类：
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未來學
末世論
科學理論
量子力學
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量子力學
\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
不確定性原理
入門、數學表述
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显示▼詮釋
显示▼進階理論
显示▼科學家
查·論·編·歷
氫原子的電子雲的機率密度：從上向下為主量子數n（1、2、3），從左向右為方位角量子數l（s、p、d）
量子力學是描寫微觀物質的一個物理學理論，與相對論一起被認為是現代物理學的兩大基本支柱，許多物理學理論和科學如原子物理學、固體物理學、核物理學和粒子物理學以及其它相關的學科都是以量子力學為基礎。
19世紀末，古典力學和古典電動力學在描述微觀系統時的不足越來越明顯。量子力學是在20世紀初由馬克斯·普朗克、尼爾斯·波耳、沃納·海森堡、埃爾溫·薛丁格、沃爾夫岡·包立、路易·德布羅意、馬克斯·玻恩、恩里科·費米、保羅·狄拉克等一大批物理學家共同創立的。通過量子力學的發展人們對物質的結構以及其交互作用的見解被革命化地改變。通過量子力學許多現象才得以真正地被解釋，新的、無法直覺想像出來的現象被預言，但是這些現象可以通過量子力學被精確地計算出來，而且後來也獲得了非常精確的實驗證明。除通過廣義相對論描寫的重力外，至今所有其它物理基本交互作用均可以在量子力學的框架內描寫（量子場論）。
目錄
1 關鍵現象
1.1 光與物質的交互作用
1.1.1 黑體輻射
1.1.2 光電效應
1.2 原子結構
1.3 物質繞射
2 數學基礎
2.1 歷史
2.2 公設
2.3 量子態
2.4 動力學演化
2.5 一個具體例子
3 物理意義
3.1 基礎
3.1.1 測量過程
3.1.2 不確定性原理
3.1.3 機率
3.1.4 同樣粒子的不可區分性和包立原理
3.1.5 量子糾纏
3.1.6 量子去相干
3.2 應用
3.2.1 原子物理和化學
3.2.2 原子核物理學
3.2.2.1 重要主題
3.2.3 固體物理學
3.2.4 量子信息學
4 與其它物理理論的關係
4.1 與古典物理的界限
4.2 與相對論的結合
4.3 強交互作用和弱交互作用
4.4 萬有引力
5 解釋和哲學觀點
5.1 解釋
5.2 哲學問題
6 重要主題
7 注釋及參考文獻
8 外部連結
關鍵現象
光與物質的交互作用
黑體輻射
主條目：黑體輻射
19世紀末，許多物理學家對黑體輻射非常感興趣。黑體是一個理想化了的物體，它可以吸收所有照射到它上面的輻射，並將這些輻射轉化為熱輻射，這個熱輻射的光譜特徵僅與該黑體的溫度有關。但從古典物理學出發得出的有關二者間關係的公式（維因公式和瑞立公式）與實驗數據不符（被稱作「 紫外災變」）。1900年10月，馬克斯·普朗克通過插值維因公式和瑞立公式，得出了一個於實驗數據完全吻合的黑體輻射的普朗克公式。但是在詮釋這個公式時，通過將物體中的原子看作微小的量子諧振子，他不得不假設這些原子諧振子的能量，不是連續的，而是離散的（古典物理學的觀點恰好相反）：
E_n=nh\nu
這裡 n 是一個整數，h 是一個自然常數。（後來證明正確的公式，應該以 n+1/2 來代替 n ，參見零點能量）。1900年，普朗克在描述他的輻射能量子化的時候非常地小心，他僅假設被吸收和放射的輻射能是量子化的。今天這個新的自然常數被稱為普朗克常數來紀念普朗克的貢獻。其值為 h=6.626176\cdot 10^{-34} Js 。
光電效應
主條目：光電效應
1905年，阿爾伯特·愛因斯坦通過擴展普朗克的量子理論，提出不僅僅物質與電磁輻射之間的交互作用是量子化的，而且量子化是一個基本物理特性的理論。通過這個新理論，他得以解釋光電效應。海因里希·魯道夫·赫茲和菲利普·萊納德等人的實驗，發現通過光照，可以從金屬中打出電子來。同時他們可以測量這些電子的動能。不論入射光的強度，只有當光的頻率，超過一個臨限值後，才會有電子被射出。此後被打出的電子的動能，隨光的頻率線性升高，而光的強度僅決定射出的電子的數量。愛因斯坦提出了光的量子（光子這個名稱後來才出現）的理論，來解釋這個現象。光的量子的能量為
E=h\nu\;
在光電效應中這個能量被用來將金屬中的電子射出（功函數）E_{\mbox{w}}和加速電子（動能）：
h\nu=E_{\mbox{w}}+\frac{1}{2}mv^2
這裡 m 是電子的質量，v 是其速度。假如光的頻率太小的話，那麼它無法使得電子越過逸出功，不論光強有多大。照射時間有多長，都不會發生光電效應,而入射光的頻率高於極限頻率時,即使光不夠強,當它射到金屬表面時也會觀察到光電子發射.
原子結構
20世紀初拉塞福模型是當時被認為正確的原子模型。這個模型假設帶負電荷的電子，像行星圍繞太陽運轉一樣，圍繞帶正電荷的原子核運轉。在這個過程中庫侖力與離心力必須平衡。但是這個模型有兩個問題無法解決。
首先，按照古典電磁學，這個模型不穩定。按照電磁學，電子不斷地在它的運轉過程中被加速，同時應該通過放無線電磁波喪失其能量，這樣它很快就會墜入原子核。其次原子的發射光譜，由一系列離散的發射線組成，比如氫原子的發射光譜由一個紫外線系列（來曼系）、一個可見光系列（巴耳麥系）和其它的紅外線系列組成。按照古典理論原子的發射譜應該是連續的。
1913年，尼爾斯·波耳提出了以他命名的波耳模型，這個模型為原子結構和光譜線，給出了一個理論原理。波耳認為電子只能在一定能量E_n的軌道上運轉。假如一個電子，從一個能量比較高的軌道（E_n），躍到一個能量比較低的軌道（E_m）上時，它發射的光的頻率為
\nu=\frac{E_n-E_m}{h}
通過吸收同樣頻率的光子，可以從低能的軌道，躍到高能的軌道上。
波耳模型可以解釋氫原子，改善的波耳模型，還可以解釋只有一個電子的離子，即 He+, Li2+, Be3+ 等。但無法準確地解釋其它原子的物理現象。
物質繞射
外村彰的繞射試驗結果
1919年柯林頓·戴維森等人，首次成功地使用電子進行了繞射試驗，路易·德布羅意由此提出粒子擁有波性，其波長與其動量相關
\lambda_{Broglie}=\frac{h}{p}。
簡單起見這裡不詳細描寫戴維森等人的試驗，而是描寫電子的雙縫實驗。通過這個試驗，可以非常生動地體現出多種不同的量子力學現象。
右圖顯示了這個試驗的結果：
打在螢幕上的電子是點狀的，這個現象與一般感受到的點狀的粒子相同。
電子打在螢幕上的位置，有一定的分布機率，隨時間可以看出雙縫繞射所特有的條紋圖像。假如一個光縫被關閉的話，所形成的圖像是單縫特有的波的分布機率。
在圖中的試驗裡，電子源的強度非常低（約每秒10顆電子），因此電子之間的繞射可以被排除。顯然電子同時通過了兩個縫，與自己繞射導致了這個結果。對於古典物理學來說，這個解釋非常奇怪。從量子力學的角度來看，電子的分布機率和繞射結果均可以通過 |\psi\rangle = 1/\sqrt{2} \, (|1\rangle + |2\rangle) 這兩個通過兩個柵的、疊加在一起的狀態，簡易地演算出來。這個試驗非常明顯地顯示出了波粒二象性。
這個試驗証實了薛丁格開發他的量子力學時所作的假設，即每個粒子也同時可以被一個波函數來描寫，而這個波函數是多個不同狀態的疊加。
數學基礎
量子力學的數學基礎是由埃爾溫·薛丁格，保羅·狄拉克，帕斯庫爾·約當和約翰·馮·諾伊曼相繼建立和嚴格化的。在這些數學框架下, 一個物理系統的量子力學描述有三個主要部分：量子態、可觀察量和動力學（即其演化）. 此外物理對稱性也是一個非常重要的特性。
歷史
在1926年左右，出現了兩種量子物理的理論，即海森堡，波恩和約當的矩陣力學和薛丁格的波動力學。1926年薛丁格第一個證明兩者的等價性，雖然薛丁格的證明在數學上不夠嚴謹。稍後狄拉克和約當給出了更為嚴謹的證明。但是他們的證明都使用了當時在數學上存在疑問的狄拉克delta函數。1927年馮·諾依曼嚴格地證明了波動力學和矩陣力學的等價性。在這些證明過程中，尤其是馮·諾依曼的證明，量子力學被構建在無窮維可分離的希爾伯特空間之中。馮·諾依曼在其中引入勒貝格測度下的平方可積函數作為一組基。波動力學被視為量子力學在這一組基下的實現。1930年保羅·狄拉克出版了他的著作《量子力學原理》（Principles of Quantum Mechanics），這是整個科學史上的一個里程碑之作。狄拉克在書中引入了此後被廣泛應用的左右矢記號和狄拉克delta函數。從而量子力學可以表示為不依賴特定基的形式。1936年，馮·諾依曼和博克霍夫在研究量子力學的代數化方法的基礎上發展了量子邏輯。量子邏輯中的格里森定理對量子力學測量問題有重要的意義。1948年左右，理察·費曼給出了量子力學的路徑積分表述。
公設
非相對論性的單粒子量子力學的數學理論基於以下公設：
一個物理系統於時間點 t 的狀態可以由希爾伯特空間 \mathcal{H} 中的一個歸一化向量 |\psi(t)\rangle 來定義。這裡的希爾伯特空間指的是定義了內積的平方可積的線性向量空間。
每個可觀測量 A 可以通過狀態空間中的一個厄米算符 \hat{A} 來表示，可觀測量 A 在狀態 \left|\psi\right\rangle\in \mathcal{H} 的期望值（即測量結果的平均值）為 \langle\psi\mid \hat{A}\mid\psi\rangle 。進一步的，對應於可觀測量的厄米算符的所有本徵態構成希爾伯特空間中的正交歸一的完備函數系。任意一個態向量都可以由該算符的本徵態展開。如果系統處於算符的本徵態上，對應的可觀測量具有唯一確定的測量值，即該本徵態對應的本徵值。對於任意的態，觀測量的測量值是各本徵值的帶權平均。量子力學中的測量是不可逆的，測量後系統處於該測量值的一個特徵向量上。
位置算符和動量算符之間滿足正則對易關係。由此對易關係可以確定動量算符的表達式，而所有的其他算符都可以由位置算符和動量算符表出。由算符的對易式可導出不確定性原理：兩個可觀察量 \hat{A} 和 \hat{B} 之間的不確定性為 \Delta A\Delta B \ge \left|\frac{\langle[\hat{A},\,\hat{B}]\rangle}{2i}\right| 。
狀態向量 |\psi(t)\rangle 的動力學演化由薛丁格方程式表示： i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi(x,\,t)\rangle = H(x,\,t)|\psi(x,\,t)\rangle ，在這裡哈密頓算符 H(x,\,t) 通常對應於系統的總能量。
為了描寫無法獲得最多信息的量子狀態物理學家創造了密度矩陣。密度矩陣包含了它所描寫的系統通過測量可以獲得的最多信息。
近年來數學家和物理學家才找到了一個非常廣義的可觀察量的數學描述，即廣義量子測量（POVM）。這個理論在傳統的教科書中基本上還未提到。完備正映射（completely positive maps）可以非常廣泛、而且在數學上非常優美地描寫量子系統的運算。這個新的描寫方法擴展了上面所敘述的傳統的諾伊曼方法，而且還可以描寫上述方法無法描寫的現象，比如持續性的不確定性的測量等等。
量子態
主條目：量子態
在古典力學中，一個擁有 f 自由度的物理系統及其隨時間的發展，可以通過 f 對正則坐標 (q_i,\, p_i) 完全決定。在量子力學中，兩個相互共軛的可觀察量，從原則上，就無法無限精確地被測量。因此，如何相應有意義地，定義一個量子物理學的系統，是一個非常基本的問題。在量子力學中，一個物理系統僅通過同時可以被測量的可觀察量來定義，是它與古典力學最主要的區別。只有通過徹底地使用這樣的狀態定義，才能夠理論性地描寫許多量子物理現象。
在量子力學中，一個物理狀態 |\psi\rangle 由最多 \{O_1,\,O_2,\,\ldots,\,O_f\} 個同時可以被測量的可觀察量定義。這些同時可以被測量的可觀察量，稱為相容可觀察量。在測量時，一個可觀察量，可以擁有一定的值。可能獲得的測量值 n ，被稱為可觀察量的本徵值。根據系統的不同，它可以是離散的，也可以是連續的。屬於這些本徵值的狀態，被稱為該可觀察量的本徵態。由於上面的定義中的可觀察量，是相容的，因此它們互相之間不影響。通過使用適當的過濾，一個已知的量子物理系統，可以被預備到一個一定的狀態。以上相容可觀察量的本徵態為
|\psi\rangle = \left|n^{(O_1)},\,\ldots,\,n^{(O_f)}\right\rangle.
這樣的狀態常被稱為「純量子狀態」。
值得注意的是不像古典系統那樣，這樣的量子狀態中，並非所有可測量的特性均被確定。對於與上述相容可觀察量不相容的物理量的本徵值，只能給出獲得一定測量值的機率，但是每個測量值肯定是其可觀察量的本徵值。這個原則性的不確定性，是從前面所提到的不確定性原理來的。它是量子力學最重要的結論，同時也是許多人反對量子力學的原因。
對於一個現有的量子物理學系統來說，一個可觀察量的本徵值，所構成的本徵狀態，組成一個線性的狀態空間 \mathcal H 。從數學的角度來看這個空間是一個希爾伯特空間。這個狀態空間，表示了所有這個系統所可能擁有的狀態。因此，即使是非常簡單的量子力學系統，比如一個由量子諧振子組成的系統，它的狀態空間就已經有無限多個維了。非常重要的是多個狀態的線性組合，也是該狀態空間的一部分，即使這個線性組合，不是可觀察量的本徵態。
|\psi\rangle = \sum_i \omega_i |n_i\rangle,\quad \omega_i\in\mathbb{C}
這個現象被稱為多個狀態的疊加。比較直觀地，這就好像一個平面內的兩個向量的和，依然是該平面內的一個向量。
最簡單的一個這樣疊加的二態系統的例子是一個量子位元（或稱量子比特）。
動力學演化
量子態的動力學有不同的模型（也被稱為「繪景」）來表示。通過重新定義算符和狀態這些不同的模型可以互相轉換，它們實際上是等價的。
薛丁格繪景對一個系統的動力學是這樣描述的：一個狀態由一個可導的、以時間 t 為參量的、希爾伯特狀態空間上的函數定義。假如 \left|\psi\left(t\right)\right\rangle 是對一個時間點 t 的狀態描述的話，那麼以下的薛丁格方程式成立：
\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\psi(t)\right\rangle=H\left|\psi(t)\right\rangle
這裡，H 是哈密頓算符，相當於整個系統的總能量的可觀察量，是一個緊湊地定義的、自伴算符，i 是虛數單位，\hbar 是普朗克常數。
在海森堡繪景，狀態本身不隨時間變化，但是可觀察量的算符隨時間變化。隨時間變化的海森堡運算符由以下微分方程式定義：
\mathrm{i}\hbar{\mathrm{d}\over \mathrm{d}t}A(t) = [A(t),H]
通過數學演化，可以證明，假如可觀察量 A 在薛丁格繪景中，不隨時間變化的話，通過薛丁格繪景和海森堡繪景獲得的 A 的期望值是相同的。
在交互作用繪景中，狀態和算符均可隨時間變化。但是，狀態和算符的哈密頓算符不同。尤其在狀態隨時間的變化，有精確的解的情況下，這個繪景非常有用。在這個情況下，所有的數學計算，全部規限於算符的時間變化上了。因此，對於狀態的哈密頓算符被稱為「自由哈密頓算符」，對可觀察量的哈密頓算符被稱為「交互作用哈密頓算符」。動力學的發展可以由以下兩個公式來描寫：
\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\psi(t)\right\rangle=\operatorname{H_0}\left|\psi(t)\right\rangle
i\hbar{\partial\over\partial t}A(t) = [A(t),H_{\rm int}]
海森堡繪景最類似於古典力學的模型，從教育學的觀點來看薛丁格繪景最容易理解。互相作用繪景常被用在攝動理論中（尤其是在量子場論中）。
有些波函數形成不隨時間變化的機率分布。許多在古典力學中隨時間動態變化的過程，在量子力學中形成這樣的「定態波函數」。比如說，原子中的一顆電子，在其最低狀態下，在古典力學中，由一個圍繞原子核的圓形軌道來描寫，而在量子力學中則由一個靜態的、圍繞原子核的球狀波函數來描寫。
薛丁格方程式與海森堡方程式和交互作用繪景中的方程式一樣均是偏微分方程式，只有在少數情況下，這些方程式才能被精確地解。氦原子的電子結構就已經無法被精確地解了。但是，實際上，有許多不同的技術來求得近似解。一個例子是攝動理論，它使用已知的簡單的模型系統的解來計算更複雜的模型。尤其在複雜模型中的交互作用，可以被看作是對簡單模型的「小」干擾時，這個技術特別有效。另一個技術是所謂的半古典近似，它尤其適用於量子效應比較小的系統中。
另一個計算量子力學系統的方法是理察·費曼的費曼圖積分的方法。在這個技術中，一個量子力學系統的狀態值，等於這個系統從一個狀態過渡到另一個狀態的所有可能的路徑的可能性的和。
一個具體例子
在這裡以一個自由粒子為例。一個自由粒子的量子態，可以被一個任意在空間分布的波函數來表示。位置和動量是該粒子的可觀察量。位置的本徵態之一，是一個在一個特定的位置 x ，擁有一個巨大的值，在所有其它位置的值為 0 的波函數。在這個情況下，進行一次位置測量的話，可以確定 100% 的可能性，該粒子位於 x 。與此同時，其動量的本徵態是一個平面波。事實上，該平面波的波長為 h/p ，在這裡 h 是普朗克常數，而 p 是該本徵態的動量。
一般來說，一個系統不會處於其任何一個可觀察量的本徵態上，但是假如我們測量一個可觀察量的話，其波函數就會立刻處於該可觀察量的本徵態上。這個過程被稱為波函數塌縮。假如，我們知道測量前的波函數是怎樣的話，我們可以計算出它塌縮到不同本徵態的機率。比如一般來說，上述自由粒子的波函數是一個波包，這個波函數分布於一個平均位置 x_0 周圍。它既不是位置，也不是動量的本徵態。但假如我們測量這個粒子的位置的話，我們無法精確地預言測量結果，我們只能給出測量結果的可能性。可能我們測量到的位置在 x_0 附近，因為這裡的可能性最高。測量後該粒子的波函數倒塌到了一個位於測量結果 x 的位置本徵態。
使用薛丁格方程式，來計算上述自由粒子，獲得的結果，可以看出該波包的中心，以恆定的速度在空間運動，就像在古典力學中，一個不受力的粒子一樣。但是隨著時間的發展，這個波包會越來越彌散，這說明其位置測量會越來越不精確。這也說明，隨著時間的發展，本來非常明確的位置本徵態會不斷彌散，而這個彌散的波包就已經不再是位置的本徵態了。
物理意義
基礎
測量過程
量子力學與古典力學的一個主要區別，在於測量過程在理論中的地位。在古典力學中，一個物理系統的位置和動量，可以無限精確地被確定和被預言。至少在理論上，測量對這個系統本身，並沒有任何影響，並可以無限精確地進行。在量子力學中，測量過程本身對系統造成影響。
要描寫一個可觀察量的測量，需要將一個系統的狀態，線性分解為該可觀察量的一組本徵態的線性組合。測量過程可以看作是在這些本徵態上的一個投影，測量結果是對應於被投影的本徵態的本徵值。假如，對這個系統的無限多個拷貝，每一個拷貝都進行一次測量的話，我們可以獲得所有可能的測量值的機率分布，每個值的機率等於對應的本徵態的係數的絕對值平方。
由此可見，對於兩個不同的物理量 A 和 B 的測量順序，可能直接影響其測量結果。事實上，不相容可觀察量就是這樣的，即 [A,\,B]\neq 0 。
不確定性原理
主條目：不確定性原理
最著名的不相容可觀察量，是一個粒子的位置 x 和動量 p 。它們的不確定性 \Delta x 和 \Delta p 的乘積，大於或等於普朗克常數的一半：
\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
這個公式被稱為不確定性原理。它是由海森堡首先提出的。不確定的原因是位置和動量的測量順序，直接影響到其測量值，也就是說其測量順序的交換，直接會影響其測量值。[1]
海森堡由此得出結論，認為不確定性是由於測量過程的限制導致的，至於粒子的特性是否真的不確定還未知。波耳則將不確定性看作是物理系統的一個原理。今天的物理學見解基本上接受了波耳的解釋。不過，在今天的理論中，不確定性不是單一粒子的屬性，而是一個系綜相同的粒子的屬性。這可以視為一個統計問題。不確定性是整個系綜的不確定性。也就是說，對於整個系綜來說，其總的位置的不確定性 \Delta x 和總的動量的不確定性 \Delta p ，不能小於一個特定的值：
\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
機率
通過將一個狀態分解為可觀察量本徵態 |n_i\rangle 的線性組合，可以得到狀態在每一個本徵態的機率幅 c_i 。這機率幅的絕對值平方 |c_i|^2 就是測量到該本徵值 n_i 的機率，這也是該系統處於本徵態 |n_i\rangle 的機率。c_i 可以通過將 |\psi\rangle 投影到各本徵態 |n_i\rangle 上計算出來：
c_i = \langle n_i|\psi\rangle
因此，對於一個系綜的完全相同系統的某一可觀察量，進行同樣地測量，一般獲得的結果是不同的；除非，該系統已經處於該可觀察量的本徵態上了。通過對系綜內，每一個同一狀態的系統，進行同樣的測量，可以獲得測量值 n_i 的統計分布。所有試驗，都面臨著這個測量值與量子力學的統計計算的問題。
同樣粒子的不可區分性和包立原理
由於從原則上，無法徹底確定一個量子物理系統的狀態，因此在量子力學中內在特性（比如質量、電荷等）完全相同的粒子之間的區分，失去了其意義。在古典力學中，每個粒子的位置和動量，全部是完全可知的，它們的軌跡可以被預言。通過一個測量，可以確定每一個粒子。在量子力學中，每個粒子的位置和動量是由波函數表達，因此，當幾個粒子的波函數互相重疊時，給每個粒子「掛上一個標籤」的做法失去了其意義。
這個全同粒子 (identical particles) 的不可區分性，對狀態的對稱性，以及多粒子系統的統計力學，有深遠的影響。比如說，一個由全同粒子組成的多粒子系統的狀態，在交換兩個粒子「1」和粒子「2」時，我們可以證明，不是對稱的 (|\psi _{12} \rang = + |\psi _{21} \rang) ，就是反對稱的 (|\psi _{12} \rang = - |\psi _{21} \rang) 。對稱狀態的粒子被稱為玻色子，反對稱狀態的粒子被稱為費米子。此外自旋的對換也形成對稱：自旋為半數的粒子（如電子、質子和中子）是反對稱的，因此是費米子；自旋為整數的粒子（如光子）是對稱的，因此是玻色子。
這個深奧的粒子的自旋、對稱和統計學之間關係，只有通過相對論量子場論才能導出，但它也影響到了非相對論量子力學中的現象。費米子的反對稱性的一個結果是包立不相容原理，即兩個費米子無法佔據同一狀態。這個原理擁有極大的實用意義。它表示在我們的由原子組成的物質世界裡，電子無法同時佔據同一狀態，因此在最低狀態被佔據後，下一個電子必須佔據次低的狀態，直到所有的狀態均被滿足為止。這個現象決定了物質的物理和化學特性。
費米子與玻色子的狀態的熱分布也相差很大：玻色子遵循玻色-愛因斯坦統計，而費米子則遵循費米-狄拉克統計。
量子糾纏
主條目：量子糾纏
往往一個由多個粒子組成的系統的狀態，無法被分離為其組成的單個粒子的狀態，在這種情況下，單個粒子的狀態被稱為是糾纏的。糾纏的粒子有驚人的特性，這些特性違背一般的直覺。比如說，對一個粒子的測量，可以導致整個系統的波包立刻塌縮，因此也影響到另一個、遙遠的、與被測量的粒子糾纏的粒子。這個現象並不違背狹義相對論，因為在量子力學的層面上，在測量粒子前，你不能定義它們，實際上它們仍是一個整體。不過在測量它們之後，它們就會脫離量子糾纏的狀態。
量子去相干
主條目：量子去相干
作為一個基本理論，量子力學原則上，應該適用於任何大小的物理系統，也就是說不僅限於微觀系統，那麼，它應該提供一個過渡到巨觀「古典」物理的方法。量子現象的存在提出了一個問題，即怎樣從量子力學的觀點，解釋巨觀系統的古典現象。尤其無法直接看出的是，量子力學中的疊加狀態，如何應用到巨觀世界上來。1954年，愛因斯坦在給馬克斯·波恩的信中，就提出了怎樣從量子力學的角度，來解釋巨觀物體的定位的問題，他指出僅僅量子力學現象太「小」無法解釋這個問題。
這個問題的另一個例子是由薛丁格提出的薛丁格的貓的思想實驗。
直到1970年左右，人們才開始真正領會到，上述的思想實驗，實際上並不實際，因為它們忽略了不可避免的與周圍環境的交互作用。事實證明，疊加狀態非常容易受周圍環境的影響。比如說，在雙縫實驗中，電子或光子與空氣分子的碰撞或者發射輻射，就可以影響到對形成繞射非常關鍵的各個狀態 |\phi_n^{System}\rangle 之間的相位的關係。在量子力學中這個現象，被稱為量子去相干。它是由系統狀態與周圍環境影響的交互作用導致的。這個交互作用可以表達為每個系統狀態 |\phi_n^{System}\rangle 與環境狀態 |\phi_m^{environment}\rangle 的糾纏。其結果是只有在考慮整個系統時（即實驗系統+環境系統）疊加才有效，而假如孤立地只考慮實驗系統的系統狀態 |\phi_n^{System}\rangle 的話，那麼就只剩下這個系統的「古典」分布了[2]。
量子去相干時間（秒）[2]
自由電子 10微米的塵埃 保齡球
300K，標準氣壓 10-12 10-18 10-26
300K，高真空 10 10-4 10-12
陽光（地球表面） 109 10-10 10-18
熱輻射（300K） 107 10-12 10-20
宇宙微波輻射（2.73K） 109 10-7 10-18
右表列出了不同物體和環境裡，量子去相干的速度。顯然即使在非常弱的環境影響下，一個巨觀物體也已經在極短的時間裡去相干了。
在上面的這個敘述中，有一個內在的假設，即去相干後的系統，自然地是我們所熟悉的古典系統。但是，這個假設並不是那麼理所當然。比如說，去相干後的巨觀系統，一般是我們所熟悉的位置狀態明確的狀態，而微觀系統則往往去相干為位置狀態不明確的狀態（比如能量特徵狀態），這是為什麼呢？這個問題的答案也來自周圍環境對系統的影響。事實上，只有不被去相干過程直接摧毀的狀態，才提供一個堅固的、去相干後的可觀察量[2][3]。
量子去相干是今天量子力學解釋巨觀量子系統的古典性質的主要方式[3]。
對於量子計算機來說，量子去相干也有實際意義。在一台量子計算機中，需要多個量子狀態儘可能地長時間保持疊加。去相干時間短是一個非常大的技術問題。
應用
在許多現代技術裝備中，量子物理學的效應起了重要的作用。從雷射、電子顯微鏡、原子鐘到核磁共振的醫學圖像顯示裝置，都關鍵地依靠了量子力學的原理和效應。對半導體的研究導致了二極體和三極體的發明，最後為現代的電子工業鋪平了道路。在核武器的發明過程中，量子力學的概念也起了一個關鍵的作用。
在上述這些發明創造中，量子力學的概念和數學描述，往往很少直接起了一個作用，而是固體物理學、化學、材料科學或者核物理學的概念和規則，起了主要作用，但是，在所有這些學科中，量子力學均是其基礎，這些學科的基本理論，全部是建立在量子力學之上的。
以下僅能列舉出一些最顯著的量子力學的應用，而且，這些列出的例子，肯定也非常不完全。實際上，在現代的技術中，量子力學無處不在。
原子物理和化學
任何物質的化學特性，均是由其原子和分子的電子結構所決定的。通過解析包括了所有相關的原子核和電子的多粒子薛丁格方程式，可以計算出該原子或分子的電子結構。在實踐中，人們認識到，要計算這樣的方程式實在太複雜，而且在許多情況下，只要使用簡化的模型和規則，就足以確定物質的化學特性了。在建立這樣的簡化的模型中，量子力學起了一個非常重要的作用。
一個在化學中非常常用的模型是原子軌道。在這個模型中，分子的電子的多粒子狀態，通過將每個原子的電子單粒子狀態加到一起形成。這個模型包含著許多不同的近似（比如忽略電子之間的排斥力、電子運動與原子核運動脫離等等），但是它可以近似地、準確地描寫原子的能級。除比較簡單的計算過程外，這個模型還可以直覺地給出電子排布以及軌道的圖像描述。
通過原子軌道，人們可以使用非常簡單的原則（洪德定則）來區分電子排布。化學穩定性的規則（八隅律、幻數）也很容易從這個量子力學模型中推導出來。
通過將數個原子軌道加在一起，可以將這個模型擴展為分子軌道。由於分子一般不是球對稱的，因此這個計算要比原子軌道要複雜得多。理論化學中的分支，量子化學和計算機化學，專門使用近似的薛丁格方程式，來計算複雜的分子的結構及其化學特性的學科。
原子核物理學
原子核物理學是研究原子核性質的物理學分支。它主要有三大領域：研究各類次原子粒子與它們之間的關係、分類與分析原子核的結構、帶動相應的核子技術進展。
重要主題
放射性衰變
核反應
核分裂
核融合
原子核模型
液滴模型
殼層模型
集體模型
固體物理學
主條目：固體物理學
為什麼金剛石硬、脆和透明，而同樣由碳組成的石墨卻軟而不透明？為什麼金屬導熱、導電，有金屬光澤？發光二極體、二極體和三極體的工作原理是什麼？鐵為什麼有鐵磁性？超導的原理是什麼？
以上這些例子，可以使人想像出固體物理有多麼多樣性。事實上，凝態物理學是物理學中最大的分支，而所有凝態物理學中的現象，從微觀角度上，都只有通過量子力學，才能正確地被解釋。使用古典物理，頂多只能從表面上和現象上，提出一部分的解釋。
以下列出了一些量子效應特別強的現象：
晶格現象：音子、熱傳導
靜電現象：壓電效應
電導：絕緣體、導體、半導體、電導、能帶結構、近藤效應、量子霍爾效應、超導現象
磁性：鐵磁性
低溫態：玻色-愛因斯坦凝聚、超流體、費米子凝態
維效應：量子線、量子點
量子信息學
目前研究的焦點在於一個可靠的、處理量子狀態的方法。由於量子狀態可以疊加的特性。理論上，量子計算機可以高度平行運算。它可以應用在密碼學中。理論上，量子密碼術可以產生完全可靠的密碼。但是，實際上，目前這個技術還非常不可靠。另一個當前的研究項目，是將量子狀態傳送到遠處的量子隱形傳送。
與其它物理理論的關係
與古典物理的界限
1923年，尼爾斯·波耳提出了對應原理，認為量子數（尤其是粒子數）高到一定的極限後的量子系統，可以很精確地被古典理論描述。這個原理的背景是，事實上，許多巨觀系統，可以非常精確地被古典理論，如古典力學和電磁學來描寫。因此一般認為在非常「大」的系統中，量子力學的特性，會逐漸退化到古典物理的特性，兩者並不相抵觸。
因此，對應原理是建立一個有效的量子力學模型的重要輔助工具。量子力學的數學基礎是非常廣泛的，它僅要求狀態空間是希爾伯特空間，其可觀察量是線性的算符。但是，它並沒有規定在實際情況下，哪一種希爾伯特空間、哪些算符應該被選擇。因此，在實際情況下，必須選擇相應的希爾伯特空間和算符來描寫一個特定的量子系統。而對應原理則是做出這個選擇的一個重要輔助工具。這個原理要求量子力學所做出的預言，在越來越大的系統中，逐漸近似古典理論的預言。這個大系統的極限，被稱為「古典極限」或者「對應極限」。因此可以使用啟發法的手段，來建立一個量子力學的模型，而這個模型的極限，就是相應的古典物理學的模型。
與相對論的結合
量子力學發展初期動力學理論與相對論並不相容。比如說，在使用量子諧振子模型的時候，特別使用了一個非相對論的諧振子。但這並不是因為早期的物理學家們忽視了相對論。實際上薛丁格得到的第一個波動方程式正是相對論協變形式的克萊因-戈登方程式。但由於解釋不了當時的實驗光譜結果，薛丁格被迫放棄協變形式的波動方程式。究其原因在於初期人們拘泥於相對論量子力學的協變形式，而未能理解相對論以洛侖茲群表示的形式與量子力學結合。隨後發展的量子場論方法才將這個問題解決。
早期的將量子力學與狹義相對論聯繫到一起的試圖，包括使用相應的克萊因-戈登方程式，或者狄拉克方程式，來取代薛丁格方程式。這些方程式雖然在描寫許多現象時已經很成功，但它們還有缺陷，尤其是它們無法描寫相對論狀態下，粒子的產生和消滅。通過量子場論的發展產生了真正的相對論量子理論。量子場論不但將可觀察量如能量或者動量量子化了，而且將媒介交互作用的場量子化了。第一個完整的量子場論是量子電動力學，它可以完整地描寫電磁交互作用。
一般在描寫電磁系統時，不需要完整的量子場論。一個比較簡單的模型，是將帶電荷的粒子，當作一個處於古典電磁場中的量子力學物體。這個手段從量子力學的一開始，就已經被使用了。比如說，氫原子的電子狀態，可以近似地使用古典的 1/r 電壓場來計算。這就是所謂的半古典方法。但是，在電磁場中的量子起伏起一個重要作用的情況下，（比如帶電粒子發射一顆光子）這個近似方法就失效了。
強交互作用和弱交互作用
強交互作用的量子場論是量子色動力學，這個理論描述原子核所組成的粒子（夸克和膠子）之間的交互作用。弱交互作用與電磁交互作用結合在電弱交互作用中。
萬有引力
試圖描寫重力的量子模型被稱為量子重力。人們推測，承載重力交互作用的基本粒子應該自旋為2，被稱為重力子。然而至今為止，萬有引力仍無法使用量子的交互作用模型來描述。作為一級近似，人們發展了彎曲時空的量子場論。考慮強重力場引起的粒子產生消滅的理論被稱為半古典重力。在強重力場比如黑洞附近，或者將整個宇宙作為整體來看的話，量子力學可能遇到了其適用邊界。目前使用量子力學，或者使用廣義相對論，均無法解釋，一個粒子到達黑洞的奇異點時的物理狀況。廣義相對論預言，該粒子會被壓縮到密度無限大；而量子力學則預言，由於粒子的位置無法被確定，因此，它無法達到密度無限大，而可以逃離黑洞。因此 20 世紀最重要的兩個新的物理理論，量子力學和廣義相對論互相矛盾。
尋求解決這個矛盾的答案，是目前理論物理學的一個重要目標（量子重力）。但是至今為止，找到重力的量子理論的問題，顯然非常困難。雖然，一些亞古典的近似理論有所成就，比如對霍金輻射的預言，但是至今為止，無法找到一個整體的量子重力的理論。目前，這個方面的研究包括迴圈量子重力、弦理論及M理論等。
解釋和哲學觀點
量子力學可以算作是被驗證的最嚴密的物理理論之一了。至今為止，所有的實驗數據均無法推翻量子力學。大多數物理學家認為，它「幾乎」在所有情況下，正確地描寫能量和物質的物理性質。雖然如此，量子力學中，依然存在著概念上的弱點和缺陷，除上述的萬有引力的量子理論的缺乏外，至今為止對量子力學的解釋存在著爭議。
解釋
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未解決的物理學問題: 哪一種量子力學的詮釋最為正確？量子理論對於實際自然的描述，包括量子態疊加、波函數塌縮、量子去相干等等，怎樣解釋作實驗觀測到的實際自然？
假如，量子力學的數學模型，是它的適用範圍內的完整的物理現象的描寫的話，那麼，我們發現測量過程中，每次測量結果的機率性的意義，與古典統計理論中的機率，意義不同。即使完全相同的系統的測量值，也會是隨機的。這與古典的統計力學中的機率結果不一樣。在古典的統計力學中，測量結果的不同，是由於實驗者無法完全複製一個系統，而不是因為測量儀器無法精確地進行測量。在量子力學的標準解釋中，測量的隨機性是基本性的，是由量子力學的理論基礎獲得的。由於量子力學儘管無法預言單一實驗的結果，依然是一個完整的自然的描寫，使得人們不得不得出以下結論：世界上不存在通過單一測量可以獲得的客觀的系統特性。一個量子力學狀態的客觀特性，只有在描寫其整組實驗所體現出的統計分布中，才能獲得。
愛因斯坦（「量子力學不完整」，「上帝不擲骰子」）與尼爾斯·波耳是最早對這個問題進行爭論的。波耳維護不確定原理和互補原理。在多年的、激烈的討論中，愛因斯坦不得不接受不確定原理，而波耳則削弱了他的互補原理，這最後導致了今天的哥本哈根詮釋。
今天，大多數物理學家，接受了量子力學描述所有一個系統可知的特性，以及測量過程無法改善，不是因為我們的技術問題所導致的的見解。這個解釋的一個結果是，測量過程打擾薛丁格方程式，使得一個系統塌縮到它的本徵態。除哥本哈根詮釋外，還有人提出過一些其它解釋方式。其中比較有影響的有：
戴維·玻姆提出了一個不局部的，帶有隱變數的理論（隱變數理論）。在這個解釋中，波函數被理解為粒子的一個引波。從結果上，這個理論預言的實驗結果，與非相對論哥本哈根詮釋的預言完全一樣，因此，使用實驗手段無法鑒別這兩個解釋。雖然，這個理論的預言是決定性的，但是，由於不確定原理無法推測出隱變數的精確狀態。其結果是與哥本哈根詮釋一樣，使用這來解釋實驗的結果，也是一個機率性的結果。至今為止，還不能確定這個解釋，是否能夠擴展到相對論量子力學上去。路易·德布羅意和其他人也提出過類似的隱藏係數解釋。
休·艾弗雷特三世提出的多世界詮釋認為，所有量子理論所做出的可能性的預言，全部同時實現，這些現實成為互相之間一般無關的平行宇宙。在這個詮釋中，總的波函數不塌縮，它的發展是決定性的。但是由於我們作為觀察者，無法同時在所有的平行宇宙中存在，因此，我們只觀察到在我們的宇宙中的測量值，而在其它宇宙中的平行，我們則觀察到他們的宇宙中的測量值。這個詮釋不需要對測量的特殊的對待。薛丁格方程式在這個理論中所描寫的也是所有平行宇宙的總和。
另一個解釋方向是將古典邏輯改成一個量子邏輯來排除解釋的困難。
以下列舉了對量子力學的解釋，最重要的實驗和思想實驗：
愛因斯坦-波多斯基-羅森悖論以及相關的貝爾不等式，明顯地顯示了，量子力學理論無法使用「局部」隱變數來解釋；但是，不排除非局部隱藏係數的可能性。在1982年阿斯派克特實驗及之後的一系列有關「EPR佯謬」的實驗中，「貝爾不等式」被突破，使得隱變數理論前途暗淡。
雙縫實驗是一個非常重要的量子力學試驗，由托馬斯·楊作出，從這個試驗中，也可以看到量子力學的測量問題和解釋的困難性，這是最簡單而明顯地顯示波粒二象性的試驗了。
薛丁格的貓薛丁格於1935年提出的悖論，使得量子疊加態的現象從微觀拓展到巨觀。通過一隻處在「生——死疊加狀態」的貓來表達對「哥本哈根詮釋」的懷疑。
哲學問題
量子力學的許多解釋，涉及到一般的哲學問題，這些問題又涉及到本體論、認識論和科學哲學的基本概念和理論。以下為一些這些問題：
決定論：自然是偶然的還是自然規律是嚴格決定性的？
局部性/可分離性：所有的交互作用都是局部性的還是有遠程交互作用？
因果
現實
完全性：存在一個萬有理論嗎？
重要主題
波粒二象性
不確定關係
薛丁格方程式
量子態、態向量、波函數
算符、本徵態、本徵值
微擾理論 (量子力學)
量子散射
全同粒子
角動量理論
密度矩陣、量子統計
量子測量
量子纏結
量子脫散
二次量子化
量子多體問題
相對論性量子力學
量子場論
矩陣力學、波動力學、路徑積分
決定論
因果律
自由意志
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物理學分支
注釋及參考文獻
^ Measurement in Quantum Theory..
^ 2.0 2.1 2.2 E. Joos et al.. Decoherence and the Appearance of a Classical World in Quantum Theory. Springer. 2003. ISBN 3-540-00390-8.
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Griffiths, David J.. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.
R. Shankar. Principles of Quantum Mechanics (Hardcover). Springer, 2nd edition. 1994/09/01. ISBN 978-0306447907 （英文）.
J. J. Sakurai. Modern Quantum Mechanics (Revised Edition) (Hardcover). Addison Wesley; Rev Sub edition. 1993/09/10. ISBN 978-0201539295 （英文）.
W. Greiner; B. Mueller. Quantum Mechanics: Symmetries. Springer; 2nd/Rev edition. 1994/10. ISBN 978-0387580807 （英文）.
W. Greiner. Relativistic Quantum Mechanics. Wave Equations (Paperback). Springer; 3rd edition. 2008/05/23. ISBN 978-3540674573 （英文）.
費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修. 費曼物理學講義 III 量子力學. 台灣: 天下文化書. 2006. ISBN 986-417-672-2 （中文）.
外部連結
聖地牙哥加州大學物理系視聽教學：量子力學。
國立交通大學物理系視聽教學：量子力學導論。
清華大學物理系教學材料：量子力學。
3个分类：
有單獨入門介紹的條目
物理學中未解決的問題
量子力學
四維
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關於國之四維「禮義廉恥」，詳見「四維八德」。
從三維投影看，一個在四維空間中繞一個平面旋轉的超正方體。
在物理學和數學中，一個n個數的序列可以被理解為一個n維空間中的位置。當n=4時，所有這樣的位置的集合就叫做四維空間。這種空間與我們熟悉並在其中居住的三維空間不同，因為它多一個維數。這個額外的維數既可以理解成時間，也可以直接理解為空間的第四維，即第四空間維數。
目錄
1 作為時間的第四維數
2 作為空間的第四維數
2.1 正交性
2.2 向量
2.2.1 向量運算
2.2.2 向量操作
2.2.3 向量組合
2.2.4 向量基底
2.2.5 維數
2.3 維數類比
2.3.1 射影
2.3.2 陰影
2.3.3 邊界
2.3.4 視覺觀測
2.3.5 限制
3 幾何
3.1 超球體
4 參考文獻
5 外部連結
6 參見
作為時間的第四維數
主條目：時空
當人們說到「四維空間」時，經常指的都是關於時間的概念。在這種情況下，四維空間可以理解為三維空間附加一條時間軸。這種空間叫做閔可夫斯基時空或「(3 + 1)-空間」[1]。這也是愛因斯坦在他的廣義相對論和狹義相對論中提及的四維時空概念。
作為空間的第四維數
第四維數可以用空間的方式理解，即一個有四個空間性維數的空間（「純空間性」的四維空間），或者說有四個兩兩正交的運動方向的空間。這種空間就是數學家們用來研究四維幾何物體的空間，與愛因斯坦提出的時間作為第四維數的理論不同。關於這一點，考克斯特曾寫道：
把時間作為第四維數帶來的好處即使有的話也是微不足道的。實際上，H. G. 威爾在《時間機器》中發展的這種十分吸引人的觀點導致了J. W. 杜恩（《時間實驗》）等作者對相對論的非常錯誤的理解。閔可夫斯基的時空幾何是不符合歐幾里得體系的，所以也就與當前的研究沒有關係。- H. S. M. 考克斯特, Regular Polytopes[2]
從數學方面講，普通三維空間集合的四維等價物是歐幾里得四維空間，一個四維歐幾里得賦范向量空間。一個向量的「長度」
\mathbf{x} = (p, q, r, s)
以標準基底表示就是
\| \mathbf{x} \| = \sqrt{p^{2} + q^{2} + r^{2} + s^{2}}
也就是勾股定理向四維空間進行的很自然的類比。這就讓兩個向量之間的夾角很容易定義了（參見歐幾里得空間）。
正交性
在我們熟悉的三維空間里，有三對主要方向：上下（高度），南北（緯度），東西（經度）。這三對方向兩兩正交，也就是說，它們兩兩成直角。從數學方面講，它們在三條不同的坐標軸x、y、z上。計算機圖形學中講的深度緩衝指的就是這條z軸，在計算機的二維螢幕上代表深度。
純空間性的四維空間另有一對垂直於其他三個主要方向的主要方向。這一對方向處在另一條同時垂直於x、y、z軸的坐標軸上，通常稱作w軸。對這兩個方向的命名，人們的看法不一。一些現行的命名有安娜/卡塔，斯皮希圖/斯帕提圖，維因/維奧，和宇普西龍/德爾塔。這些額外的方向處於（實際上是垂直於）我們所能觀察到的三維世界中的方向之外。
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向量
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從一維到五維物體的演示。
主條目：向量
純空間性四維空間可以以向量的形式理解。一個四維向量同樣由方向和長度（又叫做模）組成，它可以認為是對從一個點到另一個點向某個方向移動一定的長度的這個過程的描述。零向量是一個長度為零的特殊向量，也就是描述「不移動」這個過程的向量。
向量運算
數學上四維空間可以簡單理解為有四個坐標軸的空間，即在普通坐標系中需要4個參數來描述其中一點的坐標。 假設一個描述四維空間中一個點的向量為a，有
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix}.
上式也可以寫成由4個基底(如e1, e2, e3, e4)表示的形式，則
\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \mathbf{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}; \mathbf{e}_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},
所以a可化為
\mathbf{a} = a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_2 + a_3\mathbf{e}_3 + a_4\mathbf{e}_4.
四維向量的加法，減法和向量比例和空間向量的一致。空間向量中的數量積（或稱為向量的「內積」、點乘）也被推廣到四維向量中，如
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_4 b_4.
下式可以用於計算一個四維向量的長度
\left| \mathbf{a} \right| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} } = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 + {a_4}^2},
而兩個向量的夾角可由下式定義或計算
\theta = \arccos{\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\left|\mathbf{a}\right| \left|\mathbf{b}\right|}}.
向量積（或稱為向量的「外積」、叉乘）是一個常數，而空間向量的外代數定義為
\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{e}_{12} + (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{e}_{13} + (a_1b_4 - a_4b_1)\mathbf{e}_{14} + (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{e}_{23} + (a_2b_4 - a_4b_2)\mathbf{e}_{24} + (a_3b_4 - a_4b_3)\mathbf{e}_{34}.
這是雙矢量的求值，以基底(e12, e13, e14, e23, e24, e34)在四維空間中的雙矢構成了六維線性空間，它們可以被用來在四個方向產生旋轉。
向量操作
通過改變一個四維向量的長度而不改變它的方向，我們可以對一個向量進行伸縮。這可以被想像成沿著原向量的方向伸長或縮短一段長度。一個長度為負數的向量與和它方向相反、長度相等的正數的向量互為相反向量。這可以想像成面沿著原向量的方向倒著走。
如果沿著兩個首尾相接的向量運動，那麼描述這種運動的直接結果的向量就叫做這兩個向量的向量和。例如，如果一個人從點A開始沿某一向量運動到點B，又從點B開始沿另一個向量運動到點C，那麼這兩個向量的和向量就是從點A徑直到點C的向量。
向量組合
主條目：線性組合
給定一組四維向量，我們可以對它們進行任意的伸縮和求和操作來得到新的四維向量。以這種方式得到的所有的四維向量的集合就叫做這一組向量的組合。這種組合可以認為是一個點通過沿著一組向量中的某些向量移動所能達到的所有位置的集合。
給定幾何圖形X和向量集合S，如果從幾何圖形X內的一個點出發，沿著向量集合S的線性組合中的向量運動，能夠到達X內所有其它的點，那麼我們就說這個向量集合S可以張出幾何圖形X。
向量基底
主條目：基底
能夠張出一個幾何圖形X的最小向量集合叫做X的一組基底。不是所有的向量集合都是基底，因為它們可能含有贅余的向量。如果一個向量能通過集合中其他向量經過伸縮、求和而得到，那麼這個向量就是贅余的。例如，如果一個集合中有兩個平行的向量，那麼它們中的一個可以被移除而 X 中的所有點仍然可以達到，因為能通過那個被移除的向量達到的點一定可以通過那個與它平行的向量達到。或者，如果一個向量是其他兩個的和，那麼它也完全可以被移除。零向量總是贅余的，因為它並不能讓一個人達到任意一個除他已經能夠達到的點之外的點。
維數
通過把任意一個可以張出幾何圖形 X 的向量集合中的所有贅余向量移除，我們可以過的一組 X 的基底。選定的初始向量集合不同，獲得的能張出 X 的基底也可能不同；但是，可以證明所有這些基底中都含有相同數量的向量。這個數量就叫做 X 的維數。換句話說，如果 X 最少需要 n 個向量來張出它，那麼 X 就是 n 維的。
直觀地，一個圖形的維數可以認為是一個人要想達到這個圖形中所有的點，需要運動的所有不同方向的數目。
例如，一個點是一個零維圖形。我們不需要任何向量來張出它，因為如果我們從這個點出發，我們已經到達了它所有的位置。
一條直線是一個一維圖形。從直線的某一個點上出發，我們需要一個指向這個直線的方向的向量來到達到直線上的其他點。只要一個向量就足夠了，因為通過不同程度的伸縮它我們可以到達直線上的任意其他點。
一個平面是一個二維圖形。給定平面上的一個起始點，我們至少需要兩個互不平行的向量來張出這個平面。如果只有一個向量，我們只能到達某一條直線上的所有點；所以我們需要有另一個與它不平行的向量來往這條直線的「兩邊」走，從而到達平面上的其他點。只要兩個方向就足夠了，因為我們可以順著（或逆著）前一個向量走不同的距離，再往兩邊走不同的距離來到達平面上的任意點。也可以把平面理解成許多平行線的「堆積」；要想在二維平面上從一點運動到另一點，我們需要首先沿著線平行線運動，再穿過這些平行線向另一個方向運動。
在我們的眼中，空間是三維的。要達到空間中的某一點，我們不僅要向前向後、向兩邊走，還需要上下移動。換句話說，需要第三個向量才能到達空間中的所有點。同樣，也可以把空間理解成許多平行平面的堆積：要想在空間中從一點運動到另一點，我們可以先沿著一個方向前後走，再向兩邊走，最後上下走。
四維空間則是一個需要四個不同方向才能到達其中所有點的空間。這種空間可以認為是許多平行的三維空間的堆積。要理解這個概念，想像一下把一張張紙並列疊起來的過程。如果人不把它們一個個堆疊起來，這些紙張不會延伸進三維空間。以同樣的方式，要想進入四維空間，就必須向一個新的方向運動，這個方向必須是在三維空間以外的。要達到四維空間中的每一個點，一個人不僅需要向前後、左右、上下移動，還要沿著一對新的方向運動，即上文提到的安娜/卡塔，或者叫維因/維奧等等。
維數類比
一個超正方體的展開圖。
要理解四維空間的本性，我們可以利用一種稱為「維數類比」(dimensional analogy) 的方法。維數類比是指通過研究 n - 1 維與 n 維之間的關係，來推斷 n 維與 n + 1 維之間會有什麼樣的關係。[3]
埃德溫·阿伯特·阿伯特在他的書扁平的世界 (Flatland)中運用維數類比，講述了在一個扁平得就像一張紙的二維世界中生活的一個正方形的故事。[4]在這個正方形的眼中，生活在三維世界中的人們擁有近乎神的力量，因為他們能在不打破（二維的）保險箱的情況下從其中把東西（通過移入移出三維空間的方法）取出，能看到所有在二維世界看來是被擋在牆後面的東西，甚至能站在離二維世界幾英寸的地方來保持「隱形」。
通過應用維數類比，人們可以推斷，四維空間中的人在我們三維的視角看來應該有類似的神奇能力。魯迪·拉克在他的小說空間世界 (Spaceland)中展示了這一點。[5]小說的主人公就遇到了具有神奇能力的四維人。
射影
射影是應用維數類比來想像四維空間的一種有效方法。射影是指用 n - 1 維空間中的圖形來代表 n 維空間中的圖形。比如說，電腦螢幕是二維的，而所有三維的人、地方、東西等等的照片都是以射影的形式展現在二維平面上的。這會把三維世界中的深度去除，代之以間接的信息。人眼的視網膜也是由一層二維的感受器構成的，但是人腦能夠察知三維物體的真實形狀；這是根據陰影、近大遠小、雙眼視覺等間接信息推斷得來的。畫家們經常利用透視來賦予二維的圖畫一種三維（也就是立體）的感覺。
相似地，四維空間中的物體可以以數學的方法射影到三維空間中，從而使觀察它們變得更容易。在這種情況下，一個四維的眼的「視網膜」是由一個三維「層」的感受器構成的。假設一個人有這樣一隻眼，他就可以根據三維圖形中的間接信息推斷出四維物體的真實形狀。
三維物體在人眼視網膜上留下的透視射影會造成近大遠小的現象，這樣大腦就可以推斷出三維的深度。以同樣的方式，四維物體的透視射影會造成相似的「近大遠小」的效果。通過應用維數類比，我們可以從這種效果中推斷出四維的「深度」。
下面的圖片演示了這種規律。我們可以比較一下三維的正方體和類似的四維超正方體的三維射影。
正方體 超正方體 解釋
Cube-face-first.png Tesseract-perspective-cell-first.png
左邊的圖片是正對著一個面看到的正方體。四維中超正方體類似的視角是正對一個胞看到的透視射影，也就是右邊的圖顯示的。就像正方體的投影是一個正方形一樣，超正方體的投影是一個正方體。 需要注意的是，正方體的其他5個面在這裡是看不見的。它們被看的見的這個面擋住了。相似地，超正方體的其他7個胞也是看不見的，因為它們被看得見的這個胞「擋住」了。
Cube-edge-first.png Tesseract-perspective-face-first.png
左邊的圖片是正對著一條邊看到的正方體。超正方體類似的視角是正對一個面看到的透視射影（右邊的圖）。就像正方體正對邊的投影是兩個梯形一樣，超正方體正對面的投影是兩個稜台。 在這個視角中，正方體離我們最近的邊是紅色的面與綠色的面的公共邊。同樣，超正方體里我們最近的面是紅色的胞與綠色的胞的公共面。
Cube-vertex-first.png Tesseract-perspective-edge-first.png
左邊是一個正對頂點看到的正方體。這與右邊超正方體的正對一條邊看到的透視射影相似。就像正方體正對頂點的投影由三個共用一點的梯形組成一樣，超正方體正對邊的投影由三個共用一邊的六面體組成。正方體離我們最近的頂點是三個面的公共點，而超正方體離我們最近的邊是投影體中部的三個胞的公共邊。
Cube-edge-first.png Tesseract-perspective-edge-first.png
我們還可以把正方體的正對邊射影和超正方體的正對邊射影放在一起，作一個類比。正方體的射影有兩個梯形共用一邊，而超正方體的射影有三個六面體共用一邊。
Cube-vertex-first.png Tesseract-perspective-vertex-first.png
左邊是正方體正對點的射影，右邊則是超正方體正對一個頂點的透視射影。正方體的正對點射影有三個圍繞一點的四邊形，而超正方體的正對點射影有四個圍繞一點的六面體。正方體離我們最近的頂點是位於投影圖形中部的三個面的公共點，而超正方體離我們最近的點也是位於投影體中部的，四個胞的公共點。 注意正方體的六個面中，只有三個能被看到，因為其它三個面在正方體的另一邊，被這三個面擋住了。相似地，超正方體的八個胞中只有四個能被看到，因為其它四個胞在超正方體的另一邊（在四維深度中離我們這一邊更遠的一邊），被看得見的四個胞擋住了。
陰影
一個與射影有密切關係的方法是把四維幾何體的陰影在三維空間中顯示出來。
Schlegel wireframe 8-cell.png
假設有一束光射向一個三維物體，則其陰影會在二維平面上顯示出來。如此類推，光射向二維物體會產生一維陰影，射向一維物體會產生零維陰影，也就是無光的一點；另一方面，光射向四維物體會產生三維陰影。
如果一個立方體的線框置於光源下，其陰影為一正方形位於另一正方形以內，並且相對的點相連。同樣，如果四維正方體置於光源下，其陰影便會是一三維正方體位於另一正方體之內，並且相對的點相連。（注意，此處顯示的圖片乃四維正方體的三維陰影在二維平面上的投影。）
邊界
維度類比法也可幫我們推論出高維度物體的基本屬性。例如，二維物體有一維的邊界，正方形的邊界為一維的線；三維物體有二維的邊界（表面），正方體的表面為二維的平面。我們可以推論，四維物體便有三維的「邊界」，就是超正方體的外圍是三維的正方體。以上屬性對如何表達四維物體的三維投影很有幫助。
視覺觀測
作爲三維空間中的生物，我們的眼睛只能看到這個世界的二維投影。生活在四維空間的生物便能看到它們的世界的三維投影。例如，它們可以同時看到一個正方體的所有六面，還能同時看到正方體中的物體；其實我們也可以同時看到二維平面上的正方形的全部四條邊及其中的物體。四維生物能同一時間看到三維空間中的所有點、物體和物體的內部，這些是我們在三維空間中看不到的。
限制
類比法是理解高維度空間的一項很好的方法，但我們若不經過更進一步的計算仍不可以妄下結論。以下是圓形周長公式： C = 2\pi r 及球體表面積公式： A = 4\pi r^2。 有人可能會立即推論出超球體的表面體積為V=6\pi r^3或V=8\pi r^3，但實際上兩者均為錯誤。正確公式為V = 2\pi^2 r^3。
幾何
四維幾何比三維幾何豐富得多，因爲其額外的維度提供了更多的自由空間。
三維空間中，我們可以從多邊形做出多面體；同樣地，在四維空間中我們可以從多面體做出多胞體（四維多胞形）。三維空間中存在5種正多面體，以柏拉圖立體稱之；而四維空間中存在6種正多胞體，均從帕拉圖立體類比而成。三維空間中存在13種半正多面體（阿基米德立體），而在四維空間中存在58種半正多胞體。
在三維空間，我們可以把圓形向第三維度拉伸形成圓柱體。而在四維空間，我們可以向第四維度拉伸球體形成球柱體（球體為「蓋」的柱體），或拉伸圓柱體形成圓柱棱體。我們還可以取兩個球體的笛卡爾積得到一個雙圓柱體。以上三種均可在四維中「滾動」，但各有不同的屬性。
三維中，曲綫可以形成結，但曲面並不可以（除非互相交叉穿越）。但在四維中，以曲面形成的結可以經過延伸到第四維度而解開。由於自由度更大，四維中的曲面結比三維中的綫結要複雜的多。克萊因瓶便是其中一個例子。另一例子為實射影平面。
超球體
在四維歐幾里得空間中與P0點有相同距離R的所有點的集合能形成一個超曲面，稱爲三維球面。此超曲面之包含空間的超體積為：
\mathbf V = 2 \pi^2 R^3
這是廣義相對論中的羅伯遜-沃爾克度規，其中R由R(t)代替，t代表宇宙年齡。R值的隨時間的加大或減低表示宇宙膨脹或收縮，這取決於宇宙質量密度。[6]
參考文獻
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^ Google Books Spaceland: A Novel of the Fourth Dimension. By Rudy Rucker, Published by Tom Doherty Associates, LLC, 2002. ISBN 0-7653-0366-3, 9780765303660, 304 pages
^ Ray d Inverno (1992), Introducing Einstein s Relativity, Clarendon Press, chp. 22.8 Geometry of 3-spaces of constant curvature, p.319ff, ISBN 0-19-859653-7
外部連結
Dimensions維度
參見
歐幾里得空間
歐幾里得幾何
維度
五維
多胞體
多胞形
三維曲面
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維度 - (分類)
3个分类：
相對論
維度
四維幾何
時間反演對稱性
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時間反演對稱性描述的是在時間反演操作下:
T: t \mapsto -t.
物理系統的對稱性.
雖然在一些限定條件下存在時間反演對稱性,但是由於熱力學第二定律我們觀測到的宇宙並不具有時間反演對稱性.
時間反演不對稱性分為兩種情況: 物理定律時間反演的不對稱性；由於宇宙初始條件導致的不對稱性， 前者的代表是弱相互作用。
目錄
1 時間反演的不變性
2 宏觀現象:熱力學第二定律
3 宏觀現象:黑洞
4 物理學量受時間反演變換的影響
4.1 偶
4.2 奇
5 微觀現象:時間反演的不變性
5.1 量子力學中的時間反演操作
5.2 由反么正算符表示的時間反演
5.3 電偶極矩
5.4 克萊默定理
5.5 已知動力學規律受時間反演的影響
6 參見
7 參考資料
時間反演的不變性
除了微觀系統物理定律的時間反演對稱性以外，物理學家也試圖找出物理系統中具有時間反演不變性的定域量或者宏觀量。宏觀系統通常不具有時間反演不變性，比如說在具有一定吸收率材料內部的麥克斯韋方程組和在有摩擦力環境下的牛頓力學，這時候系統是不具有時間反演對稱性的。但是當我們從微觀層面考慮並考慮到原子的熱運動的話，系統還是具有時間反演對稱性的。
蹺蹺板很好的展現了時間反演對稱性。在蹺蹺板一端給予一初始速度後,它能來回震蕩很長時間。這個玩具一般被設計的儘可能光滑，這可以用來展示牛頓力學的時間反演對稱性。不過這個系統的平衡態可能處於朝任何一個方向倒下的狀態里。這是玻爾茲曼熵增原理的體現，系統傾向於處於狀態可能性比較多的狀態。熵是系統可能狀態數的對數。
宏觀現象:熱力學第二定律
我們的日常經驗表明對於宏觀物質，時間反演對稱性並不適用。這些宏觀定律中，最著名的是熱力學第二定律。很多現象，比如物體間相對運動產生的摩擦，流體的粘滯運動，都可以用熱力學第二定律解釋，因為潛在的機理是有用的能（如，動能）都會損耗成熱能。
是不是這種導致時間不對稱的損耗真的不可避免？很多物理學家都考慮過這個問題——麥克斯韋妖。這個名字來源於麥克斯韋的一個思想實驗,在實驗中，一個封閉的空間被分成兩塊區域，有一個妖在臨界面上守護。它會讓慢的分子到一邊，而快的分子弄到另一邊。最後，會發現其中一塊區域越來越冷，而另一塊區域越來越熱，這樣看起來就可以減小這個封閉空間的熵了，從而扭轉時間的方向。物理學家對這個實驗做了很多的分析，都說明了一點就是：當封閉空間的熵和妖的熵一起考慮的話，那總的熵還是一直增加的。對這個問題的現代觀點考慮了香農的熵和信息的關係。現代計算的很多有趣結果都和這個問題有密切關係——可逆計算,量子計算和物理極限計算。這些看起來形上學的問題，在今天用這些方法，都慢慢轉變成了自然科學的內容了。
現在大多數觀點是把一個相空間中的香農信息和熵等價起來，這樣就可以很好的解決上述的問題了。在這個觀點中，宏觀系統的一個固定的初始狀態相對地會有較小的熵，因為物體分子的坐標被束縛了。隨著系統的分子熱運動，分子將會運動到更大的相空間中，它的坐標也就變得更不確定，因此導致了系統熵的增加。
我們同樣地設想宇宙的一個狀態：宇宙中所有粒子在某一瞬間都發生反演了（嚴格講，CPT反演）。然後這樣一狀態將會逆向的發展下去，因此宇宙的熵大概就會減小了（Loschmidt悖論）。為什麼「我們的」狀態會優先於其他的呢？
有一個觀點指出我們觀察到熵增加的發生，只是由我們宇宙的初始狀態決定的。其他可能的宇宙狀態（如 ，處於熱寂平衡的宇宙）不會導致熵增加。在這個觀點中，宇宙的時間反演對稱性在宇宙學中顯然有個問題：為什麼宇宙初始狀態熵會很低？這樣看來，若時間反演對稱性根據未來宇宙觀測依然可行，那就會引出一個超出現在物理知識的問題——宇宙初始條件問題。
宏觀現象:黑洞
一個物體從一個黑洞外部穿過它的事件視界，然後會很快陷入它的中心區域，也就是我們物理學失效的地方。因為在黑洞內，向前的光錐是指向中心，而向後的光錐指向黑洞的外部，我們甚至不能以正常的方式來定義時間反演。一個物體唯一能逃離黑洞的方式是霍金輻射。
我們可以先假設存在一種黑洞時間反演後的產物，稱之為白洞。從外部來看，他們顯得很相似。黑洞具有一個起點並且不可逃脫的，而白洞是具有一個終點並且是不可進入的。白洞向前的光錐是指向外部；它的向後的光錐是指向中心的。
一個黑洞的事件視界可以被認為是一個以光速向外運動的表面，而且就是在逃脫和回落的邊緣。一個白洞的事件視界則可看做一個以光速向中心運動的表面，且就是在被排除出去和成功到達中心的邊緣。它們是兩種完全不同的視界——白洞視界就像是被翻轉過來的黑洞視界。
既然黑洞被看做是熱力學對象，那麼根據熱力學第二定律，黑洞具有不可逆轉性。甚至，根據Gauge-gravity二象性猜想，在一個黑洞里的所有微觀過程是可逆的，而只有集體行為是不可逆的，就像其他宏觀熱力學系統一樣。[來源請求]
物理學量受時間反演變換的影響
偶
時間反演後不變的經典變數有：
\vec x\!, 粒子在三維空間中的位置
\vec a\!, 粒子的加速度
\vec f\!, 作用在粒子上的力
E\!, 粒子具有的能量
\phi\!, 電勢(伏特)
\vec E\!, 電場
\vec D\!, 電位移
\rho\!, 電荷密度
\vec P\!,電極化強度
電場的能量密度
麥克斯韋應力張量
質量，電荷，耦合常數，和其他物理常量（除了與弱相互作用有關的）。
奇
時間反演後變號的經典變數：
t\!, 事件發生的時刻
\vec v\!, 粒子速度
\vec p\!, 粒子動量
\vec l\!, 一個粒子的角動量 (包括軌道和自旋)
\vec A\!, 電磁矢勢
\vec B\!, 磁感應強度
\vec H\!, 磁場強度
\vec j\!, 電流密度
\vec M\!, 磁化強度
\vec S\!, 坡印廷矢量
功率(單位時間內所做的功）.
微觀現象:時間反演的不變性
因為大多數系統在時間反演下都不保持不變，實際上問題變成是否能夠找出一個系統具有時間反演對稱性。在經典力學中，速度v在時間反演操作T下反向,但是加速度在時間反演操作下不變。因此耗散系統中必然包含速度v的奇次方項。但是如果設計一個精巧的實驗將耗散儘可能移除的話，力學定律被證明是時間反演不變的。耗散的出現源自熱力學第二定律。
當帶電物體在磁場中B中運動時，系統受到洛倫茲力，而洛倫茲力的表達式包括v×B項，這使得在磁場中的系統初看起來在T操作下並不保持不變。但是仔細觀察後發現B在時間反演操作下同樣改變了符號。這是因為磁場是因電流J產生的，因此在T操作下B會變號。因此帶電物體在電磁場中的運動是時間反演不變的（如果認為外場是固定不變的，則電磁場中運動的物體在局部仍然將不具有時間反演不變性，具體可參見法拉第旋光器）。引力在經典力學中一般也被認為是時間反演不變的。
物理理論可以被分為與運動有關的運動學和與力有關的動力學。以量子力學為基礎建立的運動學同以牛頓運動定律為基礎建立的運動學一樣，初始的時候並沒有假設動力學方程具有時間反演不變性。換句話說如果動力學方程具有時間反演不變性則運動學方程也會保持這種性質；如果動力學方程不具備這種性質，則運動學方程也會表現出來。量子力學相比經典力學包含了更豐富的內容，值得我們去進一步的探討。
量子力學中的時間反演操作
如圖所示是一個系統宇稱的二維群表示，當宇稱反演時，量子態互相轉變。但是通過對量子態的線性組合，總能找到偶宇稱的態和奇宇稱的態作為系統的基。這時描述系統宇稱的單模是一維的。 克萊默定理指出時間反演操作並不具有這個性質，這是因為它是由反么正算符表示的。
量子力學中的時間反演操作有3個重要的特徵：
表示時間反演的算符是反么正的,
保證非簡併的量子態的電偶極矩為零,
可以由具有 T2 = −1性質的二維群表示.
與宇稱反演相比，時間反演更為獨特。如果有一對量子態在宇稱變換操作下相互轉變，則可以對量子態相加及相減後得到的具有良好宇稱定義的新基底（一個為偶宇稱另一個為奇宇稱）。但是對於時間反演操作，我們並不能做類似的事情。這似乎與所有的阿貝爾群可由一維單模表示這一定理相矛盾。之所以如此是因為時間反演是由反么正算符表示的，這要求量子力學引入旋量這一概念。
由反么正算符表示的時間反演
維格納定理告訴我們，所有的與對稱性有關的算符S在量子力學中要麼為么正算符，要麼為反么正算符。S = U即么正算符，或者有S = UK即反么正算符：，其中U為么正的,而K為復共軛操作。之所以這麼規定是因為要保持希爾伯特空間上兩矢量內積的模平方不變。
以宇稱變換算符為例，當作用在座標上時有 P−1xP = −x。 類似可知宇稱操作作用在動量上時同樣導致其反向,所以有PpP−1 = −p,其中x和p在量子力學中分別是坐標算符和動量算符。這說明正則對易關係 [x, p] = iħ在宇稱變換操作下保持不變, 其中ħ是約化普朗克常數，所以我們可以得出P是么正的既有PiP−1 = i.
四維動量的時間分量是能量，如果時間反演操作是么正變換的話則能量將在時間反演下變號，而這是不可能的，因為能量恆正。 在量子力學中能量出現在相位因子exp(-iEt)上,反演時間的同時保持能量恆正要求"i"在時間反演下改變符號,這樣相位的意義就能保持下來。
類似的我們可以推出所有要求能量為正的反么正算符必然包含時間反演操作。
假設時間反演算符為T,則位置坐標不受影響有TxT−1 = x,但是動量方向被改變了,因此有TpT−1 = −p。要保持正則對易關係不變要求T是反么正的即TiT−1 = −i。對於有自旋的基本粒子而言,可以用如下方式表示時間反演
T = e^{-i\pi S_y/\hbar} K,
其中Sy是y方向的自旋分量,即TJT−1 = −J.
電偶極矩
當系統具有電偶極矩（EDM）時，情況會變得比較特殊。EDM被定義為系統置於外界電場時發生的能級移動：Δe = d·E + E·δ·E，其中d記為EDM而δ被定義為感應偶極矩。
EDM一個重要的特徵是在宇稱反演下，能級移動變號。d是矢量因此d在態|ψ>中的的平均值正比於<ψ| J |ψ>，因此對一個穩態而言，EDM在時間反演下將會消失。換句話說，如果一個系統的EDM不為零，則系統在P和T變換下不具有對稱性。
但是如果基態存在簡併，例如水分子：宇稱反演操作下這些態相互轉換，則EDM和時間反演對稱性並不矛盾。
目前實驗給出的中子電偶極矩的上限給出了強相互作用以及其對應的理論量子色動力學是否違反時間反演對稱性的標準。相對論量子場論的CPT聯合反演不變性以及測量中子電偶極矩的實驗給出了強相互作用CP破缺的上限。
實驗上測出的電子電偶極矩上限給出了粒子物理中很多參數的上限。
克萊默定理
T是一個反么正的Z2對稱性生成元(symmetry generator)
T^{2} = UKUK = U U^{*} = U (U^{T})^{-1} = \phi,
其中 Φ 是個對角陣。可以推出 U = ΦUT 以及 UT = UΦ, 因此有
U = Φ U Φ.
這說明 Φ 中的矩陣元都為 ±1
已知動力學規律受時間反演的影響
參見
熱力學第二定律, 麥克斯韋妖 和時間箭頭 (洛施密特悖論).
應用包括可逆計算和量子計算機。
粒子物理學的標準模型以及有關的CP破壞, 和卡比博-小林-益川矩陣 以及 強相互作用的CP問題
中微子質量和CPT聯合操作不變.
惠勒-費曼時間對稱定律
參考資料
Maxwell s demon: entropy, information, computing, edited by H.S.Leff and A.F. Rex (IOP publishing, 1990) [ISBN 0-7503-0057-4]
Maxwell s demon, 2: entropy, classical and quantum information, edited by H.S.Leff and A.F. Rex (IOP publishing, 2003) [ISBN 0-7503-0759-5]
The emperor s new mind: concerning computers, minds, and the laws of physics, by Roger Penrose (Oxford university press, 2002) [ISBN 0-19-286198-0]
Sozzi, M.S.. Discrete symmetries and CP violation. Oxford University Press. 2008. ISBN 978-0-19-929666-8.
Birss, R. R.. Symmetry and Magnetism. John Wiley & Sons, Inc., New York. 1964.
CP violation, by I.I. Bigi and A.I. Sanda (Cambridge University Press, 2000) [ISBN 0-521-44349-0]
Particle Data Group on CP violation
the Babar experiment in SLAC
the BELLE experiment in KEK
the KTeV experiment in Fermilab
the CPLEAR experiment in CERN
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基本交互作用
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基本交互作用為物質間最基本的交互作用，常稱為自然界四力或宇宙基本力。迄今為止觀察到的所有關於物質的物理現象，在物理學中都可藉助這四種基本交互作用的機制得到描述和解釋。
名稱 相對強度 (以強交互作用為準) 性質 (對距離的作用大小) 作用的範圍(米) 傳遞交互作用的中間玻色子
強交互作用 1 1/r7 10-15 膠子
電磁交互作用 1/137 1/r2 無限大 光子
弱交互作用 10-13 1/r5 - 7 10-18 W 及 Z 玻色子(W±,Z0)
引力交互作用 10-39 1/r2 無限大 重力子
大統一理論認為：強交互作用、弱交互作用和電磁交互作用可以統一成一種交互作用，目前統一弱交互作用和電磁交互作用的電弱統一理論已經獲得實驗證實。
目錄
1 重力交互作用
2 電磁交互作用
3 強交互作用
4 弱交互作用
5 參見
重力交互作用
主條目：萬有引力
重力交互作用，簡稱重力或引力，是四個基本交互作用中最弱的，但是同時又是作用範圍最大的（不會如電磁力一般相互抵銷）。但當距離增大，重力交互作用的影響力就會遞減，假設兩物件的相互距離為r，其作用力則可以1/r2的計算式推論出來。不像其他的交互作用，重力可以廣泛地作用於所有的物質。由於其廣泛的作用範圍，當物質質量為極大，物質有關的屬性以及與物質的帶電量有時可以相對地忽略。
而由於其廣泛的作用範圍，引力可以解釋一些大範圍的天文現象，比如：銀河系、黑洞和宇宙膨脹；以及基本天文現象例如：行星的公轉；還有一些生活常識例如物體下落、很重的物體好像被固定在地上、人不能跳得太高等。
萬有引力是第一種被數學理論描述的交互作用。在古代，亞里士多德建立了具有不同質量的物體是以不同的速度下落的理論。到了科學革命時期，伽利略·伽利萊用試驗推翻了這個理論－如果忽略空氣阻力，那麼所有的物體都會以相同的速度落向地面。艾薩克·牛頓看到蘋果掉落時發現地心引力，進而引伸出萬有引力定律 (1687年) ，是一個用來描述通常重力行為非常好的近例。在1915年, 阿爾伯特·愛因斯坦完成了廣義相對論，將重力用另一種方式描述－時空幾何，並指出引力是空間與時間彎曲的一種影響。
如今，一個活躍的領域正致力於用一個使用範圍更廣的理論來統一廣義相對論和量子力學－大統一理論。在量子力學中，一個在量子引力理論中設想的粒子－引力子被廣泛地認為是一個傳遞引力的粒子。引力子仍是假想粒子，目前還沒有被觀測到。
儘管廣義相對論在非量子力學限制的情況下較精確地描述了引力，但是仍有不少描述萬有引力的替代理論。這些在物理學界嚴格審視下的理論都是為了減少一些廣義相對論的局限性，而目前觀測工作的焦點就是確定什麼理論修正廣義相對論的局限性是可能的。
但是，最近的研究似乎顯示，萬有引力並不是基本力，而是熵力。[1]
電磁交互作用
主條目：電磁交互作用
世上大部分物質都具有電磁力，而磁與電是電磁力的其中一種表現模式。例如電荷異性相吸、同性相斥的特性是其中之一。電磁力和重力一樣，其作用影響範圍是無限大的。
強交互作用
主條目：強交互作用
強交互作用又稱為強核力，所有存在宇宙中的物體都是由原子構成，而原子核是由中子和質子組成。中子沒有電荷，而質子則帶正電；但需要牽引力把它們結合在一起，而強交互作用就是這種「牽引力」
弱交互作用
主條目：弱交互作用
弱交互作用，或弱核力，可以說是核能另一種來源，主要是核子產生之天然輻射，四種交互作用中，弱交互作用只比引力強一點。
參見
^ On the Origin of Gravity and the Laws of Newton（英文）
強交互作用
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未解決的物理學問題: 請問弦理論、超弦理論或M理論等等類似理論，是否向萬有理論的康莊大道邁上一大步，還是一條死胡同？
萬有理論(theory of everything)用來指那些試圖統一自然界四種基本相互作用：萬有引力、強相互作用、弱相互作用和電磁力成一體的理論。是在電磁力和弱相互作用力成一體的電弱作用統一理論和加入強相互作用成一體的大統一理論基礎上，對統一自然界基本力的進一步努力。目前被認為最有可能成功的萬有理論是M理論和超弦理論。
參考
統一場論
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