蝴蝶
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蝴蝶
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從始新世至今
一隻在吸食馬利筋花蜜的玉帶鳳蝶攝於香港鳳園谷
一隻在吸食馬利筋花蜜的玉帶鳳蝶
攝於香港鳳園谷
科學分類
界： 動物界 Animalia
門： 節肢動物門 Arthropoda
綱： 昆蟲綱 Insecta
目： 鱗翅目 Lepidoptera
亞目： 錘角亞目 Rhopalocera
科
喜蝶總科 Hedyloidea
喜蝶科 Hedylidae
弄蝶總科 Hesperioidea
弄蝶科 Hesperiidae
鳳蝶總科 Papilionoidea
灰蝶科 Lycaenidae
蛺蝶科 Nymphalidae
鳳蝶科 Papilionidae
粉蝶科 Pieridae
蝴蝶（Butterfly）是錘角亞目中的物種的總稱，或稱蝶、蜨、蛺（現指蝴蝶中的一類）。以美麗的色彩和優美的飛舞姿態著稱。與蛾一同為昆蟲綱鱗翅目之下的一個家族，與其他昆蟲不同的是身上長有大而耀眼的翅膀。蝴蝶翅膀一般色彩鮮豔，有各種花斑，是由翅膀上的鱗片組成。蝴蝶主要在日間活動，休息時四翅合攏豎立在背上，或完全展開平放，弄蝶科蝴蝶又有另類的休息形態。蝴蝶頭部有一對棒狀或錘狀觸角，這是與蛾類的主要區別（蛾的觸角形狀多樣）。全世界大約有28,000種蝴蝶[1]，在世界各地除了南極洲等寒冷地帶以外都有分布，在南美洲亞馬遜河流域品種最多。世上最大的蝴蝶——亞歷山大鳥翼鳳蝶展翅可達280毫米，最小褐小灰蝶（Brephidium exilis）只有1.6毫米[1]。有許多蝴蝶的幼蟲以農作物為食物，被視為害蟲。
目錄
1 生命史
1.1 卵
1.2 幼蟲
1.3 蛹
1.4 成蟲
2 身體結構
2.1 鱗片
3 多型性
3.1 季節異型
3.2 雌雄異型
3.3 兩性體
4 行為
4.1 領域性
4.2 登峰
4.3 求偶
4.4 交配
4.5 斑蝶遷徙
5 自衛
5.1 身體結構
5.2 翅膀花紋
5.3 生璄
6 天敵
6.1 捕食性
6.2 寄生性
6.3 微生物
6.4 人類
7 觀蝶
8 保育
9 文化
9.1 中國文學
10 分類
10.1 爭議
10.1.1 西方
10.1.2 中國
11 圖集
12 參見
12.1 蝴蝶列表
13 參考文獻
14 外部連結
生命史
蝴蝶是完全變態的昆蟲，即一生會經過四個階段：卵、幼蟲、蛹、成蟲。
卵
蝴蝶的卵一般為圓形或橢圓形，表面有蠟質殼，防止水分蒸發，一端有細孔，是精子進入的通路。不同品種的蝴蝶，其卵的大小差別很大。蝴蝶成蟲會將卵產於其寄主植物或嫩芽上，即蝴蝶幼蟲會進食的植物，為幼蟲準備好合適的生長地點。
幼蟲
幼蟲的形狀多樣，有肉蟲，也有毛蟲。幼蟲孵化出後，主要就是進食，要吃掉大量植物葉子，有些蝴蝶物種就專吃農業植物，例如菜粉蝶的幼蟲會食十字花科的植物，牠們就成為農夫眼中的害蟲。隨著幼蟲生長，一般要經過4至6次蛻皮，幼蟲每次脫皮為一齡，並把舊外殼吃掉。
蛹
幼蟲完全成長後便會停止進食，到處爬行著尋找一個適合的結蛹地方。蛺蝶科的蝴蝶（包括眼蝶、斑蝶、閃蝶等）的蛹是頭下尾上的懸吊著，稱為懸蛹；鳳蝶和粉蝶的則頭上尾下，稱縊蛹。牠們會把身體拉長量度周圍的空間是否足夠破蛹羽化時順利展開翅膀。當找到結蛹的地方時，蝴蝶會在該處吐絲，將身體末端固定在絲上，蛺蝶幼蟲會在葉子背面隱蔽的地方結蛹，然後逐漸變硬，成為前蛹。 約一天後，前蛹脫去幼蟲外皮，露出蝶蛹。蛹內幼蟲的器具會逐漸分解，然後重新組成蝴蝶的身體。
成蟲
成蟲性成熟後，在蛹中沿著頭和胸破殼鑽出，剛羽化的蝴蝶翅膀皺褶和腹部膨脹，有些蝴蝶會走到葉底把體液流到翅脈撐起翅膀，這時的蝴蝶無法躲避天敵，假如蝴蝶掉在地上或未能順利展翅，翅膀會變得畸型，可能會失去飛行能力，只能坐以待斃。翅膀展開後，蝴蝶就可以飛翔了，蝴蝶的前後翅不同步扇動，因此蝴蝶飛翔時波動很大，姿勢優美，所謂「翩翩」起舞，來源於蝴蝶的飛翔。成蟲以花蜜為食物，有的品種也吸食樹汁、水中溶解的礦物質等。一般蝴蝶成蟲交配產卵後就在冬季到來之前死亡，但也有的品種會遷徙到南方過冬，遷徙的蝴蝶群非常壯觀。目前比較聞名的蝴蝶越冬地點是美洲的墨西哥和東亞。
帝王斑蝶在其寄主植物馬利筋上產卵
帝王斑蝶的卵
帝王斑蝶的幼蟲
帝王斑蝶的幼蟲準備結蛹
成蛹
帝王斑蝶的羽化過程
一對帝王斑蝶交配
身體結構
主條目：鱗翅目術語表
蝴蝶成蟲的身體結構圖
蝴蝶的身體都擁有昆蟲綱的一般特徵，身體分為三部分：頭部、胸部及腹部。
頭部長了觸角、複眼和口器。觸角佈滿了嗅覺器官，主要負責平衡及嗅覺；複眼呈半球形，每個複眼由數千個六角形的小眼所構成。每個小眼只能看到物體的部份影像，有如拼圖般，小眼合在一起，才能組成完整的影像；口器是蝴蝶的進食器官，為兩根黏在一起的長吸管，不用時可以捲曲縮藏在頭部下方。
胸部的三節各有一對腳，但有些蝴蝶，如蛺蝶、眼蝶和斑蝶等蝴蝶，前腳已退化縮在胸前，只用其他四隻腳來活動，沒有步行能力。胸部後兩節各有一對翅膀，分為「前翅」和「後翅」各一對。「前翅」長在中胸部，「後翅」長在後胸部。蝴蝶的翅膀上佈滿了「翅脈」和「鱗片」。翅脈排列的方式，稱為「脈相」，脈相的結構和鱗片的色彩斑紋是區分蝴蝶種類的重要依據。
腹部有十節，內有神經、循環、消化、生殖、呼吸等器官。
鱗片
各種蝴蝶的特徵主要是翅膀上不同的鱗片，牠們五彩繽紛的翅膀就是靠無數極細小的鱗片造成。這些鱗片就是有反射出黑色和棕色的黑色素，而藍色、綠色、紅色或閃耀的一般是由鱗片的微觀結構造成，其光子晶體的性質經過光的散射出現不同的顏色。[2][3][4]
鱗片鬆散地附在翅膀上，就算沒有損害蝴蝶它們都可能會自然脫落。
一隻孔雀蛺蝶
近距離看其翅膀，會見到不同顏色的鱗片，再組成不同圖案，例如圖中藍色的眼斑
在光學顯微鏡下看到翅膀上鱗片
電子顯微鏡下的鱗片
(x50)
(x200)
一塊鱗片
鱗片的微觀結構
另外這隻寬紋黑脈綃蝶的部分翅室沒有鱗片，成為透明
多型性
同一種蝴蝶，不論性別，只要出現兩種或以上的型態，便稱為多型性。與個體差異不同，多型性的型態差異較大，各型態亦恆常發現。
季節異型
有些蝴蝶品種會在不同季節出現不同型態，就是季節異型。一般分為濕季型及旱季型。濕季型一般顏色較為鮮豔，翅膀上的圖案清晰；旱季型則變得暗淡，圖案模糊。
雌雄異型
主條目：兩性異形
有些蝴蝶品種兩性會出現不同型態，就是雌雄異型。通常出現於鳳蝶科、灰蝶科和蛺蝶科。
兩性體
又稱陰陽蝶或第二性徵，顧名思義就是同一隻蝴蝶擁有兩性的性器官，左右翅膀的花紋都不一樣，甚至形狀不同。此異形十分罕見。
一隻兩性體的鳳蝶標本（Papilio androgeus）
左雌右雄
一隻兩性體的伊眼灰蝶左雄右雌
行為
領域性
部分灰蝶科和蛺蝶科蝴蝶的雄蝶都具有很強的領域性，牠們會站在樹上的葉片或曠地上守衛著，當有雌蝶闖入，便會進行求偶，希望進行交配。若果飛入的是雄蝶，便會互相追逐，直至入侵者離開其領域範圍。
登峰
很多蝴蝶都有登峰的習性，牠們會一大清早從低地飛到山頂，雄蝶會尋找自己的領域範圍，找一個有利位置待雌蝶上山並交配。若成功交配，雌蝶會飛回山下產卵。
求偶
主條目：求偶
雄性蝴蝶會主動跟異性交配以繁殖後代，牠們對雌蝶的氣味異常敏感，雄蝶又會守候在未羽化的雌蝶蛹旁，待雌蝶羽化後立即交配。
交配
主條目：交配
蝴蝶交配的行為又叫作交尾，顧名思義牠們交配時尾部貼著，互相背向。
斑蝶遷徙
一隻於香港深水灣捕獲的並發現是由日本和歌山縣遷徙到港的大絹斑蝶
維基新聞標誌
維基新聞相關報導：
大絹斑蝶飛越千里從日本抵港
自衛
旖斑蝶，有毒，捕食者不敢獵食
大斑鳳蝶，無毒，花紋模仿有毒的旖斑蝶
紅斑脈蛺蝶，無毒，都是模仿旖斑蝶
身體結構
蝴蝶身上的細毛和翅膀上的鱗片容易脫落，令捕食者難以抓住。
翅膀花紋
保護色
主條目：保護色
很多蝴蝶（尤其蛺蝶科的蝴蝶）會偽裝成枯葉使捕食者難以發現。有些蝴蝶的幼蟲會偽裝作樹枝或樹莖，作用同上。
警告色
斑蝶科的蝴蝶有毒，很多斑蝶幼蟲和成蟲都有鮮豔的顏色，警告天敵他們有毒。
模仿
主條目：擬態
米氏擬態：有毒的斑蝶互相模仿，捕食者嘗過一次苦頭後便會對蝴蝶的食慾大減。
貝氏擬態：無毒的蝴蝶模仿有毒的蝴蝶，使因吃過有毒蝴蝶的捕食者對外貌相似的模仿者（無毒的蝴蝶）都不敢吃。
眼斑
即「假眼」，許多眼蝶亞科、眼蛺蝶屬等蝴蝶的翅膀上都有大眼斑，恐嚇天敵以為自己是一隻較龐大的生物，不敢捕食。很多灰蝶科的蝴蝶後翅翅基都有眼斑，跟幼幼的翅尾配起來就像另一個頭（翅尾就像觸角）。使捕食者感到混亂，若捕食者被騙並只咬去「假頭」，灰蝶就保住了性命。一些鳳蝶的幼蟲亦有些大眼斑，同樣是要嚇怕天敵而不敢捕食。
臭味
一些鳳蝶幼蟲受到騷擾時，頭部會伸出一條叉開的「臭角」，配上牠身上的眼斑就像是一條小蛇，不敢捕食。珍蝶屬的蝴蝶更會分泌出有毒的臭液，用途同上。
生璄
共生
主條目：共生
灰蝶科的蝴蝶幼蟲會跟螞蟻發生共生關係。幼蟲會分泌汁液給螞蟻吸食，螞蟻亦會保護幼蟲。不過在對於其他蝴蝶，螞蟻是捕食者。
群居
很多蝴蝶幼蟲都有群居的習性，令捕食者難以集中捕食，增加存活的機會。
葉包
很多蝴蝶幼蟲會把寄主植物的葉片接疊成「葉包」，減少天敵發現的機會。
天敵
捕食性
節尾猴咬住一隻蛺蝶
簡單說就是所有以昆蟲為食的動物都是蝴蝶的天敵。
青蛙、蜥蜴、螳螂等就趁蝴蝶在訪花或睡覺時捕捉。
鳥類、蜘蛛等就捕捉飛行中的蝴蝶。
螞蟻會食蝴蝶幼蟲。
寄生性
寄生蠅和寄生蜂體型細小，會把卵產在蝴蝶的卵、幼蟲或蛹上，孵化成幼蟲後便會以寄主（即蝴蝶不同型態）為食。
微生物
細菌、病毒和真菌都會使蝴蝶生病。
人類
捕捉、棲息地的破壞,會導致蝴蝶絕種
觀蝶
觀蝶就是觀察蝴蝶自然生態的活動，可以到郊外或蝴蝶園進行。觀蝶時要注意安全，不要搔擾、攻擊野生動物，更不可採捕蝴蝶的任何階段，以免擾亂生態。觀蝶時可攜帶當地的蝴蝶圖鑑、記錄表和相機，方便作記錄。
保育
文化
中國五代時期著名花鳥畫家徐熙筆下的蝴蝶和紫藤
大型蝴蝶非常引人注意，有人專門收集各種蝴蝶標本，在美洲和東亞的「觀蝶」遷徙和「觀鳥」一樣成為一種活動，吸引許多自然愛好者和攝影者參與。
愛爾蘭的傳統民族相信人死後會化成蝴蝶[5]。
中國文學
中國傳說《梁山伯與祝英台》當中，男女主人雙雙殉情後，靈魂化為蝴蝶。蝴蝶在當中成為追求自由與愛情的象徵。
分類
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查·論·編·歷
蝴蝶分類
爭議
世界各地的學者者對蝴蝶的分類有不同看法，以下列出蝴蝶的各種分類。
西方
1. P. R. Ehrlich（1958）從比較形態學和系統發育出發把全球蝴蝶分為2個總科；6個科，即：
弄蝶總科
弄蝶科
鳳蝶總科
鳳蝶科
粉蝶科
灰蝶科
蛺蝶科
喙蝶科
2. P. Smart (1989) 從形態學、生態學出發，把全球蝴蝶分為2個總科；15個科，即：
弄蝶總科
弄蝶科
鳳蝶總科
鳳蝶科
粉蝶科
灰蝶科
蜆蝶科
蛺蝶科
眼蝶科
閃蝶科
大翅環蝶科
環蝶科
斑蝶科
綃蝶科
袖蝶科
珍蝶科
喙蝶科
3. M. J.Scoble(1992) 從支序分析出發，認為由於支序分類的發展，蝴蝶分類已不只重視外形差異，而更重視演化及親緣關係，由於喜蝶科比弄蝶更接近鳳蝶，因此應當被視為蝶類，儘管喜蝶有許多蛾狀特徵，但一些證據表明牠是弄蝶科和鳳蝶科的姐妹群，或者是鳳蝶總科的姐妹群。他把全球蝴蝶分為3個總科；6個科，即：
喜蝶總科
喜蝶科
弄蝶總科
弄蝶科
鳳蝶總科
鳳蝶科
粉蝶科
灰蝶科
蛺蝶科
4. R.De Jong et al.（1996）通過系統發育分析，把全球蝴蝶分為2總科5科，即：
弄蝶總科
弄蝶科
鳳蝶總科
鳳蝶科
粉蝶科
灰蝶科
蛺蝶科
5. J. B.Heppner（1998）通過形態和系統發育綜合分析，把全球蝴蝶分為鳳蝶組（Papilionoidea）：包括2種類型（弄蝶型Hesperiiformes和鳳蝶型Papiliniformes），下設7科，即：
鳳蝶組 (Papilionoidea)
弄蝶型 (Hesperiiformes)
弄蝶科
鳳蝶型 (Papiliniformes)
鳳蝶科
粉蝶科
灰蝶科
蛺蝶科
喙蝶科
6. B.D』Abrera(2001) 通過翅脈、翅形、斑紋等特徵，把全球蝴蝶分為14科（弄蝶總科除外）；基本和P.Smart(1989) 把全球蝴蝶分為2總科15科的分類方法相一致。
中國
7. 中國學者吸收了國內外不同學派的合理部分，總結了蝶類系統學、分類學的最新觀點，依據蝴蝶的特徵、親緣關係（系統發育）及進化程度，提出4個總科；17個科的分類系統，即：
弄蝶總科——最原始系統：物種二觸角基部遠離，前翅中室外脈紋無分叉。分類包括：
韁蝶科
大弄蝶科
弄蝶科
鳳蝶總科——原始系統：物種二觸角基部接近，前翅中室外的脈紋有分叉，雌雄蝶前足發達。分類包括：
鳳蝶科
絹蝶科
粉蝶科
灰蝶總科——進化系統：雌蝶前足正常，或無爪，後翅肩脈無或有。分類包括：
灰蝶科
蜆蝶科
喙蝶科。
蛺蝶總科——最進化系統：雌蝶前足退化，無爪，後翅有肩脈。分類包括：
斑蝶科
綃蝶科
眼蝶科
環蝶科
閃蝶科
蛺蝶科
珍蝶科
袖蝶科
圖集
蝴蝶的頭（帕眼蝶）
顯微鏡下的複眼及口器
近觀蝴蝶上的鱗片（非洲達摩鳳蝶）
蝴蝶的香鱗（偏瞳蔽眼蝶）
雌雄同體的蝴蝶（美洲虎紋鳳蝶）
弄蝶的模式種，弄蝶
鳳蝶的模式種，金鳳蝶
粉蝶的模式種，歐洲粉蝶
蛺蝶的模式種榆蛺蝶
閃蝶的模式種雙列閃蝶
世上體型最大的蝴蝶，亞歷山大鳥翼鳳蝶，圖為雌蝶
世上體型最小的蝴蝶之一是褐小灰蝶
在吸水的蝴蝶
在吸糞的蝴蝶（柳紫閃蛺蝶）
蝴蝶排尿（紅綬綠鳳蝶）
蝴蝶交尾（琺蛺蝶，左雄右雌）
大量帝王斑蝶遷徙
參見
蛾
蝴蝶園
蝴蝶列表
香港蝴蝶列表
台灣蝴蝶列表
日本蝴蝶列表
參考文獻
^ 1.0 1.1 http://butterflywebsite.com/faq.cfm#q14 （英文）
^ Mason, C. W.. The Journal of Physical Chemistry. 1927, 31 (3): 321. doi:10.1021/j150273a001.（英文）
^ Vukusic, P., J. R. Sambles, and H. Ghiradella (2000) Optical Classification of Microstructure in Butterfly Wing-scales. Photonics Science News, 6, 61-66, EX.ac.uk（英文）
^ Prum, Ro; Quinn, T; Torres, Rh. Anatomically diverse butterfly scales all produce structural colours by coherent scattering (Free full text). The Journal of experimental biology. Feb 2006, 209 (Pt 4): 748–65. doi:10.1242/jeb.02051. ISSN 0022-0949. PMID 16449568.（英文）
^ 寄藤文平, 梁桂慈譯(2010):《死的型錄：鬼才插畫家筆下的生命終點》，圓神出版社有限公司
6.壽建新, 周堯, 李宇飛. 《世界蝴蝶分類名錄》. 陝西科學技術出版社. 2006. ISBN 7536936761.
7.壽建新. 我國最小蝶種的發現過程[J]. 大自然CHINA NATURE，2008年（5）:50-51.
外部連結
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弄蝶總科
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鳳蝶總科
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維基詞典上的詞義解釋：
蝴蝶
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維基詞典上的詞義解釋：
蝴
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維基詞典上的詞義解釋：
蝶
香港鱗翅目學會（香港）
漁農自然護理署 香港生物多樣性網頁（香港）
蝴蝶生態面面觀（台灣）
蝶——圖像式檢索（台灣）
Tree Of Life 錘角亞目分類樹（英文）
蝴蝶保護（英文）
荷蘭蝴蝶和蛾（英文）
歐洲和北非的蝴蝶和蛾（英文）
蝴蝶網（英文）
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光子晶體
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光子晶體指能對光作出反應的特殊晶格。光子晶體是指能夠影響光子運動的規則光學結構，這種影響類似於半導體晶體對於電子行為的影響。光子晶體以各種形式存在於自然界中，本世紀光子晶體稱為物理領域的熱點課題。
目錄
1 原理
2 歷史
3 應用
4 參見
5 文獻
6 外部連結
原理
光子晶體是在1987年由S.John和E.Yablonovitch分別獨立提出，是由不同折射率的介質周期性排列而成的人工微結構。由於介電常數存在空間上的周期性，引起空間折射率的周期變化，當介電係數的變化足夠大且變化周期與光波長相當時，光波的色散關係出現帶狀結構，此即光子能帶結構(Photonic Band structures)。這些被禁止的頻率區間稱為「光子頻率帶隙」(Photonic Band Gap，PBG)，頻率落在禁帶中的光或電磁波是被嚴格禁止傳播的。我們將具有「光子頻率帶隙」的周期性介電結構稱作為光子晶體。特別需要指出的是，介電常數周期性排列的方向並不等同於帶隙出現的方向，在一維光子晶體和二維光子晶體中，也有可能出現全方位的三維帶隙結構。
歷史
儘管光子晶體的研究自從1887年就開始了，但直到一百年後的1987年，光子晶體這個名詞才被第一次出現在由Eli Yablonovitch [1] 和 Sajeev John [2]分別發表在《Physical Review Letters》上的兩篇關於光子晶體的標誌性文章中。
在1987年以前，詳盡的研究集中在一維光子晶體，即規則排列的多層半導體材料上（例如布拉格反射鏡）。瑞利爵士（Lord Rayleigh）從1887 [3]開始研究一維晶體，發現這種結構具有一維光子禁帶，即對於一定波長範圍的波具有極大的反射率。今天，這種結構被用在各種各樣的領域，從增加LED效率的反射塗層到到雷射腔中的高反鏡（例如VCSEL）。在Bykov [4] 的關於一維光子晶體結構的理論研究中，他第一次研究了在光子晶體中，光子禁帶對於鑲嵌其中的原子分子的自發發射現象的影響。Bykov還推測了二維以及三維光子晶體對自發發射的影響 [5]。但是，他的想法並沒有受到重視，直到1987，Yablonovitch和John 發表了他們的標誌性文章。這兩篇文章都探討了高維規則光學結構──光子晶體。Yablonovitch 的出發點是通過改變光子態的密度（photonic density of states）從而達到控制光子晶體中物質的自發發射；John 的想法則是利用光子晶體來控制光的行為。
自1987 後，關於光子晶體的學術論文的數量呈現出幾何級數上升的趨勢。但是，由於製作光學尺寸的光子晶體的難度太大，早期的研究大多集中在理論研究及微波級光子晶體（其尺寸在厘米級）的製造上。(電磁波具有非尺寸依靠特徵，所以在麥克斯韋方程的解中沒有實際的尺寸，因此厘米尺寸的結構對於微波的影響和奈米尺寸結構對可見光的影響是相同的。1991年，Yablonovitch製造出了第一個在微波範圍的三維光子晶體 [6]。
1996年，Thomas Krauss製作出了世界上第一個在光學尺寸上的二維光子晶體 [7]。他的成功開闢了一條新道路，即利用已有的半導體工業技術來製造半導體材料的光子晶體。如今，二維光子晶體，即半導體的薄片堆層應用在很多領域；如利用全內反射將光限制在晶體中而產生光子晶體效應及控制光的色散。世界上很多研究圍繞在利用光子晶體製作計算機晶片以提高計算機的運行速度。雖然這項技術還遠沒有達到商業應用，二維光子晶體已經被應用在光纖上。光子晶體光纖最早由Philip Russell在1998年製作，它相對於普通光纖有很多先進之處。
由於製作上的難度，三維晶體的研究遠遠落後於二維晶體，即使在半導體工業中也沒有可以借鑒的方法來製造三維光子晶體。最近，一些科研組發展出一些有效的方法，不少樣品被製作出來。[8] 例如，通過層層堆積方法製造出木料堆結構。又如，利用自組裝方法──讓大小均一的奈米尺寸微球通過自組裝形成三維規則結構。
應用
光子晶體體積非常小，在新的奈米技術中、光計算機、晶片等領域有廣泛的應用前景。使用光子晶體製造的光子晶體光纖，也有比傳統光纖更好的傳輸特性，可以進而應用到通信、生物等諸多前沿和交叉領域。
2005年美國的研究人員成功地使用兩種新式二維光子晶體，將光的群速度降低了超過一百倍。[注1]這項裝置未來可望被應用於各種光學系統及元件中，其中包括高功率、低閾值的光子晶體雷射。
光子晶體也可以將拉曼光訊號放大一百萬倍。英國的Mesophotonics宣稱，該公司於2005年的Photonics West會議中發表這種結合光子晶體與表面增強拉曼光譜術(surface enhanced Raman spectroscopy, SERS)的產品，由於靈敏度超高，未來可望應用在醫療診斷、藥物輸送，以至於環境監控上。
[注1]參見 Appl. Phys. Lett. 86, p.111102 (2005).
參見
晶體
光子晶體光纖
文獻
E. Yablonovitch "Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics", Phys. Rev. Lett., Vol. 58, 2059 (1987)
S. John, "Strong Localization of Photons in Certain Disordered Dielectric Superlattices", Phys. Rev. Lett. 58, 2486 (1987)
J. W. S. Rayleigh, "On the remarkable phenomenon of crystalline reflexion described by Prof. Stokes." Phil. Mag. 26, 256-265. (1888)
V. P. Bykov, "Spontaneous emission in a periodic structure." Sov. Phys. JETP 35, 269-273 (1972)
V. P. Bykov, "Spontaneous emission from a medium with a band spectrum." Sov. J. Quant. Electron. 4, 861-871 (1975)
Yablonovitch, Gritter, Leung, Phys Rev Lett 67 (17) 2295-2298 (1991)
Krauss TF, DeLaRue RM, Brand S "Two-dimensional photonic-bandgap structures operating at near infrared wavelengths" NATURE vol. 383 pp. 699-702 (1996)
Review: S.Johnson (MIT) Lecture 3: Fabrication technologies for 3d photonic crystals, a survey http://ab-initio.mit.edu/photons/tutorial/L3-fab.pdf
外部連結
Photonic Crystal Research
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光學
材料科學
晶體
量子態
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量子力學
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不確定性原理
入門、數學表述
查·論·編·歷
在量子力學裏，量子態（英語：quantum state）抽象地描述了一個量子系統的物理狀態。當描述一個量子系統時，往往希望能夠既簡易、又明確地描述這個量子系統的各種物理狀態，以及其從一個物理狀態變換到另外一個物理狀態的變換過程。量子態的概念可以勝任上述的功能。
每一個量子態都可以用存在於希爾伯特空間的態向量來表示。有時候，因為物理作用，一個量子態會變換到另外一個量子態。這過程可以用態向量的數學來表達。物理學家常用狄拉克標記來標記量子態或態向量。量子態或態向量的線性組合可以描述量子態的干涉現象。
目錄
1 概念
1.1 物理狀態
1.2 量子態
1.2.1 本徵態
1.2.2 薛丁格繪景或海森堡繪景
2 量子力學形式論
2.1 量子態是希爾伯特空間的射線
2.2 狄拉克標記
2.3 單粒子系統的基底量子態
2.4 態疊加原理
2.5 純態與混態
3 參閱
4 參考文獻
概念
物理狀態
以下先從經典力學的一個例子，來探索一個物理系統的狀態與相關概念。假設存在一個物理系統，裡面有一個質量為 m=1\,\! 的粒子，自由地移動於一維空間，並在時間 t=0\,\! ，粒子的位置 q\,\! 是 q_0\,\! ，動量 p\,\! 是 p_0\,\! 。這些初始條件設定了系統的狀態 \sigma_0\,\! ，標記為 \sigma_0= (p_0,\,q_0) \,\! 。
過了一段時間，在 t>0\,\! ，可以測量這粒子的運動參數。在這個簡單的物理系統裏，這時能夠測量的物理量，基本上是它的位置 q(t)\,\! 與動量 p(t)\,\! 。其它物理量的都是這兩個物理量的函數。這些可以被測量的物理量被稱為可觀察量。
已知系統在 t=0\,\! 狀態 \sigma_0\,\! ，應用牛頓運動定律，可以計算出可觀察量在任何時間 t>0\,\! 的量值。這量值應該完全符合測量的結果。標記這些計算的量值為 \langle p(t) \rangle_{\sigma_0}\,\! 與 \langle q(t) \rangle_{\sigma_0}\,\!。 在上述這個簡單的例子裏，粒子以等速移動。因此
\langle p(t)\rangle_{\sigma_0} = p_0\,\! ，
\langle q(t)\rangle_{\sigma_0} = p_0 t+q_0\,\! 。
現在，假設粒子的位置的初始條件是機率密度函數 f(q)\,\! ，動量的初始條件是機率分佈函數 g(p)\,\! 。這兩個機率分佈函數完全地描述這物理系統的狀態 \sigma_0\,\! 。可觀察量 q(t)\,\! 與 p(t)\,\! 變成隨機變量。任何測量的結果都是隨機的，無法準確地預測。可是，假若，給予一個系綜的同樣的物理系統，對於每一個物理系統做同樣的測量，得到的結果會呈機率分佈。可觀察量在 \sigma_0\,\! 狀態的期望值是可以通過計算進行預測。標記 p(t)\,\! 的期望值為 \langle p(t) \rangle _\sigma\,\! 。
量子態
一個量子態的某些性質，可以經過測量而得知其物理量。這些可以得知的物理量，稱為可觀察量。所有可觀察量的機率分佈設定了量子系統的量子態。
本徵態
假若，對於許多同樣的量子態的某一個可觀察量做測量，結果都一樣。那麼，這量子態是這個可觀察量的本徵態，又稱確定態。量子態可以是幾個本徵態的疊加。一個可觀察量的本徵態可能不是另外一個可觀察量的本徵態。既然，實際上，只能得知一個量子系統的每一個可觀察量。
假若，一個量子態不是一個可觀察量的本徵態，對於這量子態的這個可觀察量的測量，答案是機率性的；也就是說，給予一個系綜許多相同的量子系統，每一個量子系統的量子態都一樣，都是某個可觀察量的很多不同的本徵態的疊加，對於這可觀察量做同樣的測量，獲得的答案可以表達為機率分佈。這是量子力學與經典力學之間，大不相同的一點。在經典力學裡，測量的結果本質上是決定性的，而不是機率性的。
對於任何可觀察量 A\,\! ，通常可以製備一個對應的本徵態 \sigma_A\,\! 。對於這本徵態 \sigma_A\,\! 的可觀察量 A\,\! 所做的一個測量，獲得的結果是明確的。給予一系綜這樣的系統，對於每一個本徵態 \sigma_A\,\! 的可觀察量 A\,\! 所做的測量，答案都是一樣的。本徵態 \sigma_A\,\! 又稱為 A\,\! 的本徵態。
假設一個量子系統的量子態 \sigma\,\! 原本不是 A\,\! 的本徵態。那麼，對於這量子態的可觀察量 A\,\! 所做的一個測量，會將量子態塌縮為 A\,\! 的一個本徵態 \sigma_A\,\! ，測量的結果是這本徵態的本徵值 a\,\! 。假若立刻再測量可觀察量 A\,\! ，由於量子態仍舊是同樣的本徵態 \sigma_A\,\! ，所得到的測量值也是同樣的本徵值 a\,\! 。
思考兩個不相容可觀察量 A\,\! 與 B\,\! 。假設一個量子系統原本處於 B\,\! 的本徵態 \sigma_B\,\! 。假若只測量 B\,\! ，將不會出現到任何統計行為。可是假若預先進行測量 A\,\! ，量子系統會塌縮成 A\,\! 的本徵態 \sigma_A\,\! 。此時如果立刻再測量 B\,\! ，將會得到統計性的答案。
薛丁格繪景或海森堡繪景
在前面的講述，可觀察量 P(t)\,\! ， Q(t)\,\! 可以相依於時間，而量子態 \sigma\,\! 則不相依於時間。這方法稱為海森堡繪景。可以等價地使可觀察量不相依於時間，又使量子態相依於時間。這方法是薛丁格繪景。概念上，這兩種繪景是等價的。兩種繪景都常常用在量子力學。非相對論性量子力學通常表述於薛丁格繪景，而在相對論性狀況，像是量子場論，則海森堡繪景是比較好的方法。
量子力學形式論
主條目：量子力學的數學表述
量子態是希爾伯特空間的射線
量子態通常可以利用線性代數作為數學工具進行表達。在一個量子系統裏，每一個量子態都對應於希爾伯特空間的一個向量，稱為態向量。假若，一個向量是另外一個向量的標量倍數，則這兩個向量都對應於同樣的量子態。換句話說，每一個量子態都是希爾伯特空間的一個射線。
如果對量子態進行歸一化，那麼所有量子態的集合對應於希爾伯特空間的單位球。假若，兩個歸一化態向量，唯一的不同處是它們的相位因子。那麼，這兩個態向量仍舊對應於同樣的量子態。
狄拉克標記
主條目：狄拉克標記
在量子力學裡，數學運算時常用到線性算符、內積、對偶空間與厄米共軛等概念。為了讓運算更加簡易，避免更深入研讀線性代數的需要，保羅·狄拉克發明了一種稱為狄拉克標記的標記法。這標記法能夠精確地表達量子態。簡略表述如下：
向量標記形式為 |\psi\rangle\,\! ；其中 \psi\,\! 可以用任何符號，字母，數字，或單字。這與通常的數學標記顯然地不同。通常，向量以粗體字母，或者在上方加了一支矢號的字母來標記。
稱向量為右括向量。
每一個右括向量 |\psi\rangle\,\! ，都獨特地伴隨一個左括向量 \langle\psi|\,\! ，這兩個向量都對應於同樣的量子態。
兩個向量的內積，可以寫為 \lang \psi_1|\psi_2\rang\,\! 。
單粒子系統的基底量子態
與任何向量空間一樣，可以設定一組希爾伯特空間的正交歸一的基底量子態，|{k_i}\rang （其中 i=1,\,2,\,3,\,\ldots\,\! ），那麼，任何右括向量 |\psi\rang\,\! 可以展開為這基底量子態的線性組合。
| \psi \rang = \sum_i c_i |{k_i}\rangle\,\! ；
其中，係數 c_i\,\! 是複值係數。
用物理術語來描述， |\psi\rang\,\! 是量子態 |{k_i}\rang\,\! 的疊加。由於這基底滿足正交歸一性，
c_i=\lang {k_i} | \psi \rang\,\! ，
\sum_i |c_i|^2 = 1\,\! 。
在量子力學的測量問題裏，這種展開式具有很重要的意義。特別是，假若 |{k_i}\rang\,\! 是一個可觀察量 k\,\! 的本徵值為 k_i\,\! 的本徵態。那麼，對於量子態 |\psi\rang\,\! 的可觀察量 k\,\! 的一個測量，得到的結果為 k_i\,\! 的機率是 |c_i|^2\,\! 。
一個常見的例子是位置基底。這個基底是由位置這可觀察量的本徵態構成的。假若這些本徵態是不兼併的，那麼，每一個右括向量 |\psi\rang\,\! 都對應於一個三維空間的複值函數：
\psi(\mathbf{r}) \equiv \lang \mathbf{r} | \psi \rang \,\! 。
這函數稱為對應於 |\psi\rang\,\! 的波函數。
態疊加原理
主條目：態疊加原理
設定 |\alpha\rangle\,\! and |\beta\rangle\,\! 為兩個不同的量子態。它們的線性疊加 c_\alpha|\alpha\rang+c_\beta|\beta\rang\,\! 是另外一個量子態（尚未歸一化）。思考 \theta\,\! 為實值的量子態 e^{i\theta}|\psi\rang\,\! ，雖然與 e^{i\theta}|\psi\rang\,\! 對應於同樣的量子態，他們並無法互相替換。可是， |\phi\rang+|\psi\rang\,\! 和 e^{i\theta}(|\phi\rang+|\psi\rang)\,\! 肯定地對應於同樣的量子態。可以這樣說，整體的相位因子並無物理性質，但相對的相位因子的物理性質很重要。
雙縫實驗草圖，從光源 a\,\! 散發出來的單色光，照射在一座有兩條狹縫 b\,\! 與 c\,\! 的不透明擋牆 S2\,\! 。在擋牆的後面，設立了一個照相底片或某種偵測屏障 F\,\! ，用來紀錄到達 F\,\! 的任何位置 d\,\! 的光波數據。最右邊黑白相間的條紋，顯示出光波在偵測屏障 F\,\! 的干涉圖案
例如，在雙縫實驗裏，光子的量子態是兩個不同的量子態的疊加。其中一個是通過狹縫 b\,\! 的量子態。另外一個是通過狹縫 c\,\! 的量子態。光子抵達偵測屏障的位置 d\,\! ，這位置離開兩條狹縫的距離之差值 bd-cd\,\! ，與兩個量子態的相對的相位有關。而這相對的相位，在偵測屏障的某些位置，又造成了建設性干涉，或摧毀性干涉。
另外一個例子拉比振動可以顯示出相對相位在量子態疊加中的重要性。這是一個雙態系統。假若系統的兩個本徵態的本徵能級不一樣，那麼，因為態疊加的相對相位隨著時間而改變，疊加後的量子態會反來復去的震動於兩個本徵態的線性組合。
純態與混態
主條目：純態
前面所講述的量子態都是純態，可以用一個右括向量來代表。一個混態是一個系綜的純態。混態是用一個密度矩陣，或密度算符，來描述。密度矩陣可以描述純態和混態。用方程式來定義，
\rho = \sum_s p_s | \psi_s \rangle \langle \psi_s |\,\! ；
其中，\rho\,\! 是密度矩陣，p_s\,\! 是純態 |\psi_s\rangle\,\! 在系綜裏所佔的比例。
可以用一個很簡單的公式，來判斷一個密度矩陣，到底是描述純態還是混態。首先，必須將量子態歸一化。假若，矩陣的跡值 tr(\rho^2)=tr(\rho)=1\,\! ，則所描述的是純態；否則，假若 tr(\rho^2)<1\,\! ，則所描述的是混態。另外一個等價的判斷式用馮諾伊曼熵來決定量子態的種類：純態的馮諾伊曼熵是 0 ;而混態的馮諾伊曼熵則大於 0 。
在量子力學裡，測量的規則可以特別簡單的用密度矩陣來表達。舉例而言，對應於一個可觀察量 A\,\! 的一個測量的期望值是
\langle A \rangle = \sum_s p_s \langle \psi_s | A | \psi_s \rangle = \sum_s \sum_i p_s a_i | \langle \alpha_i | \psi_s \rangle |^2 = tr(\rho A)\,\! ；
其中，|\alpha_i\rangle\,\! 是A\,\! 的本徵態，a_i\,\! 是本徵值。
特別注意，在這裡，一共發生了兩種不同的平均運算。一種是純態的基底右括向量 |\psi_s\rangle\,\! 的量子平均。另外一種是個統計平均，每一個量子態 |\psi_s\rangle\,\! 的機率是 p_s\,\! 。
這些不同的平均運算，可以用來判斷純態或混態：純態是量子態相干的疊加；而混態是量子態不相干的疊加。
參閱
密度矩陣
量子諧振子
量子位元
參考文獻
Isham, Chris J.. Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural Foundations. Imperial College Press. 1995. ISBN 978-1860940019. 經典物理態與量子態的的比較。
Bratteli, Ola; Robinson, Derek W.. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1. Springer. 1987. 2nd edition. ISBN 978-3540170938. 更詳細的數學講述。
能階
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能階（英語：Energy level）理論是一種解釋原子核外電子運動軌道的一種理論。它認為電子只能在特定的、分立的軌道上運動，各個軌道上的電子具有分立的能量，這些能量值即為能階。電子可以在不同的軌道間發生躍遷，電子吸收能量可以從低能階躍遷到高能階或者從高能階躍遷到低能階從而輻射出光子。氫原子的能階可以由它的光譜顯示出來。
背景
19世紀末20世紀初，人類開始走進微觀世界，物理學家提出了許多關於原子機構的模型，這裡就包括拉塞福的核式模型。核式模型能很好地解釋實驗現象，因而得到許多人的支持；但是該模型與古典的電磁理論有著深刻的矛盾。
古典理論的局限
實驗事實表明：原子具有高度的穩定性，即使受到外界干擾，也很不易改變原子的屬性；且氫原子所發出的光譜為線狀光譜，與古典電磁理論得出的結論完全不同。
然而，按古典電磁理論，電子繞核轉動具有加速度，加速運動著的電荷(電子)要向周圍空間輻射電磁波，電磁波頻率等於電子繞核旋轉的頻率，隨著不斷地向外輻射能量，原子系統的能量逐漸減少，電子運動的軌道半徑也越來越小，繞核旋轉的頻率連續增大，電子輻射的電磁波頻率也在連續地變化，因而所呈現的光譜應為連續光譜。
由於電子繞核運動時不斷向外輻無線電磁波，電子能量不斷減少，電子將逐漸接近原子核，最後落於核上，這樣，原子應是一個不穩定系統。
新理論的提出
丹麥物理學家尼爾斯·波耳於1913年提出了自己的原子結構假說，認為圍繞原子核運動的電子軌道半徑只能取某些分立的數值，這種現象叫軌道的量子化，不同的軌道對應著不同的狀態，在這些狀態中，儘管電子在做高速運動，但不向外輻射能量，因而這些狀態是穩定的。原子在不同的狀態下有著不同的能量，所以原子的能量也是量子化的。
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基態
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在量子力學裡，一個系統可能處於一系列量子態中的一個。這一系列的量子態依能量（能階）高低排列，其中能量最低的量子態稱為基態。具有更高能量的狀態稱為激發態。系統一般傾向於佔據能量最低的狀態，所以基態是研究一個量子系統的重要方面。
在量子場論當中， 基態也被稱為「真空態」或「真空」。
原子基態
在原子當中，體系的不同量子態由電子軌道刻畫，不同的電子軌道具有不同的能量，氫原子有一個電子繞核運動，有某些固定軌道可供它佔有。如果這個電子在圍繞原子核的半徑最小軌道內，則原子的能量最低，稱此為原子的基態。如電子在更大的半徑上，則原子能量更高，處於激發態。而將一個電子從原子的基態移除所需要的能量稱為游離能。
例如，硼的基態有五個電子，構型是：
1s22s22p1
參見
量子態
量子力學
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激發態
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在吸收能量之後，一個電子會從基態上升至能量較高的激發態
激發是在任意能級上能量的提升。在物理學中有對於這種能級有專門定義：往往與一個原子被激發至激發態有關。
在量子力學中，一個系統（例如一個原子，分子或原子核）的激發態是該系統中任意一個比基態具有更高能量的量子態（也就是說它具有比系統所能具有的最低能量要高的能量）。
一般來說，處於激發態的系統都是不穩定的，只能維持很短的時間：一個量子（例如一個光子或是一個聲子）在發生自發輻射或受激輻射後，只在能量被提升的瞬間存在，隨即返回具有較低能量的狀態（一個較低的激發態或基態）。這種能量上的衰減一般被稱為「衰變」（decay），它是「激發」的逆過程。
持續時間較長的激發態被叫做亞穩態（metastable）。同質異能素（nuclear isomers）與單線態氧（singlet oxygen）就是其中的兩個例子。
目錄
1 原子的激發態
2 氣體擾動激發（Perturbed gas excitation）
3 激發態分子
4 參見
5 外部連結
原子的激發態
一般以最簡單的氫原子為模型來討論這一概念。
氫原子的基態對應的是氫原子中唯一的一個電子處於可能達到的最低的原子軌道（也就是波函數呈球形的1s軌道，它具有最小的量子數）。當外界向該原子提供能量時（例如，吸收一個具有一定能量的光子），原子中的電子就可以提升到激發態（這時它的量子數比可能的最小的量子數至少多1）。如果入射光子能量足夠大，該電子會從對於該原子的束縛態中被「打」出來，失去了電子的原子即離子化了。
在被激發後，原子會以發射一個具有特定能量的光子的形式回到能量較低的激發態（或是基態）。處於不同激發態的原子發射的光子具有不同的電磁波譜，這顯示出它們各自獨特的譜線（亦稱「發射線」）。這些譜線中，以氫原子為例的氫原子光譜（亦稱「氫線」），含有來曼系（Lyman series）、巴耳末系（Balmer series）、帕申系（Paschen series）、布拉克系（Brackett series）、蒲芬德系（Pfund series）及漢弗萊斯系（Humphreys series）。
處於較高激發態的原子被稱為芮得柏原子。一個由高度激發的原子組成的系統可以形成壽命較長的凝聚激發態，例如完全由激發態原子組成的凝聚相——芮得柏物質（Rydberg matter）。氫氣同樣可以在加熱或通電的條件下進入激發態。
氣體擾動激發（Perturbed gas excitation）
如果一個或多個分子被提升至動能級（kinetic energy levels）使得造成的流速分布（velocity distribution）與平衡（equilibrium）狀態波爾茲曼分布（Boltzmann distribution）相分離，則一個氣體分子的集合可以被認為處於激發態中。這種現象，尤其是二維氣體（two-dimensional gas）的某些細節已經被研究——分析到達平衡狀態所需的時間。
激發態分子
參見
芮得柏公式
定態
外部連結
模擬氫原子由基態進入激發態並衰變的動畫
NASA網站提供的基態與激發態的背景知識（圖解）
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量子力學
芮得柏公式
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芮得柏公式（又稱芮得柏-里茲公式）是1889年瑞典物理學家芮得柏提出的表示氫原子譜線的經驗公式。
\frac{1}{\lambda}=R(\frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{n ^{2}})\qquad n=1,2,3\cdots\quad n =n+1,n+2,n+3\cdots
其中R=4/B，稱為芮得柏常量，λ是譜線的波長。
芮得柏公式是比巴耳末公式更加普遍地表示氫原子譜線的公式。巴耳末公式是芮得柏公式在n=2的條件下的特例。芮得柏公式中，對於每一個n都有n =n+1,n+2,n+3…每種n和n 的組合都代表一條譜線。例如n=2、n =3是波長為6563Å的Hα線，n=2、n =4是波長為4861Å的Hβ線。對於每一組n相同，n 不同的無窮條譜線，都構成一個線系。每個線系的第一條譜線波長最長，是n =n+1向n的狀態躍遷產生的譜線。隨著n 不斷增大，譜線的波長越來越短，譜線之間波長的間隔越來越小，當n =∞時，線系終止於
\lambda=\frac{n^{2}}{R}
這稱為線系限。
下面列舉n從1到6分別對應的線系：
來曼系：n=1，n =2,3,4…，線系限91nm，位於紫外波段，是在1906年由美國物理學家來曼發現的。
巴耳末系：n=2，n =3,4,5…，線系限365nm，位於可見光波段，1885年瑞士數學教師巴耳末首先將這組線系的波長表述成巴耳末公式，因此稱為巴耳末系。其中最重要的是Hα線（波長656.3nm），是由瑞典物理學家安德斯·埃格斯特朗於1853年首先觀測到的。
帕申系：n=3，n =4,5,6…，線系限821nm，位於紅外波段，是在1908年由德國物理學家帕申發現的。
布拉克系：n=4，n =5,6,7…，線系限1459nm，位於紅外波段，是在1922年由美國物理學家布拉克發現的。
蒲芬德系：n=5，n =6,7,8…，線系限2280nm，位於紅外波段，是在1924年由美國物理學家蒲芬德發現的。
韓福瑞系：n=6，n =7,8,9…，線系限3283nm，位於紅外波段，是在1953年由美國物理學家韓福瑞發現的。韓福瑞系是最後一個用人名命名的線系。
對於n=4，n =7以上的譜系、n=5，n =7以上的譜系、n=6，n =7的譜線都是由韓福瑞發現的。
芮得柏公式最初是描述氫原子譜線的公式，也可以擴展為描述類氫原子譜線的公式
\frac{1}{\lambda}=R_{A}Z^{2}(\frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{n ^{2}})\qquad n=1,2,3\cdots\quad n =n+1,n+2,n+3\cdots
其中RA是該種元素的芮得柏常量，Z是該種元素的核電荷數。
芮得柏公式只是一個經驗公式，芮得柏未能深入探究這一公式所蘊涵的物理意義。直到1913年丹麥物理學家尼爾斯·波耳創立了波耳模型，芮得柏公式的物理含義才得到合理的解釋。
參閱
波耳模型
芮得柏常量
1个分类：
氫原子物理
波耳模型
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波耳模型是丹麥物理學家尼爾斯·波耳於1913年提出的關於氫原子結構的模型。波耳模型引入量子化的概念，使用古典力學研究原子內電子的運動，很好地解釋了氫原子光譜和元素周期表，取得了巨大的成功。波耳模型是20世紀初期物理學取得的重要成就，對原子物理學產生了深遠的影響。
目錄
1 波耳模型的提出
2 波耳模型的主要內容
2.1 定態條件
2.2 頻率條件
2.3 結果
2.4 修正
3 波耳模型的實驗驗證
4 波耳模型的推廣
5 波耳模型的困難
6 參閱
7 參考文獻
8 外部連結
波耳模型的提出
丹麥物理學家尼爾斯·波耳（1885—1962）
20世紀初期，德國物理學家普朗克為解釋黑體輻射現象，提出了量子論，揭開了量子物理學的序幕。19世紀末，瑞士數學教師巴耳末將氫原子的譜線表示成巴耳末公式，瑞典物理學家芮得柏總結出更為普遍的光譜線公式芮得柏公式：
\frac{1}{\lambda}=R(\frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{n ^{2}})\qquad n=1,2,3\cdots,\quad n =n+1,n+2,n+3\cdots
其中{\lambda}為氫原子光譜波長，R為芮得柏常數。
然而巴耳末公式和式芮得柏公式都是經驗公式，人們並不了解它們的物理含義。
1911年，英國物理學家拉塞福根據1910年進行的α粒子散射實驗，提出了原子結構的行星模型。在這個模型里，電子像太陽系的行星圍繞太陽轉一樣圍繞著原子核旋轉。但是根據古典電磁理論，這樣的電子會發射出電磁輻射，損失能量，以至瞬間塌縮到原子核里。這與實際情況不符，拉塞福無法解釋這個矛盾。
1912年，正在英國曼徹斯特大學工作的波耳將一份被後人稱作《拉塞福備忘錄》的論文提綱提交給他的導師拉塞福。在這份提綱中，波耳在行星模型的基礎上引入了普朗克的量子概念，認為原子中的電子處在一系列分立的穩態上。回到丹麥後波耳急於將這些思想整理成論文，可是進展不大。
1913年2月4日前後的某一天，波耳的同事漢森拜訪他，提到了1885年瑞士數學教師巴耳末的工作以及巴耳末公式，波耳頓時受到啟發。後來他回憶到「就在我看到巴耳末公式的那一瞬間，突然一切都清楚了，」「就像是七巧板遊戲中的最後一塊。」這件事被稱為波耳的「二月轉變」。
1913年7月、9月、11月，經由拉塞福推薦，《哲學雜誌》接連刊載了波耳的三篇論文[1][2][3]，標誌著波耳模型正式提出。這三篇論文成為物理學史上的古典，被稱為波耳模型的「三部曲」。
波耳模型的主要內容
氫原子中的電子圍繞原子核做圓周運動，運動的軌道是古典軌道。電子做圓周運動的向心力是由電子和原子核之間的庫侖力提供的，即：
m_e\frac{v^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}
而電子的能量是動能加位能：
E = K + V = \frac12 m_e v^2 - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0r}
所以電子的軌道週期是：
T^2 = \frac{16\pi^3\varepsilon_0 m_e}{e^2} r^3
因此電子的公轉頻率是：
\nu = \frac1T = \frac e\pi(\pi\varepsilon_{0}m_e)^{-1/2}r^{-3/2} = \frac{4\varepsilon_0} {e^2}(\frac{2}{m_e})^{1/2}|E|^{3/2}\,
而根據電磁學，電磁幅射頻率是等於電子的公轉頻率。
但光譜中的幅射頻率並不等於電子的公轉頻率，所以波耳模型主要基於以下條件：
波耳模型的簡單示意圖。
定態條件
原子只能夠穩定地存在於一系列的離散的能量狀態之中，稱為定態，原子要有任何能量的改變，都必須要在兩個定態之間以躍遷的方式進行；所以電子只能處在一系列分立的定態上，並且不產生電磁輻射。
頻率條件
當兩個定態間的躍遷時，以電磁波的形式放出或吸收能量，其頻率的值為\nu\,是唯一的並且有：
h\nu = \Delta E = E_{n } - E_n
結合芮得柏公式可以得到
E_n=-\frac{Rhc}{n^2}
代入電子能量的表達式可以得到電子運動的軌道半徑：
r_n=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{2Rhc}n^2
結果
根據以上條件可以計算出，電子的能量：
E_n=-\frac{m_e e^{4}}{8n^2 h^2 \varepsilon_0^2}=-\frac12m_e(\alpha c)^2\frac{1}{n^2}
其中α是精細結構常數，其大小約為1/137。 電子的軌道半徑：
r_n = n^2\frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}
芮得柏常數：
R=\frac{2 \pi^2 m_e e^4}{(4 \pi \varepsilon_0)^2 c h^{3}}
由波耳模型可以計算出幾個表徵原子常用的物理量： 電子的第一軌道半徑（n=1）：
r_{1}=\frac{\varepsilon_0h^2}{\pi m_e e^2}\simeq 0.053 nm
通常用a0表示，稱為波耳半徑。
電子在第一個軌道上運動的速度（n=1）：
v_{1}=\alpha c \simeq\frac{1}{137}c
稱為波耳第一速度，它表示電子在原子中的運動速度通常約為光速的1/137。
將氫原子的電子從基態移動到無限遠處所需要的能量，即氫原子的電離能：
E_\infty = \frac12m_e(\alpha c)^2\simeq 13.6 eV
所以氫原子電子基態的能量約為-13.6eV。其餘各態的能量為：
E_n = -\frac{13.6 eV}{n^2}
波耳根據對應原理，結合芮得柏公式提出了角動量量子化條件：
L = m_e v r = \frac{nh}{2\pi} = n \hbar ,\qquad n=1,2,3\cdots
亦即是後期的波耳-索末菲作用量量子條件的前身:
J=\oint p\, dq =nh ,\qquad n=1,2,3\cdots
修正
英國光譜學家福勒（A.Fowler）質疑：應用波耳模型計算出芮得柏常數的數值R=109 737.315\,\mathrm{cm}^{-1}；而實驗值R=109 677.58\,\mathrm{cm}^{-1}，二者相大約萬分之五。1914年，波耳提出，這是因為原來的模型假設原子核靜止不動而引起的。實際情況是，原子核的質量不是無窮大，它與電子繞共同的質心轉動。波耳對其理論進行了修正，用原子核和電子的折合質量\mu = \frac{m_e M}{m_e + M}代替了電子質量。這樣的話，不同原子的芮得柏常數RA不同，
R_A = \frac{R}{1 + m_e/M}
電子到質心的距離仍為原來理論中的第一軌道半徑，與原子核的質量無關。
波耳模型的實驗驗證
1897年，美國天文學家皮克林在恆星弧矢增二十二的光譜中發現了一組獨特的線系，稱為皮克林線系。皮克林線系中有一些譜線靠近巴耳末線系，但又不完全重合，另外有一些譜線位於巴耳末線系兩臨近譜線之間。起初皮克林線系被認為是氫的譜線，然而波耳提出皮克林線系是類氫離子He+發出的譜線。隨後英國物理學家埃萬斯在實驗室中觀察了He+的光譜，證實波耳的判斷完全正確。
和波耳提出波耳模型幾乎同一時期，英國物理學家亨利·莫斯利測定了多種元素的X射線標識譜線，發現它們具有確定的規律性，並得到了經驗公式——莫斯利定律。莫斯利看到波耳的論文，立刻發現這個經驗公式可以由波耳模型導出，為波耳模型提供了有力的證據。
1914年，詹姆斯·法蘭克和古斯塔夫·赫茲進行了用電子轟擊汞蒸汽的實驗，即法蘭克-赫茲實驗。實驗結果顯示，汞原子內確實存在能量為4.9eV的量子態。1920年代，法蘭克和赫茲又繼續改進實驗裝置，發現了汞原子內部更多的量子態，有力地證實了波耳模型的正確性。
1932年尤雷（H.C.Urey）觀察到了氫的同位素氘的光譜，測量到了氘的芮得柏常數，和波耳模型的預言符合得很好。
波耳模型的推廣
隨著光譜實驗水平的提高，人們發現了光譜具有精細結構。1896年，阿爾伯特·邁克生和愛德華·莫立觀察到了氫光譜的Hα線是雙線，隨後又發現是三線。波耳提出這可能是電子在橢圓軌道上做慢進動引起的。1916年索末菲在波耳模型的基礎上將圓軌道推廣為橢圓形軌道，並且引入相對論修正，提出了索末菲模型。在考慮橢圓軌道和相對論修正後，索末菲計算出了Hα線的精細結構，與實驗相符。然而進一步的研究發現，這樣的解釋純屬巧合。Hα線的精細結構有7條，必須徹底拋棄電子軌道的概念才能完全解釋光譜的精細結構。
波耳模型的困難
波耳模型將古典力學的規律應用於微觀的電子，不可避免地存在一系列困難。根據古典電動力學，做加速運動的電子會輻射出電磁波，致使能量不斷損失，而波耳模型無法解釋為什麼處於定態中的電子不發出電磁輻射。波耳模型對躍遷的過程描寫含糊。因此波耳模型提出後並不被物理學界所歡迎，還遭到了包括拉塞福、薛丁格在內的諸多物理學家的質疑。波耳曾經的導師、劍橋大學的約瑟夫·湯姆森拒絕對其發表評論。薛丁格甚至評價說是「糟透的躍遷」[4]。
此外，波耳模型無法揭示氫原子光譜的強度和精細結構，也無法解釋稍微複雜一些的氦原子的光譜，以及更複雜原子的光譜。因此，波耳在領取1922年諾貝爾物理學獎時稱：「這一理論還是十分初步的，許多基本問題還有待解決。」
波耳模型引入了量子化的條件，但它仍然是一個「半古典半量子」的模型。完全解決原子光譜的問題必須徹底拋棄古典的軌道概念。儘管波耳模型遇到了諸多困難，然而它顯示出量子假說的生命力，為古典物理學向量子物理學發展鋪平了道路。
參閱
尼爾斯·波耳
芮得柏公式
惰性電子對效應可以用波耳模型解釋。
原子軌道
參考文獻
^ Niels Bohr. On the Constitution of Atoms and Molecules. Phil.Mag. 26(1913)1.
^ Niels Bohr. Systems Containing Only a Single Nucleus. Phil.Mag. 26(1913)476.
^ Niels Bohr. Systems Containing Several Nuclei. Phil.Mag. 26(1913)857.
^ W.Heisenberg. Physics & Beyond. Harper & Row Pub. (1972)75.
外部連結
國立交通大學物理系視聽教學：波耳模型。
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原子模型
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尼爾斯·玻爾
標準正交基
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在線性代數中，一個內積空間的正交基（orthogonal basis）是元素兩兩正交的基。稱基中的元素為基向量。假若，一個正交基的基向量的模長都是單位長度1，則稱這正交基為標準正交基（Orthonormal basis）。
無論在有限維還是無限維空間中，正交基的概念都是很重要的。在無限維希爾伯特空間中，正交基不再是哈默爾基，也即是說不是每個元素都可以寫成有限個基中元素的線性組合。因此在無限維空間中，正交基應該被更嚴格地定義為由線性無關而且兩兩正交的元素組成、張成的空間是原空間的一個稠密子空間（而不是整個空間）的集合。
注意，在沒有定義內積的空間中，「正交基」一詞是沒有意義的。因此，一個巴拿赫空間有正交基，若且唯若它是一個希爾伯特空間。
目錄
1 例子
2 基本性質
3 正交基的存在性
4 哈默爾基
5 參看
例子
在歐幾里德空間 \mathbb{R}^{3} 中，集合：{e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)} 組成一個標準正交基。
由 fn(x) = exp(2πinx)定義的集合：
{fn : n ∈ Z} 組成在復勒貝格空間L2([0,1])上的一個標準正交基。
基本性質
B是H上的一個正交基，那麼H中的每個元素 x 都可以表示成：
x=\sum_{b\in B}{\langle x,b\rangle\over\lVert b\rVert^2} b
當B是標準正交基時，就是：
x=\sum_{b\in B}\langle x,b\rangle b
x 的模長表示為：
\|x\|^2=\sum_{b\in B}|\langle x,b\rangle |^2.
即使B不是可數的，上面和式里的非零項也只會有可數多個，所以這個表達式仍然是有效的。上式被稱作x的傅立葉展開，詳見傅立葉級數。
若B是H上的一個標準正交基，那麼H「同構」於序列空間l2(B)。因為存在以下H -> l2(B)的雙射Φ，使得對於所有 H中的 x 和 y 有：
\langle\Phi(x),\Phi(y)\rangle=\langle x,y\rangle
正交基的存在性
運用佐恩引理和格拉姆-施密特正交化方法，可以證明每個希爾伯特空間都有基，並且有正交基。同一個空間的正交基的基數必然是相同的。當一個希爾伯特空間有可數個元素組成的正交基，就說這個空間是可分的。
哈默爾基
有前面的定義可以知道，在無窮維空間的情況下，正交基不再是一般線性代數的定義下的基。為了區分，把一般線性代數的定義下的基稱為哈默爾基。
在內積空間的實際應用中，哈默爾基甚少出現，因此提到「基」的概念時，一般指的是正交基。
參看
基 (線性代數)
正交
正交化
格拉姆-施密特正交化
正交分解
正交矩陣
垂直
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干涉 (物理學)
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在水波槽裏，兩個點波源共同產生的干涉圖樣。
物理學中，干涉是兩列或兩列以上的波在空間中重疊時發生疊加從而形成新波形的現象。例如採用光學分束器將一束來自單色點光源的光分成兩束後，再讓它們在空間中的某個區域內重疊，將會發現在重疊區域內的光強並不是均勻分布的：其明暗程度隨其在空間中位置的不同而變化，最亮的地方超過了原先兩束光的光強之和，而最暗的地方光強有可能為零，這種光強的重新分布被稱作「干涉條紋」。在歷史上，干涉現象及其相關實驗是證明光的波動性的重要依據[1]，但光的這種干涉性質直到十九世紀初才逐漸被人們發現，主要原因是相干光源的不易獲得。為了獲得可以觀測到可見光干涉的相干光源，人們發明製造了各種產生相干光的光學器件以及干涉儀，這些干涉儀在當時都具有非常高的測量精度：阿爾伯特·邁克生就藉助邁克生干涉儀完成了著名的邁克生－莫立實驗，得到了以太風觀測的零結果[2]。而在二十世紀六十年代之後，雷射這一高強度相干光源的發明使光學干涉測量技術得到了前所未有的廣泛應用，在各種精密測量中都能見到雷射干涉儀的身影。現在人們知道，兩束電磁波的干涉是彼此振動的電場強度向量疊加的結果，而由於光的波粒二象性，光的干涉也是光子自身的機率幅疊加的結果。
目錄
1 波的干涉條件
2 兩列波的干涉
2.1 基礎理論
2.2 波前分割干涉
2.2.1 楊氏雙縫
2.2.2 菲涅耳雙面鏡
2.2.3 菲涅耳雙稜鏡
2.2.4 洛埃鏡
2.2.5 邁克生測星干涉儀
2.3 振幅分割干涉
2.3.1 等傾干涉
2.3.2 等厚干涉
2.3.3 邁克生干涉儀
2.3.4 馬赫－曾德爾干涉儀
2.4 相干性
2.4.1 時間相干性
2.4.2 空間相干性
3 多光束干涉
3.1 平行平面板的多光束干涉
3.2 法布立－培若干涉儀
4 干涉測量術
4.1 基本原理
4.1.1 零差檢波
4.1.2 外差檢波
4.2 實際應用
4.2.1 光學干涉測量
4.2.1.1 長度測量
4.2.1.2 光學檢測
4.2.1.3 干涉光譜
4.2.1.4 天體測量
4.2.1.5 重力波探測
4.2.2 無線電干涉測量
5 量子干涉
6 參見
7 參考文獻
8 外部連結
波的干涉條件
參見：疊加原理及相干性
兩列同相位波的干涉，採用MATLAB模擬
兩列波在同一介質中傳播發生重疊時，重疊範圍內介質的質點同時受到兩個波的作用。若波的振幅不大，此時重疊範圍內介質質點的振動位移等於各別波動所造成位移的向量和，這稱為波的疊加原理。若兩波的波峰（或波谷）同時抵達同一地點，稱兩波在該點同相，干涉波會產生最大的振幅，稱為相長干涉（建設性干涉）；若兩波之一的波峰與另一波的波谷同時抵達同一地點，稱兩波在該點反相，干涉波會產生最小的振幅，稱為相消干涉（摧毀性干涉）。
雷射的產生機理是受激輻射，它決定了雷射本身即具有非常優秀的相干性。
理論上，兩列無限長的單色波的疊加總是能產生干涉，但實際物理模型中產生的波列不可能是無限長的，並從波產生的微觀機理來看，波的振幅和相位都存在有隨機漲落，從而現實中不存在嚴格意義的單色波。例如太陽所發出的光波來源於光球層的電子與氫原子的交互作用，每一次作用的時間都在10-9秒的量級，則對於兩次發生時間間隔較遠所產生的波列而言，它們無法彼此發生干涉。基於這個原因，可以認為太陽是由很多互不相干的點光源組成的擴展光源。從而，太陽光具有非常寬的頻域，其振幅和相位都存在著快速的隨機漲落，通常的物理儀器無法跟蹤探測到變化如此之快的漲落，因而我們無法通過太陽光觀測到光波的干涉。類似地，對於來自不同光源的兩列光波，如果這兩列波的振幅和相位漲落都是彼此不相關的，我們稱這兩列波不具有相干性[3]。相反，如果兩列光波來自同一點光源，則這兩列波的漲落一般是彼此相關的，此時這兩列波是完全相干的。
如要從單一的不相干波源產生相干的兩列波，可以採用兩種不同的方法：一種稱為波前分割法，即對於幾何尺寸足夠小的波源，讓它產生的波列通過並排放置的狹縫，根據惠更斯－菲涅耳原理，這些在波前上產生的子波是彼此相干的；另一種成為波幅分割法，用半透射、半反射的半鍍銀鏡，可以將光波一分為二，製造出透射波與反射波。如此產生的反射波和透射波來自於同一波源，並具有很高的相干性，這種方法對於擴展波源同樣適用[3]。
兩列波的干涉
基礎理論
本節概要：兩束光發生干涉後，干涉條紋的光強分布與兩束光的光程差/相位差有關：當相位差\delta = 0,2\pi,4\pi,...時光強最大；當相位差\delta = \pi,3\pi,5\pi,...時光強最小。從光強最大值和最小值的和差值可以定義干涉可見度作為干涉條紋清晰度的量度。
光作為電磁波，它的強度I\,定義為在單位時間內，垂直於傳播方向上的單位面積內能量對時間的平均值，即玻印亭向量對時間的平均值[4]：
I = \left \langle \mathbf{S} \right \rangle = \frac{c}{4\pi}\sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}}\left \langle \mathbf{E}^2 \right \rangle\,
從而光強可以用\left \langle \mathbf{E}^2 \right \rangle\, 這個量來表徵。對於單色光波場，電向量\mathbf{E}\,可以寫為
\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{2}\left [\mathbf{A}(\mathbf{r})e^{-i \omega t} + \mathbf{A}^{*}(\mathbf{r})e^{i \omega t}\right ]\,
這裡\mathbf{A}(\mathbf{r})\,是複振幅向量，在笛卡爾直角坐標系下可以寫成分量的形式\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \sum_{i=1}^3 a_i(\mathbf{r})e^{i\phi_i(\mathbf{r})}\mathbf{e}_i \qquad i = 1,2,3\,。
這裡a_i(\mathbf{r})\,是在三個分量上的（實）振幅，對於平面波a_i(\mathbf{r}) = a_i\,，即振幅在各個方向上是常數。\phi_i(\mathbf{r})\,是在三個分量上的相位，\boldsymbol{\phi}(\mathbf{r}) = \mathbf{k}\cdot \mathbf{r} - \delta_i\,，\delta_i\,是表徵偏振的常數。
要計算這個平面波的光強，則先計算電場強度的平方：
\mathbf{E}^2 = \frac{1}{4}\left [\mathbf{A}^2e^{-2i \omega t} + \mathbf{A}^{*2}e^{2i \omega t} + 2\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{*}\right ]\,
對於遠大於一個周期的時間間隔內，上式中前兩項的平均值都是零，因此光強為
I = \left \langle \mathbf{E}^2 \right \rangle = \frac{1}{2} \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{*} = \frac{1}{2}\left (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \right )\,
對於兩列頻率相同的單色平面波\mathbf{E}_1\,、\mathbf{E}_2\,，如果它們在空間中某點發生重疊，則根據疊加原理，該點的電場強度是兩者的向量和：
\mathbf{E} = \mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2\,
則在該點的光強為
I = \left \langle \mathbf{E}^2 \right \rangle = \left \langle \mathbf{E}_1^2 \right \rangle + \left \langle \mathbf{E}_2^2 \right \rangle + 2\left \langle \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\right \rangle \,。
其中\left \langle \mathbf{E}_1^2 \right \rangle\,、\left \langle \mathbf{E}_2^2 \right \rangle\,是兩列波各自獨立的光強，而2\left \langle \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\right \rangle \,是干涉項。 我們用\mathbf{A}\,、\mathbf{B}\,表示兩列波的複振幅，則干涉項中\mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\,可以寫為
\begin{align} \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2 & = \frac{1}{4} \left [ \mathbf{A}e^{-i\omega t} + \mathbf{A}^{*}e^{i\omega t} \right] \left [ \mathbf{B}e^{-i\omega t} + \mathbf{B}^{*}e^{i\omega t} \right]\\ & = \frac{1}{4} \left ( \mathbf{A}\cdot \mathbf{B}e^{-2i\omega t} + \mathbf{A}^{*}\cdot \mathbf{B}^{*}e^{2i\omega t} + \mathbf{A}\cdot \mathbf{B}^{*} + \mathbf{A}^{*}\cdot \mathbf{B} \right ) \end{align} \,
前兩項對時間取平均值仍然為零，從而干涉項對光強的貢獻為
2\left \langle \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\right \rangle = \frac{1}{2}\left ( \mathbf{A}\cdot \mathbf{B}^{*} + \mathbf{A}^{*}\cdot \mathbf{B} \right )\,
根據前面複振幅的定義，\mathbf{A}\,、\mathbf{B}\,可以在笛卡爾坐標系下分解為
\mathbf{A} = \sum_{i=1}^3 a_i e^{i\phi_i}\mathbf{e}_i \qquad i = 1,2,3\,
和
\mathbf{B} = \sum_{i=1}^3 b_i e^{i\psi_i}\mathbf{e}_i \qquad i = 1,2,3\,
將分量形式代入上面干涉項的光強，可得 2\left \langle \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\right \rangle = a_1b_1\cos(\phi_1 - \psi_1) + a_2b_2\cos(\phi_2 - \psi_2) + a_3b_3\cos(\phi_3 - \psi_3)\,
倘若在各個方向上，兩者的相位差\delta_i = \phi_i - \psi_i\,都相同並且是定值，即
\delta = \phi_1 - \psi_1 = \phi_2 - \psi_2 = \phi_3 - \psi_3 = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta L\,
其中\lambda\,是單色光的波長，\Delta L\,是兩列波到達空間中同一點的光程差。
此時干涉項對光強的貢獻為
2\left \langle \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\right \rangle = (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)\cos \delta = (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)\cos \frac{2\pi}{\lambda}\Delta L \,
光波是電向量垂直於傳播方向的橫波，這裡考慮一種簡單又不失一般性的情形：線偏振光，電向量位於x軸上，傳播方向為z軸方向，則兩列波在其他方向上的振幅都為零：
a_2 = b_2 = a_3 = b_3 = 0\,
代入總光強公式：
\begin{align} I & = \frac{1}{2}a_1^2 + \frac{1}{2}b_1^2 + a_1b_1\cos\delta \\ & = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos\delta \end{align}
因此干涉後的光強是相位差的函數，當\delta = 0,2\pi,4\pi,...時有極大值I_{\rm max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,；當\delta = \pi,3\pi,5\pi,...時有極小值I_{\rm min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2}\,。
特別地，當兩列波光強相同即I_1 = I_2 = I_0\,時，上面公式可化簡為
I = 4I_0 \cos^2 \frac{\delta}{2}\,，此時對應的極大值為4I_0\,，極小值為0。
顯然，對於不同的干涉情形，產生的極大值和極小值差異是不同的。由此可以定義條紋的可見度\mathcal{V}\,作為條紋清晰度的量度：
\mathcal{V} = \frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}\,，即可見度的範圍為0到1之間。
雖然以上的討論是基於兩列波都是線偏振光的假設，但對於非偏振光也成立，這是由於自然光可以看作是兩個互相垂直的線偏振光的疊加。
波前分割干涉
楊氏雙縫
主條目：雙縫實驗
楊氏雙縫實驗的幾何示意圖
楊氏雙縫實驗是最早被提出的光的干涉演示實驗（托馬斯·楊，1801年），這一實驗的重要意義在於它是對光的波動說的有力支持，由於實驗觀測到的干涉條紋是牛頓所代表的光的微粒說無法解釋的現象，雙縫實驗使大多數的物理學家從此逐漸接受了光的波動理論。楊氏雙縫的實驗設置如右圖所示，從一個點光源出射的單色波傳播到一面有兩條狹縫的屏上，兩條狹縫到點光源的距離相等，並且兩條狹縫間的距離很小。由於點光源到這兩條狹縫的距離相等，這兩條狹縫就成為了同相位的次級單色點光源，從它們出射的相干光發生干涉，可以在遠距離的屏上得到干涉條紋[5]。
如果兩條狹縫之間的距離為a\,，狹縫到觀察屏的垂直距離為d\,，則根據幾何關係，在觀察屏上以對稱中心點為原點，坐標為(x, y)\,處兩束相干光的光程分別為
L_1 = \sqrt{d^2 + y^2 + (x - \frac{a}{2})^2}\,
L_2 = \sqrt{d^2 + y^2 + (x + \frac{a}{2})^2}\,
當狹縫到觀察屏的垂直距離d\,遠大於x\,時，這兩條光路長度的差值可以近似在圖上表示為：從狹縫1向光程2作垂線所構成的直角三角形中，角\alpha^{\prime}\,所對的直角邊\Delta s\,。而根據幾何近似，這段差值為
\Delta s = a \sin \alpha^{\prime} \approx a \frac{x}{d}\,
如果實驗在真空或空氣中進行，則認為介質折射率等於1，從而有光程差\Delta L = \Delta s = a \frac{x}{d}\,，相位差\delta = \frac{2\pi}{\lambda}\frac{ax}{d}\,。
根據前文結論，當相位差\delta\,等於2m\pi, \quad |m| = 0, 1, 2,...\,時光強有極大值，從而當x = \frac{md\lambda}{a}, \quad |m| = 0, 1, 2,...\,時有極大值；當相位差\delta\,等於2m\pi, \quad |m| = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2},...\,時光強有極小值，從而當x = \frac{md\lambda}{a}, \quad |m| = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2},...\,時有極小值。從而楊氏雙縫干涉會形成等間距的明暗交替條紋，間隔為\frac{d\lambda}{a}\,。
不同狹縫間距情形下的雙縫干涉的明暗相間條紋，左起第一和第三張圖對應的狹縫間距a = 0.250mm，第二和第四張圖對應的狹縫間距a = 0.500mm。照片中所看到的中央亮紋要比兩邊的亮條紋明亮，則是因為狹縫的繞射效應。
若在雙縫干涉中增加狹縫在兩條狹縫連線上的線寬，以至於狹縫無法看作是一個點光源，此時形成的擴展光源可以看作是多個連續分布的點光源的集合。這些點光源由於彼此位置不同，在屏上同一點將導致不同的相位差，將有可能導致各個點光源干涉的極大值和極小值點重合，這就導致了條紋可見度的下降。
菲涅耳雙面鏡
菲涅耳雙面鏡干涉的幾何示意圖
菲涅耳雙面鏡（Fresnel double mirror）是一種可以直接產生兩個相干光源的儀器。菲涅耳雙面鏡是兩個長度相同的平面鏡M1、M2的組合，兩個平面鏡的擺放相對位置成一個很小的傾角α。當光波從點光源S的位置入射到兩個鏡面發生各自的反射後，分別形成了兩個虛像S1和S2。由於它們是同一光源的虛像，因此是相干光源，左圖中藍色陰影的部分即為兩束光的干涉區域[6]。
從圖中可見菲涅耳雙面鏡干涉的幾何關係與楊氏雙縫相同，因此只要求得兩個虛像間的距離d就可以推知干涉條紋的位置。如果設光源S到兩個平面鏡交點A的距離為b，根據鏡面對稱可知兩個相干光源到鏡面交點的距離也等於b，即S_1A = S_2A = SA = b\,，
而虛光路S1A、S2A和平分線（圖中水平的點劃線）的夾角都等於平面鏡傾角α，從而有d = 2b\sin \alpha\,。
這個距離等效於楊氏雙縫中兩條狹縫的間距，代入上文中公式即可得到干涉條紋的位置。光波入射到兩個鏡面時各自都會發生\pi\,的反射相變，從而不會影響兩者最終的相位差，因此菲涅耳雙面鏡干涉條紋的形狀與楊氏雙縫完全相同，都是等間距的明暗相間條紋，中間為零級亮紋。
菲涅耳雙稜鏡
菲涅耳雙稜鏡干涉的幾何示意圖
菲涅耳雙稜鏡（Fresnel double prism）是一種類似於菲涅耳雙面鏡的形成相干光源的儀器，它由兩塊相同的薄三稜鏡底面相合而構成，三稜鏡的折射角很小，並且兩者的折射棱互相平行。當位於對稱軸上的點光源S發出光時，入射光在兩塊稜鏡的作用下部分向上折射，部分向下折射，從而形成兩個對稱的虛像，這兩個虛像即為兩個相干光源[7]。
如果三稜鏡的頂角為α，折射率為n，則當α很小時光線因折射的偏折角度\beta \approx \alpha (n - 1)\,。
如果點光源S到三稜鏡的距離為a，則根據幾何關係可知兩個相干光源間的距離為
d = 2a\tan \beta \approx 2a \beta = 2a \alpha (n - 1)\,
以下關於條紋間距的計算和楊氏雙縫相同。
洛埃鏡
洛埃鏡（Lloyd mirror）是一種更簡單的波前分割干涉儀器，本質為一塊平置的平面鏡M。點光源S位於離平面鏡M較遠且相當接近平面鏡所在平面的地方，因此入射光傾角非常小。點光源S和它在平面鏡所成虛像S 形成了一對相干光源。根據圖中幾何關係，若點光源S到鏡平面的距離為d，則兩個相干光源間的距離為2d。由於兩條相干光路中其中一條經過了鏡面反射，因此只有一束相干光發生了\pi\,的反射相變，出於這個原因干涉條紋的正中為零級暗紋。
邁克生測星干涉儀
主條目：邁克生測星干涉儀
邁克生測星干涉儀的基本光路圖
邁克生測星干涉儀（Michelson stellar interferometer）是利用干涉條紋的可見度隨擴展光源的線度增加而下降的原理（參見下文空間相干性一節）來測量恆星角直徑的干涉儀[8]。其基本光路如右圖所示，它的概念首先由美國物理學家阿爾伯特·邁克生和法國物理學家阿曼德·斐索在1890年提出，並由邁克生和美國天文學家弗朗西斯·皮斯於1920年在威爾遜山天文台首次用干涉儀對恆星的角直徑進行了測量[9]。邁克生測星干涉儀的長度約為6米，架設在口徑為2.5米的虎克望遠鏡之上。其中兩面平面鏡M1、M2的最大間距為6.1米，並且是可調的；而平面鏡M3、M4的位置是固定的，等於1.14米。當有星光入射到干涉儀上時，兩組平面鏡所構成的光路是等光程的，從而會形成等間距的干涉直條紋，而條紋間距為
架設在虎克望遠鏡上的邁克生測星干涉儀，現保存於美國自然歷史博物館
\Delta x = \frac{\lambda f}{d}\,
這裡f\,是望遠鏡的焦距，d\,是平面鏡M3和M4之間的距離。而平面鏡M1和M2之間的距離相當於擴展光源的線度，當M1和M2靠得很近時干涉條紋的可見度接近於1，隨著兩者間距增加可見度會逐漸下降為零。如果認為恆星是一個角直徑為2\alpha\,，光強均勻分布的圓形光源，其可見度由下面公式給出
\mathcal{V} = \frac{2J_1(u)}{u}\,，
其中u = 2\pi\alpha D/\lambda\,，J_1(u)\,是貝索函數。隨著逐漸增加平面鏡M1和M2之間的距離D\,，當滿足下面關係時，可見度首次降為零：
D = 1.22\frac{\lambda}{2\alpha}\,
邁克生測星干涉儀首次成功測量的恆星是參宿四，測得其角直徑為0.047弧度秒，根據它到太陽的距離（約600光年）就可得到它的直徑約為4.1×108千米，是太陽直徑的300倍。事實上，這一台邁克生測星干涉儀所能測量的都是直徑在太陽直徑數百倍的巨星，因為測量體積更小的恆星要求更大的M1和M2之間的距離，架設一台如此龐大的干涉儀對當時的技術而言相當困難。
振幅分割干涉
等傾干涉
平行平面板的等傾干涉光路圖
如右圖所示，一個單色點光源S所發射的電磁波入射到一塊透明的平行平面板上。在平行平面板的上表面發生反射和折射，而折射光其後又被下表面反射，反射光再被上表面折射到原先介質中。這條折射光必然會與另一條直接被上表面反射的反射光重合於空間中某一點，由於它們都是同一波源發出的電磁波的一部分，因此是相干光，這時會形成非定域的干涉條紋。若光源為擴展光源，一般而言干涉條紋的可見度會下降，但若考慮兩條反射光平行的情形，即重合點在無限遠處，此時會形成定域的等傾干涉條紋[10]。根據幾何關係，兩束光的光程差可以表示為
\Delta L = n_2(\overline{AB} + \overline{BC}) - n_1 \overline{AN}\,
其中n_2\,是平行平面板的折射率，n_1\,是周圍介質的折射率。具體長度可以表示為
\overline{AB} = \overline{BC} = \frac{d}{\cos \theta^{\prime}}\,，
\overline{AN} = \overline{AC}\sin \theta\,
其中d\,是平行平面板的厚度，\theta\,是入射角，\theta^{\prime}\,是折射角，兩者滿足折射定律。
這樣得到的光程差為\Delta L = 2 n_2 d \cos \theta^{\prime}\,，對應的相位差為\delta = \frac{4\pi}{\lambda}n_2 d \cos \theta^{\prime}\,，另外考慮到發生於上表面或下表面的反射相變，相位差應為
\delta = \frac{4\pi}{\lambda}n_2 d \cos \theta^{\prime} \pm \pi\,。
根據干涉相長和相消的條件，當2 n_2 d \cos \theta^{\prime} \pm \frac{\lambda}{2} = m\lambda\,，m是整數時有亮條紋，而當m是半整數時有暗條紋。
由此，每一條條紋都對應一個特定的折射角/入射角，從而被稱作等傾干涉。如果觀測方向垂直於平行平面板，則可以觀察到一組同心圓的干涉條紋。 此外，從平行平面板下表面透射的兩束平行光也會形成等傾干涉，但由於不存在反射相變，相位差不需要添加\pm \pi\,項，從而導致透射光的干涉條紋的明暗位置與反射光完全相反。
等厚干涉
薄膜的等厚干涉光路圖
若等傾干涉中的平行平面板兩個表面不是嚴格平行的，如右圖所示，則對於單色點光源S的出射光，其上下表面的反射光總會在空間中某一點P上形成干涉，並且其干涉條紋是非定域的[11]。此時這兩束光的光程差可以寫為
\Delta L = n_1 (\overline{SB} + \overline{DP} - \overline{SA} - \overline{AP}) + n_2(\overline{BC} + \overline{CD})\,
類似地，n_1\,是周圍介質的折射率，n_2\,是平行平面板的折射率。 一般來說這個計算相當困難，但在平行平面板足夠薄，且兩面夾角足夠小的情形下（例如薄膜），光程差可近似得出為
\Delta L = 2n_2 d\cos \theta^{\prime}\,
其中d\,是薄膜在反射點C的厚度，\theta^{\prime}\,是在該點的反射角。從而對應的相位差\delta = \frac{4\pi}{\lambda}n_2 d \cos \theta^{\prime}\,。
若光源為擴展光源，則會使干涉光在點P的相位差範圍擴大，從而導致條紋可見度下降，但例外情形是點P位於薄膜表面：此時對從擴展光源各點出射的干涉光而言厚度d\,都是相同的，當\cos \theta^{\prime}\,變化範圍很小時，干涉條件可寫為
2n_2 d \overline{\cos \theta^{\prime}} \pm \frac{\lambda}{2} = m\lambda\,
當m為整數時有干涉極大，m為半整數時有干涉極小。其中\overline{\cos \theta^{\prime}}\,是對擴展光源各點取平均得到的\cos \theta^{\prime}\,的平均值，而\pm \frac{\lambda}{2}\,項的存在是考慮到反射相變。 如果\overline{\cos \theta^{\prime}}\,是常數，則條紋是薄膜中厚度為常數的點的連線，這被稱作等厚條紋。等厚干涉經常被用來檢測光學表面的厚度是否均勻，對正入射的情形，\overline{\cos \theta^{\prime}} = 1\,，則干涉極小條件為
d = \frac{m\lambda}{2}\quad m = 0,1,2,...\,，即對於相鄰明條紋，在該點的厚度差為\frac{\lambda}{2}\,；若表面厚度絕對均勻，則在表面上無干涉條紋。
牛頓環的等厚干涉幾何示意圖
等厚干涉的一個例子是劈尖干涉，即光線垂直入射到劈形的薄膜上，若劈尖的折射率為n\,，則根據前面結論干涉條件為
2nd \pm \frac{\lambda}{2} = m\lambda\,
其中m為整數時是亮條紋，m為半整數時是暗條紋，條紋是一組平行於劈尖棱邊的平行線，並且棱邊上是零級暗紋。相鄰明條紋對應的厚度差因而為\frac{\lambda}{2n}\,。
牛頓環實例
進一步可得出條紋間距\frac{\lambda}{2n}/\sin \alpha \approx \frac{\lambda}{2n\alpha}\,，其中\alpha\,是劈角，即劈尖干涉的條紋等間距。
等厚干涉的另一個著名例子是牛頓環。如右圖所示，它是將一個曲率半徑很大的透鏡的凸表面置於一個玻璃平面上，並由平行光垂直入射而形成的干涉條紋。此時凸透鏡和玻璃平面間的間隙形成了空氣（折射率近似為1）為介質的劈尖，從而干涉條件為
2d \pm \frac{\lambda}{2} = m\lambda\,，其中m為整數時是亮條紋，m為半整數時是暗條紋。其干涉條紋是一組同心圓，並且中心為零級暗紋。
設透鏡的曲率半徑為R\,，則條紋半徑r\,與劈尖厚度d\,滿足關係
r^2 = R^2 - (R-d)^2 = 2Rd - d^2 \approx 2Rd\,
從而可以得到干涉條紋的半徑為r = \sqrt{mR\lambda}\,，其中m為整數時是暗條紋，m為半整數時是亮條紋。由此可知牛頓環從中心向外條紋的間隔越來越密。
邁克生干涉儀
主條目：邁克生干涉儀
邁克生干涉儀的光路圖（補償板未畫出）
邁克生干涉儀是典型的振幅分割干涉儀，它通過將一束入射光分為兩束後，兩束相干光各自被對應的平面鏡反射回來從而發生振幅分割干涉[12]。兩束干涉光的光程差可以通過調節干涉臂長度以及改變介質的折射率來實現，從而能夠形成不同的干涉圖樣。邁克生干涉儀的著名應用是美國物理學家邁克生和愛德華·莫立使用它在1887年進行了著名的邁克生－莫立實驗，得到了以太風測量的零結果。除此之外，邁克生還用它首次系統研究了光譜線的精細結構。
右圖是邁克生干涉儀的基本構造：從光源到光檢測器之間存在有兩條光路：一束光被光學分束器（例如一面半透半反鏡）反射後入射到上方的平面鏡後反射回分束器，之後透射過分束器被光檢測器接收；另一束光透射過分束器後入射到右側的平面鏡，之後反射回分束器後再次被反射到光檢測器上。通過調節平面鏡的前後位置，可以對兩束光的光程差進行調節。值得注意的是，被分束器反射的那一束光前後共三次通過分束器，而透射的那一束光只通過一次。對於單色光而言只需調節平面鏡的位置即可消除這個光程差；但對於複色光而言，在分束器介質內不同波長的色光會發生色散，從而需要在透射光的光路中放置一塊材料和厚度與分束器完全相同的玻璃板，稱作補償板，如此可消除這個影響。
當兩面平面鏡嚴格垂直時，單色光源會形成同心圓的等傾干涉條紋，並且條紋定域在無窮遠處。如果調節其中一個平面鏡使兩束光的光程差逐漸減少，則條紋會向中心亮紋收縮，直到兩者光程差為零而干涉條紋消失。若兩個平面鏡不嚴格垂直且光程差很小時，光源會形成定域的等厚干涉條紋，其為等價於劈尖干涉的等距直條紋。
1905年至1930年間，人們又使用邁克生干涉儀重複進行了多次邁克生－莫立實驗，結果均不超過以太風存在情形下條紋移動量的10%。1979年，人們用雷射進行了迄今為止最為精確的邁克生－莫立實驗，實驗所用的氦－氖雷射頻率被鎖定到一個絕熱穩定的法布立－培若干涉儀上，結果顯示雷射頻率因以太風而可能存在的偏移不會超過其所預測的5×10-7[13]。
馬赫－曾德爾干涉儀
主條目：馬赫－曾德爾干涉儀
馬赫－曾德爾干涉儀的基本光路圖
邁克生干涉儀中，光學分束器也被用來使兩束相干光重新會合發生干涉，而倘若採用一塊獨立的半透半反鏡來使兩束光重新會合，則可構造成馬赫－曾德爾干涉儀（Mach-Zehnder interferometer）[14]。它是由德國物理學家路德維希·馬赫（恩斯特·馬赫之子）和路德維希·曾德爾於十九世紀末設計的，其基本光路如左圖所示：光源位於透鏡的焦平面上，從透鏡出射的平行光入射到第一面半透半反鏡上分為兩束，各自經一面平面鏡反射後在完全相同的第二面半透半反鏡重新會合，之後在兩個方向上的光檢測器都能發生干涉。通常，干涉儀中四個反射面需要被盡量設置為嚴格平行，並且四個反射點構成一個平行四邊形以保證準直。由此，兩列干涉臂的長度差異高度影響著兩個方向上的光檢測器所接收到的干涉信號，任何一個微小的光程差變化都會導致入射光能量的重新分配。當兩列干涉臂的光程完全相等，並考慮光波在半透半反鏡和平面鏡上反射產生的多次半波損失，則可知此時兩列相干光在光檢測器1的光路上有相長干涉，所有入射光的能量都將進入光檢測器1；而在光檢測器2的光路上有相消干涉，沒有入射光能量進入光檢測器2。
在實際操作中，若其中一塊半透半反鏡和平面鏡之間稍有傾斜，則會形成類似邁克生干涉儀的劈尖干涉，即得到定域的平行等距直條紋。
通過測量光程差改變引起的光檢測器所接收到的光強變化，馬赫－曾德爾干涉儀經常用於測量可壓縮氣流中折射率的變化。即對於兩條相干光路，其中一條作為參考光路，另一條置於待測氣流中作為測試光路，從而可測得氣流的折射率改變，進一步即可得到待測氣流的密度改變。
相干性
主條目：相干性
在邁克生干涉儀或馬赫－曾德爾干涉儀這樣的振幅分割干涉裝置中，雖然兩束光來自同一光源，但在實驗中會發現如果一味增加兩束光的光程差，會導致干涉條紋的可見度下降直至條紋消失；而在楊氏雙縫干涉中，如果逐漸擴展兩條狹縫在彼此連線上的線度，也會導致干涉條紋可見度的下降並最終消失。這種干涉條紋最終消失的現象是由於相干性，前者是由於實際的光波並非嚴格的無限長單色波列，它具有有限的相干長度（時間相干性）；後者是由於擴展光源造成了空間中不同點之間彼此的相干性下降（空間相干性）。例如在邁克生干涉儀中，一列有限長度的入射波進入干涉儀後被分成長度相等的兩列波，如果幹涉儀兩臂的光程差大於這兩列波的長度，則對於這一入射波而言它產生的兩列分波無法發生干涉，即兩列波沒有相干性。從而在任意時刻，到達空間中某一點的所有波列都來自不同的入射波的疊加，而這些入射波本身具有隨機的相位和振幅漲落，在可觀測時間內它們的疊加不產生干涉。
時間相干性
隨著時間 t\,\! 的變化，在時間 \tau_c\,\! 內，一個相位顯著飄移的波的振幅（紅色），與延遲了時間 2\tau_c\,\! 的振幅（綠色）。在任何設定時間t\,\! ，紅色波會與延遲的綠色複製波互相干涉。可是由於一半的時間，紅色波與綠色波同相位，另外一半時間，兩個波異相位，所以，對於這個延遲，隨著時間t\,\!平均的干涉等於零。
時間相干性是光波單色性的一種反映，如果光波的單色性越好則它具有越好的時間相干性[15]。也就是說，對於一列光波，將它延遲一段時間後再將其與自身延遲後的版本發生干涉，如果延遲的這段時間即使很大，而它仍然能與自身發生干涉，則稱這列波或對應的波源有很好的時間相干性。對於嚴格的無限長單色波，無論延遲多久它仍然能與自身發生干涉；而對於實際的有限長波列超過一段特定時間之後則無法發生干涉，這段時間被稱作相干時間，它也就是這列光波的持續時間。根據定義，描述時間相干性的方法即為自相關函數。
設有限長波列F(t) = f_0 e^{-2i\pi \nu_0 t}\,，其持續時間為\Delta \tau\,，即當|t| > \frac{\Delta \tau}{2}\,時F(t) = 0\,。對這個波列做傅立葉變換，可得它的頻譜為
\begin{align} f(\nu) & = f_0 \int_{-\frac{\Delta \tau}{2}}^{\frac{\Delta \tau}{2}} e^{2i\pi (\nu - \nu_0)t}\, dt \\ & = f_0 \Delta \tau \left [ \frac{\sin {\pi (\nu - \nu_0)\Delta \tau }}{\pi (\nu - \nu_0)\Delta \tau} \right ] \end{align}
這個積分的結果是一個歸一化的Sinc函數，而頻譜的模平方|f(\nu)|^2\,（功率譜）對應著光強。從函數可知光強的第一個零值對應著\nu - \nu_0 = \pm \frac{1}{\Delta \tau}\,。
從而得到這列有限長波列的頻率範圍\Delta \nu \sim \frac{1}{\Delta \tau}\,，即波列的頻率範圍近似為波列持續時間的倒數。事實上，實際的光波滿足關係\Delta \tau \Delta \nu \geqq \frac{1}{4\pi}\,。由此可知雷射的線寬也是時間相干性的反映，雷射的線寬越窄則說明這束雷射的時間相干性越高。
從相干時間可以進一步定義相干長度\Delta L = c\Delta \tau \sim \frac{\bar{\lambda}^2}{\Delta \lambda}\,，\Delta \lambda\,是波長的範圍。對於兩列光波的光程差接近或大於它們的相干長度時，干涉效應將難以發生。
空間相干性
空間相干性是電磁波傳播過程中在空間中兩點的電場相關程度的反映，即它是一種互相關函數[16]。如果一束電磁波在空間中傳播的同一波陣面上不同點的相位彼此間高度相關，則認為這束電磁波有很強的空間相干性。例如，在一束雷射的橫截面上，向不同方向振蕩的電場在相位變化上是高度一致的，即使這束雷射的線寬很寬從而不具有很好的時間相干性。空間相干性是雷射能夠保持高度方向性的關鍵因素。
根據傅立葉光學，波源光強在二維平面上的分布的傅立葉變換，即是干涉條紋的可見度函數。從而對於線度為b\,的擴展光源，其可見度是一個Sinc函數，因而在距離為R\,的波陣面上，具有空間相干性的範圍近似可表為
d \sim \frac{R}{b}\lambda\,
這個距離被稱為相干間隔，由此可定義相干孔徑角\Delta \theta = \frac{d}{R} = \frac{\lambda}{b}\,，也就是說在這個範圍的光場內，波陣面上任意兩點具有空間相干性。
由於楊氏雙縫實驗中條紋的可見度和狹縫在彼此連線上的擴展線度有很大關係，利用這個方法可以測量一些小光源的角幅度，這也正是邁克生測星干涉儀的原理。
多光束干涉
對於入射光照射到平行平面板產生振幅分割等傾干涉的情形，由於從下表面反射的光還存在被上表面再次反射的可能，從而會有第三束透射光從上表面出射並與前兩束光發生干涉。以此類推，如果平行平面板對電磁波的損耗可以忽略（介質對電磁波沒有吸收或散射），理論上會有無窮多束光從上表面出射，並且這些光彼此都是相干光。
平行平面板的多光束干涉
平行平面板的多光束干涉光路示意圖
設平行平面板的折射率為n\,，厚度為d\,，入射的單色光傾角為\theta_1\,，折射角為\theta_2\,，則根據前面結論，相鄰反射光或透射光之間的光程差為\Delta L = 2nd\cos\theta_2\,，對應相位差為\delta = \frac{4\pi}{\lambda}nd\cos\theta_2\,。
如果要計算多束反射光或透射光的干涉，還需要計算這些光場的電場強度的向量和（若用複振幅表示則為代數和）[17]。對於平行平面板的上表面和下表面，都有特定的反射率（反射波振幅與入射波振幅之比）和透射率（透射波振幅與入射波振幅之比），這裡設上表面（從周圍介質進入板內）的反射率和透射率分別為r_1\,、t_1\,，下表面（從板內進入周圍介質）的反射率和透射率分別為r_2\,、t_2\,。若入射波在入射點A1的複振幅為A\,，則從上表面反射出的各光束的複振幅依次為
r_1A, \quad t_1t_2r_2Ae^{i\delta}, \quad t_1t_2r_2^3Ae^{2i\delta}, ... \quad t_1t_2r_2^{(2p - 3)}Ae^{i(p-1)\delta}, \quad ...\,
而忽略第一條透射波在平行平面板中傳播產生的相移（因為它是一個在所有透射波中都會出現的常數），從下表面透射出的各光束的複振幅依次為
t_1t_2A, \quad t_1t_2r_2^2Ae^{i\delta}, \quad t_1t_2r_2^4Ae^{2i\delta}, ... \quad t_1t_2r_2^{(2p - 2)}Ae^{i(p-1)\delta}, \quad ...\,
對所有反射光的複振幅求和，這是一個等比數列的無窮級數，結果為(無損，r=r_1=-r_2\,)
A_r = \frac{r[1 - (r^2 + t_1t_2)e^{i\delta}]}{1 - r^2e^{i\delta}}A\,
如果定義平行平面板上表面和下表面的反射比分別為R_1 = r_1^2\,，R_2 = r_2^2\,，並假設R_1 = R_2 = R\,，而透射比T = t_1t_2\,。反射比和透射比是反射波和透射波的能量與入射波能量的比值，因此在忽略損耗的情形下需要滿足能量守恆條件R + T = 1\,。
由此可以將反射光的振幅表示為
A_r = \frac{\sqrt{R}(1 - e^{i\delta})}{1 - Re^{i\delta}}A\,
反射光的光強是複振幅的模平方，其表達式為
I_r = \frac{4R\sin^2\frac{\delta}{2}}{(1 - R)^2 + 4R\sin^2\frac{\delta}{2}}I\,
透射光的光強可以直接用入射光強I\,減去反射光光強得到，也可以通過等比數列無窮級數求和：
\begin{align} A_t & = \frac{t_1t_2}{1 - r_2^2e^{i\delta}}A\\ & = \frac{T}{1 - Re^{i\delta}}A\\ I_t & = \frac{T}{(1 - R)^2 + 4R\sin^2\frac{\delta}{2}}I \end{align}
反射光強與透射光強的表達式也被稱作愛里公式。
根據透射光強的表達式，其干涉條件為
2nd\cos\theta_2 = m\lambda\,
當m是整數時有透射光強的極大值，m是半整數時有透射光強的極小值。由於光強分布與傾角\theta_2\,有關，因此得到的是等傾條紋。
通常在討論反射光強和透射光強時，會引入一個參量F = \frac{4R}{(1-R)^2}\,，從而得到平行平面板的反射率函數和透射率函數：
\frac{I_r}{I} = \frac{F\sin^\frac{\delta}{2}}{1 + F\sin^2\frac{\delta}{2}}\,
\frac{I_t}{I} = \frac{1}{1 + F\sin^2\frac{\delta}{2}}\,
透射率函數與細度的關係，較高細度的透射函數（紅色曲線）和較低細度的透射函數（藍色曲線）比較起來，具有更銳的峰值以及更低的透射極小值。圖中\Delta\lambda\,是平行平面板的自由光譜範圍，\delta\lambda\,是透射峰的半高寬。
反射率和透射率都是波長的函數，在透射率函數上兩個相鄰的透射峰值之間的波長間隔被稱作自由光譜範圍（FSR），它由下式給出：
\Delta\lambda = \frac{ \lambda_0^2}{2n\ell \cos\theta + \lambda_0 } \approx \frac{ \lambda_0^2}{2n\ell \cos\theta }
其中\lambda_0\,是最近峰值的中心波長。
用自由光譜範圍除以透射率函數在峰值高度一半時的透射峰寬度（半高寬），得到的值稱作細度：
\mathcal{F} = \frac{\Delta\lambda}{\delta\lambda}=\frac{\pi}{2 \arcsin(1/\sqrt F)}.
對於較高的反射比（R > 0.5\,），細度通常可近似為
\mathcal{F} \approx \frac{\pi \sqrt{F}}{2}=\frac{\pi R^{1/2} }{1-R}
從這個公式可知反射比越高時細度越高，對應其透射峰的形狀越銳利。
法布立－培若干涉儀
主條目：法布立－培若干涉儀
法布立－培若干涉儀的完整設置
法布立－培若干涉儀是一種由兩塊平行的玻璃板組成的多光束干涉儀，本質和上節所述的平行平面板的干涉原理相同[18]。其中兩塊玻璃板的內表面都有相當高的反射率，以確保得到細度足夠高的干涉條紋。由於平行平面板只對特定波長的光有透射極大值，法布立－培若干涉儀能夠對頻率滿足其共振條件的光進行透射或反射，並且能達到非常高的透射率和反射率，它因此也被稱作法布立－培若諧振腔或法布立－培若標準具。法布立－培若干涉儀被廣泛應用於遠程通信、雷射、光譜學等領域，它主要用於精確測量和控制光的頻率和波長。例如，在光學波長計中就使用了數台法布立－培若干涉儀的組合，它們的共振頻率彼此都相差10倍，待測入射光在這些干涉儀中發生干涉後，通過測量各自產生亮紋的間距即可得知待測光的波長。此外，在雷射領域法布立－培若干涉儀還被用來抑制譜線的展寬，從而獲得單模雷射，而在重力波探測中法布立－培若干涉儀和邁克生干涉儀組合使用，通過使光子在諧振腔內反覆振蕩增加了邁克生干涉儀的干涉臂的有效長度。
如要觀察到法布立－培若干涉儀的等傾干涉條紋，要在透射光的傳播方向上垂直放置一透鏡，當透鏡光軸垂直於屏時，等傾干涉的條紋是一組同心圓，圓心對應著正入射透射光的焦點。此時由於是正入射，\theta_2 = 0\,，在干涉條件中m\,有最大值m_0\,：
m_0 = \frac{2 n d}{\lambda}\,
法布立－培若標準具的干涉條紋，光源為鎘燈，使用CCD成像
一般情況下m_0\,不是整數，如將其整數部分設為m_1\,，小數部分設為e\,，即m_0 = m_1 + e\,，則從中心亮紋數起，外圈第p\,個亮紋的角半徑為
\theta_p = \sqrt{\frac{n\lambda}{d}}\sqrt{p - 1 + e}\,
從而圓條紋的直徑D_p\,滿足
D_p^2 = (2f\theta_p)^2 = \frac{4n\lambda f^2}{d}(p - 1 + e)\,
其中f\,是透鏡焦距。
法布立－培若干涉儀的三個重要特徵參量是細度（自由光譜範圍和透射峰的半高寬之比）、峰值透射率（透射光強和入射光強之比的最大值）、襯比因子（透射光強與入射光強之比的最大值和最小值之比），但由於反射比越高時細度才會越高，因此透射率和細度/襯比因子不能同時都很高。
干涉測量術
主條目：干涉測量術
基本原理
干涉測量術是基於電磁波的干涉理論，通過檢測相干電磁波的干涉圖樣、頻率、振幅、相位等屬性，將其應用於各種相關測量的技術的統稱。用於實現干涉測量術的儀器被稱作干涉儀。在當今多個科研領域，干涉測量術都發揮著重要作用，包括天文學、光纖光學、工程測量學等。一般而言，干涉測量術分為兩種基本類型：零差檢波和外差檢波。
零差檢波
干涉測量術中，類似於前文中所敘述的兩列波的干涉都可看作零差檢波，即發生干涉的兩列電磁波具有相同的（載波）頻率或波長。在零差檢波中待測電磁波和一個已知的參考信號（經常被稱作本地振蕩器）進行混波，而待測信號和參考信號的載頻是相同的，這樣得到的干涉光場可以消除電磁波本身頻率雜訊所帶來的影響。典型的光學零差檢波裝置如馬赫－曾德爾干涉儀，待測信號和參考信號來自同一波源。
外差檢波
一個外差干涉的例子：頻率分別為1千赫茲、1.4千赫茲、1.8千赫茲、2.2千赫茲的單色波發生外差干涉後，顯示出400赫茲的拍頻
外差檢波是兩束頻率不同但相近的相干電磁波的干涉，最早在美籍加拿大發明家費森登的研究中被提到[19]。它通過將待測電磁波和參考信號進行混波，實現對待測電磁波的頻率調製。現今這種方法已被廣泛地應用於遠程通信和天文學領域的信號探測和分析中，其中以無線電波、紅外線、可見光的干涉最為常見。待測信號和參考信號的頻率相近而不完全相同，在外差檢波中，兩列波同時入射到一個混頻器件——通常為（光）二極體——此時兩者發生外差干涉。
如果設待測信號的電場為E_\mathrm{sig}\cos(\omega_\mathrm\mathrm{sig}t+\varphi)\,，參考信號的電場為E_\mathrm{LO}\cos(\omega_\mathrm{LO}t).\,，則發生外差干涉後在混頻器件中接收到的光強為[20]
I\propto \left( E_\mathrm{sig}\cos(\omega_\mathrm{sig}t+\varphi) + E_\mathrm{LO}\cos(\omega_\mathrm{LO}t) \right)^2
=\frac{E_\mathrm{sig}^2}{2}\left( 1+\cos(2\omega_\mathrm{sig}t+2\varphi) \right)
+ \frac{E_\mathrm{LO}^2}{2}(1+\cos(2\omega_\mathrm{LO}t))
+ E_\mathrm{sig}E_\mathrm{LO} \left[ \cos((\omega_\mathrm{sig}+\omega_\mathrm{LO})t+\varphi) + \cos((\omega_\mathrm{sig}-\omega_\mathrm{LO})t+\varphi) \right]
=\underbrace{\frac{E_\mathrm{sig}^2+E_\mathrm{LO}^2}{2}}_{constant\;component}+\underbrace{\frac{E_\mathrm{sig}^2}{2}\cos(2\omega_\mathrm{sig}t+2\varphi) + \frac{E_\mathrm{LO}^2}{2}\cos(2\omega_\mathrm{LO}t) + E_\mathrm{sig}E_\mathrm{LO} \cos((\omega_\mathrm{sig}+\omega_\mathrm{LO})t+\varphi)}_{high\;frequency\;component}
+ \underbrace{E_\mathrm{sig}E_\mathrm{LO} \cos((\omega_\mathrm{sig}-\omega_\mathrm{LO})t+\varphi)}_{beat\;component}.
最後的結果顯示干涉光強來自三項不同的貢獻：直流項（常數項）、高頻項和拍頻項（低頻項），在外差干涉中前兩者通常會被濾波器濾去，只保留較低頻率的拍頻。1962年，人們觀察到兩列頻率非常接近的雷射在光檢測器上干涉會產生拍頻[21]，從那以後外差檢波技術得到了飛速的發展，對拍頻頻率或相位的測量可以達到非常高的精度，從而對長度的干涉測量產生了深遠的影響。
實際應用
光學干涉測量
可見光的干涉測量是干涉測量術中最先發展同時也得到最廣泛應用的類別，早期的實際應用如邁克生測星干涉儀對恆星角直徑的測量，但如何獲取穩定的相干光源始終是限制光學測量發展的重要原因之一。直至二十世紀六十年代，光學干涉測量技術得到了飛速的發展，這要歸功於雷射這一高強度相干光源的發明[22][23]，計算機等數字集成電路獲取並處理干涉儀所得數據的能力大大提升[24]，以及單模光纖的應用增長了實驗中的有效光程並仍能保持很低的雜訊[25]。電子技術的發展使人們不必再去觀察干涉儀產生的干涉條紋，而可以對相干光的相位差直接進行測量。這裡列舉了光學干涉測量在多個方面的一些重要應用。
長度測量
用於測量光程差改變，進而測定氣體折射率的瑞立干涉儀
長度測量是光學干涉測量最常見的應用之一。如要測量某樣品的絕對長度，最簡明的方法之一是通過干涉對產生的干涉條紋進行計數；若遇到非整數的干涉條紋情形，則可以通過不斷成倍增加相干光的波長來獲得更窄的干涉條紋，直到得到滿意的測量精度為止[26][27]。常見的方法還包括惠普公司研發的惠普干涉儀[28][29]，它通過外加一個軸向磁場使氦－氖雷射器工作在兩個相近頻率，從而發出頻率相差2兆赫茲的兩束雷射，再通過偏振分束器使這兩束雷射產生外差干涉。干涉得到的差頻信號被光檢測器記錄，而待測樣品引起的光程差變化則可以通過計數器表示為光波長的整數倍。惠普干涉儀可以測量在60米左右以內的長度，在附加其他光學器件後還可以用於測量角度、厚度、平直度等場合。此外，還可以通過聲光調製的方法得到差頻信號，並且這種方法能獲得更高的差頻頻率，從而可以從差頻信號中得到更高的計數。
長度測量的另一類情形是測量長度的變化，常見的方法如藉助聲光調製產生的外差干涉，差頻信號所攜帶的相位差會被光檢測器記錄，從而得到長度的變化[30]。在測量像熔凝石英這樣熱膨脹係數很低的材料的熱膨脹係數時，還經常用到一種更精確的方法：將兩面部分透射部分反射的玻璃板置於待測樣品的兩端，從而構成一個法布立－培若干涉儀。使用兩束髮生外差干涉的雷射，並通過反饋將其中一束雷射的頻率鎖定到法布立－培若干涉儀的一個透射峰值頻率上。這樣，當樣品發生熱膨脹而改變法布立－培若干涉儀的長度時，透射峰值頻率的變化會引起被鎖定的雷射頻率的相應變化，這一變化也會反映到外差信號中從而被探測到[31][32]。
光學檢測
剪切干涉儀的光路示意圖
光學檢測包括對光學元件和光學系統的檢查和測試，諸如利用等厚干涉條紋來測量玻璃板各處的厚度，以及測量照相機鏡頭的調製傳遞函數（MTF）等都屬於這類應用。利用等厚干涉來檢測樣品表面是否平整的最常見方法是斐索干涉儀[33]，它利用準直平行光在樣品表面反射後與入射光發生干涉，從而得到等厚條紋。此外，還可以採用從邁克生干涉儀改進而來的特懷曼－格林干涉儀[34]。特懷曼－格林干涉儀也使用準直平行光源，並由於從邁克生干涉儀改進而來，它可以使兩束相干光的光程非常接近，從而相比於斐索干涉儀它對光源的相干長度要求有所降低。
另一類廣泛應用於檢測光學元件表面、光學系統像差以及測量光學傳遞函數的干涉儀是剪切干涉儀[35][36]，它將待測樣品出射的波前分成兩個，並使其相互錯開一定距離（這段距離被稱作剪切），兩個波前重疊的部分即產生干涉圖樣。剪切干涉儀分為切向剪切、法向剪切和旋轉剪切等類型：切向剪切干涉儀通常是一塊平行平面板或略呈角度的劈尖，準直光源入射到平行平面板上就形成了兩束錯開的相干光；而法向剪切干涉儀則類似於斐索干涉儀和特懷曼－格林干涉儀。剪切干涉儀的優點是省去了作為參考的光學表面，結構簡單且兩束相干光的光程基本相等，而缺點則是對干涉圖樣的數值分析比較繁瑣。
干涉光譜
使用SOHO衛星的LASCO C1攝影機觀測到的太陽日冕。使用法布立－培若干涉儀精密測量了鐵XIV的5308Å譜線的多個波長，這些波長因日冕中電漿和探測衛星的相對運動而產生都卜勒頻移，對於不同程度的都卜勒頻移照片用了不同顏色表示，從而不同的顏色也表示了不同的相對速度。
光譜儀可分辨的兩條譜線的中心波長與恰好可分辨的波長差的比值，稱作光譜儀的色分辨本領。對利用色散效應的稜鏡光譜儀以及利用繞射效應的光柵光譜儀，其色分辨本領都不會超過106的量級[37]。然而若採用法布立－培若干涉儀，由於透射峰的半寬等於干涉儀的自由光譜範圍除以它的細度：
\Delta \nu = \frac{\rm FSR}{\mathcal{F}} = \frac{c/2nd}{\mathcal{F}}\,
並由干涉條件2nd = m\lambda\,代入可得
\Delta \nu = \frac{\nu}{m\mathcal{F}}\,，其中\nu\,是中心頻率。
從而法布立－培若干涉儀的色分辨本領為\frac{\nu}{\Delta \nu} = m\mathcal{F}\,。一般干涉序m \sim 10^5\,，細度\mathcal{F}\,至少在10 \sim 10^2\,，從而干涉光譜儀的色分辨本領在106至107的量級以上[38]。
干涉儀的另一個重要應用是製造波長計，波長計又分為動態波長計和靜態波長計，前者包含活動組件可調節光程差[39][40]，後者則採用光程差為倍數遞增關係的多個邁克生干涉儀或自由光譜範圍為倍數遞增關係的多個法布立－培若干涉儀組合而成[41]。此外利用雷射的外差干涉，結合法布立－培若干涉儀可以更精確地測量雷射的頻率或比較兩束雷射的頻率高低[42]，並通過聲光調製和光纖延遲還可以測量出雷射的線寬[43]。
天體測量
位於亞利桑那州的海軍原型光學干涉儀
在邁克生測星干涉儀被發明以前，恆星直徑的測量始終是天文學上的一個難題，因為已知體積最大的恆星的角直徑也只有10-2角秒。然而即使是邁克生測星干涉儀，其解析度也只能測量某些巨星的角直徑，對質量稍小的恆星就無能為力[44]。正是雷射和外差干涉技術的發明，自二十世紀七十年代起在測星干涉領域引發了一場革新。在這些經改進的干涉儀中，望遠鏡捕捉到的星光與本地的雷射發生外差干涉，兩者頻率非常接近，從而產生了無線電頻域內的拍頻信號；並且由於這個拍頻信號的光強來自星光和雷射光強的乘積，這種干涉從而能獲得更高的解析度[45][46]。此外這些實驗大多使用了波長為10.6微米的二氧化碳雷射，這也是由於較長的波長能提高外差干涉的解析度[47]。1974年，約翰森、貝茨和唐尼斯建造了一台基線長度為5.5米的差頻干涉儀，使用了功率為1瓦特並經過穩頻的二氧化碳雷射，其工作波長為10.6微米[48]。他們用這台干涉儀對一系列紅外線源進行了觀測，包括M型超巨星、米拉變星，並取得了一些星周塵殼的溫度和質量分布等信息[49][50]。而今隨著技術和製造工藝的進步，這類干涉儀的基線長度已經可以擴展到幾百米的距離，從而克服了最初邁克生測星干涉儀遇到的困難[51]。
天體測量學上的另一個問題是關於天體的位置和運動的測量[52][53]。通過對恆星進行精確定位，可以將觀測到的無線電源位置和它們觀測到的相應光學位置進行比對，從而直接測量它們的視差並建立宇宙距離尺度。此外這種測量還能幫助確定雙星系統軌道的尺寸和形狀。這類干涉儀包括位於亞利桑那州的海軍原型光學干涉儀（NPOI）[54]，它由四個基本部分組成Y形，彼此之間的干涉臂長度為20米，NPOI對天體的定位可以達到毫角秒的量級[55]；以及太陽系外行星天文干涉儀（ASEPS-0），它通過監視恆星因圍繞其運動的行星而引起的反映運動來研究太陽系外行星[56]。
重力波探測
重力波是廣義相對論所預言的以光速傳播的時空擾動，雖然重力波與物質的交互作用非常微弱，但已有間接的天體觀測證據表明它確實存在於諸如雙星系統這樣的天體中，並對這類天體的物理性質有著重要影響。對重力波的直接觀測不僅可以驗證廣義相對論，更重要的是提供了一種有別於基於電磁波觀測的傳統觀測天文學的新觀測手段。並且由於電磁波與重力波的不同性質，重力波天文學所研究的將是藉助電磁波無法觀測到的宇宙的另一個側面[57]。自二十世紀七十年代起，人們逐漸認識到基於干涉原理的重力波探測器是一種較有希望成功的設計，這類探測器的基本構成都是一架等臂邁克生干涉儀[58][59]：本質上，雷射干涉重力波探測器是對干涉臂的長度變化進行測量，並對所觀測得的數據進行分析，寄希望於尋找到其中重力波所導致的影響。即重力波所導致的干涉臂長度變化與干涉臂長度的比值：
\frac{\Delta L}{L} = F^+h_+(t) + F^{\times}h_{\times} \equiv h(t)\,
其中h_+(t)\,和h_{\times}(t)\,是重力波的兩個偏振態，F^+\,和F^{\times}\,是探測器分別對這兩個偏振態的響應，h(t)\,是重力波的應力強度。在實際操作中，來自外界振動、分子熱運動、以及光檢測器讀出的散粒雜訊等雜訊會疊加到觀測數據中，因而對一般來自天體的重力波而言，如要探測到它們要求探測器的靈敏度要優於10^{-21}/\rm{\sqrt{Hz}}\,並儘可能地降低其他雜訊。通過使用較長的干涉臂同時在兩端分別增加法布立－培若諧振腔[60][61]，以及採用功率回收技術等方法[62][63]，可以有效地降低雜訊並提高幹涉儀的靈敏度。
義大利－法國聯合建造的雷射干涉重力波探測器VIRGO（局部）
美國路易西安納州和華盛頓州的雷射干涉重力波天文台（LIGO）是典型的基於邁克生干涉儀和法布立－培若諧振腔的地面重力波探測器，它被寄希望於探測到頻率在20赫茲至10千赫茲範圍內的重力波信號[64]。相同架構的地面重力波探測器還有義大利的VIRGO、德國的GEO600，日本的TAMA300以及計劃中的LCGT。美國國家航空暨太空總署和歐洲太空總署正在合作研發雷射干涉空間天線（LISA）項目，計劃在太空中進行類似於邁克生干涉儀的雷射干涉，對低頻區域（30微赫至0.1赫茲）的重力波進行探測[65]。此外，日本正在計劃中的分赫茲干涉重力波天文台（DECIGO）同樣屬於空間計劃，人們寄希望於它能夠探測分赫茲範圍上的重力波，從而填補LIGO和LISA工作頻域之間的空白[66]。
無線電干涉測量
主條目：無線電天文學
甚大天線陣
望遠鏡的角解析度正比於波長除以口徑，而由於無線電波的波長遠長於可見光，這造成單個無線電望遠鏡無法達到觀測一般的無線電源所需的解析度（例如採用波長為2.8厘米的無線電波進行解析度為1毫角秒的觀測，需要達6000千米的望遠鏡口徑）。基於這個原因，英國天文學家馬丁·賴爾爵士等人於1946年發明了無線電干涉技術，他們用一架兩根天線組成的無線電干涉儀對太陽進行了觀測[67]。無線電干涉技術採用多個分立的無線電望遠鏡構成陣列，這些望遠鏡在觀測時都對準同一無線電發射源，各自觀測所得的信號彼此用同軸電纜、導波或光纖連接後發生干涉。這種干涉不僅僅是提升了觀測信號的強度，而且由於望遠鏡彼此間的基線距離很長，從而提升了觀測的有效口徑。由於各個望遠鏡的位置不同，同一波前到達各個望遠鏡的時間因而會存在延遲，這就需要對先到達的信號進行恰當的延遲以保持信號彼此之間的時間相干性。此外，構成干涉的望遠鏡數量越多越好，這是由於觀測無線電源表面的光強分布時，兩台望遠鏡組成的干涉只能觀測到光強分布的傅立葉變換（即可見度）的各個空間頻率（這裡空間頻率的含義是描述光強在不同方向上變化快慢的傅立葉頻率）中的一個頻率；而採用多個望遠鏡構成陣列，則可以在多個空間頻率上對無線電源進行觀測，再對觀測所得的可見度函數進行逆傅立葉變換得到無線電源的光強分布，這種方法叫做合成孔徑[68]。例如，位於新墨西哥州的甚大天線陣（VLA）由27架無線電望遠鏡組成，每架望遠鏡由直徑為25米的拋物面天線構成，彼此共形成351條彼此獨立的干涉基線，最長的等效基線可達36千米[69]。
二十世紀六十年代末，隨著無線電望遠鏡接收器的性能和穩定性的提高，在全世界（以至地球軌道）範圍內使望遠鏡相距很遠的同一無線電信號之間產生干涉成為可能，這被稱為超長基線干涉（VLBI）[70]。超長基線干涉不需要觀測信號之間的物理連接，而是在信號數據本身嵌入被原子鐘校準的時間信息，之後再將這些數據進行相關性計算。由於這些數據是在相隔很遠的地點觀測到的，等效基線能夠達到非常之長。現在已經運行的超長基線干涉儀包括位於美國本土及海外領地的超長基線陣列（基線長度8611千米）[71]，以及遍布歐亞和非洲大陸的歐洲超長基線干涉網[72]。這些干涉陣列平時都進行著獨立的觀測，但在一些特殊項目中可以實現同時性的觀測，從而形成全球性的超長基線干涉。
量子干涉
參見：雙縫實驗#量子力學結果及雙縫實驗中光子的動力學
用每次發射單個電子進行的雙縫實驗，用光子得到的結果也類似於此。本圖描述的是隨時間的累積，到達螢幕的電子的分布情況。
1905年至1917年間，愛因斯坦通過馬克斯·普朗克的能量量子化假設和對光電效應的解釋，在《關於光的產生和轉化的一個試探性的觀點》[73]、《論我們關於輻射的本性和組成的觀點的發展》、《論輻射的量子理論》等論文中提出電磁波的能量由不連續的能量子組成，這些能量子被稱為光量子（光子），而電磁輻射必須同時具有波動性和粒子性兩種自然屬性，這被稱作波粒二象性。自羅伯特·密立根於1916年完成了光電效應的一系列實驗，以及阿瑟·康普頓於1923年觀察到了X射線被自由電子的散射，並於1926年測定了光子的動量，物理學界都逐漸接受了電磁波也具有粒子性的這一事實。然而，如果我們從光子的角度來理解干涉現象，就會發現存在如下的問題：當兩束相干光中對應的兩個光子彼此發生干涉時，相長干涉的場合需要從兩個光子中產生出四個光子，相消干涉的場合則需要兩個光子彼此抵消，這違反了能量守恆定律。
對於這一問題的解決，量子力學的哥本哈根詮釋認為光子的干涉是單個光子波函數的機率幅疊加，波函數是一種機率波，其複振幅（機率幅）的模平方正比於對應的狀態（本徵態）發生的機率[74]。以雙縫干涉為例，對於每個光子而言，其狀態都為從兩條狹縫中的每一條經過的量子態的疊加：
|\psi \rang = a_1|\psi_1 \rang + a_2|\psi_2 \rang\,
其中|\psi_1 \rang\,、|\psi_2 \rang\,分別對應從狹縫1、狹縫2經過的量子態，機率幅a_1\,、a_2\,對應這一光子從狹縫1和狹縫2出射的各自機率，其本身是一個複數。
而光檢測器探測到這一光子的機率，從統計上看也就是光檢測器探測到的光強，是機率幅疊加之後的模平方：
I = |a_1 + a_2|^2\,
這一表達和古典的電磁波的向量疊加非常相似——實際上，如果將上面的量子態|\psi_1 \rang\,、|\psi_2 \rang\,用具體的電磁波形式來代換，即用電磁場來表示光子的波函數，在形式上能得到和古典干涉相同的結論。然而，這種等效從根本上是錯誤的，因為電磁場是一個可觀測量，而波函數在哥本哈根詮釋中是一個不可觀測量；從光子角度所看到的雙縫實驗是單個光子本身機率波的干涉，而機率也是單個光子出現在特定量子態的機率，而不是位於特定量子態的光子數量。關於這一點，保羅·狄拉克在《量子力學原理》中做了說明[75]：
「 在量子力學發現以前不久，人們就已了解到，光波和光子之間的聯繫必須是統計的性質。然而，他們沒有清楚地了解到，波函數告訴我們的是一個光子在一特定位置上的機率，而不是在那個位置上可能有的光子數目。這一區別的重要性可在下面看清楚。假定我們令大量光子組成的光束分裂為兩個強度相等的部分。按照光束的強度與其中可能的光子數目相聯繫的假定，我們就會得到，光子總數的一般分別走入每一組分。現在，如果使這兩個組分互相干涉，我們就得要求，在一個組分中的一個光子能夠與另一組分中的一個光子互相干涉。在某些情況下，這兩個光子就要互相抵消，而在另一些情況下，它們就要產生四個光子。這樣一來，就會和能量守恆相矛盾了。而新的理論把波函數與一個光子的機率聯繫起來，就克服了這一困難，因為這個理論認定，每一光子都是部分地走入兩個組分中的每一個。這樣，每一個光子只與它自己發生干涉。從來不會出現兩個不同的光子之間的干涉。 」
—保羅·狄拉克，《量子力學原理》第四版，第一章第3節
儘管在理論上可以在雙縫干涉中每次從相干光源只發射一個光子，根據波函數的統計詮釋，經過長時間的積累在屏上將得到古典的干涉條紋；然而在當前的技術下，得到單光子態還十分困難——即使是採用單模雷射作為相干光源，多個光子仍然會彼此非常接近地進入光檢測器，這是光子作為玻色子的一種量子效應。實際操作中相對可行的辦法是產生光子對，從而可以作為產生單光子態的一個近似，此時在一個光子對中第二個光子的頻率和傳播方向都和第一個光子相關，從而可被看作是單光子的福柯態[76]。常見的產生光子對的方法之一是原子級聯，實驗中將鈣原子激發到61S0態，它們會通過一個二階輻射過程回到基態，並輻射出波長分別為551.3奈米和422.7奈米的光子對[77]。另一種更常見的方法是利用非線性光學中的參量下轉換，用晶體中的單個紫外光子作為泵浦光，其通過非線性效應產生一個信號光子和一個閒頻光子，這兩個光子的波長都近似為泵浦光子的波長的2倍，偏振方向都和泵浦光子互相垂直；通過採用雙折射晶體可以實現泵浦光和下轉換光的相位匹配，從而使輸出光強得到最大[78][79]。產生的兩個下轉換光子都攜帶了泵浦光子的相位信息，從而處於一個糾纏態，對信號光子的任何測量都會影響到閒頻光子的量子態，反之亦然。
參見
繞射
莫耳紋
干涉儀列表
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光學
參考文獻
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外部連結
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在量子力學裏，量子諧振子（英語：quantum harmonic oscillator）是古典諧振子的延伸。其為量子力學中數個重要的模型系統中的一者，因為一任意勢在穩定平衡點附近可以用諧振子勢來近似。此外，其也是少數幾個存在簡單解析解的量子系統。量子諧振子可用來近似描述分子振動。
目錄
1 一維諧振子
1.1 哈密頓算符與能量本徵態
1.2 階梯算符方法
1.3 自然長度與能量尺度
1.4 案例：雙原子分子
2 維諧振子
2.1 案例：三維均向諧振子
3 耦合諧振子
4 參閱
5 參考文獻
6 外部連結
一維諧振子
哈密頓算符與能量本徵態
能量最低的六個束縛本徵態的波函數表徵 （n = 0 到 7）。橫軸表示位置 x 。此圖未經歸一化。
在一維諧振子問題中，一個質量為 m 的粒子，受到一位勢 V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2 。此粒子的哈密頓算符為
H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2
其中 x 為位置算符，而 p 為動量算符 \left(p = -i \hbar {d \over dx} \right) 。第一項代表粒子動能，而第二項代表粒子處在其中的位能。為了要找到能階以相對應的能量本徵態，我們必須解所謂的「定態薛丁格方程式」：
H \left| \psi \right\rangle = E \left| \psi \right\rangle .
我們可以在座標基底下解這個微分方程式，用到冪級數方法。可以見到有一族的解：
\left\langle x | \psi_n \right\rangle = \sqrt{\frac{1}{2^n\,n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot \exp \left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right) \cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right)
n = 0, 1, 2, \ldots
最先六個解（n = 0 到 5）展示在右圖。函數 H_n 為厄米多項式 (Hermite polynomials)：
H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}
注意到不應將之與哈密頓算符搞混，儘管哈密頓算符也標作 H 。相應的能階為
E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right)。
束縛本徵態之機率密度 |ψn(x)|² ，從最底部的基態 （n = 0） 開始，往上能量逐漸增加。橫軸表示位置 x ，而較亮的色彩代表較高的機率密度。
值得注意的是能譜，理由有三。首先，能量被「量子化」(quantized)，而只能有離散的值——即 \hbar\omega 乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統的特徵。在爾後的「階梯算符」段落，我們將對此現象做更詳細的檢視。再者，可有的最低能量（當 n = 0 ）不為零，而是 \hbar\omega/2 ，被稱為「基態能量」或零點能量。在基態中，根據量子力學，一振子執行所謂的「零振動」(null oscillations) 且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見，因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量，因為可以任意選擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態能量有許多的意涵，特別是在量子重力。最後一個理由式能階值是等距的，不像波耳模型或盒中粒子問題那樣。
注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部，合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時，機率密度變成集中在「古典轉向點」(classical turning points)，其中狀態能量等同於勢能。這樣的結果與古典諧振子相一致；古典的描述下，粒子多數時間處在（而更有機會被發現在）轉向點，因為在此處粒子速度最慢。因此滿足對應原理。
階梯算符方法
前述的冪級數解雖然直觀，但顯得相當繁複。階梯算符方法起自保羅·狄拉克，允許我們能抽得能量本徵值，而不用直接解微分方程式。此外，此法很容易推廣到更複雜的問題，尤其是在量子場論中。跟從此方法，我們定義算符 a 與其伴隨算符 (adjoint) a† ：
\begin{matrix} a &=& \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {i \over m \omega} p \right) \\ a^{\dagger} &=& \sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x - {i \over m \omega} p \right) \end{matrix}
算符 a 並非厄米算符 (Hermitian) ，以其與伴隨算符 a† 並不相同。
算符 a 與 a† 有如下性質：
\begin{matrix} a \left| \phi _n \right\rangle &=& \sqrt{n} \left| \phi _{n-1} \right\rangle \\ a^{\dagger} \left| \phi _n \right\rangle &=& \sqrt{n+1} \left| \phi _{n+1} \right\rangle \end{matrix}
在推導 a† 形式的過程中，我們已用到算符 x 與 p （代表可觀測量）為厄米算符這樣的事實。這些可觀測量算符可以被表示為階梯算符的線性組合：
\begin{matrix} x &=& \sqrt{\hbar \over 2m\omega} \left( a^{\dagger} + a \right) \\ p &=& i \sqrt{{\hbar}m\omega \over 2} \left( a^{\dagger} - a \right) \end{matrix}
x 與 p 算符遵守下面的等式，稱之為正則對易關係：
\left[x , p \right] = i\hbar .
方程式中的方括號是常用的標記機器，稱為交換子、交換算符或對易算符，其定義為
\left[A , B \right] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ AB - BA.
利用上面關係，我們可以證明如下等式：
H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)
\left[a , a^{\dagger} \right] = 1.
現在，讓 \left|\psi_E\right\rangle 代表帶有能量 E 的能量本徵態。任何右括向量 (ket) 與自身的內積必須是非負值，因此
\left(a \left|\psi_E \right\rangle, a \left|\psi_E \right\rangle\right) = \left\langle\psi_E \right| a^\dagger a \left| \psi_E \right\rangle \ge 0。
將 a†a 以哈密頓算符表示：
\left\langle\psi_E \right| {H \over \hbar \omega} - {1 \over 2} \left|\psi_E\right\rangle = \left({E \over \hbar \omega} - {1 \over 2} \right) \ge 0,
因此 E \ge \hbar \omega / 2 。注意到當 (a \left| \psi_E \right \rangle) 為零右括向量（亦即：長度為零的右括向量），則不等式飽和而 E = \hbar \omega / 2 。很直觀地，可以檢查到存在有一狀態滿足此條件——前面段落所提到的基態 （n = 0）。
利用上面等式，我們可以指出 a 及 a† 與 H 的對易關係：
\begin{matrix} \left[H , a \right] &=& - \hbar \omega a \\ \left[H , a ^\dagger\right] &=& \hbar \omega a^\dagger \end{matrix}.
因此要是 (a \left| \psi_E \right \rangle) 並非零右括向量，
\begin{matrix} H (a \left| \psi_E \right\rangle) &=& (\left[H,a\right] + a H) \left|\psi_E\right\rangle \\ &=& (- \hbar\omega a + a E) \left|\psi_E\right\rangle \\ &=& (E - \hbar\omega) (a\left|\psi_E\right\rangle) \end{matrix}.
類似地，我們也可以指出
H (a^\dagger \left| \psi_E \right\rangle) = (E + \hbar\omega) (a^\dagger \left| \psi_E \right\rangle).
換句話說，a 作用在能量為 E 的本徵態，而產生出——還多了一個常數乘積——另一個能量為 E - \hbar \omega 的本徵態，而 a† 作用在能量為 E 的本徵態，產生出另一個能量為 E + \hbar \omega 的本徵態。因為這樣，a 稱作降算符而 a† 稱作升算符。兩者合稱階梯算符。在量子場論中，a 與 a† 也分別稱作消滅算符與創生算符，以其分別摧毀與創造粒子——對應於我們的能量量子。
給定任何能量本徵態，我們可以拿降算符 a 作用在其上，產生了另一個能量少了 \hbar \omega 的本徵態。重複使用降算符，似乎我們可以產生能量本徵態其能量低到 E = −∞ 。不過這樣就就與早先的要求 E \ge \hbar \omega / 2 相違背。因此，必須有一最底的能量本徵態——基態，我們標示作 \left| 0 \right \rangle （勿與零右括向量混淆），使得
a \left| 0 \right\rangle = 0（即 a 對 \left| 0 \right\rangle 作用後產生零右括向量 (zero ket)）。
在這情況下，繼續使用降算符只會產生零右括向量，而不是產生額外的能量本徵態。此外，我們還指出了
H \left|0\right\rangle = (\hbar\omega/2) \left|0\right\rangle。
最後，透過將升算符作用在 \left| 0 \right \rangle 上，並且乘上適當的歸一化因子，可以產生出一個能量本徵態的無限集合 \left\{\left| 0 \right \rangle, \left| 1 \right \rangle, \left| 2 \right \rangle, ... , \left| n \right \rangle, ...\right\} 使得
H \left|n\right\rangle = \hbar\omega (n + 1/2) \left|n\right\rangle ，
這與前段所給的能譜相符合。
這方法也能夠用來很快地找到量子諧振子的基態波函數。只要將消滅算符作用於基態，a \left| 0 \right\rangle = 0 變為
x\psi_0(x) + \frac{\hslash}{m \omega} \frac{d \psi_0 (x)}{dx} = 0 。
所以，
\frac{d\ln \psi_0 (x)}{dx}= - \frac{\hslash}{m \omega} x + \text{ Constant} 。
這個方程式的解為，經過歸一化，
\psi_0(x)= \left({m\omega \over \pi\hbar}\right)^{1 \over 4}e^{ - m\omega x^2/2\hbar} 。
自然長度與能量尺度
量子諧振子擁有自然長度與自然能量兩個自然尺度，可以用來簡化問題。這可以透過無因次化來得到。結果是如果我們以 \hbar \omega 為單位來測量能量，以及 \left(\hbar / \left(m \omega\right)\right)^{1/2} 為單位來測量距離，則薛丁格方程式變成：
H = - {1\over2} {d^2 \over du^2 } + {1 \over 2} u^2,
且能量本徵態與本徵值變成
\left\langle x | \psi_n \right\rangle = {1 \over \sqrt{2^n n!}} \pi^{-1/4} \hbox{exp} (-u^2 / 2) H_n(u)
E_n = n + {1\over 2}.
為了避免混淆，在此文中我們不採用這些自然單位。不過，這用法在執行運算上總會因便利性而遲早被運用到。
案例：雙原子分子
主條目：雙原子分子
在雙原子分子中，自然頻率可以發現為[1]：
\omega = \sqrt{\frac{k}{m_r}}
其中
\omega = 2 \pi f 為角頻率，
k 是共價鍵勁度係數
m_r 是約化質量。
N 維諧振子
一維諧振子很容易地推廣到 N 維。在一維中，粒子的位置是由單一座標 x 來指定的。在 N 維中，這由 N 個位置座標所取代，我們以 x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_N 標示。對應每個位置座標有個動量，我們標示為p1, ..., pN。這些算符之間的正則對易關係為
\begin{matrix} \left[x_i , p_j \right] &=& i\hbar\delta_{i,j} \\ \left[x_i , x_j \right] &=& 0 \\ \left[p_i , p_j \right] &=& 0 \end{matrix}.
系統的哈密頓算符為
H = \sum_{i=1}^N \left( {p_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 x_i^2 \right) 。
從這個哈密頓量的形式，我們可以發覺，N 維諧振子明確地可比擬為 N 個質量相同，彈性常數相同，獨立的一維諧振子。在這案例裏，變數 x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_N 是 N 個粒子的位置坐標。這是反平方連心位勢的一個優良的特性，允許位勢被分離為 N 個項目，每一個項目只相依於一個位置坐標。
這觀察使得問題的解答變的相當簡單。對於一個集合的量子數 \{n\} ，一個 N 維諧振子的能量本徵函數 \langle \mathbf{x}|\psi_{\{n\}}\rangle 等於 N 個一維本徵函數 \langle x_i|\psi_{n_i} \rangle 的乘積：
\langle \mathbf{x}|\psi_{\{n\}}\rangle=\prod_{i=1}^N\langle x_i|\psi_{n_i} \rangle 。
採用階梯算符方法，定義 N 組階梯算符，
a_i = \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x_i + {i \over m \omega} p_i \right) ，
a^{\dagger}_i = \sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x_i - {i \over m \omega} p_i \right) 。
類似前面所述的一維諧振子案例，我們可以證明每一個 a_i 與 a^{\dagger}_i 算符將能量分別降低或升高 \hbar\omega 。哈密頓量是
H = \hbar \omega \, \sum_{i=1}^N \left(a_i^\dagger \,a_i + \frac{1}{2}\right) 。
這量子系統的能階 E 是
E = \hbar \omega \left[(n_1 + \cdots + n_N) + {N\over 2}\right] ；
其中，正整數 n_i 是 |\psi_{n_i} \rangle 的量子數。
如同一維案例，能量是量子化的。N 維基態能階是一維基態能階的 N 倍。只有一點不同，在一維案例裏，每一個能階對應於一個單獨的量子態。在 N 維案例裏，除了底態能階以外，每一個能階都是簡併的，都對應於多個量子態。
簡併度可以很容易地計算出來。例如，思考三維案例，設定 n=n_1+n_2+n_3 。每一個 n 相同的量子態，都會擁有相同的能量。給予 n ，我們首先選擇一個 n_1 。那麼，n_2+n_3=n - n_1 ，我們有 n - n_1+1 個值，從 0 到 n - n_1 ，可以選擇為 n_2 的值。n_3 的值自動的設定為 n - n_1 - n_2 。因此，簡併度是
d_n = \sum_{n_1=0}^n n - n_1 + 1 = \frac{(n+1)(n+2)}{2} 。
對於 N 維案例，
d_n = \binom{N+n-1}{n} 。
案例：三維均向諧振子
參閱三維均向諧振子
球對稱的三維均向諧振子可以用分離變數法來求解。這方法類似於氫原子問題裏的方法，只有球對稱位勢不一樣：
V(r) = {1\over 2} \mu \omega^2 r^2 ；
其中，\mu 是這問題的質量。由於 m 會被用來標記磁量子數，所以，用 \mu 來標記質量。
這問題的薛丁格方程式為
- \frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2\psi + {1\over 2} \mu \omega^2 r^2\psi=E\psi 。
薛丁格方程式的全部解答寫為
\psi_{klm}(r,\theta,\phi) = N_{kl} r^{l}e^{-\nu r^2}{L_k}^{(l+{1\over 2})}(2\nu r^2) Y_{lm}(\theta,\phi)；
其中，
N_{kl}=\sqrt{\sqrt{\frac{2\nu ^{3}}{\pi }}\frac{2^{k+2l+3}\;k!\;\nu ^{l}}{ (2k+2l+1)!!}} 是歸一常數，
\nu \equiv {\mu \omega \over 2 \hbar}
{L_k}^{(l+{1\over 2})}(2\nu r^2) 是 k 階廣義拉格耳多項式 (generalized Laguerre polynomials) ，k 是個正整數，
Y_{lm}(\theta,\phi)\, 是球諧函數，
\hbar 是約化普朗克常數。
能量本徵值是
E=\hbar \omega (2k+l+{3\over 2}) 。
能量通常可以用一個量子數 n 來描述：
n\equiv 2k+l 。
由於 k 是個正整數，假若 n 是偶數，那麼，角量子數也是偶數：
l=0,\,2,\,\dots,\,n - 2,\,n ；
假若 n 是奇數，那麼，角量子數也是奇數：
l=1,\,3,\,\dots,\,n - 2,\,n 。
磁量子數 m 滿足不等式
-l \le m \le l 。
對於每一個 n 與 l ，存在 2l+1 個不同的量子態。每一個量子態都有不同的磁量子數 m 。因此，n 的兼併度是
\sum_{l=i,\,i+2,\,\ldots,\,n - 2,\,n} (2l+1) = {(n+1)(n+2)\over 2} ；
其中，總和的指數 l 的初始值是 i=n\ mod\ 2 。 這結果與先前的方程式相同。
耦合諧振子
兩個質點的耦合諧振子
設想 N 個相同質量的質點，以彈簧連結為一條一維的線形鏈條。標記每一個質點的離開其平衡點的位置為 x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_N （也就是說，假若一個質點 k 位於其平衡點，則 x_k=0 ）。整個系統的哈密頓量是
H = \sum_{i=1}^N {p_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2\sum_{1\le i\le N} (x_i - x_{i-1})^2 ；
其中，x_0=0 。
很奇妙地，這個問題可以用坐標變換來變換成一組獨立的諧振子，每一個獨立的諧振子對應於一個獨特的晶格集體波震動。這些波震動表現出類似粒子般的性質，稱為聲子。許多固體的離子晶格都會產生聲子。在固體物理學裏，這方面的理論對於許多現象的研究與了解是非常重要的。
參閱
自由粒子
無限深方形阱
有限深方形阱
有限位勢壘
有限位勢壘
球對稱位勢
Delta 位勢壘
參考文獻
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Liboff, Richard L。. Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 2002. ISBN 0-8053-8714-5.
外部連結
國立交通大學物理系視聽教學：量子諧振子。
喬治亞州州立大學（Georgia State University）線上物理網頁：量子諧振子
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布洛赫球面
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布洛赫球面
圖1.布洛赫球面
量子力學中，以自旋物理與核磁共振專家菲力·布洛赫(Felix Bloch)姓氏為名的布洛赫球面乃一種對於雙態系統之純態空間的幾何表示法。在討論量子位元的場合上常常運用到。
目錄
1 布洛赫球面諸點與純態的對應
2 習慣差異
3 布洛赫球與混態
4 外部連結
布洛赫球面諸點與純態的對應
對量子位元這樣的二階量子系統而言，其存在的可能狀態 |\psi \rangle （採狄拉克標記的右括向量表示）可以由兩個互相正交的基底以複數線性疊加所構成，這兩個基底可以選用 |0 \rangle 和 |1 \rangle 為代表。在物理實作上，|0 \rangle 和 |1 \rangle 代表了做投影式量子測量所會得到的唯二結果。
從任意純態出發： |\psi \rangle = \alpha \, |0 \rangle + \beta \, |1 \rangle，其中\alpha, \beta \isin \mathbb{C},\quad |\alpha |^2 + |\beta |^2 = 1 \,。
故可設：
\alpha = \cos \theta \, e^{i \delta},\quad \beta = \sin \theta \, e^{i (\delta + \phi)} \,
\Rightarrow |\psi \rangle = \cos \theta \, e^{i \delta} \, |0 \rangle + \sin \theta \, e^{i (\delta + \phi)} \, |1 \rangle = e^{i \delta}( \cos \theta \, |0 \rangle + \sin \theta \, e^{i \phi} \,|1 \rangle )
其中 e^{i \delta} \, 稱作共同相位(global phase)，因為對 |0 \rangle 、對 |1 \rangle 都一樣影響，而在實驗上測量不出來，故可以將之捨棄不看。
至於相對相位(relative phase) e^{i \phi} \, 就不同了，它的影響可以在球面上表現出來。故得：
|\psi \rangle = \cos \theta \, |0 \rangle + \sin \theta \, e^{i \phi} \,|1 \rangle
可以看到 |0 \rangle 的係數 \cos \theta \, 是實數，並且 \cos \theta \, 在原先 \alpha = \cos \theta \, e^{i \delta} \, 所代表的是複數 \alpha \, 的長度(模、幅值，amplitude)，故 \cos \theta \, 結果要是非負實數；\sin \theta \, 亦是如此道理。故可定出 \theta \,與\phi \, 的範圍如下：
0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \Rightarrow 0 \leq 2\theta \leq \pi, \quad
0 \leq \phi < 2 \pi
將 2\theta \, 和 \phi \, 的所有分佈在三維空間 \mathbb{R}^3 中畫出來，就可以得到一個球面，此即布洛赫球面，如同圖1。
\begin{matrix} x & = & \sin 2 \theta \times \cos \phi \\ y & = & \sin 2 \theta \times \sin \phi \\ z & = & \cos 2 \theta \end{matrix}
可以注意到正交(意義上有「垂直，呈90度關係」之意涵)的兩個基底 |0 \rangle 和 |1 \rangle 在此幾何表示法下成為一軸的兩端，變成180度關係，此乃因 2\theta \, 的緣故。通常設定它們處在 z \, 軸，即：
|0 \rangle是z_+: \, (0,0,1) 、
|1 \rangle是z_-: \, (0,0,-1)，
離球心距離皆是1。
習慣差異
有些學者及書刊對於球面所採用的表示為：
\begin{matrix} x & = & \sin \theta \times \cos \phi \\ y & = & \sin \theta \times \sin \phi \\ z & = & \cos \theta \end{matrix}
角度範圍：
0 \leq \theta \leq \pi ,\quad 0 \leq \phi < 2\pi
是故，其狀態 | \psi \rangle 之定義為：
|\psi \rangle = \cos \frac{\theta}{2} \, |0 \rangle + \sin \frac{\theta}{2} \, e^{i \phi} \,|1 \rangle
此種表示法的用意在使布洛赫球面上 (\theta , \phi) \, 表示方式和一般 \mathbb{R}^3 中的球面以極坐標 (r_0, \theta , \phi) \, 表示方式呈現一致。
布洛赫球與混態
布洛赫球(Bloch ball)是布洛赫球面的擴充，混態(mixed state)會出現在球內而不是球面上，亦即離球心距離<1的點。並可從此推論出球心該點所代表的量子狀態是混合最全態(maximally mixed state)，用密度矩陣形式及狄拉克標記表示即(另見「量子位元」)：
\frac{1}{2}\mathbf{1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} |0 \rangle\langle 0| + \frac{1}{2} |1 \rangle\langle 1| = \frac{1}{2} z_+ + \frac{1}{2} z_-
= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} x_+ + \frac{1}{2} x_-
= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} \\ \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2} \\ -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} y_+ + \frac{1}{2} y_-。
可以看到會是兩個彼此正交的純態以恰好一半一半的比例構成混態。
外部連結
Density Operator of a Single Qubit: The Bloch Sphere
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電離能（Ionization energy），或稱游離能，常簡記為EI，指的是將一個電子自一個孤立的原子、離子或分子移至無限遠處所需的能量。更廣義的用法，第一電離能定義為氣態原子失去一個電子成為一價氣態正離子所需的最低能量，記作I1；氣態一價正離子失去一個電子成為氣態二價正離子所需的能量稱為第二電離能，記作I2。依此類推。
電離能的數值和原子的有效核電荷密切相關，也和原子大小、軌道中電子間的推斥作用等因素有關。
電離能是了解原子性質的重要數據。
半導體
對於半導體來說，電離能即為將電子從價帶頂移到真空能級所需的最小能量
I = χs+Eg
其中I 為電離能，χs為電子親合能，Eg為價帶頂到導帶底的能量差。
參閱
電離
電離度
電離常數
電離能表
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離子
能量
電離能表
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這是各種元素的電離能的列表，單位為kJ·mol−1。
1-104
序號 符號 名稱 第一電離能 第二電離能 第三電離能 第四電離能 第五電離能 第六電離能 第七電離能 第八電離能 第九電離能 第十電離能
1 H 氫 1312.0
2 He 氦 2372.3 5250.5
3 Li 鋰 520.2 7298.1 11815.0
4 Be 鈹 932 1821 15390 21771
5 B 硼 800.6 2427.1 3659.7 25025.8 32826.7
6 C 碳 1086.5 2352.6 4620.5 6222.7 37831 47277.0
7 N 氮 1402.3 2856 4578.1 7475.0 9444.9 53266.6 64360
8 O 氧 1313.9 3388.3 5300.5 7469.2 10989.5 13326.5 71330 84078.0
9 F 氟 1681.0 3374.2 6050.4 8407.7 11022.7 15164.1 17868 92038.1 106434.3
10 Ne 氖 2080.7 3952.3 6122 9371 12177 15238 19999.0 23069.5 115379.5 131432
11 Na 鈉 495.8 4562 6910.3 9543 13354 16613 20117 25496 28932 141362
12 Mg 鎂 737.7 1450.7 7732.7 10542.5 13630 18020 21711 25661 31653 35458
13 Al 鋁 577.5 1816.7 2744.8 11577 14842 18379 23326 27465 31853 38473
14 Si 矽 786.5 1577.1 3231.6 4355.5 16091 19805 23780 29287 33878 38726
15 P 磷 1011.8 1907 2914.1 4963.6 6273.9 21267 25431 29872 35905 40950
16 S 硫 999.6 2252 3357 4556 7004.3 8495.8 27107 31719 36621 43177
17 Cl 氯 1251.2 2298 3822 5158.6 6542 9362 11018 33604 38600 43961
18 Ar 氬 1520.6 2665.8 3931 5771 7238 8781 11995 13842 40760 46186
19 K 鉀 418.8 3052 4420 5877 7975 9590 11343 14944 16963.7 48610
20 Ca 鈣 589.8 1145.4 4912.4 6491 8153 10496 12270 14206 18191 20385
21 Sc 鈧 633.1 1235.0 2388.6 7090.6 8843 10679 13310 15250 17370 21726
22 Ti 鈦 658.8 1309.8 2652.5 4174.6 9581 11533 13590 16440 18530 20833
23 V 釩 650.9 1414 2830 4507 6298.7 12363 14530 16730 19860 22240
24 Cr 鉻 652.9 1590.6 2987 4743 6702 8744.9 15455 17820 20190 23580
25 Mn 錳 717.3 1509.0 3248 4940 6990 9220 11500 18770 21400 23960
26 Fe 鐵 762.5 1561.9 2957 5290 7240 9560 12060 14580 22540 25290
27 Co 鈷 760.4 1648 3232 4950 7670 9840 12440 15230 17959 26570
28 Ni 鎳 737.1 1753.0 3395 5300 7339 10400 12800 15600 18600 21670
29 Cu 銅 745.5 1957.9 3555 5536 7700 9900 13400 16000 19200 22400
30 Zn 鋅 906.4 1733.3 3833 5731 7970 10400 12900 16800 19600 23000
31 Ga 鎵 578.8 1979.3 2963 6180
32 Ge 鍺 762 1537.5 3302.1 4411 9020
33 As 砷 947.0 1798 2735 4837 6043 12310
34 Se 硒 941.0 2045 2973.7 4144 6590 7880 14990
35 Br 溴 1139.9 2103 3470 4560 5760 8550 9940 18600
36 Kr 氪 1350.8 2350.4 3565 5070 6240 7570 10710 12138 22274 25880
37 Rb 銣 403.0 2633 3860 5080 6850 8140 9570 13120 14500 26740
38 Sr 鍶 549.5 1064.2 4138 5500 6910 8760 10230 11800 15600 17100
39 Y 釔 600 1180 1980 5847 7430 8970 11190 12450 14110 18400
40 Zr 鋯 640.1 1270 2218 3313 7752 9500
41 Nb 鈮 652.1 1380 2416 3700 4877 9847 12100
42 Mo 鉬 684.3 1560 2618 4480 5257 6640.8 12125 13860 15835 17980
43 Tc 鎝 702 1470 2850
44 Ru 釕 710.2 1620 2747
45 Rh 銠 719.7 1740 2997
46 Pd 鈀 804.4 1870 3177
47 Ag 銀 731.0 2070 3361
48 Cd 鎘 867.8 1631.4 3616
49 In 銦 558.3 1820.7 2704 5210
50 Sn 錫 708.6 1411.8 2943.0 3930.3 7456
51 Sb 銻 834 1594.9 2440 4260 5400 10400
52 Te 碲 869.3 1790 2698 3610 5668 6820 13200
53 I 碘 1008.4 1845.9 3180
54 Xe 氙 1170.4 2046.4 3099.4
55 Cs 銫 375.7 2234.3 3400
56 Ba 鋇 502.9 965.2 3600
57 La 鑭 538.1 1067 1850.3 4819 5940
58 Ce 鈰 534.4 1050 1949 3547 6325 7490
59 Pr 鐠 527 1020 2086 3761 5551
60 Nd 釹 533.1 1040 2130 3900
61 Pm 鉕 540 1050 2150 3970
62 Sm 釤 544.5 1070 2260 3990
63 Eu 銪 547.1 1085 2404 4120
64 Gd 釓 593.4 1170 1990 4250
65 Tb 鋱 565.8 1110 2114 3839
66 Dy 鏑 573.0 1130 2200 3990
67 Ho 鈥 581.0 1140 2204 4100
68 Er 鉺 589.3 1150 2194 4120
69 Tm 銩 596.7 1160 2285 4120
70 Yb 鐿 603.4 1174.8 2417 4203
71 Lu 鑥 523.5 1340 2022.3 4370 6445
72 Hf 鉿 658.5 1440 2250 3216
73 Ta 鉭 761 1500
74 W 鎢 770 1700
75 Re 錸 760 1260 2510 3640
76 Os 鋨 840 1600
77 Ir 銥 880 1600
78 Pt 鉑 870 1791
79 Au 金 890.1 1980
80 Hg 汞 1007.1 1810 3300
81 Tl 鉈 589.4 1971 2878
82 Pb 鉛 715.6 1450.5 3081.5 4083 6640
83 Bi 鉍 703 1610 2466 4370 5400 8520
84 Po 釙 812.1
85 At 砹 890±40
86 Rn 氡 1037
87 Fr 鈁 380
88 Ra 鐳 509.3 979.0
89 Ac 錒 499 1170
90 Th 釷 587 1110 1930 2780
91 Pa 鏷 568
92 U 鈾 597.6 1420
93 Np 錼 604.5
94 Pu 鈽 584.7
95 Am 鋂 578
96 Cm 鋦 581
97 Bk 錇 601
98 Cf 鉲 608
99 Es 鑀 619
100 Fm 鐨 627
101 Md 鍆 635
102 No 鍩 642
103 Lr 鐒 470
104 Rf 鑪 580
參考資料
en:Ionization energies of the elements (data page)
1个分类：
化學
自發發射
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自發發射（Spontaneous emission），是在沒有任何外界作用下，激發態原子或是分子的電子自發地從高能階向低能階躍遷，同時發射出一光子。
hv=E_2-E_1
各原子的自發發射過程完全是隨機的，所以自發輻射光是非相干的。
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電磁輻射
受激發射
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受激發射（英語：Stimulated emission）是雷射的主要光源。受激發射的光放大（英語：Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation）縮寫就是「LASER」。受激發射概念是由阿爾伯特·愛因斯坦在他1917年發表的論文《關於輻射的量子理論》中提出的；大約10年後，英國著名物理學家、劍橋大學教授P. A. M. Dirac首次實驗證明受激發射的存在。
定義
在說明受激發射之前需先了解原子的能階之概念，其中發出光最重要的就是所謂躍遷。
Stimulated Emission.svg
原子結構
原子基本上由原子核、電子組成。若有外來能量使電子與原子核的距離增大，則內能增加；反之減少。
原子能階
波爾假說：原子存在某些定態，在這些定態時不發出也不吸收電磁輻射，原子定態能量只能採取某些分立值E1、E2等，這些定態能量的值稱為能階。
電子通過能階躍遷可以改變其軌道，當它從離原子核較遠的軌道（高能階）躍遷到離原子核較近的軌道（低能階）上時將會發射出光子，反之將會吸收光子。每個躍遷對應一個特定的能量和波長。
與躍遷對應的高能階能量E2和低能階能量E1 滿足關係式：E_2-E_1={h}{\nu}=\frac{hc}{\lambda}
上式中 c指真空中的光速，c=3*10^8m/s，λ為波長，ν為頻率，h為普朗克常數；h=6.62*10^{-34} J．s
發光
正常情況下，大多數粒子處於基態，要使這些粒子產生輻射作用，必須把處於基態的粒子激發到高能階上去。由於原子內部結構不同，相同的外界條件使原子從基態激發到各高能階的機率不同。通常把原子、分子或離子激發到某一能階上的可能性稱為這一能階的「激發機率」。
理論研究表明，光的發射過程分為兩種，一種是在沒有外來光子的情況下，處於高能階E2的一個原子自發地向低能階E1躍遷，並發射一個能量為的光子，這種過程稱為「自發躍遷」；由原子自發躍遷發出的光波稱為自發發射。
另一種發射過程是處於高能階E2上的原子，在頻率為ν的輻射場作用下，躍遷至低能階E1並輻射一個能量為的光子，這種過程稱為受激發射躍遷；受激發射躍遷發出的光波，稱為受激發射。
受激發射與自發發射最重要的區別在於干涉性。自發發射是原子在不受外界輻射場控制情況下的自發過程，大量原子的自發輻射場的相位是不干涉的，輻射場的傳播方向和偏振態也是無規分佈，而受激發射是在外界輻射場控制下的發光過程。因此，受激輻射場的頻率、相位、傳播方向和偏振態與外界輻射場完全相同。雷射就是一種受激發射的干涉光。
受激發射躍遷機率
W_{21}=\left[ \frac{dN_{21}}{dt} \right]_{st} * \frac{1}{N_2}=B_{21}\boldsymbol{\rho}\nu
W_{21}定義為單位時間內，N_{2}個高能階原子中發生躍遷的原子數與N_{2}之比
B_{21}為受激發射躍遷愛因斯坦係數，為輻射場單色能量密度。單位體積內，頻率處於ν附近的單位頻率間隔中的電磁輻射能量。
受激發射躍遷機率不僅與原子性質有關，還與輻射場的ρν有關。
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電磁輻射
基本物理概念
雷射科學
定態
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在量子力學裏，定態是一種量子態，定態的機率密度不相依於時間。用方程式表達，
\frac{d}{dt}|\Psi(x,\,t)|^2=0\,\! ；
其中，\Psi(x,\,t)\,\! 是定態的波函數，相依於位置 x\,\! 與時間 t\,\! 。
設定一個量子系統的含時薛丁格方程式為
- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi+V\Psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi\,\! ；
其中，\hbar\,\! 是約化普朗克常數，m\,\! 是質量，V(x)\,\! 是只相依於位置的位勢。
這個方程式有一個定態的波函數解：
\Psi(x,\,t)=\psi(x)e^{ - iEt/\hbar}\,\! ；
其中，\psi(x)\,\! 是 \Psi(x,\,t)\,\! 不相依於時間的部分，E\,\! 是能量。
將這定態波函數代入含時薛丁格方程式，則可除去時間的相依：
- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi+V\psi=E\psi\,\! 。
這是一個不含時薛丁格方程式，又稱為定態薛丁格方程式，可以用來求得本徵能量 E\,\! 與伴隨的本徵函數 \psi_E(x)\,\! 。定態的能量都是明確的，是定態薛丁格方程式的本徵能量 E\,\! ，波函數 \psi(x)\,\! 是定態薛丁格方程式的本徵函數 \psi_E(x)\,\! 。
機率密度不相依於時間
雖然定態 \Psi(x,\,t)\,\! 很明顯的相依於時間。相依的部分是個相位因子。定態的機率密度不含有相位因子這項目：
|\Psi(x,\,t)|^2=|\psi(x)|^2\,\! 。
所以，定態的機率密度不相依於時間。一個直接的後果就是期望值也都不相依於時間。例如，位置的期望值 \langle x\rangle\,\! 是
\langle x\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\Psi^*(x,\,t)x\Psi(x,\,t)\,dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\,x|\Psi(x,\,t)|^2\,dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\,x|\psi(x)|^2\,dx\,\! 。
再舉一例，動量的期望值 \langle p\rangle\,\! 是
\begin{align}\langle p\rangle & =\int_{ - \infty}^{\infty}\Psi^*(x,\,t)\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\Psi(x,\,t)\,dx=\frac{\hbar}{i} \int_{ - \infty}^{\infty}\psi(x)e^{iEt/\hbar} \frac{\partial}{\partial x}(\psi(x)e^{ - iEt/\hbar})\,dx \\ & =\frac{\hbar}{i}\int_{ - \infty}^{\infty}\,\psi^*(x)\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)\,dx \\ \end{align}\,\!
所以，\langle x\rangle\,\! 和 \langle p\rangle\,\! 都不相依於時間。一般而言，給予任意一個位置與動量的函數 f(x,\,p)\,\! ，期望值 \langle f\rangle\,\! 必不相依於時間。
參閱
純態
混合態
基態
受激態
束縛態
真空態
相干態
簡併態
參考文獻
Griffiths, David J.. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.
1个分类：
量子力學
散射
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當傳播中的輻射，像光波、音波、電磁波、或粒子，在通過局部性的位勢時，由於受到位勢的作用，必須改變其直線軌跡，這物理過程，稱為散射。這局部性位勢稱為散射體，或散射中心。局部性位勢各式各樣的種類，無法盡列；例如，粒子、氣泡、液珠、液體密度漲落、晶體缺陷、粗糙表面等等。在傳播的波動或移動的粒子的路徑中，這些特別的局部性位勢所造成的效應，都可以放在散射理論 (scattering theory) 的框架裏來描述。
目錄
1 單散射和多重散射
2 電磁散射
3 參閱
4 參考文獻
5 外部連結
單散射和多重散射
假若輻射只被一個局部性散射體散射，則稱此為單散射。假若許多散射體集中在一起，輻射可能會被散射很多次，稱此為多重散射。單散射可以被視為一個隨機現象；而多重散射通常是比較命定性的。這是兩種散射的主要不同點。
由於單獨的散射體的位置，相對於輻射路徑，通常不會明確的知道。所以，散射結果強烈地依賴於入射軌道參數。對於觀測者，散射結果顯得相當的隨機。一個標準案例是電子的被發射於原子核。由於不確定性原理，相對於電子的入射路徑，原子的確定位置是個未知數，無法準確地測量出來，碰撞後，電子的散射行為是隨機的。所以，單散射時常用機率分佈來描述
在多重散射過程裏，經過眾多的散射事件，散射作用的隨機性很容易會因為平均化而被凐滅不見，輻射的最終路徑會顯示為強度的命定性 (deterministic) 分佈。一個標準案例是光束的通過濃厚大霧。多重散射可以與擴散類比。在許多狀況，兩個術語可以替代使用。用來製造多重散射的光學器材，稱為擴散器。
不是每一種單散射都是隨機地。一個完美控制的雷射束能夠準確地散射於一個微粒，產生出命定性的結果。這樣的狀況也會發生於雷達散射，目標大多數是宏觀物體，像飛機或火箭。
類似地，多重散射有時也會產生很隨機的結果，特別是同調輻射。當同調輻射被多重散射的時候，強度會發生隨機漲落，稱此現象為散斑 (speckle) 。假若，一個同調輻射的不同部分散射於不同的散射體，則也會產生散斑。在某些罕見的狀況，多重散射的散射次數並不多，隨機性並沒有被平均化凐滅。學術界公認，這類系統很不容易精確地模型化。
散射的主要研究問題，時常涉及到預測各種系統怎樣散射輻射。給予足夠的計算資源和系統資訊，這些問題大都可以解析。一個廣泛研究，更加困難的挑戰是逆散射問題 (inverse scattering problem) 。這問題主要研究的是，從觀測到的散射行為，來決定入射輻射或散射體的性質。一般而言，解答不是唯一的；不同的散射體可以給予同樣的散射樣式。幸運地，科學家找到一些方法，來萃取許多關於散射體的資料。雖然這些資料並不完全，但還是相當有用。這些方法廣泛的用於感測和計量學 (metrology) [1]。
許多科技領域顯著地應用到散射和散射理論。例如，雷達感測、超音波檢查、半導體晶片檢驗、聚合過程監視、電腦成像 (computer-generated imagery) 等等。
電磁散射
兩個電子，經由一個虛光子的發射，而產生的散射，可以由費曼圖展示出來。
電磁波是一種最為人熟知，最常碰到的輻射形式。其中，光波散射是不可避免的日常現象。無線電波散射則乃雷達科技的核心物理機制。因為某些方面的不同，電磁波散射可以清楚地分支為不同的領域，各自有各自的取名。彈性散射（涉及極微小的能量轉移）主要有瑞立散射和米氏散射 (Mie scattering) 。非彈性散射包括布里元散射 (Brillouin scattering) 、拉曼散射 (Raman scattering) 、非彈性X-光散射、康普頓散射等等。
大多數物體都可以被看見，主要是因為兩個物理過程：光波散射和光波吸收。有些物體幾乎散射了所有入射光波，這造成了物體的白色外表。光波散射也可以給予物體顏色。例如，不同色調的藍色，像天空的天藍、眼睛的虹膜、鳥的羽毛[2]等等。奈米粒子的共振光波散射會產生不同的高度飽和的，生動的色相，特別是當涉及表面電漿子共振 (surface plasmon resonance) [3]。
在瑞立散射裏，電磁輻射（包括光波）被一個小圓球散射。圓球可能是一個粒子、泡沫、水珠、或甚至於密度漲落。物理學家瑞立勳爵最先發現這散射效應的正確模型，因此稱為瑞立散射。為了要符合瑞立模型的要求，圓球的直徑必須超小於入射波的波長，通常上界大約是波長的 1/10 。在這個尺寸範圍內，散射體的形狀細節並不重要，通常可以視為一個同體積的圓球。當陽光入射於大氣層時，氣體分子對於陽光的瑞立散射，使得天空呈現藍色。這是根據瑞立著名的方程式：
I\propto 1/ \lambda^4\,\!
其中，I\,\! 是強度，\lambda\,\! 是波長。
陽光的藍色光波部分波長比較短，散射強度比較大；而紅色光波部分波長比較長，散射強度比較小。外太空的輻射通過地球大氣層時，衰減的主要原因是輻射吸收和瑞立散射。散射的程度變化是粒子直徑與波長比例的函數，連同許多其它因子，像極化、角度、以及同調性等等。
瑞立散射不適用於直徑較大的散射體。德國物理學家古斯塔夫·米最先找到這問題的解答。因此，大於瑞立尺寸的圓球的散射被稱為米氏散射 (Mie scattering) 。在米氏區域內，散射體的形狀變的很重要。這理論只能用在類球體。
瑞立散射和米氏散射都可以被視為彈性散射，光波的能量並沒有大幅度地改變。可是，移動的散射體所散射的電磁波會產生都卜勒效應，能量會稍微改變。這效應可以被用來偵測和測量散射體的速度，可以應用於光達 (LIDAR) 和雷達這一類科技儀器。
當粒子直徑與波長比例大於 10 的時候，幾何光學的定律可以用來描述光波與粒子的交互作用。在這裡，通常不稱這交互作用為散射。
對於一些瑞立模型和米式模型不適用的案例，像不規則形狀粒子，有很多種不同的數值計算方法可以讓我們選擇使用，求算散射的解答。最常見的方法是有限元方法。此法解析馬克士威方程組，尋求散射的電磁場的分佈。程式工程師特別設計出複雜的軟體，專門計算這類問題。只需要使用者給出散射體的折射率或折射率函數，電腦就可以計算出電磁場結構的二維或三維模型。假若結構比較龐大複雜，則可能需要高功能電腦大量的運算時間，才能得到結果。
另外一種特別的電磁散射是同調回散射 (backscatter)。這是一個相當不為人知的現象。當同調輻射（像雷射光束）傳播通過一個擁有很多散射體的介質時，電磁波會被散射很多次。一個代表性的多重散射介質例子是濃厚雲塊。朝著原本入射方向的反方向，同調回散射效應會產生一個非常大的峰值強度。實際上，一般的電磁波很大部分都會散射回去。對於非同調輻射，散射通常會在反方向產生一個局部最大值。可是，同調輻射的峰值強度是非同調輻射的兩倍。測量這些數值是很困難的。原因有兩個。第一個原因是，直接地測量回散射同時也會阻擋入射電磁波。但是，科學家已經想出精巧的方法來克服這問題。第二個原因是，強度峰通常會是非常的尖銳。偵測器必須擁有非常高的角解析度，才能夠看到峰值，不會將強度峰值與鄰近的低強度值平均起來。
參閱
廷得耳效應
X射線晶體學
布拉格散射 (Bragg scattering)
中子散射 (neutron scattering)
拉塞福散射 (Rutherford scattering)
小角散射 (small-angle scattering)
湯姆森散射 (Thomson scattering)
參考文獻
^ Colton, David; Kress, Rainer, Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory. 2nd, Springer. 1998, ISBN 978-3540628385 （英文）
^ Prum, Richard O.; Rodolfo H. Torres, Scott Williamson, Jan Dyck. Coherent light scattering by blue feather barbs. Nature. 1998, 396 (6706): 28–29. doi:10.1038/23838.
^ Roqué, Josep; J. Molera, P. Sciau, E。 Pantos, M. Vendrell-Saz. Copper and silver nanocrystals in lustre lead glazes: development and optical properties. J. Eur. Ceramic Society. 2006, 26 (16): 3813–3824. doi:10.1016/j.jeurceramsoc.2005.12.024.
Akkermans, E.; P. E. Wolf, R. Maynard. Coherent Backscattering of Light by Disordered Media: Analysis of the Peak Line Shape. Phys. Rev. Lett.. 1986, 56 (14): 1471–1474. doi:10.1103/PhysRevLett.56.1471.
Bohren, Craig F.; Donald R. Huffman. Absorption and Scattering of Light by Small Particles. Wiley. 1983. ISBN 0-471-29340-7.
Gonis, Antonios; William H. Butler. Multiple Scattering in Solids. Springer. 1999. ISBN 0-387-98853-X.
Stover, John C.. Optical Scattering: Measurement and Analysis. SPIE Optical Engineering Press. 1995. ISBN 0-8194-1934-6.
外部連結
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